重難點(diǎn)43 圓錐曲線與四心二十一大題型【2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型突破】（原卷版）

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2重難點(diǎn)專題43圓錐曲線與四心二十一大題型匯總題型1圓錐曲線重心與離心率 1題型2圓錐曲線重心與直線 3題型3圓錐曲線重心與面積 4題型4圓錐曲線重心與坐標(biāo) 5題型5圓錐曲線重心與軌跡方程 6題型6圓錐曲線外心與離心率 8題型7圓錐曲線外心與坐標(biāo) 10題型8圓錐曲線外心與軌跡方程 11題型9圓錐曲線外心與求值 12題型10圓錐曲線內(nèi)心與離心率 13題型11圓錐曲線內(nèi)心與內(nèi)切圓半徑 15題型12圓錐曲線內(nèi)心與直線（曲線） 17題型13圓錐曲線內(nèi)心與面積 17題型14圓錐曲線內(nèi)心與軌跡方程 19題型15圓錐曲線內(nèi)心與求值 20題型16圓錐曲線垂心與離心率 21題型17圓錐曲線垂心與直線（曲線） 23題型18圓錐曲線垂心與面積 25題型19圓錐曲線垂心與坐標(biāo) 26題型20圓錐曲線垂心與軌跡方程 27題型21四心綜合 29題型1圓錐曲線重心與離心率一、三角形重心的定義三角形的重心：三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就是三角形的重心．二、三角形重心常見結(jié)論（1）G是△ABC的重心?GA+GB（2）G為△ABC的重心，P為平面上任意點(diǎn)，則PG=（3）重心是中線的三等分點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比是2：1；（4）重心與三角形的3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形的面積相等，即重心到3條邊的距離與3條邊的長(zhǎng)成反比．、【例題1】（2019上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)A，F(xiàn)分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，B1【變式1-1】1.（2020下·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知F1、F2為橢圓x2a2+y2bA．0,13 B．0,12【變式1-1】2.（2018·貴州貴陽(yáng)·高三階段練習(xí)）在雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支上存在點(diǎn)A，使得點(diǎn)A與雙曲線的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2形成的三角形的內(nèi)切圓PA．2 B．3 C．2 D．5【變式1-1】3.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓x2a2+yA．12 B．22 C．1【變式1-1】4.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)在左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，若在曲線C的右支上存在點(diǎn)A．2 B．3 C．2 D．5【變式1-1】5.（2020·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y題型2圓錐曲線重心與直線【例題2】（2020下·河北石家莊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F，P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(A．1 B．32 C．2【變式2-1】1.（2019·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=4x上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C,直線AB,BC,AC的斜率分別為kAB,kBC,kA．-2 B．-12 C．-【變式2-1】2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x22+y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1且斜率不為0的直線l與橢圓C交于A，B【變式2-1】3.（2020·浙江·校聯(lián)考三模）已知橢圓C:x24+y2m=1的右焦點(diǎn)為F1,0，上頂點(diǎn)為B，則B的坐標(biāo)為，直線MN與橢圓C交于M【變式2-1】4.（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知直線L交橢圓x220+y216=1于M、N兩點(diǎn)，橢圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)B【變式2-1】5.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x22+y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1且斜率不為0的直線l與橢圓C交于A，B題型3圓錐曲線重心與面積【例題3】（2020·吉林·統(tǒng)考三模）設(shè)點(diǎn)P為橢圓C:x225+y216=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓A．423 B．22 C．【變式3-1】1.（2020下·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)點(diǎn)P為橢圓：x249+y224=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，【變式3-1】2.（2019上·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€y2=8x的焦點(diǎn)是F,點(diǎn)A、B、C在拋物線上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若點(diǎn)F為△ABC的重心,△OFA、△OFB、△OFC面積分別記為S1A．16 B．48 C．96 D．192【變式3-1】3.（2022·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考二模）設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，A,B,C為拋物線上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)F是△ABC的重心，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OFA、△OFB、△OFC的面積分別為S1、S2A．