專題03 等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)、基本不等式（考點清單+知識導(dǎo)圖+ 11個考點清單-題型解讀）（解析版）

清單03等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)、基本不等式（個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】作差法比較大小作差法的依據(jù)：①；②；③步驟：(1)作差；(2)變形；（目的：便于判定差的符號，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等）(3)定號；（當(dāng)差的符號不確定時，一般需要分類討論）(4)下結(jié)論。（根據(jù)當(dāng)差的正負與實數(shù)大小關(guān)系的基本事實下結(jié)論）【清單02】不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對稱性（等價于）傳遞性（推出）可加性（等價于可乘性注意的符號（涉及分類討論的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性，同為正數(shù)【清單03】重要不等式一般地，，有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.【清單04】基本不等式鏈（其中，當(dāng)且僅當(dāng)時，取“”號）（注意：一正，二定，三相等，特別“一正”，“三相等”這兩類陷阱）【考點題型一】比較兩個代數(shù)式的大小【解題方法】作差法【例1】（24-25高一上·北京延慶·期中）若和，則和的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】根據(jù)條件，通過作差法，得到，即可求解.【詳解】因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故選：C.【變式1-1】（24-25高一上·江西南昌·期中）下列命題:①若，則

②若，則③若，則

④若，則其中真命題的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、作差法比較代數(shù)式的大小【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及作差法可判斷結(jié)果.【詳解】對于①：若，則，即或，故①錯誤；對于②：若，當(dāng)時，，故②錯誤；對于③：若，，則，故③正確；對于④：若，，所以，故④錯誤；綜上，只有③正確，故選：A.【變式1-2】（24-25高一上·福建莆田·期中），，，則有.（請?zhí)睢啊?、“”、“”、“”、“”）【答案】【知識點】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】利用作差法可得出、的大小關(guān)系.【詳解】因為，故.故答案為：.【考點題型二】基本不等式（和為定值求積的最值）【例2】（24-25高三上·山東棗莊·期中）求下列各式的最值(1)當(dāng)時，求的最小值；(2)已知，求的最大值.【答案】(1)(2)【知識點】基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值【分析】（1）由，結(jié)合基本不等式求解即可；（2）由，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】（1）因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最小值為；（2）因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最大值為.【變式2-1】（24-25高一上·新疆省直轄縣級單位·階段練習(xí)）若，且，則的最大值是．【答案】【知識點】基本不等式求積的最大值【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：【變式2-2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知，，且．(1)求xy的最大值；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值、條件等式求最值、基本不等式求積的最大值【分析】（1）方法一：利用基本不等式得到，求出；方法二：由得到，，求出的最大值為；（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最值.【詳解】（1）方法一：∵，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，∴，∴，的最大值為；方法二：，解得，，，當(dāng)時，的最大值為，此時；（2）∵，又∵，，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∵，∴，，∴，∴當(dāng)，時，的最小值為9．【考點題型三】基本不等式（積為定值求和的最值）【例3】（24-25高一上·北京·期中）當(dāng)時，恒成立，則的最大值為（

）A．6 B．10 C．12 D．13【答案】C【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)題意，由基本不等式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以由題意可知，，即的最大值為.故選：C【變式3-1】（24-25高一上·陜西寶雞·期中）已知，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】將原式變形為，利用基本不等式求得最小值.【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以最小值為，故選：D.【變式3-2】（24-25高一上·北京·期中）函數(shù)的最小值是.【答案】【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】利用配湊法、基本不等式解決即可.【詳解】由基本不等式可得，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以函數(shù)的最小值是.故答案為：.【考點題型四】基本不等式（湊項（系數(shù)））形如：【例4】（24-25高一上·上海閔行·期中）函數(shù)的最小值是.【答案】【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式可求最小值.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故所求最小值為，故答案為：.【變式4-1】（24-25高一上·貴州六盤水·期中）已知，則的最大值是.【答案】【知識點】基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】利用基本不等式求解.【詳解】解：，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，的最大值是.