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文檔簡介
2025屆浙江省臺州市聯(lián)誼五校高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知數(shù)列中,,且當(dāng)為奇數(shù)時,;當(dāng)為偶數(shù)時,.則此數(shù)列的前項的和為()A. B. C. D.2.設(shè),集合,則()A. B. C. D.3.公比為2的等比數(shù)列中存在兩項,,滿足,則的最小值為()A. B. C. D.4.已知等差數(shù)列中,,則()A.20 B.18 C.16 D.145.已知函數(shù)若對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.在中,點為中點,過點的直線與,所在直線分別交于點,,若,,則的最小值為()A. B.2 C.3 D.7.已知函數(shù),的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于,則的一條對稱軸是()A. B. C. D.8.要得到函數(shù)的圖像,只需把函數(shù)的圖像()A.向左平移個單位 B.向左平移個單位C.向右平移個單位 D.向右平移個單位9.設(shè)全集集合,則()A. B. C. D.10.?dāng)?shù)列的通項公式為.則“”是“為遞增數(shù)列”的()條件.A.必要而不充分 B.充要 C.充分而不必要 D.即不充分也不必要11.若非零實數(shù)、滿足,則下列式子一定正確的是()A. B.C. D.12.已知直線:與圓:交于,兩點,與平行的直線與圓交于,兩點,且與的面積相等,給出下列直線:①,②,③,④.其中滿足條件的所有直線的編號有()A.①② B.①④ C.②③ D.①②④二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.小李參加有關(guān)“學(xué)習(xí)強國”的答題活動,要從4道題中隨機抽取2道作答,小李會其中的三道題,則抽到的2道題小李都會的概率為_____.14.已知實數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值為_______.15.如圖,棱長為2的正方體中,點分別為棱的中點,以為圓心,1為半徑,分別在面和面內(nèi)作弧和,并將兩弧各五等分,分點依次為、、、、、以及、、、、、.一只螞蟻欲從點出發(fā),沿正方體的表面爬行至,則其爬行的最短距離為________.參考數(shù)據(jù):;;)16.函數(shù)f(x)=x2﹣xlnx的圖象在x=1處的切線方程為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)移動支付(支付寶及微信支付)已經(jīng)漸漸成為人們購物消費的一種支付方式,為調(diào)查市民使用移動支付的年齡結(jié)構(gòu),隨機對100位市民做問卷調(diào)查得到列聯(lián)表如下:(1)將上列聯(lián)表補充完整,并請說明在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡是否有關(guān)?(2)在使用移動支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進一步的問卷調(diào)查,從這10人隨機中選出3人頒發(fā)參與獎勵,設(shè)年齡都低于35歲(含35歲)的人數(shù)為,求的分布列及期望.(參考公式:(其中)18.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若,當(dāng)時,函數(shù),求函數(shù)的最小值.19.(12分)某學(xué)校為了解全校學(xué)生的體重情況,從全校學(xué)生中隨機抽取了100人的體重數(shù)據(jù),得到如下頻率分布直方圖,以樣本的頻率作為總體的概率.(1)估計這100人體重數(shù)據(jù)的平均值和樣本方差;(結(jié)果取整數(shù),同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)(2)從全校學(xué)生中隨機抽取3名學(xué)生,記為體重在的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,該校學(xué)生的體重近似服從正態(tài)分布.若,則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.試判斷該校學(xué)生的體重是否正常?并說明理由.20.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b(a2+c2﹣b2)=a2ccosC+ac2cosA.(1)求角B的大小;(2)若△ABC外接圓的半徑為,求△ABC面積的最大值.21.(12分)已知矩陣,,若矩陣,求矩陣的逆矩陣.22.(10分)為提供市民的健身素質(zhì),某市把四個籃球館全部轉(zhuǎn)為免費民用(1)在一次全民健身活動中,四個籃球館的使用場數(shù)如圖,用分層抽樣的方法從四場館的使用場數(shù)中依次抽取共25場,在中隨機取兩數(shù),求這兩數(shù)和的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)設(shè)四個籃球館一個月內(nèi)各館使用次數(shù)之和為,其相應(yīng)維修費用為元,根據(jù)統(tǒng)計,得到如下表的數(shù)據(jù):x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求與的回歸直線方程;②叫做籃球館月惠值,根據(jù)①的結(jié)論,試估計這四個籃球館月惠值最大時的值參考數(shù)據(jù)和公式:,
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)分組求和法,利用等差數(shù)列的前項和公式求出前項的奇數(shù)項的和,利用等比數(shù)列的前項和公式求出前項的偶數(shù)項的和,進而可求解.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時,,則數(shù)列奇數(shù)項是以為首項,以為公差的等差數(shù)列,當(dāng)為偶數(shù)時,,則數(shù)列中每個偶數(shù)項加是以為首項,以為公比的等比數(shù)列.所以.故選:A【點睛】本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前項和公式、等比數(shù)列的前項和公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
