陜西省教育聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省教育聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】,，所以，故選：B．2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，則，所以.故選：A.3.已知雙曲線的漸近線方程為，且經(jīng)過點，則的標(biāo)準方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為雙曲線的漸近線方程為，故可設(shè)雙曲線方程為，又經(jīng)過點，故，故雙曲線方程為，故選：A4.“四書五經(jīng)”是我國9部經(jīng)典名著《大學(xué)》《論語》《中庸》《孟子》《周易》《尚書》《詩經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱．為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校計劃在讀書節(jié)活動期間舉辦“四書五經(jīng)”知識講座，每部名著安排1次講座，若要求《大學(xué)》《論語》《周易》均不相鄰，則排法種數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】先排《中庸》《孟子》《尚書》《詩經(jīng)》《禮記》《春秋》這6次經(jīng)典名著的講座，共有種排法；再從7個空位中選3個，排《大學(xué)》《論語》《周易》這3次講座，有種排法，故總共有種排法；故選：D.5.已知，，則（）A.8 B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以.故選：D.6.為弘揚我國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對全市所有中小學(xué)生進行了言語表達測試，經(jīng)過大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次言語表達測試成績服從，據(jù)此估計測試成績不小于94的學(xué)生所占的百分比為（）參考數(shù)據(jù)：A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，所以測試成績不小于94的學(xué)生所占的百分比為．故選：A．7.已知定義在R上的函數(shù)滿足，且f-1=2，則（）A. B.-2 C.4 D.2【答案】B【解析】因為且f-1=2，可得，由，可得，所以函數(shù)的一個周期為，則.故選：B.8.如圖，在直三棱柱中，，，點，分別為棱，上的動點（不包括端點），若，則三棱錐的體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在直三棱柱中，平面，故為三棱錐的高，設(shè)，，則，由，得，故，則，故，故當(dāng)時，三棱錐的體積有最大值．故選：D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知事件滿足，則下列說法正確的是（）A.若，則B若與互斥，則C.若，則與相互獨立D.若與相互獨立，則【答案】BC【解析】因為．所以．故A錯誤；若與互斥．則，故B正確；因為．所以與相互獨立．故C正確：因與相互獨立．所以．所以，故D錯誤．故選：BC．10.已知函數(shù)，若函數(shù)有6個不同的零點，且最小的零點為-1，則下列說法正確的是（）A.的所有零點之和是6 B.C. D.【答案】AB【解析】由函數(shù)的圖象，經(jīng)過軸翻折變換，可得函數(shù)的圖象，再向右平移1個單位，可得的圖象，最終經(jīng)過軸翻折變換，可得的圖象，如圖所示，則函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于直線對稱，令，因為函數(shù)最小的零點為，且，故當(dāng)時，方程gx=0有4所以要使函數(shù)有6個不同的零點，且最小的零點為，則或，由，可得或，設(shè)的四個根從小到大依次為，由函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于直線對稱，可得，所以的所有零點之和是6，故A正確；關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根為和，由韋達定理，得，，所以B正確，C?D錯誤.故選：AB.11.已知曲線的方程為是以點為圓心?1為半徑的圓位于軸右側(cè)的部分，則下列說法正確的是（）A.曲線的焦點坐標(biāo)為B.曲線過點C.若直線被所截得的線段的中點在上，則的值為D.若曲線在的上方，則【答案】BCD【解析】對于A中，由曲線，拋物線的焦點坐標(biāo)為，所以A錯誤；對于B中，圓的標(biāo)準方程為：，點代入圓的方程得，所以圓過點，所以B正確；對于C中，設(shè)被所截得的線段為，中點為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，故，所以，代入，可得，解得，所以C正確；對于D中如圖所示，曲線在的上方時，拋物線和圓無交點，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得，所以D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一組數(shù)據(jù)24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位數(shù)是____________．【答案】50【解析】先按照從小到大排序：15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78．共12個數(shù)據(jù)，，第9，10個數(shù)據(jù)分別為47，53，則第75百分位數(shù)為．13.在中，已知，為線段的中點，若，則______．【答案】【解析】根據(jù)題意，在中，已知，則，由于為線段的中點，則，又，、不共線，故，，所以．14.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且在軸右側(cè)的第一個零點為，當(dāng)時，曲線與的交點有__________個，【答案】6【解析】因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，可得，即，又因為，所以，因為在軸右側(cè)的第一個零點為所以，解得，所以，畫出與在區(qū)間上的圖象，如圖所示，由圖可知曲線與的交點有6個.故答案為：6.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對邊分別為.（1）求角；（2）若的面積為，求的長.解：（1）由，可得，因為所以，又由正弦定理得，根據(jù)余弦定理得，又因為，所以.（2）因為的面積為，可得，所以，由余弦定理可知，所以.16.已知函數(shù)在點1,f1處的切線與直線垂直.（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值.解：（1）因為，所以，則，因為函數(shù)在點1,f1處的切線與直線垂直，故，解得；（2）因為，所以，令，解得或，令f'x<0得或，令f'x列表如下：3f0+0↘極小值↗極大值↘故的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為，的極大值為，極小值為.17.如圖，已知平行六面體的所有棱長均相等，平面，為的中點，且.（1）求證：；（2）求平面與平面的夾角的正弦值.（1）證明：設(shè)是的中點，連接，因為是的中點，則.因為，所以，所以.因為平面，平面，所以，由平行六面體的性質(zhì)可得：，所以.又因為，平面，所以平面.又平面，所以.（2）解：因為平面，平面，所以，則四邊形是正方形，結(jié)合（1）的結(jié)論可知，，兩兩垂直，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：不妨設(shè)，則，，，，所以，，，.設(shè)平面一個法向量為m=x,y,z，則令，可得.設(shè)平面的一個法向量為n=a,b,c則，令，可得.設(shè)平面與平面夾角為，則.所以，即平面與平面的夾角的正弦值為.18.已知橢圓的左、右焦點分別為，，右頂點為，且，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準方程；（2）已知，是上兩點（點，不同于點），直線，分別交直線于，兩點，若，證明：直線過定點．解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意得，解得，故橢圓的標(biāo)準方程為.（2）由（1）知F1-1,0，由題意可知直線的斜率不為0，否則位于軸同側(cè)，，不符合題意；設(shè)的方程為，代入，得，由，設(shè)，則，所以，，直線的方程為，令，得，故，同理可得，所以，由，得，即，所以，所以，解得或（舍去），所以直線的方程為，故直線過定點.19.隨著大數(shù)據(jù)時代來臨，數(shù)據(jù)傳輸安全問題引起了人們高度關(guān)注，國際上常用的數(shù)據(jù)加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密鑰長度也不同，其中RSA的密鑰長度較長，用于傳輸敏感數(shù)據(jù).在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算法中的應(yīng)用.設(shè)p，q是兩個正整數(shù)，若p，q的最大公約數(shù)是1，則稱p，q互素.對于任意正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是不超過n且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)，記為.（1）試求，的值；（2）設(shè)p，q是兩個不同的素數(shù)，試用p，k表示（），并探究與和的關(guān)系；（3）設(shè)數(shù)列的通項公式為（），求該數(shù)列的前m項的和.解：（1）易得，不超過9且與9互素的正整數(shù)有1，2，4，5，7，8，則，不超過7且與7互素的正整數(shù)