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2025屆東北三省三校高考數(shù)學三模試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.費馬素數(shù)是法國大數(shù)學家費馬命名的,形如的素數(shù)(如:)為費馬索數(shù),在不超過30的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù),則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是()A. B. C. D.2.已知函數(shù)(),若函數(shù)有三個零點,則的取值范圍是()A. B.C. D.3.已知復數(shù)z,則復數(shù)z的虛部為()A. B. C.i D.i4.已知向量,且,則m=()A.?8 B.?6C.6 D.85.若復數(shù)(是虛數(shù)單位),則復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.如圖,網(wǎng)格紙是由邊長為1的小正方形構(gòu)成,若粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A. B. C. D.7.已知實數(shù)滿足則的最大值為()A.2 B. C.1 D.08.已知分別為雙曲線的左、右焦點,過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點,若,則雙曲線的離心率為()A. B.4 C.2 D.9.若是定義域為的奇函數(shù),且,則A.的值域為 B.為周期函數(shù),且6為其一個周期C.的圖像關(guān)于對稱 D.函數(shù)的零點有無窮多個10.已知函數(shù)則函數(shù)的圖象的對稱軸方程為()A. B.C. D.11.設(shè),是非零向量,若對于任意的,都有成立,則A. B. C. D.12.關(guān)于圓周率π,數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的浦豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā),我們也可以通過設(shè)計下面的實驗來估計的值:先請全校名同學每人隨機寫下一個都小于的正實數(shù)對;再統(tǒng)計兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù);最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)估計的值,那么可以估計的值約為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)實數(shù)滿足約束條件,則的最大值為______.14.已知橢圓,,若橢圓上存在點使得為等邊三角形(為原點),則橢圓的離心率為_________.15.根據(jù)如圖的算法,輸出的結(jié)果是_________.16.已知向量與的夾角為,||=||=1,且⊥(λ),則實數(shù)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=AA1,M,N分別是AC,B1C1的中點.求證:(1)MN∥平面ABB1A1;(2)AN⊥A1B.18.(12分)如圖,已知四棱錐,平面,底面為矩形,,為的中點,.(1)求線段的長.(2)若為線段上一點,且,求二面角的余弦值.19.(12分)某保險公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險,現(xiàn)從名參保人員中隨機抽取名作為樣本進行分析,按年齡段分成了五組,其頻率分布直方圖如下圖所示;參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費如下表所示.據(jù)統(tǒng)計,該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費用為一百萬元.年齡(單位:歲)保費(單位:元)(1)用樣本的頻率分布估計總體分布,為使公司不虧本,求精確到整數(shù)時的最小值;(2)經(jīng)調(diào)查,年齡在之間的老人每人中有人患該項疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費為元,如果參保,保險公司補貼治療費元.某老人年齡歲,若購買該項保險(取中的).針對此疾病所支付的費用為元;若沒有購買該項保險,針對此疾病所支付的費用為元.試比較和的期望值大小,并判斷該老人購買此項保險是否劃算?20.(12分)如圖,三棱錐中,,,,,.(1)求證:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)已知關(guān)于的不等式有解.(1)求實數(shù)的最大值;(2)若,,均為正實數(shù),且滿足.證明:.22.(10分)已知四棱錐中,底面為等腰梯形,,,,丄底面.(1)證明:平面平面;(2)過的平面交于點,若平面把四棱錐分成體積相等的兩部分,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
基本事件總數(shù),能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和只有,,,共有個,根據(jù)古典概型求出概率.【詳解】在不超過的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù),基本事件總數(shù)能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的只有,,,共有個則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是本題正確選項:【點睛】本題考查概率的求法,考查列舉法解決古典概型問題,是基礎(chǔ)題.2、A【解析】