9 B．6 C．3 D．2【變式3-1】4.（2020上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，M是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且滿足|MF1|+|MF2|=4，若I是△MF1FA．S1>S2 B．S1=S題型4圓錐曲線重心與坐標(biāo)【例題4】（2019·甘肅·校聯(lián)考一模）已知A、B分別是雙曲線C:x2-y22=1的左、右頂點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且P在第一象限．記直線PA，PB的斜率分別為kA．(1,1) B．1,43 C．4【變式4-1】1.（2019·河北衡水·統(tǒng)考一模）已知拋物線y2=4x上有三點(diǎn)A,B,C，AB,BC,CA的斜率分別為3，6，-2，則A．(149,1) B．(14【變式4-1】2.（2020下·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？计谥校佄锞€C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，A,B是拋物線C上兩點(diǎn)，且AF+BF=10，OA．1 B．2 C．3 D．4【變式4-1】3.（2018·福建莆田·統(tǒng)考一模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)，過F作直線l與C交于A,B兩點(diǎn)．若|AB|=10A．43 B．2 C．8【變式4-1】4.（2020·陜西·統(tǒng)考二模）已知拋物線Γ：y2=2px（p>0），從點(diǎn)M(4,a)（a>0）發(fā)出，平行于x軸的光線與Γ交于點(diǎn)A，經(jīng)Γ反射后過Γ的焦點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)B，若反射光線的傾斜角為2π3，|AN|=2A．2,-3 B．32,0 C．【變式4-1】5.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知△ABC是橢圓y2【變式4-1】6.（2016上·湖南·高三階段練習(xí)）設(shè)直線l:x-2y-m=0與橢圓C:x24+y2=1相交于Α，Β兩點(diǎn)，Μ為橢圓C【變式4-1】7.（2020·吉林長(zhǎng)春·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P、Q、R在C上，且ΔPQR的重心為FA．3,92∪92,5題型5圓錐曲線重心與軌跡方程焦點(diǎn)三角形重心軌跡方程：①設(shè)點(diǎn)G為橢圓x2a2+y2b證明：如圖1，設(shè)Px0?,?y0，則有y0≠0（否則不能成為三角形），橢圓左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1-c?,?0?,?F2c②設(shè)點(diǎn)G為雙曲線x2a2-y2b證明：如圖2，設(shè)Px0?,?y0，則有y0≠0（否則不能成為三角形），雙曲線左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1-c?,?0?,?F2c【例題5】（2018上·重慶·高三重慶一中?？计谥校┮阎狿是以F1,F2為焦點(diǎn)的雙曲線x2A．9x2C．9x2【變式5-1】1.（2022上·福建福州·高三?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)P-23,0，Q23,0，點(diǎn)G與P，Q兩點(diǎn)的距離之和為2(1)求點(diǎn)N的軌跡方程C；(2)設(shè)C與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），點(diǎn)M為C上一動(dòng)點(diǎn)（且不與A，B重合）.設(shè)直線AM，x軸與直線x=92分別交于點(diǎn)R，S，取E2,0，連接ER，證明：ER【變式5-1】2.（2022上·廣東揭陽(yáng)·高三揭東二中?？茧A段練習(xí)）已知F1?F2是橢圓C：x24+y2(1)求△PF1F(2)設(shè)點(diǎn)Qs,t是△PF1【變式5-1】3.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y1(1)求證：x0是x1與(2)若直線AB過定點(diǎn)M(0,1)，求證：原點(diǎn)O是△PAB的垂心；(3)在（2）的條件下，求△PAB的重心G的軌跡方程．【變式5-1】4.（2020·浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知O是坐標(biāo)系的原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C:x2=4y（1）求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程；（2）設(shè)（1）中的軌跡與y軸的交點(diǎn)為D，當(dāng)直線AB與x軸相交時(shí)，令交點(diǎn)為E，求四邊形DEMG的面積最小時(shí)直線AB的方程.題型6圓錐曲線外心與離心率一、三角形外心的定義三角形的外心：三角形外接圓的圓心，稱為外心，三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，就是三角形的外心．二、三角形外心重要結(jié)論（1）O是△ABC的外心?OA=OB（2）若點(diǎn)O是△ABC的外心，則(OA（3）若O是△ABC的外心，則sin2A?（4）斜三角形外心坐標(biāo)：Ox（5）多心組合：△ABC的外心O、重心G、垂心H共線，即OG∥OH；【例題6】（河北省衡水市2019屆高三下學(xué)期五月大聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）已知坐標(biāo)平面xOy中，點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:x2a2-y2=1（a>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線C的左支上，MF2與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)D，且D為MFA．2 B．3 C．5 D．5【變式6-1】1.（2020·湖北宜昌·統(tǒng)考一模）設(shè)Fc,0為雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，以F為圓心，b為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，線段FPA．2 B．3 C．2 D．5【變式6-1】2.