專題03 基本不等式（期末壓軸專項(xiàng)訓(xùn)練20題）（解析版）-25學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（人教A版必修一）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題03基本不等式（期末壓軸專項(xiàng)訓(xùn)練20題）一、單選題1．若，且，則的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由題意可得，可得，由基本不等式可得．【詳解】，且，，即，當(dāng)且僅當(dāng)即且時(shí)取等號，故選：D2．設(shè)表示與的最大值，若，都是正數(shù)，，則的最小值為（

）A． B．3 C．8 D．9【答案】B【知識點(diǎn)】利用不等式求值或取值范圍、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式的“1“的妙用求出最小值.【詳解】由，得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最小值為3.故選：B3．已知，，直線和垂直，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、已知直線垂直求參數(shù)【分析】由題意利用兩直線垂直的性質(zhì)，求得，再利用基本不等式，求得的最小值．【詳解】，，直線，，且，，即．則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故的最小值為8，故選：B．4．已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【知識點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，所以的最小值為，故選：C5．已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】基本不等式的恒成立問題、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由已知條件得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式求出的最小值，根據(jù)題意可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)?，，且，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，時(shí)，所以的最小值為，因?yàn)楹愠闪?，所以，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.6．已知正數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B．6 C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用“1”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值.【詳解】由可得，因，則，于是，因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即，時(shí)，的最小值為.故選：D.7．已知，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】由題意知，然后根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最大值為.故選：A.8．已知，且，則的最小值為（

）A．4 B．5 C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】基本不等式求積的最大值、對勾函數(shù)求最值【分析】首先利用條件變形為，再利用基本不等式求的取值范圍，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】，，因?yàn)?，且，所以，設(shè)，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為.故選：D二、多選題9．早在公元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)、幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，后人在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出一個(gè)基本不等式鏈，即已知正實(shí)數(shù)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．已知，且，請利用上述不等關(guān)系，判斷下列說法正確的是（

