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山東省淄博第十中學(xué)2025屆高考沖刺押題(最后一卷)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體中的最長棱長為()A. B. C. D.2.已知,其中是虛數(shù)單位,則對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B. C. D.3.若兩個(gè)非零向量、滿足,且,則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.4.已知集合,則=A. B. C. D.5.某市氣象部門根據(jù)2018年各月的每天最高氣溫平均數(shù)據(jù),繪制如下折線圖,那么,下列敘述錯(cuò)誤的是()A.各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關(guān)B.全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C.全年中各月最低氣溫平均值不高于10°C的月份有5個(gè)D.從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢6.已知等差數(shù)列中,則()A.10 B.16 C.20 D.247.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),則f(x)的最小值為()A. B. C. D.8.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.9.設(shè)、是兩條不同的直線,、是兩個(gè)不同的平面,則的一個(gè)充分條件是()A.且 B.且 C.且 D.且10.若函數(shù)的圖象過點(diǎn),則它的一條對稱軸方程可能是()A. B. C. D.11.已知函數(shù),則()A.2 B.3 C.4 D.512.已知向量,,若,則()A. B. C.-8 D.8二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,則________.14.設(shè),則______.15.函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.16.如果橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸,短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一正三角形,焦點(diǎn)在x軸上,且=,那么橢圓的方程是.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖1,在邊長為4的正方形中,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),現(xiàn)將三角形沿翻折成如圖2所示的五棱錐.(1)求證:平面;(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某體育節(jié)目的收視情況,隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查,其中女性有55名,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖:將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?非體育迷體育迷合計(jì)男女1055合計(jì)(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).附:.P(K2≥k)0.050.01k3.8416.63519.(12分)在世界讀書日期間,某地區(qū)調(diào)查組對居民閱讀情況進(jìn)行了調(diào)查,獲得了一個(gè)容量為200的樣本,其中城鎮(zhèn)居民140人,農(nóng)村居民60人.在這些居民中,經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人,農(nóng)村居民有30人.(1)填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)?城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)經(jīng)常閱讀10030不經(jīng)常閱讀合計(jì)200(2)調(diào)查組從該樣本的城鎮(zhèn)居民中按分層抽樣抽取出7人,參加一次閱讀交流活動(dòng),若活動(dòng)主辦方從這7位居民中隨機(jī)選取2人作交流發(fā)言,求被選中的2位居民都是經(jīng)常閱讀居民的概率.附:,其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若正數(shù)、滿足,求證:.21.(12分)設(shè)的內(nèi)角、、的對邊長分別為、、.設(shè)為的面積,滿足.(1)求;(2)若,求的最大值.22.(10分)已知函數(shù),其中.(1)①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;②若滿足,且.求證:.(2)函數(shù).若對任意,都有,求的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)三視圖,可得該幾何體是一個(gè)三棱錐,并且平面SAC平面ABC,,過S作,連接BD,,再求得其它的棱長比較下結(jié)論.【詳解】如圖所示:由三視圖得:該幾何體是一個(gè)三棱錐,且平面SAC平面ABC,,過S作,連接BD,則,所以,,,,該幾何體中的最長棱長為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖還原幾何體,還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.2、C【解析】
利用復(fù)數(shù)相等的條件求得,,則答案可求.【詳解】由,得,.對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,考查復(fù)數(shù)相等的條件,是基礎(chǔ)題.3、A【解析】
設(shè)平面向量與的夾角為,由已知條件得出,在等式兩邊平方,利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得的值,即為所求.【詳解】設(shè)平面向量與的夾角為,,可得,在等式兩邊平方得,化簡得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值,考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.4、C【解析】
本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法,滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取數(shù)軸法,利用數(shù)形結(jié)合的思想解題.【詳解】由題意得,,則.故選C.【點(diǎn)睛】不能領(lǐng)會交集的含義易致誤,區(qū)分交集與并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.5、D【解析】
根據(jù)折線圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】由繪制出的折線圖知:在A中,各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關(guān),故A正確;在B中,全年中,2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大,故B正確;在C中,全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有1月,2月,3月,11月,12月,共5個(gè),故C正確;在D中,從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值,先上升后下降,故D錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了折線圖,意在考查學(xué)生的理解能力.6、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到,再計(jì)算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中,故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),是數(shù)列的??碱}型.7、A【解析】
先通過降冪公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為,再求最值.【詳解】已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),=,=,因?yàn)?,所以f(x)的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.8、A【解析】