（2018上·湖南長(zhǎng)沙·高三寧鄉(xiāng)一中階段練習(xí)）F1,F2分別為雙曲線x2a2-y2b【變式6-1】3.（2020·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2a題型7圓錐曲線外心與坐標(biāo)【例題7】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系xOy中直線y=x+4與拋物線C：x2=4y交于A，B兩點(diǎn)．若D為直線y=x+4外一點(diǎn)，且【變式7-1】1.（2019·浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓x216+y24=1的下頂點(diǎn)為A，若直線x=ty+4與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M【變式7-1】2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，橢圓C1:x24+y2=1，拋物線C2:x2=2py(p>0)，設(shè)【變式7-1】3.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓C:x24+y23=1的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn)．設(shè)過點(diǎn)A作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)【變式7-1】4.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，過A作x軸的垂線交橢圓C與另一點(diǎn)Q（【變式7-1】5.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的方程為x22+y2=1，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P2,0的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Qm,0．設(shè)點(diǎn)F為橢圓題型8圓錐曲線外心與軌跡方程（6）焦點(diǎn)三角形外心軌跡方程：①動(dòng)點(diǎn)P為橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上異于橢圓頂點(diǎn)±a?,?0的一點(diǎn)，②動(dòng)點(diǎn)P為雙曲線x2a2-y2b2=1a>0?,?證明：只證雙曲線情形．如圖1，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為Px0?,?y0，則有y0≠0，∵點(diǎn)E在F1F2的垂直平分線上，∴可設(shè)E0?,?y1．圖1【例題8】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A(2,0)，B,C在y軸上，且|BC|=4，則△ABC外心的軌跡S的方程；【變式8-1】1.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心，已知A(0,1)、B(0,?-1)，且【變式8-1】2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在圓O：x2+y2=5上，直線x=2與圓O交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（E點(diǎn)在x軸上方），點(diǎn)Pm,n0<m<12是拋物線y2=2x【變式8-1】3.（2021·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知坐標(biāo)原點(diǎn)為O，雙曲線C:x2a2（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）設(shè)過雙曲線上動(dòng)點(diǎn)Px0,y0的直線x0x-y0【變式8-1】4.（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為-1,0，1,0，平面內(nèi)兩點(diǎn)G，M同時(shí)滿足以下3個(gè)條件：①G是△ABC三條邊中線的交點(diǎn)：②M是△ABC的外心；③GM(1)求△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)若點(diǎn)P（2，0）與（1）中軌跡上的點(diǎn)E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求PE?|PF|題型9圓錐曲線外心與求值【例題9】（2022·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓Γ：x24+y23=1，過其左焦點(diǎn)FA．2 B．3 C．4 D．以上都不對(duì)【變式9-1】1.（2023下·廣東清遠(yuǎn)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)為F2,0，過點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的右支相交于M，(1)求雙曲線C的方程；(2)若△MNP的外心為Q，求QFMN【變式9-1】2.（2020下·福建·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)橢圓C:x24+y23=1的右焦點(diǎn)為F，過（1）若AF=2FB，求（2）設(shè)過點(diǎn)A作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)P，若M是△PAB的外心，證明:ABMF【變式9-1】3.（2021·四川眉山·仁壽一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0（1）求橢圓C的方程；（2）過H4,0作斜率不為0的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn)，過B作垂直于x軸的直線交橢圓于另一點(diǎn)Q，連接AQ，設(shè)△ABQ的外心為G，求證：AQ題型10圓錐曲線內(nèi)心與離心率一、三角形內(nèi)心的定義三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心，稱為內(nèi)心，三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，就是內(nèi)心．