先化簡集合A,再求.【詳解】由得:,所以,因此,故答案為B【點睛】本題主要考查集合的化簡和運算,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和計算推理能力.3、D【解析】
根據(jù)已知條件和等比數(shù)列的通項公式,求出關(guān)系,即可求解.【詳解】,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,最小值為.故選:D.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式,注意為正整數(shù),如用基本不等式要注意能否取到等號,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項與公差,進而求得即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由得,解得.所以.故選:A【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】分析:先求導(dǎo),再對a分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再畫圖分析轉(zhuǎn)化對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有,得到關(guān)于a的不等式組,再解不等式組得到實數(shù)a的取值范圍.詳解:由題得.當(dāng)a<1時,,所以函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減,因為對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有,所以,所以故a≥1,與a<1矛盾,故a<1矛盾.當(dāng)1≤a<e時,函數(shù)f(x)在[0,lna]單調(diào)遞增,在(lna,1]單調(diào)遞減.所以因為對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有,所以,所以即令,所以所以函數(shù)g(a)在(1,e)上單調(diào)遞減,所以,所以當(dāng)1≤a<e時,滿足題意.當(dāng)a時,函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,因為對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有,所以,故1+1,所以故綜上所述,a∈.故選C.點睛:本題的難點在于“對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù),都有”的轉(zhuǎn)化.由于是函數(shù)的問題,所以我們要聯(lián)想到利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值、極值等)來分析解答問題.本題就是把這個條件和函數(shù)的單調(diào)性和最值聯(lián)系起來,完成了數(shù)學(xué)問題的等價轉(zhuǎn)化,找到了問題的突破口.6、B【解析】
由,,三點共線,可得,轉(zhuǎn)化,利用均值不等式,即得解.【詳解】因為點為中點,所以,又因為,,所以.因為,,三點共線,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立,所以的最小值為1.故選:B【點睛】本題考查了三點共線的向量表示和利用均值不等式求最值,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.7、D【解析】
由題,得,由的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于,可得最小正周期,從而求得,得到函數(shù)的解析式,又因為當(dāng)時,,由此即可得到本題答案.【詳解】由題,得,因為的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于,所以函數(shù)的最小正周期,則,所以,當(dāng)時,,所以是函數(shù)的一條對稱軸,故選:D【點睛】本題主要考查利用和差公式恒等變形,以及考查三角函數(shù)的周期性和對稱性.8、A【解析】
運用輔助角公式將兩個函數(shù)公式進行變形得以及,按四個選項分別對變形,整理后與對比,從而可選出正確答案.【詳解】解:.對于A:可得.故選:A.【點睛】本題考查了三角函數(shù)圖像平移變換,考查了輔助角公式.本題的易錯點有兩個,一個是混淆了已知函數(shù)和目標(biāo)函數(shù);二是在平移時,忘記乘了自變量前的系數(shù).9、A【解析】
先求出,再與集合N求交集.【詳解】由已知,,又,所以.故選:A.【點睛】本題考查集合的基本運算,涉及到補集、交集運算,是一道容易題.10、A【解析】
根據(jù)遞增數(shù)列的特點可知,解得,由此得到若是遞增數(shù)列,則,根據(jù)推出關(guān)系可確定結(jié)果.【詳解】若“是遞增數(shù)列”,則,即,化簡得:,又,,,則是遞增數(shù)列,是遞增數(shù)列,“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.故選:.【點睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷,涉及到根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
令,則,,將指數(shù)式化成對數(shù)式得、后,然后取絕對值作差比較可得.【詳解】令,則,,,,,因此,.故選:C.【點睛】本題考查了利用作差法比較大小,同時也考查了指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化,考查推理能力,屬于中等題.12、D【解析】
求出圓心到直線的距離為:,得出,根據(jù)條件得出到直線的距離或時滿足條件,即可得出答案.【詳解】解:由已知可得:圓:的圓心為(0,0),半徑為2,則圓心到直線的距離為:,∴,而,與的面積相等,∴或,即到直線的距離或時滿足條件,根據(jù)點到直線距離可知,①②④滿足條件.故選:D.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,涉及點到直線的距離公式.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
從四道題中隨機抽取兩道共6種情況,抽到的兩道全都會的情況有3種,即可得到概率.【詳解】由題:從從4道題中隨機抽取2道作答,共有種,小李會其中的三道題,則抽到的2道題小李都會的情況共有種,所以其概率為.故答案為:【點睛】此題考查根據(jù)古典概型求概率,關(guān)鍵在于根據(jù)題意準(zhǔn)確求出基本事件的總數(shù)和某一事件包含的基本事件個數(shù).14、【解析】
