形形色色的函數(shù)模型課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)

4.5.2形形色色的函數(shù)模型

我們知道，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要不同的函數(shù)模型來刻畫.對于一個實際問題，如何利用已有模型或者選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？

新課引入環(huán)節(jié)一

例題練習(xí)，鞏固理解

例3

某商用無人機公司從某年1月份開始投產(chǎn)，已知前4個月的產(chǎn)量分別為1萬臺，1.2萬臺，1.3萬臺，1.37萬臺.

由于產(chǎn)品技術(shù)先進(jìn)、質(zhì)量可靠，前幾個月的產(chǎn)品銷量情況良好.為了方便營銷人員在推銷產(chǎn)品時，接受訂單不至于過多或過少，需要估測以后幾個月的產(chǎn)量.

公司分析，產(chǎn)量的增加是由于工人技術(shù)日益熟練和生產(chǎn)流程更為優(yōu)化，并且公司也暫時不準(zhǔn)備增加設(shè)備和工人.

假如你是公司管理者，現(xiàn)有五個模型

供你估算以后幾個月的產(chǎn)量，哪個模型最好?思考：對于以上五個模型，你將用什么方法做出模型的選擇？解：在直角坐標(biāo)系中依次描出體現(xiàn)基本數(shù)據(jù)的四個點:思考：題中所給的四個基礎(chǔ)數(shù)據(jù)是否都需要參與求解函數(shù)關(guān)系？

如不需要，剩余的點有無作用？例，設(shè)模擬函數(shù)為

第一步，假設(shè)出模擬函數(shù)解析式；第二步，根據(jù)例3中的基本數(shù)據(jù)，將點的坐標(biāo)代入解析式中；第三步，結(jié)合方程組，得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式.將B，C兩點的坐標(biāo)代入函數(shù).模型一：設(shè)模擬函數(shù)為

①將B，C兩點的坐標(biāo)代入函數(shù)

有

解得

所以

②將A，B兩點的坐標(biāo)代入函數(shù)有

解得

所以模型二：設(shè)模擬函數(shù)為

將A，B，C三點的坐標(biāo)代入函數(shù)

有

解得

所以模型三：設(shè)模擬函數(shù)為

將A，B兩點的坐標(biāo)代入函數(shù)

有

解得

所以模型四：設(shè)模擬函數(shù)為

將A，B，C三點的坐標(biāo)代入函數(shù)

有

解得

所以模型五：設(shè)模擬函數(shù)為

將A，D兩點的坐標(biāo)代入函數(shù)

有

解得

所以模型一：模型二：模型三：模型四：模型五：

思考：如何更直觀的觀察它們的變化情況？函數(shù)圖象能直觀反映函數(shù)的性質(zhì)特征，從而可以直觀判斷函數(shù)模型是否符合商品產(chǎn)量的要求.為此，我們借助計算機軟件可作出函數(shù)圖象.請評判五個函數(shù)模型哪個更符合要求？評價：模型一中①的結(jié)論是，在不增加設(shè)備和工人的條件下，產(chǎn)量會每月提升0.1萬元，即1000臺，這是不太可能的.評價：模型二將x=4代入，計算出4月份的產(chǎn)量為1.3萬臺，比實際產(chǎn)量少700臺；

而且由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，產(chǎn)量自4月份開始將每月下降，這顯然是不符合實際情況.評價：模型三將x=3及x=4代入函數(shù)解析式，分別得到y(tǒng)≈1.35及y=1.48，與實際產(chǎn)量差距較大.評價：模型四將x=4代入函數(shù)解析式，y=1.35，與第4個月的產(chǎn)量比較接近.評價：模型五將x=2及x=3代入函數(shù)解析式，分別得到y(tǒng)≈1.185及y≈1.293，與實際產(chǎn)量非常接近.上述例子中我們可以看到，不同的函數(shù)增長模型，增長變化存在很大差異.比較五個模擬函數(shù)的優(yōu)劣，既要考慮到誤差最小，又要考慮生產(chǎn)的實際情形，比如增產(chǎn)的趨勢和可能性.所以在通過函數(shù)模型解決實際問題時，不應(yīng)把方法簡單地用“對”和“錯”來區(qū)分，而是要看“合理”還是“不合理”，“優(yōu)”還是“更優(yōu)”.

例3在選擇冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)模型時，為什么要選擇

的形式？

探究一分析：相比于標(biāo)準(zhǔn)的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)而言，題中所給的形式增加了系數(shù)和常數(shù)的介入，是便于對模型作微調(diào)，參數(shù)越多，就越能夠調(diào)控函數(shù)模型，但是參數(shù)太多也不行，因為已知的數(shù)據(jù)量如果不夠，就不能求出引入的所有參數(shù)，也就無法建立有效的模型.

是基于冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)生成的比較簡單的結(jié)構(gòu)，如果實際問題比較復(fù)雜，還需要建立更復(fù)雜的函數(shù)模型.除了教科書中選擇的五個函數(shù)，是否還可以用其他的函數(shù)進(jìn)行擬合？

探究二分析：只要能夠較好的擬合函數(shù)走勢的函數(shù)都是可以的，如三次函數(shù)等.探究：用函數(shù)建立模型解決實際問題的基本步驟是怎樣的？環(huán)節(jié)二

抽象概括，形成規(guī)則

實際問題①轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)模型②定性定量求解數(shù)學(xué)結(jié)論實際問題的解③回歸實際問題1.從國家統(tǒng)計局網(wǎng)站可以了解到中國居民2014—2017年手機上網(wǎng)人數(shù)（如下表所示）：

環(huán)節(jié)三

課后練習(xí)，應(yīng)用遷移必做題：年份2014201520162017手機上網(wǎng)人數(shù)/億人5.576.26.957.53（1）描點畫出手機上網(wǎng)人數(shù)隨年份變化的大致圖象；（2）試選擇合適的函數(shù)類型建立數(shù)學(xué)模型，刻畫手機上網(wǎng)人數(shù)隨年份變化的規(guī)律，并預(yù)測2018年中國居民手機上網(wǎng)人數(shù)．2.假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：

方案一：每天回報40元；

方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；

方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番．環(huán)節(jié)三

課后練習(xí)，應(yīng)用遷移必做題：選做題：1.某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y(萬元)隨銷