故答案為：【變式4-2】（24-25高一上·北京·期中）已知函數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值．【答案】/0.52【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，且的最小值為2，故答案為：，2【考點題型五】基本不等式（常數(shù)代換法）形如：①已知，求；或已知，求【例5】（24-25高一上·湖南·期中）已知兩個正實數(shù)，滿足，且不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】借助基本不等式“1”的活用可得不等式有解等價于有解，解出即可得.【詳解】由均為正實數(shù)，且，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，則不等式有解等價于有解，即有，解得或.故答案為：.【變式5-1】（24-25高一上·天津紅橋·期中）已知，，且，則的最小值.【答案】5【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式“1”妙用即可得解.【詳解】因為，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“”.故答案為：5.【變式5-2】（24-25高一上·云南德宏·期中）已知正數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】2【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】將展開，再利用基本不等式求解即可.【詳解】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即時，取得最小值為，故答案為：.【考點題型六】基本不等式（二次與二次（或一次）商式）形如：或者，常用換元法：令【例6】（24-25高一上·上海·開學(xué)考試）若，則的最小值為.【答案】4【知識點】二次與二次（或一次）的商式的最值【分析】根據(jù)給定條件，利用配湊法及基本不等式求出最小值即可得解.【詳解】當(dāng)時，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為4.故答案為：4【變式6-1】（24-25高一上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知正實數(shù)x，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】二次與二次（或一次）的商式的最值【分析】利用基本不等式可求，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，化簡已知即可求解.【詳解】解：因為，又因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，所以，即y的最大值是.故選：D.【變式6-2】（22-23高一上·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知，求的最小值【答案】6【知識點】二次與二次（或一次）的商式的最值【分析】根據(jù)給定條件，利用配湊法及基本不等式求出最小值即可得解.【詳解】當(dāng)時，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為6.【考點題型七】條件等式求最值形如：，目標①求型；目標②求型【例7】（24-25高一上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】條件等式求最值【分析】由可得，后由基本不等式可得答案.【詳解】因，則，則.當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，，即，時取等號.故選：A【變式7-1】（24-25高一上·天津西青·期中）已知、為正實數(shù)，且，則的最小值是.【答案】【知識點】條件等式求最值【分析】利用基本不等式可得出關(guān)于的不等式，即可解得的最小值.【詳解】因為、為正實數(shù)，由基本不等式可得，即，因為，所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.【變式7-2】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知正實數(shù)，滿足.(1)求的最小值，并求出此時，的值；(2)若的最小值是25，求的值.【答案】(1)，，(2)【知識點】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】（1）根據(jù)“1”的代換，結(jié)合基本不等式求解；（2）利用基本不等式求出的最小值，進而求出值.【詳解】（1）由變形得到：，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，所以.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，解得.【考點題型八】對鉤函數(shù)求最值形如或者【例8】（23-24高二上·河南）已知函數(shù)的最小值為，則的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】對勾函數(shù)求最值【分析】取特殊值可判斷AC，利用基本不等式可判斷BD.【詳解】若，則，故A選項不滿足題意；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，“”成立，這顯然不成立，故B選項不滿足題意；若，則，故C選項不符合題意；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，“”成立，故D選項符合題意．故選：D.【變式8-1】（多選）（23-24高一上·江蘇連云港·期中）下列命題中，是假命題的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AC【知識點】對勾函數(shù)求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用特殊值判斷A、C，利用基本不等式判斷D，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)判斷B.【詳解】對于A：當(dāng)時，故A錯誤；對于B：因為，又在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以恒成立，故B正確；對于C：當(dāng)，時，故C錯誤；對于D：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號，故D正確；故選：AC【變式8-2】（多選）（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．的最小值是2 B．的最小值是2C．的最小值是 D．若，則的最大值是【答案】ACD【知識點】基本不等式求和的最小值、對勾函數(shù)求最值【分析】利用基本不等式判斷A、C、D，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)判斷B.