分段求解函數(shù)零點,數(shù)形結(jié)合,分類討論即可求得結(jié)果.【詳解】作出和,的圖像如下所示:函數(shù)有三個零點,等價于與有三個交點,又因為,且由圖可知,當時與有兩個交點,故只需當時,與有一個交點即可.若當時,時,顯然??=??(??)與??=4|??|有一個交點??,故滿足題意;時,顯然??=??(??)與??=4|??|沒有交點,故不滿足題意;時,顯然??=??(??)與??=4|??|也沒有交點,故不滿足題意;時,顯然與有一個交點,故滿足題意.綜上所述,要滿足題意,只需.故選:A.【點睛】本題考查由函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍,屬中檔題.3、B【解析】
利用復數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出【詳解】,則復數(shù)z的虛部為.故選:B.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則、虛部的定義,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
由已知向量的坐標求出的坐標,再由向量垂直的坐標運算得答案.【詳解】∵,又,∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)=0,解得m=1.故選D.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算,考查向量垂直的坐標運算,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
將整理成的形式,得到復數(shù)所對應(yīng)的的點,從而可選出所在象限.【詳解】解:,所以所對應(yīng)的點為在第一象限.故選:A.【點睛】本題考查了復數(shù)的乘法運算,考查了復數(shù)對應(yīng)的坐標.易錯點是誤把當成進行計算.6、C【解析】
根據(jù)三視圖還原為幾何體,結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體可看作是半個圓柱和一個長方體的組合體,其中半圓柱的底面半圓半徑為1,高為4,長方體的底面四邊形相鄰邊長分別為1,2,高為4,所以該幾何體的表面積,故選C.【點睛】本題主要考查三視圖的識別,利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵,側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).7、B【解析】
作出可行域,平移目標直線即可求解.【詳解】解:作出可行域:由得,由圖形知,經(jīng)過點時,其截距最大,此時最大得,當時,故選:B【點睛】考查線性規(guī)劃,是基礎(chǔ)題.8、A【解析】
由已知得,,由已知比值得,再利用雙曲線的定義可用表示出,,用勾股定理得出的等式,從而得離心率.【詳解】.又,可令,則.設(shè),得,即,解得,∴,,由得,,,該雙曲線的離心率.故選:A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系,利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來,從而再由勾股定理建立的關(guān)系.9、D【解析】
運用函數(shù)的奇偶性定義,周期性定義,根據(jù)表達式判斷即可.【詳解】是定義域為的奇函數(shù),則,,又,,即是以4為周期的函數(shù),,所以函數(shù)的零點有無窮多個;因為,,令,則,即,所以的圖象關(guān)于對稱,由題意無法求出的值域,所以本題答案為D.【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì),主要是抽象函數(shù)的性質(zhì),運用數(shù)學式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.10、C【解析】
,將看成一個整體,結(jié)合的對稱性即可得到答案.【詳解】由已知,,令,得.故選:C.【點睛】本題考查余弦型函數(shù)的對稱性的問題,在處理余弦型函數(shù)的性質(zhì)時,一般采用整體法,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),是一道容易題.11、D【解析】
畫出,,根據(jù)向量的加減法,分別畫出的幾種情況,由數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】由題意,得向量是所有向量中模長最小的向量,如圖,當,即時,最小,滿足,對于任意的,所以本題答案為D.【點睛】本題主要考查了空間向量的加減法,以及點到直線的距離最短問題,解題的關(guān)鍵在于用有向線段正確表示向量,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