）A．的最小值為2 B．的最大值為C．的最大值為6 D．的最小值為【答案】ABD【知識點(diǎn)】條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)題意利用基本不等式以及乘“1”法逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】因?yàn)?，且，對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最小值為2，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，可得，即?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最大值為，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最小值為6，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最小值為，故D正確；故選：ABD.10．已知，，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【知識點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、基本不等式求和的最小值【分析】由基本不等式判斷AB選項(xiàng)，由不等式的基本性質(zhì)判斷CD選項(xiàng).【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，A選項(xiàng)正確；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，C選項(xiàng)正確；∵，∴，∴，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.11．已知，為正實(shí)數(shù)，且，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】AD【知識點(diǎn)】基本不等式求和的最小值【分析】選項(xiàng)A，對條件進(jìn)行變形得，從而得到，再利用基本不等式，即可求解；選項(xiàng)B，根據(jù)條件，直接利用基本不等式，即可求解；選項(xiàng)C，根據(jù)條件，利用基本不等式得到，解不等式，即可求解；選項(xiàng)D，利用，得到，再利用基本不等式，即可求解.【詳解】對于選項(xiàng)A，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)取得最小值，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，又，解不等式得，即，得到的最大值為，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)A知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，此時(shí)取得最小值，所以選項(xiàng)D正確，故選：AD.三、填空題12．設(shè)且，則的最小值為．【答案】/【知識點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值【分析】根據(jù)已知條件得出，再應(yīng)用基本不等式求出最小值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最小值為．故答案為：1213．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為.【答案】【知識點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、條件等式求最值【分析】將代入可得，再由基本不等式求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋?又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則的最大值為.故答案為：14．已知，且，則的最小值為．【答案】【知識點(diǎn)】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)分母特點(diǎn)，將化為，將化為.然后用基本不等式即可.【詳解】由于，因此，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．故答案為：.15．已知直線（，）過函數(shù)（，且）的定點(diǎn)T，則的最小值為.【答案】【知識點(diǎn)】對數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】先根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的特點(diǎn)求得定點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程得，運(yùn)用常值代換法即可求得結(jié)論.【詳解】令時(shí)，可得，可知函數(shù)，且的圖象恒過定點(diǎn)，因?yàn)槎c(diǎn)在直線上，可得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.四、解答題16．已知某公司生產(chǎn)某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)一千件需另投入2.7萬元，設(shè)該公司年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝千件并全部銷售完，銷售收入為萬元，且（注：年利潤年銷售收入年總成本）(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；(2)求公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大時(shí)的年產(chǎn)量.【答案】(1)(2)9千件【知識點(diǎn)】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、利潤最大問題、基本不等式求和的最小值【分析】（1）分段利用“年利潤年銷售收入年總成本”可得所求函數(shù)的解析式.（2）分段求函數(shù)的最大值，進(jìn)行比較可得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上：.（2）當(dāng)時(shí)，，.由；由.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”.此時(shí).因?yàn)?所以當(dāng)年產(chǎn)量為千件時(shí)，年利潤最大.17．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且.(1)求的值，并求出的解析式；(2)若在上恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【知識點(diǎn)】由奇偶性求函數(shù)解析式、指數(shù)函數(shù)最值與不等式的綜合問題、基本不等式求和的最小值、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】（1）利用偶函數(shù)性質(zhì)以及函數(shù)值可得，再由偶函數(shù)定義可得其解析式；（2）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求恒成立問題，由基本不等式計(jì)算可得的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，解得，當(dāng)時(shí)，可得，所以，所以函數(shù)的解析式為（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ?，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立，所以，即的取值范圍是.18．師大附中考入北大的學(xué)生李聰畢業(yè)后幫助某地打造“生態(tài)果園特色基地”，他決定為該地改良某種珍稀水果樹，增加產(chǎn)量，提高收入，調(diào)研過程中發(fā)現(xiàn)：此珍稀水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與投入的成本（單位：元）滿足如下關(guān)系：，已知這種水果的市場售價(jià)為10元/千克，且供不應(yīng)求.水果樹單株獲得的利潤為（單位：元）.(1)求的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)投入成本為多少時(shí)，該水果樹單株獲得的利潤最大?最大利潤是多少?【答案】(1)(2)當(dāng)投入成本為90元時(shí)，該水果樹單株獲得的利潤最大，最大利潤是元【知識點(diǎn)】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、分段函數(shù)模型的應(yīng)用、基本（均值）不等式的應(yīng)用、分段函數(shù)的值域或最值【分析】（1）由題意可知：，結(jié)合題意代入運(yùn)算即可；（2）分和，結(jié)合二次函數(shù)和基本不等式求最大值.【詳解】（1）由題意可知：.（2）由（1）可知：，若，則，可知其圖象開口向上，對稱軸為，此時(shí)的最大值為；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，此時(shí)的最大值為；又因?yàn)椋芍淖畲笾禐?，所以?dāng)投入成本為90元時(shí)，該水果樹單株獲得的利潤最大，最大利潤是元.19．已知均不等于1的正數(shù)滿足且且1，且.(1)若，求的最小值；(2)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(3)若的最小值為，求的值.【答案】(1)8(2)16(3)【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，然后利用基本不等式可求出的最小值；（2）由已知得，結(jié)合基本不等式可求出的最大值；（3）由已知得，則，所以，化簡后利用基本不等式可求得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，的最小值為8.（2）由已知，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，的最大值為16.（3）由（2）知，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以，則，解得，20．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為全面實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，大力發(fā)展特色農(nóng)產(chǎn)業(yè)，提升特色農(nóng)產(chǎn)品的知名度，邀請了一家廣告牌制作公司設(shè)計(jì)一個(gè)寬為米、長為米的長方形展牌，其中，其面積為平方米.(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出的取值范圍；(2)如何設(shè)計(jì)展牌的長和寬，才能使展牌的周長最小?并求出周長的最小值.【答案】(1)，；(2)