二、三角形內(nèi)心常見結(jié)論設(shè)△ABC的內(nèi)切圓為圓I，切邊AB于P，則有如下重要結(jié)論：（1）I是△ABC的內(nèi)心?a?IA+b?IB（2）∠BIC=90°+1（3）AP=r（4）內(nèi)心I點(diǎn)的坐標(biāo)為ax【例題10】（2020下·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）過雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F作直線l，且直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為A，直線l與另一條漸近線交于點(diǎn)A．233 B．3+1 C．4【變式10-1】1.（2020·浙江紹興·統(tǒng)考二模）雙曲線C1:x2a2-y2b2A．32 B．3 C．224【變式10-1】2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)F是雙曲線C:x2a2-y2b=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F作C的一條漸近線的垂線，垂足為A．3+174 B．4+174【變式10-1】3.（2021·遼寧·統(tǒng)考二模）已知雙曲線x2a2-y2b2=1的左右焦點(diǎn)為F1,F2,O為它的中心，P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，ΔPF1FA．|OB|=|OA| B．|OB|=e|OA| C．|OA|=e|OB| D．|OB|與|OA|關(guān)系不確定【變式10-1】4.（2019下·福建南平·高三統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)P為雙曲線x2a2A．（1，2） B．（1，22）C．（1，22] D．（1，2]【變式10-1】5.（2019上·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）過雙曲線x2a2-y2b2=1a>b>0右焦點(diǎn)F的直線交兩漸近線于A、A．233 B．3 C．4題型11圓錐曲線內(nèi)心與內(nèi)切圓半徑三角形內(nèi)切圓的半徑求法：①任意三角形：r=2SΔCΔ（其中CΔ為②直角三角形：r=a+b-c【例題11】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩條漸近線與拋物線y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，A．3-1 B．3+1 C．2【變式11-1】1.（2017·江西撫州·統(tǒng)考一模）點(diǎn)F1、F2分別是雙曲線x2-y23A．0,3 B．0,2 C．0,2【變式11-1】2.（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P

A．18 B．32 C．50 D．14【變式11-1】3.（2021·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C：x225+A．3 B．2 C．53 D．【變式11-1】4.（2023·湖南邵陽(yáng)·邵陽(yáng)市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)分別為F1和F2，離心率為33【變式11-1】5.（2023上·廣東廣州·高三廣東廣雅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為(1)求橢圓C的方程；(2)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，直線l交橢圓C于M，N（不與點(diǎn)A重合）兩點(diǎn)，記直線AM，AN，l的斜率分別為k1，k2，k，滿足：k1+k2=-題型12圓錐曲線內(nèi)心與直線（曲線）【例題12】（2018·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2A．1 B．2 C．2 D．2【變式12-1】1.（2016·福建漳州·統(tǒng)考二模）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線C右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，【變式12-1】2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)P是雙曲線C:A．y=-3 B．y=3 C．x2+y2=5 D．y=3x2-2【變式12-1】3.（2020·山西·統(tǒng)考三模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A．x22C．x23【變式12-1】4.（2015·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F(xiàn)1,F2為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)PA．x28C．x29題型13圓錐曲線內(nèi)心與面積【例題13】（2019·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)P為橢圓x24+y23=1上任一點(diǎn)，F(xiàn)A．13 B．12 C．2【變式13-1】1.（2020上·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）雙曲線x29-y216=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，A．-35 B．-45【變式13-1】2.（2020上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，M是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且滿足|MF1|+|MF2|=4，若I是△MF1FA．S1>S2 B．S1=S【變式13-1】3.（2012·浙江·校聯(lián)考一模）已知點(diǎn)P為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上一點(diǎn)，F(xiàn)A．1+222 B．23-1【變式13-1】4.（2019下·河南洛陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線M:x2-y23=1的左，右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上左支上動(dòng)點(diǎn)，則三角形PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為G，若△GP題型14圓錐曲線內(nèi)心與軌跡方程（6）焦點(diǎn)三角形內(nèi)心軌跡方程：①設(shè)點(diǎn)M為橢圓x2a2+y2b2=1證明：如圖1，設(shè)Mx?,?y?,?Px0又由MP=ac圖1圖2②設(shè)點(diǎn)I為雙曲線x2a2（1）當(dāng)P在雙曲線右支上時(shí)，點(diǎn)I的軌跡方程為x=ay（2）當(dāng)P在雙曲線左支上時(shí)，點(diǎn)I的軌跡方程為x=-ay證明：（1）當(dāng)P在雙曲線右支上時(shí)，如圖2，設(shè)圓I與PF1?,?PF2?,?F1F2分別相切于點(diǎn)A?,?B?,?C，則有F1A=F設(shè)I的縱坐標(biāo)為y?,?