利用已知條件畫出幾何體的直觀圖,然后求解幾何體的體積.【詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示,則該幾何體的體積為:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積,判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.9、B【解析】由且可得,故選B.10、B【解析】
把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入求出,然后驗(yàn)證各選項(xiàng).【詳解】由題意,,或,,不妨取或,若,則函數(shù)為,四個(gè)選項(xiàng)都不合題意,若,則函數(shù)為,只有時(shí),,即是對稱軸.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型復(fù)合函數(shù)的對稱軸,掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.11、A【解析】
根據(jù)分段函數(shù)直接計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)樗?故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12、B【解析】
先求出向量,的坐標(biāo),然后由可求出參數(shù)的值.【詳解】由向量,,則,,又,則,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模長的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用正弦定理將邊化角,即可容易求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理可知,,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化,屬基礎(chǔ)題.14、121【解析】
在所給的等式中令,,令,可得2個(gè)等式,再根據(jù)所得的2個(gè)等式即可解得所求.【詳解】令,得,令,得,兩式相加,得,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題的能力,屬于基礎(chǔ)題,難度較易.15、【解析】
求出的范圍,再由函數(shù)值為零,得到的取值可得零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】詳解:由題可知,或解得,或故有3個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
由題意可設(shè)橢圓方程為:∵短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一正三角形,焦點(diǎn)在軸上∴又,∴,∴橢圓的方程為,故答案為.考點(diǎn):橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,解三角形以及解方程組的相關(guān)知識.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)利用線面平行的定義證明即可(2)取的中點(diǎn),并分別連接,,然后,證明相應(yīng)的線面垂直關(guān)系,分別以,,為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解即可【詳解】證明:(1)在圖1中,連接.又,分別為,中點(diǎn),所以.即圖2中有.又平面,平面,所以平面.解:(2)在圖2中,取的中點(diǎn),并分別連接,.分析知,,.又平面平面,平面平面,平面,所以平面.又,所以,,.分別以,,為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,所以,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量,則,取,則,,所以.又,所以.分析知,直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明以及利用空間向量求解線面角問題,屬于基礎(chǔ)題18、(1)無關(guān);(2),.【解析】
(1)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100人中,“體育迷”有25人,從而可得列聯(lián)表如下:非體育迷體育迷合計(jì)男301545女451055合計(jì)7525100將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算,得.因?yàn)?.030<3.841,所以我們沒有充分理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān).(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25,將頻率視為概率,即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率.由題意知X~B(3,),從而X的分布列為X0123PE(X)=np==.D(X)=np(1-p)=19、(1)見解析,有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).(2)【解析】
(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表,然后計(jì)算出,與臨界值表中的數(shù)據(jù)對照后可得結(jié)論;(2)由題意得概率為古典概型,根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算可得所求.【詳解】(1)由題意可得:城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)經(jīng)常閱讀10030130不經(jīng)常閱讀403070合計(jì)14060200則,所以有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).(2)在城鎮(zhèn)居民140人中,經(jīng)常閱讀的有100人,不經(jīng)常閱讀的有40人.采取分層抽樣抽取7人,則其中經(jīng)常閱讀的有5人,記為、、、、;不經(jīng)常閱讀的有2人,記為、.從這7人中隨機(jī)選取2人作交流發(fā)言,所有可能的情況為,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共21種,被選中的位居民都是經(jīng)常閱讀居民的情況有種,所求概率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算,以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用,利用列舉法是解決本題的關(guān)鍵,考查學(xué)生的計(jì)算能力.對于古典概型,要求事件總數(shù)是可數(shù)的,滿足條件的事件個(gè)數(shù)可數(shù),使得滿足條件的事件個(gè)數(shù)除以總的事件個(gè)數(shù)即可,屬于中檔題.20、(1);(2)見解析【解析】
(1)等價(jià)于(Ⅰ)或(Ⅱ)或(Ⅲ),分別解出,再求并集即可;(2)利用基本不等式及可得,代入可得最值.【詳解】(1)等價(jià)于(Ⅰ)或(Ⅱ)或(Ⅲ)由(Ⅰ)得:由(Ⅱ)得:由(Ⅲ)得:.原不等式的解集為;(2),,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號,,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號,.【點(diǎn)睛】本題考查分類討論解絕對值不等式,考查三角不等式的應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用,是一道中檔題.21、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)條件形式選擇,然后利用余弦定理和正弦定理化簡,即可求出;(2)由(1)求出角,利用正弦定理和消元思想,可分別用角的三角函數(shù)值表示出,即可得到,再利用三角恒等變換,化簡為,即可求出最大值.【詳解】(1)∵,即,∴變形得:,整理得:,又,∴;(2)∵,∴,由正弦定理知,,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值.故的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理,余弦定理,三角形面積公式的應(yīng)用,以及利用三角恒等變換求函數(shù)的最值,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題22、(1)①單調(diào)遞增區(qū)間,,單調(diào)遞減區(qū)間;②詳見解析;(2).【解析】
(1)①求導(dǎo)可得,再分別求解與的解集,結(jié)合定義域分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.②根據(jù)(1)中的結(jié)論,求出的表達(dá)式,再分與兩種情況,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析的范圍即可.(2)求導(dǎo)分析的單調(diào)性,再結(jié)合單調(diào)性,設(shè)去絕對值化簡可得
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