《測量誤差與數(shù)據(jù)處理》課件-有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算

《測量誤差與數(shù)據(jù)處理》有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算什么是有效數(shù)字呢？數(shù)據(jù)計(jì)算中又該如何處理有效數(shù)字呢？有效數(shù)字的概念01CONTENTS目錄數(shù)字舍入規(guī)則02數(shù)字運(yùn)算規(guī)則03有效數(shù)字的概念PART01一、有效數(shù)字的概念含有誤差的任何數(shù)，從這個(gè)近似數(shù)左方起的第一個(gè)非零的數(shù)字，稱為第一位有效數(shù)字。從第一位有效數(shù)字起到最末一位數(shù)字止的所有數(shù)字，不管是零或非零的數(shù)字，都叫有效數(shù)字。有效數(shù)字：具體地說，是指在分析工作中實(shí)際能夠測量到的數(shù)字。所謂能夠測量到的是包括可靠位數(shù)的全部數(shù)字加上最后一位估計(jì)的，不確定的數(shù)字。一、有效數(shù)字的概念

若具有n個(gè)有效數(shù)字，就說是n位有效位數(shù)。例如取π=3.14，第一位有效數(shù)字為3，共有3位有效位數(shù)；又如0.0027，第一位有效數(shù)字為2，共有兩位有效位數(shù)；而0.00270，則為3位有效位數(shù)。一、有效數(shù)字的概念若近似數(shù)的右邊帶有若干個(gè)零的數(shù)字，通常把這個(gè)近似數(shù)寫成a×10n形式，而1≤

a

<10。利用這種寫法，可從a含有幾個(gè)有效數(shù)字來確定近似數(shù)的有效位數(shù)。如2.400×103表示4位有效位數(shù)；

2.40×103和2.4×103

，分別表示3位和兩位有效位數(shù)。一、有效數(shù)字的概念

在測量結(jié)果中，最末一位有效數(shù)字取到哪一位，是由測量度來決定的，即最末一位有效數(shù)字應(yīng)與測量精度是同一量級(jí)的。例如用千分尺測量時(shí)，其測量精度只能達(dá)到0.01mm，若測出長度

l

=20.531mm，顯然小數(shù)點(diǎn)后第二位數(shù)字已不可靠，而第三位數(shù)字更不可靠，此時(shí)只應(yīng)保留小數(shù)點(diǎn)后第二位數(shù)字，即寫成

l

=20.53mm，為4位有效位數(shù)。由此可知，測量結(jié)果應(yīng)保留的位數(shù)原則是：其最末一位數(shù)字是不可靠的，而倒數(shù)第二位數(shù)字應(yīng)是可靠的。測量誤差一般取1~2位有效數(shù)字，因此上述用千分尺測量結(jié)果可表示為l=(20.53±0.01)

mm

。一、有效數(shù)字的概念在進(jìn)行比較重要的測量時(shí)，測量結(jié)果和測量誤差可比上述原則再多取一位數(shù)字作為參考，如測量結(jié)果可表示為15.214±0.042。因此，凡遇有這種形式表示的測量結(jié)果，其可靠數(shù)字為倒數(shù)第三位數(shù)字，不可靠數(shù)字為倒數(shù)第二位數(shù)字，而最后一位數(shù)字則為參考數(shù)字。一、有效數(shù)字的概念在數(shù)據(jù)處理和計(jì)算中，我們需要遵循一些基本的規(guī)則來正確運(yùn)用有效數(shù)字。這些規(guī)則包括：非零數(shù)字都是有效數(shù)字。例如，數(shù)值123.45中的1、2、3、4和5都是有效數(shù)字。規(guī)則一零的左邊第一個(gè)非零數(shù)字及其右邊的所有數(shù)字都是有效數(shù)字。例如，數(shù)值0.00345中的3、4和5都是有效數(shù)字。規(guī)則二

科學(xué)計(jì)數(shù)法中的指數(shù)部分不參與有效數(shù)字的計(jì)算。例如，數(shù)值1.23×104中有3個(gè)有效數(shù)字，分別是1、2和3。規(guī)則三數(shù)字舍入規(guī)則PART02二、數(shù)字舍入規(guī)則“四舍六入五留雙”規(guī)則“四舍”是指舍去部分<5時(shí)，該數(shù)字舍去；“六入”是指舍去部分>5時(shí)，則進(jìn)位；“五留雙”指的是舍去部分=5時(shí)，根據(jù)5前面的數(shù)字來定：①5前為奇數(shù)，舍5入1；②5前為偶數(shù)，舍5不進(jìn)。奇留偶不留當(dāng)舍入足夠多時(shí)，舍和入的概率相同，從而舍入誤差基本抵消，又考慮到末位是偶數(shù)容易被除盡，減小計(jì)算誤差。二、數(shù)字舍入規(guī)則將下列數(shù)字保留三位有效數(shù)字：【例】9.8249→9.829.82671→9.839.8350→9.849.8250→9.829.82501→9.83數(shù)字運(yùn)算規(guī)則PART03三、數(shù)字運(yùn)算規(guī)則在近似數(shù)運(yùn)算時(shí)，為了保證最后結(jié)果有盡可能高的精度，所有殘余運(yùn)算的數(shù)字，在有效數(shù)字后可多保留一位數(shù)字作為參考數(shù)字（或稱為安全數(shù)字）。1.三、數(shù)字運(yùn)算規(guī)則在近似數(shù)做加減運(yùn)算時(shí)，各運(yùn)算數(shù)據(jù)以小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準(zhǔn)，其余各數(shù)據(jù)可多取一位小數(shù)，但最后結(jié)果應(yīng)與小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)小數(shù)位相同。2.【例】2643.0+987.7+4.187+0.2354≈2643.0+987.7+4.19+0.24=3635.13≈3635.1三、數(shù)字運(yùn)算規(guī)則在近似數(shù)乘除運(yùn)算時(shí)，各運(yùn)算數(shù)據(jù)以有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準(zhǔn)，其余各數(shù)據(jù)可多取一位有效數(shù)，但最后結(jié)果應(yīng)與有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)相同。3.【例】15.134×4.12≈15.13×4.12=62.3356≈62.3三、數(shù)字運(yùn)算規(guī)則在近似數(shù)平方或開方運(yùn)算時(shí)，近似數(shù)的選取與乘除運(yùn)算相同。4.

使用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算時(shí)，一般不對(duì)每一步驟的結(jié)果進(jìn)行舍入，僅對(duì)最后的結(jié)果進(jìn)行舍入，使其符合事先所確定的位數(shù)。三、數(shù)字運(yùn)算規(guī)則科學(xué)計(jì)數(shù)法有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則。5.

假設(shè)我們需要計(jì)算數(shù)值1.23×104和數(shù)值4.56×102的和。

首先，我們將兩個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換為相同的數(shù)字形式：

1.23×104=12300，4.56×102=456。

然后，我們進(jìn)行加法運(yùn)算：12300+456=12756。根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)則