∠PF綜上所述，點(diǎn)I的軌跡為x=ay（2）仿照（1）的證明可證得：當(dāng)P在雙曲線左支上時(shí)，圓I總與x軸相切于點(diǎn)C-a?,?0【例題14】（2018上·浙江金華·高三校聯(lián)考期末）已知F1,F2為橢圓C:x24+y【變式14-1】1.（2019上·四川成都·高三成都七中?？计谥校c(diǎn)M為橢圓x29+y25=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1,【變式14-1】2.（2022上·全國(guó)·高三階段練習(xí)）若雙曲線C：x24-y25=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左?A．雙曲線C的漸近線方程為xB．點(diǎn)I的運(yùn)動(dòng)軌跡為雙曲線的一部分C．若|PF1|=2|PFD．不存在點(diǎn)P，使得|PA|+|PF【變式14-1】3.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)題型15圓錐曲線內(nèi)心與求值【例題15】（2018上·河北石家莊·高三辛集中學(xué)階段練習(xí)）已知M是橢圓x225+y216=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)I是ΔMA．53 B．35 C．4【變式15-1】1.（2017·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？家荒＃E圓x2a2+y2b2=1a>b>0的兩焦點(diǎn)是F1、F2，M為橢圓上與F1、FA．a(chǎn)b B．a(chǎn)c C．b【變式15-1】2.（2016上·湖南衡陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)M在橢圓：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，F(xiàn)1、F2為左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)TA．a(chǎn)2-b2b B．【變式15-1】3.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓x24+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,A．2-3 B．12 C．2【變式15-1】4.（2019上·云南昆明·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)F1,F2為橢圓C:x24+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)．題型16圓錐曲線垂心與離心率一、三角形垂心的定義三角形的垂心：三角形三條邊上的高交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就是三角形的垂心．二、三角形垂心重要結(jié)論設(shè)O?,?（1）AH⊥BC；（2）O?,?（3）斜三角形垂心坐標(biāo)：Hx（4）H是△ABC的垂心?HA（5）垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對(duì)邊距離得2倍；【例題16】（2017·云南紅河·高三階段練習(xí)）已知F1,F2分別是雙曲線x2a2-yA．213 B．2 C．3 D．【變式16-1】1.（2019·四川廣元·統(tǒng)考二模）平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：x2a2-y2b2=1(a>0,A．2 B．32 C．2 D．【變式16-1】2.（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C1：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線C2：x2=2py(p>0A．32 B．322 C．【變式16-1】3.（2017·河北衡水·?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，雙曲線C1:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的漸近線與拋物線CA．32 B．5 C．35【變式16-1】4.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：x2a2A．12 B．22 C．3【變式16-1】5.（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓E以兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，左，右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，過P作橢圓的切線l，若l⊥AP，且△APQ的垂心恰好為坐標(biāo)原點(diǎn)O，記橢圓E的離心率為e，則e2題型17圓錐曲線垂心與直線（曲線）【例題17】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0經(jīng)過點(diǎn)P2,1，且點(diǎn)P【變式17-1】1.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若曲線E：y2=4x上一點(diǎn)A(x0,4)，是否存在直線m與拋物線E相交于兩不同的點(diǎn)B，C【變式17-1】2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線C:x2=4y上，點(diǎn)F是拋物線C【變式17-1】3.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P1,2是拋物線y2=4x上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作兩條直線l1與l2，分別與拋物線相交于異于點(diǎn)P的A,B兩點(diǎn)．若直線AB的斜率為1且△PAB的垂心H.【變式17-1】4.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：x22+y2=1的上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，直線l與橢圓C交于M，?N【變式17-1】5.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知F1、F2分別為橢圓C:x2a2+y2【變式17-1】6.