【詳解】對于A，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A正確；對于B，，令，則且，因為在上單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故B錯誤；對于C，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C正確；對于D，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D正確，故選：ACD．【考點題型九】基本不等式的恒成立問題【例9】（23-24高二上·黑龍江綏化）設(shè)正數(shù)，滿足，若不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立問題、基本不等式求和的最小值【分析】首先利用基本不等式求出的最小值，然后根據(jù)不等式恒成立，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式求解.【詳解】因為正數(shù)，滿足，則，因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.因為不等式對任意實數(shù)恒成立，即恒成立.，所以，即對任意實數(shù)恒成立.令，因為，所以.所以.故選：D.【變式9-1】（24-25高一上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知，且，若對任意的恒成立，則實數(shù)的取值是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式、基本不等式的恒成立問題、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)題意，問題可轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，由題設(shè)條件得到，進而得到，接著結(jié)合基本不等式求得最小值得到即可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為對任意的恒成立，可得對任意的恒成立，又因為，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以最小值為，所以，可得，即，所以，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：C.【變式9-2】（24-25高一上·廣東深圳·期中）已知滿足.(1)求的最小值；(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立問題、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】（1）變形后，利用基本不等式“1”的代換求出最小值；（2）先求出，參變分離得到，變形得到，利用基本不等式求出取得最小值，則，【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即取得最小值.（2）由，得，即，不等式恒成立，即恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，因此當(dāng)時，取得最小值，則，所以的取值范圍.【考點題型十】在實際問題中判斷使用基本不等式求最值【例10】（24-25高一上·福建泉州·期中）某公司為提高企業(yè)經(jīng)濟效益，大力進行新產(chǎn)品研發(fā)，現(xiàn)計劃投入72萬元，全部用于甲、乙兩種產(chǎn)品的研發(fā)，每種產(chǎn)品至少要投入15萬元，在對市場進行調(diào)研分析完后發(fā)現(xiàn)，甲產(chǎn)品的利潤，乙產(chǎn)品的利潤與研發(fā)投入（單位：萬元）滿足，，設(shè)甲產(chǎn)品的投入為（單位：萬元），兩種產(chǎn)品的總收益為（單位：萬元）．(1)求的表達式，并求當(dāng)甲產(chǎn)品投入26萬元時，兩種產(chǎn)品的總收益為多少萬元；(2)試問如何安排甲、乙兩種產(chǎn)品的研發(fā)投入，才能使總收益最大？【答案】(1)，88萬元(2)在甲產(chǎn)品投入39萬元，在乙產(chǎn)品投入33萬元【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、利用二次函數(shù)模型解決實際問題、分段函數(shù)模型的應(yīng)用、基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)題意，分情況列出關(guān)系式，寫成分段函數(shù)形式即可；（2）分情況求出各段的最大值，結(jié)合換元，基本不等式，二次函數(shù)知識求解即可.【詳解】（1）甲產(chǎn)品的投入為萬元，則乙產(chǎn)品的投入為萬元，當(dāng)時，當(dāng)時，綜上：,即當(dāng)甲產(chǎn)品投入26萬元時，兩種產(chǎn)品的總收益為88萬元.（2）當(dāng)時,令，則總收益為顯然當(dāng)時，（萬元）.當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)..,該公司在甲產(chǎn)品投入39萬元，在乙產(chǎn)品投入33萬元，總收益最大，最大總收益為89.5萬元.【變式10-1】（24-25高一上·北京·期中）已知某商品每件的成本為8元，每月銷量（萬件）與每件售價（元）的函數(shù)關(guān)系近似為：，若使每月的凈利潤最高，則每件售價應(yīng)定為（

）（注：凈利潤銷售總額總成本）A．10元 B．12元 C．15元 D．16元【答案】B【知識點】基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】由每件售價，表示出每月的凈利潤，再利用基本不等式求最大值，等號成立時，即可求得，可得答案.【詳解】設(shè)每月的凈利潤為，由題意，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，則每件售價應(yīng)定為元.故選：B.【變式10-2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）現(xiàn)使用一架兩臂不等長的天平稱20g藥品，操作方法如下：先將10g的砝碼放在天平左盤中，取出一些藥品放在天平右盤中，使天平平衡；再將10g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些藥品放在天平左盤中，使得天平平衡．你認為兩次實際稱得的藥品總重量（