由試驗結(jié)果知對0~1之間的均勻隨機數(shù),滿足,面積為1,再計算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對,滿足條件的面積,由幾何概型概率計算公式,得出所取的點在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積,即可估計的值.【詳解】解:根據(jù)題意知,名同學取對都小于的正實數(shù)對,即,對應(yīng)區(qū)域為邊長為的正方形,其面積為,若兩個正實數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊,則有,其面積;則有,解得故選:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問題.線性規(guī)劃可行域是一個封閉的圖形,可以直接解出可行域的面積;求解與面積有關(guān)的幾何概型時,關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積,必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量,把變量看成點的坐標,找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
試題分析:作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖,當直線過點時,最大,且考點:線性規(guī)劃.14、【解析】
根據(jù)題意求出點N的坐標,將其代入橢圓的方程,求出參數(shù)m的值,再根據(jù)離心率的定義求值.【詳解】由題意得,將其代入橢圓方程得,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及幾何性質(zhì),屬于中檔題.15、55【解析】
根據(jù)該For語句的功能,可得,可得結(jié)果【詳解】根據(jù)該For語句的功能,可得則故答案為:55【點睛】本題考查For語句的功能,屬基礎(chǔ)題.16、1【解析】
根據(jù)條件即可得出,由即可得出,進行數(shù)量積的運算即可求出λ.【詳解】∵向量與的夾角為,||=||=1,且;∴;∴λ=1.故答案為:1.【點睛】考查向量數(shù)量積的運算及計算公式,以及向量垂直的充要條件.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】
(1)利用平行四邊形的方法,證明平面.(2)通過證明平面,由此證得.【詳解】(1)設(shè)是中點,連接,由于是中點,所以且,而且,所以與平行且相等,所以四邊形是平行四邊形,所以,由于平面,平面,所以平面.(2)連接,由于直三棱柱中,而,,所以平面,所以,由于,所以.由于四邊形是矩形且,所以四邊形是正方形,所以,由于,所以平面,所以.【點睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查線面垂直的證明,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.18、(1)的長為4(2)【解析】
(1)分別以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,設(shè),根據(jù)向量垂直關(guān)系計算得到答案.(2)計算平面的法向量為,為平面的一個法向量,再計算向量夾角得到答案.【詳解】(1)分別以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè),則,所以.,因為,所以,即,解得,所以的長為4.(2)因為,所以,又,故.設(shè)為平面的法向量,則即取,解得,所以為平面的一個法向量.顯然,為平面的一個法向量,則,據(jù)圖可知,二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了立體幾何中的線段長度,二面角,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.19、(1)30;(2),比較劃算.【解析】
(1)由頻率和為1求出,根據(jù)的值求出保費的平均值,然后解一元一次不等式即可求出結(jié)果,最后取近似值即可;(2)分別計算參保與不參保時的期望,,比較大小即可.【詳解】解:(1)由,解得.保險公司每年收取的保費為:∴要使公司不虧本,則,即解得∴.(2)①若該老人購買了此項保險,則的取值為∴(元).②若該老人沒有購買此項保險,則的取值為.∴(元).∴年齡為的該老人購買此項保險比較劃算.【點睛】本題考查學生利用相關(guān)統(tǒng)計圖表知識處理實際問題的能力,掌握頻率分布直方圖的基本性質(zhì),知道數(shù)學期望是平均數(shù)的另一種數(shù)學語言,為容易題.20、(1)證明見詳解;(2)【解析】
(1)取中點,根據(jù),利用線面垂直的判定定理,可得平面,最后可得結(jié)果.(2)利用建系,假設(shè)長度,可得,以及平面的一個法向量,然后利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【詳解】(1)取中點,連接,如圖由,所以由,平面所以平面,又平面所以(2)假設(shè),由,,.所以則,所以又,平面所以平面,所以,又,故建立空間直角坐標系,如圖設(shè)平面的一個法向量為則令,所以則直線與平面所成角的正弦值為【點睛】本題考查線面垂直、線線垂直的應(yīng)用,還考查線面角,學會使用建系的方法來解決立體幾何問題,將幾何問題代數(shù)化,化繁為簡,屬中檔題.21、(1);(2)見解析【解析】
(1)由題意,只需找到的最大值即可;(2),構(gòu)造并利用基本不等式可得,即.【詳解】(1),∴的最大值為4.關(guān)于的不等式有解等價于,(ⅰ)當時,上述不等式轉(zhuǎn)化為,解得,(ⅱ)當時,上述不等式轉(zhuǎn)化為,解得,綜上所述,實數(shù)的取值范圍為,則實數(shù)的最大值為3,即.(2)證明:根據(jù)(1)求解知,所以,又∵,,,,,當且僅當時,等號成立,即,∴,所以,.【點睛】本題考查絕對值不等式中的能成立問題以及綜合法證明不等式問題,是一道中檔題.22、(1)見證明;(2)【解析】
(1)先證明等腰梯形中,然后證明,即可得到丄平面,從
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