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線C2題型18圓錐曲線垂心與面積【例題18】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知：橢圓x28+y24=1的右焦點(diǎn)為F,M為上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l交橢圓于P,Q【變式18-1】1.（2019·江西·高三校聯(lián)考競(jìng)賽）若△OAB的垂心恰是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，其中O是原點(diǎn)，A、B在拋物線上，則△OAB的面積S=.【變式18-1】2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線E：y2=2x．若直線AB是經(jīng)過定點(diǎn)Q(2,0)的一條直線，且與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，過定點(diǎn)Q作AB的垂線與拋物線交于G，D兩點(diǎn)，則四邊形【變式18-1】3.（2021上·浙江溫州·高三統(tǒng)考期末）設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，M為拋物線上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，且M在直線x=-1上的射影為N，若△MNF的垂心在拋物線CA．1 B．2 C．3 D．4【變式18-1】4.（2020上·福建莆田·高三校聯(lián)考期末）已知：橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)（1）求橢圓的方程；（2）直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)F為△PQM的垂心時(shí)，求△PQM的面積.題型19圓錐曲線垂心與坐標(biāo)【例題19】（2020·浙江·模擬預(yù)測(cè)）記橢圓C：x2+2y2=1的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F2的直線l交橢圓于A，B，A，B處的切線交于點(diǎn)A．2 B．3 C．5 D．6【變式19-1】1.（2020上·天津和平·高三天津一中?？计谀╇p曲線C1:x24-y2b2=1(b>0)的漸近線與拋物線C2:x2A．2 B．3 C．5 D．6【變式19-1】2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)Q1,0在橢圓C：x2+y22=1上，過點(diǎn)Pm,0作直線交橢圓C于點(diǎn)【變式19-1】3.（2016·湖北宜昌·高三校聯(lián)考期末）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線，已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,0)，B(0,4)，若其歐拉線方程為x-y+2=0，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo).【變式19-1】4.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知直線l:x=my+m+2與拋物線y2=x相交于兩點(diǎn)A,B，C1,1，且AC⊥BC．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足△PAB的垂心恰好是E1,0，記點(diǎn)C到直線AB距離為d，若題型20圓錐曲線垂心與軌跡方程焦點(diǎn)三角形垂心軌跡方程：①橢圓x2a2②雙曲線x2a2【例題20】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，已知圓O：x2＋y2＝4與y軸的正方向交于A點(diǎn)，點(diǎn)B在直線y＝2上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)B作圓O的切線，切點(diǎn)為C，則△ABC的垂心H的軌跡方程為．【變式20-1】1.（2018上·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知A(-2,0)，B(2,0)，CD⊥AB于D，△ABC的垂心為H，且【變式20-1】2.（2018·河南·統(tǒng)考二模）已知：如圖，兩同心圓：x2+y2=1和x2+y2=4．P為大圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）交小圓于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作x軸垂線PH（垂足為(1)當(dāng)點(diǎn)P在大圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求垂足Q的軌跡方程；(2)過點(diǎn)(2103,0)的直線l交垂足Q的軌跡于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓與【變式20-1】3.（2021·全國(guó)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-3,0)，B(3（1）求△ABC垂心H的軌跡方程；（2）記△ABC垂心H的軌跡為Γ，若直線l：y=kx+m（km≠0）與Γ交于D，E兩點(diǎn)，與橢圓T：2x2+y2【變式20-1】4.（2011·江西·統(tǒng)考一模）如圖，在ΔABC中，已知A-2,0，B2,0，CD⊥AB于D，（I）求點(diǎn)H的軌跡方程；（II）若過定點(diǎn)F0,2的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G,H（點(diǎn)E在F,H之間），且滿足FG=λFH題型21四心綜合【例題21】（2022·江西南昌·統(tǒng)考三模）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，且PA．3 B．2 C．3 D．4【變式21-1】1.（多選）（2021·福建三明·統(tǒng)考三模）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉線”.直線l與y軸及雙曲線x2a2-y2bA．265 B．52 C．2【變式21-1】2.（多選）（2022·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）雙曲線C:x2a2-y2b2=1?(a,b>0)的虛軸長(zhǎng)為2，F(xiàn)1,FA．△ABF2外心B．當(dāng)a變化時(shí)，△AOB外心的軌跡方程為xC．當(dāng)P變化時(shí)，存在Q,R使得△P