）A．等于20g B．大于20g C．小于20g D．以上都有可能【答案】B【知識點】基本（均值）不等式的應(yīng)用【分析】利用平衡條件得出的表達式，結(jié)合基本不等式可得答案.【詳解】設(shè)天平左臂長為，右臂長為，且，左盤放的藥品為克，右盤放的藥品為克，則，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到等號，而，所以.故選：B【考點題型十一】不等式中的新定義題【例11】（24-25高一上·四川成都·期中）對于基本不等式，即當(dāng)，時有（當(dāng)且僅當(dāng)時不等式取“=”），我們稱為正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，為它們的幾何平均數(shù)，兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于他們的幾何平均數(shù)．這只是均值不等式的一個簡化版本．均值不等式的歷史可以追溯到19世紀，由在1882年發(fā)表的論文中首次提出．均值不等式，也稱為平均值不等式或平均不等式，是數(shù)學(xué)中的一個重要公式．它的基本形式包括調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)和平方平均數(shù)之間的關(guān)系．它表明：個正數(shù)的平方平均數(shù)大于等于它們的算術(shù)平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)大于等于調(diào)和平均數(shù)，且當(dāng)這些數(shù)全部相等時，等號成立．(1)請直接運用上述不等式鏈中某個的情形求的最小值；(2)寫出時調(diào)和平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系，并證明；(3)如圖，把一塊長為的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再將它的邊沿虛線折轉(zhuǎn)做成一個無蓋的方底盒子．問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？【答案】(1)(2)，其中，，(3)切去的正方形邊長為時，才能使盒子的容積最大.【知識點】基本（均值）不等式的應(yīng)用、由基本不等式證明不等關(guān)系、基本不等式求和的最小值【分析】（1）根據(jù)已知條件給出的不等式求解即可；（2）根據(jù)已知條件給出的幾何平均數(shù)大于等于調(diào)和平均數(shù)寫出不等式即可，證明見詳解；（3）設(shè)出小正方形的邊長，表示出盒子的容積，利用不等式求解最值即可.【詳解】（1）由題意得所以時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以的最小值為.（2）由題意可知，當(dāng)時，調(diào)和平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系為，其中，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.證明：所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.根據(jù)題意，可設(shè)，，，用，，替換，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.（3）設(shè)小正方形的邊長為，則盒子的高，底邊邊長為，可得盒子的容積為，其中，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以切去的正方形邊長為時，才能使盒子的容積最大，最大容積為.【變式11-1】（24-25高一上·江蘇常州·階段練習(xí)）定義：為實數(shù)中較大的數(shù)．若，則的最小值為．【答案】【知識點】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、基本不等式求和的最小值【分析】先根據(jù)的范圍，討論的大小關(guān)系，在每種情況中分別用均值不等式和不等式的性質(zhì)確定的范圍，即可得解．【詳解】設(shè)，則由題意可得，因為，所以①當(dāng)時，，只需考慮，所以，，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；②當(dāng)時，，只需考慮，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.綜上所述，的最小值為2.故答案為：2.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是在利用均值不等式和不等式的性質(zhì)時，特別注意同向不等式的應(yīng)用和均值不等式成立的條件.【變式11-2】（24-25高一上·福建福州·階段練習(xí)）若一個集合含有個元素，且這個元素之和等于這個元素之積，則稱該集合為元“復(fù)活集”.(1)直接寫出一個2元“復(fù)活集”（無需寫出求解過程）；(2)求證：對任意一個2元“復(fù)活集”，若其元素均為正數(shù)，則其元素之積一定大于4；(3)是否存在某個3元“復(fù)活集”，其元素均為正整數(shù)?若存在，求出所有符合條件的3元“復(fù)活集”；若不存在，說明理由.【答案】(1)（答案不唯一）；(2)證明見解析；(3)存在某個3元“復(fù)活集”，所有符合條件的3元“復(fù)活集”為：.【知識點】基本不等式求和的最小值、集合新定義【分析】（1）根據(jù)“復(fù)活集”的定義寫出一個2元“復(fù)活集”.（2）利用基本不等式證得結(jié)論成立.（3）先求得一個3元“復(fù)活集”，然后證明這個“復(fù)活集”是唯一的，從而確定正確答案.【詳解】（1）設(shè)一個2元“復(fù)活集”為（），則，由于，所以一個2元“復(fù)活集”可為（答案不唯一）.（2）由上述分析可知，2元“復(fù)活集”（）滿足，若，則即，所以（舍去）或即，所以對任意一個2元“復(fù)活集”，若其元素均為正數(shù)，則其元素之積一定大于4.（3）設(shè)元“復(fù)活集”，其中都是正整數(shù)，且兩兩不相等，根據(jù)集合元素的互異性和無序性，不妨設(shè)，根據(jù)“復(fù)活集”可得，因為，所以存在元素均為正整數(shù)的元“復(fù)活集”.設(shè)，則，由，得，整理得，由于且都是正整數(shù)，所以，所以，此時元“復(fù)活集”為.當(dāng)時，由，得，所以，由于且都是正整數(shù)，所以只有滿足，但與矛盾，所以當(dāng)時，不存在元素均為正整數(shù)的元“復(fù)活集”.綜上所述，存在某個3元“復(fù)活集”，所有符合條件的3元“復(fù)活集”為.【點睛】關(guān)鍵點睛:在第（3）小問中的求解過程中，關(guān)鍵在于利用分類討論和整數(shù)的性質(zhì)，確定元素的取值范圍.通過先假設(shè)一個元素等于1，利用方程的對稱性和因式分解，找出了滿足條件的所有正整數(shù)解，并證明了這個解的唯一性；再假設(shè)，由“復(fù)活集”定義和整數(shù)的性質(zhì)得，從而再由正整數(shù)性質(zhì)進一步可求解.提升訓(xùn)練1．（24-25高一上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）已知，則以下錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】利用不等式求值或取值范圍【分析】由不等式的基本性質(zhì)判斷各選項即可.【詳解】因為，所以，，故AB正確；而，，所以，，故C正確，D錯誤.故選：D.2．