由虛數(shù)單位的性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件列式求得,的值,則答案可求.【詳解】解:由,,,所以,得,..故答案為:.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查虛數(shù)單位的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)空間位置關(guān)系,將平面旋轉(zhuǎn)后使得各點在同一平面內(nèi),結(jié)合角的關(guān)系即可求得兩點間距離的三角函數(shù)表達式.根據(jù)所給參考數(shù)據(jù)即可得解.【詳解】棱長為2的正方體中,點分別為棱的中點,以為圓心,1為半徑,分別在面和面內(nèi)作弧和.將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置,如下圖所示:則,所以;將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置,將繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置,如下圖所示:則,所以;因為,且由誘導(dǎo)公式可得,所以最短距離為,故答案為:.【點睛】本題考查了空間幾何體中最短距離的求法,注意將空間幾何體展開至同一平面內(nèi)求解的方法,三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,綜合性強,屬于難題.16、x﹣y=0.【解析】
先將x=1代入函數(shù)式求出切點縱坐標(biāo),然后對函數(shù)求導(dǎo)數(shù),進一步求出切線斜率,最后利用點斜式寫出切線方程.【詳解】由題意得.故切線方程為y﹣1=x﹣1,即x﹣y=0.故答案為:x﹣y=0.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的基本方法,利用切點滿足的條件列方程(組)是關(guān)鍵.同時也考查了學(xué)生的運算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)列聯(lián)表見解析,在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān);(2)分布列見解析,期望為.【解析】
(1)根據(jù)題中所給的條件補全列聯(lián)表,根據(jù)列聯(lián)表求出觀測值,把觀測值同臨界值進行比較,得到能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān).(2)首先確定的取值,求出相應(yīng)的概率,可得分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)根據(jù)題意及列聯(lián)表可得完整的列聯(lián)表如下:35歲以下(含35歲)35歲以上合計使用移動支付401050不使用移動支付104050合計5050100根據(jù)公式可得,所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān).(2)根據(jù)分層抽樣,可知35歲以下(含35歲)的人數(shù)為8人,35歲以上的有2人,所以獲得獎勵的35歲以下(含35歲)的人數(shù)為,則的可能為1,2,3,且,,,其分布列為123.【點睛】獨立性檢驗依據(jù)的值結(jié)合附表數(shù)據(jù)進行判斷,另外,離散型隨機變量的分布列,在求解的過程中,注意變量的取值以及對應(yīng)的概率要計算正確,注意離散型隨機變量的期望公式的使用,屬于中檔題目.18、(1)見解析(2)的最小值為【解析】
(1)由題可得函數(shù)的定義域為,,當(dāng)時,,令,可得;令,可得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,令,可得;令,可得或,所以函數(shù)在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,函數(shù)在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增.(2)方法一:當(dāng)時,,,設(shè),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.當(dāng)時,設(shè),則,所以,設(shè),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,且,,所以存在,使得,所以當(dāng)時,;當(dāng)時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,因為,,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以當(dāng)時,函數(shù)取得最小值,且,故函數(shù)的最小值為.方法二:當(dāng)時,,,則,令,,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,又,所以存在,使得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因為,所以當(dāng)時,恒成立,所以當(dāng)時,恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以函數(shù)的最小值為.19、(1)60;25(2)見解析,2.1(3)可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.見解析【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖可求出平均值和樣本方差;(2)由題意知服從二項分布,分別求出,,,,進而可求出分布列以及數(shù)學(xué)期望;(3)由第一問可知服從正態(tài)分布,繼而可求出的值,從而可判斷.【詳解】解:(1)(2)由已知可得從全校學(xué)生中隨機抽取1人,體重在的概率為0.7.隨機拍取3人,相當(dāng)于3次獨立重復(fù)實驗,隨機交量服從二項分布,則,,,,所以的分布列為:01230.0270.1890.4410.343數(shù)學(xué)期望(3)由題意知服從正態(tài)分布,則,所以可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.【點睛】本題考查了由頻率分布直方圖求進行數(shù)據(jù)估計,考查了二項分布,考查了正態(tài)分布.注意,統(tǒng)計類問題,如果題目中沒有特殊說明,則求出數(shù)據(jù)的精度和題目中數(shù)據(jù)的小數(shù)后位數(shù)相同.20、(1)B(2)【解析】
(1)由已知結(jié)合余弦定理,正
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