上海市閔行區(qū)六校聯(lián)合教研2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市閔行區(qū)六校聯(lián)合教研2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6題每題4分，7-12題每題5分.考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分或5分，否則一律得零分.1.已知全集，集合，，則________.【答案】【解析】因?yàn)榧?，，所?2.函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是________.【答案】【解析】由，則，當(dāng)時，.3.已知，函數(shù)的最小正周期是，則正數(shù)的值為______.【答案】2【解析】因?yàn)?，函?shù)的最小正周期是，則，解得.4.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________.【答案】【解析】函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為由，解得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是5.設(shè)是實(shí)數(shù)，若函數(shù)為奇函數(shù)，則________.【答案】【解析】由函數(shù)，則其定義域?yàn)?，由函?shù)為奇函數(shù)，則當(dāng)時，，解得.經(jīng)檢驗(yàn)成立.6.設(shè)集合有且只有兩個子集，則______________.【答案】.【解析】因?yàn)榧嫌星抑挥袃蓚€子集，所以集合有且只有一個元素，所以方程有且僅有1個解，所以，解得.故答案為：.7.設(shè)是以2為周期的函數(shù)，且當(dāng)時，則_________.【答案】-1【解析】∵f(x)是以2為周期的函數(shù)，且時，，則.8.若“”是“”的充分條件，則的最小值為________.【答案】2【解析】，解得，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞謼l件，所以，所以，所以的最小值為2，故答案為：2.9.若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象對應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù)，則__________．【答案】【解析】函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，要使該函數(shù)為奇函數(shù)，則，，即，，又，則．10.函數(shù)的最大值為3，則的取值范圍為______________.【答案】【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以函數(shù)式可化為函數(shù)圖象如圖所示：因?yàn)闀r最大值為3，又當(dāng)時，，當(dāng)時，；由圖知，.11.已知定義在上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，當(dāng)時，的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式的解集為______.【答案】【解析】依題意是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，由圖象可知，在區(qū)間遞減，；在區(qū)間遞增，.所以的解集.12.已知函數(shù)，若對任意的，都存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】，，即對任意的，都存在，使恒成立，有，當(dāng)時，顯然不等式恒成立；當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，此時不成立.綜上，.二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生必須在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，13-14題每題選對得4分，15-16題每題選對得5分，否則一律得零分.13.若實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于ABC，令，顯然滿足，同時，，，故ABC錯誤；對于D，若，則，故D正確.故選：D.14.若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則滿足條件的實(shí)數(shù)的值是（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】對于A，，在上單調(diào)遞減，所以A不正確；對于B，，，定義域?yàn)闉?，是非奇非偶函?shù)，所以B不正確；對于C，，，是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以C正確；對于D，，，是偶函數(shù)，所以D不正確；故選：C.15.下列命題錯誤的是（）A.B.若，且，，則C.若，則D.若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立【答案】D【解析】對于A，，故A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B正確；對于C，由，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，由，則成立，故C正確；對于D，在數(shù)軸上數(shù)字與分別對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離為，若，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D錯誤.故選：D.16.數(shù)學(xué)必修二101頁介紹了海倫-秦九韶公式：我國南宋時期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長求三角形的面積的公式，與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí).一為從隔，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即，其中、、分別為內(nèi)角、、的對邊.若，，則面積的最大值為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】，，又，所以，所以，所以，所以，由正弦定理得的面積，，將看成整體并利用二次函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)即a=2時，的面積S有最大值為.故選：A.三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.（1）已知，為第二象限角，求和的值；（2）在中，角的對邊分別為、、，已知，，，求的面積和邊.解：（1）由于，為第二象限角，可得，所以可得；又易知；（2）由且，可得，所以的面積為；由余弦定理可得，可得.18.已知函數(shù)，.（1）①判斷函數(shù)的奇偶性，并用定義證明；②判斷函數(shù)的單調(diào)性，無需說明理由；（2）若恒成立，求的取值范圍.解：（1）①為定義域上的奇函數(shù)，證明如下：定義域，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，為奇函數(shù)；②在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，，且，則，，，且，，，，，，即，在上單調(diào)遞增；（2）由①知，為奇函數(shù)，等價于，由②知在上單調(diào)遞增，，解得或，不等式的解集為：；19.某地為慶祝中華人民共和國成立七十周年，在一個半徑為米、圓心角為60°的扇形草坪上，由數(shù)千人的表演團(tuán)隊(duì)手持光影屏組成紅旗圖案，已知紅旗圖案為矩形，其四個頂點(diǎn)中有兩個頂點(diǎn)、在線段上，另兩個頂點(diǎn)、分別在弧、線段上.（1）若，求此紅旗圖案面積；（精確到）（2）求組成的紅旗圖案的最大面積.（精確到）解：（1）由題意，則，，，，；（2）設(shè)，則，，，，，故當(dāng)時，即時，取得最大值．20.已知關(guān)于的不等式的解集為或．（1）求，的值；（2）當(dāng)，，且滿足時，有恒成立，求的取值范圍；（3）關(guān)于的不等式的解集中恰有5個正整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意可知，，且方程有兩個實(shí)數(shù)根，分別為和，則，得，則，得，所以，；（2），，所以，，，當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為8，不等式恒成立，即，即，解得：；（3），，不等式的解集中恰有5個正整數(shù)，即的解集中恰有5個正整數(shù)，即集合中恰有5個正整數(shù)，所以，解得：.21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若是增函數(shù)，求a的取值范圍；（3）證明：有最小值，且最小值小于．解：（1）當(dāng)時，，，，故，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）定義域?yàn)椋?，若是增函?shù)，則恒成立，故，即，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故，解得，a的取值范圍是（3）定義域?yàn)椋?，結(jié)合（2）可知，當(dāng)時，是增函數(shù)，故在處取得最小值，且最小值小于，當(dāng)時，令得，，該方程有兩個正實(shí)數(shù)