（24-25高一上·遼寧大連·期中）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】利用不等式求值或取值范圍【分析】利用不等式性質(zhì)，先求解出的范圍，然后可求即的范圍.【詳解】因為，所以，所以，即，故選：D.3．（24-25高一上·廣東佛山·期中）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．與的取值有關(guān)【答案】B【知識點】作差法比較代數(shù)式的大小【分析】由作差法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】因為，所以，所以.故選：B.4．（湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題）已知正實數(shù)滿足，則恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．或C． D．或【答案】A【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)基本不等式求的最小值，再將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，可得不等式，求解即可.【詳解】因為，且為正實數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以，則因為恒成立，所以，解得，故選：A.5．（浙江省寧波市五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知，，且，則的最小值為（

）A．9 B．10 C．11 D．13【答案】D【知識點】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，得到答案.【詳解】，且，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：D6．（24-25高一上·北京·期中）使“函數(shù)的最小值為2”為假命題的的一個值可以是（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】D【知識點】已知命題的真假求參數(shù)、基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式求出取得最小值的條件，進而求出的范圍，再利用其否定為真命題即可得解.【詳解】依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，而，則，由“函數(shù)的最小值為2”為假命題，所以.故選：D7．（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．8【答案】D【知識點】條件等式求最值【分析】由解出a，代入，進行適當(dāng)變形，應(yīng)用基本不等式求最小值即可.【詳解】解：因為正數(shù)a，b滿足，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為8.故選：D8．（24-25高一上·江西上饒·階段練習(xí)）已知正數(shù)x、y滿足，不等式恒成立.則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，利用基本不等式求最值即可.【詳解】因為，，所以由基本不等式可得，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，即，綜上所述，的最小值為；因為不等式恒成立，所以，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：C.9．（多選）（24-25高一上·河北石家莊·期中）設(shè)正實數(shù)滿足，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】ABD【知識點】基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值、條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)基本（均值）不等式可判定ABD是正確的，舉反例說明C是錯誤的.【詳解】對A：因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“”，故A正確；對B：因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“”，故B正確；對C：當(dāng)時，滿足，此時，故C錯誤；對D：因為，由A選項可知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”，故D正確.故選：ABD.10．（多選）（24-25高一上·江蘇無錫·期中）若且，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為B．的最小值為C．的最小值為D．的最大值為【答案】AC【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)基本不等式對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，且，A選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，解得，所以，所以A選項正確.B選項，由A選項的分析可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值為，而，但此時，所以取不到最小值，所以B選項錯誤.C選項，（則①），，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以C選項正確.D選項，，但，與①矛盾，故等號不成立，所以D選項錯誤.故選：AC11．（24-25高一上·海南?？凇て谥校┤?，則的最小值為.【答案】2【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】通過配方化簡函數(shù)，利用基本不等式求最小值.【詳解】由題意得，，∵，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，.故答案為：2.12．（24-25高一上·河北·階段練習(xí)）已知，，，則的最小值為.【答案】6【知識點】條件等式求最值【分析】化簡可得，結(jié)合解不等式可得，解不等式可得結(jié)論.【詳解】因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，解得或（舍去），所以的最小值為.故答案為：.四、解答題13．（24-25高一上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）已知正實數(shù)滿足：.(1)求的最大值；(2)求的最小值；【答案】(1)(2)25【知識點】基本不等式求積的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】（1）直接利用基本不等式即可求得答案；（2）利用“1”的巧用，將化為，展開后利用基本不等式，即可求得答案.【詳解】（