江西省贛州市寧都縣三中2025屆高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

江西省贛州市寧都縣三中2025屆高考數(shù)學(xué)四模試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.不等式的解集記為,有下面四個命題:;;;.其中的真命題是()A. B. C. D.2.已知某超市2018年12個月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示:根據(jù)該折線圖可知,下列說法錯誤的是()A.該超市2018年的12個月中的7月份的收益最高B.該超市2018年的12個月中的4月份的收益最低C.該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D.該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元3.已知等差數(shù)列的前項和為,若,則等差數(shù)列公差()A.2 B. C.3 D.44.設(shè)為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則實(shí)數(shù)的值是()A.1 B.-1 C.0 D.25.已知集合,,,則()A. B. C. D.6.關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論:()①是偶函數(shù);②在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù);③在上的最大值為2;④在區(qū)間上有4個零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的編號是()A.①②④ B.①③ C.①④ D.②④7.在直角坐標(biāo)平面上,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程則的取值范圍是()A. B. C. D.8.曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為()A.3 B.2 C. D.19.設(shè)F為雙曲線C:(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn).若|PQ|=|OF|,則C的離心率為A. B.C.2 D.10.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.11.已知函數(shù)是上的偶函數(shù),且當(dāng)時,函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),則,,的大小關(guān)系是()A. B.C. D.12.過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),且,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖所示,直角坐標(biāo)系中網(wǎng)格小正方形的邊長為1,若向量、、滿足,則實(shí)數(shù)的值為_______.14.實(shí)數(shù)滿足,則的最大值為_____.15.在中,角所對的邊分別為,,的平分線交于點(diǎn)D,且,則的最小值為________.16.若,則的最小值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)傳染病的流行必須具備的三個基本環(huán)節(jié)是:傳染源、傳播途徑和人群易感性.三個環(huán)節(jié)必須同時存在,方能構(gòu)成傳染病流行.呼吸道飛沫和密切接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑,為了有效防控新冠狀病毒的流行,人們出行都應(yīng)該佩戴口罩.某地區(qū)已經(jīng)出現(xiàn)了新冠狀病毒的感染病人,為了掌握該地區(qū)居民的防控意識和防控情況,用分層抽樣的方法從全體居民中抽出一個容量為100的樣本,統(tǒng)計樣本中每個人出行是否會佩戴口罩的情況,得到下面列聯(lián)表:戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020(1)能否有的把握認(rèn)為是否會佩戴口罩出行的行為與年齡有關(guān)?(2)用樣本估計總體,若從該地區(qū)出行不戴口罩的居民中隨機(jī)抽取5人,求恰好有2人是青年人的概率.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82818.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓的方程為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求和的極坐標(biāo)方程;(2)過且傾斜角為的直線與交于點(diǎn),與交于另一點(diǎn),若,求的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù).(1)若曲線存在與軸垂直的切線,求的取值范圍.(2)當(dāng)時,證明:.20.(12分)已知正實(shí)數(shù)滿足.(1)求的最小值.(2)證明:21.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,四邊形為正方形,點(diǎn)為線段上的點(diǎn),過三點(diǎn)的平面與交于點(diǎn).將①,②,③中的兩個補(bǔ)充到已知條件中,解答下列問題:(1)求平面將四棱錐分成兩部分的體積比;(2)求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求函數(shù)在處的切線方程;(2)若函數(shù)沒有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

作出不等式組表示的可行域,然后對四個選項一一分析可得結(jié)果.【詳解】作出可行域如圖所示,當(dāng)時,,即的取值范圍為,所以為真命題;為真命題;為假命題.故選:A【點(diǎn)睛】此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,著重考查作圖能力,熟練作圖,正確分析是關(guān)鍵,屬于中檔題.2、D【解析】

用收入減去支出,求得每月收益,然后對選項逐一分析,由此判斷出說法錯誤的選項.【詳解】用收入減去支出,求得每月收益(萬元),如下表所示:月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高,A選項說法正確;月收益最低,B選項說法正確;月總收益萬元,月總收益萬元,所以前個月收益低于后六個月收益,C選項說法正確,后個月收益比前個月收益增長萬元,所以D選項說法錯誤.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析,考查收益的計算方法,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出.【詳解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.4、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡,由復(fù)數(shù)的意義即可求得的值.【詳解】復(fù)數(shù),由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡可得,所以由復(fù)數(shù)定義可知,解得,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,復(fù)數(shù)的意義,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解.【詳解】解:,,,則故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)對四個結(jié)論逐一分析,由此得出正確結(jié)論的編號.【詳解】的定義域?yàn)?由于,所以為偶函數(shù),故①正確.由于,,所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù),所以②錯誤.當(dāng)時,,且存在,使.所以當(dāng)時,;由于為偶函數(shù),所以時,所以的最大值為,所以③錯誤.依題意,,當(dāng)時,,所以令,解得,令,解得.所以在區(qū)間,有兩個零點(diǎn).由于為偶函數(shù),所以在區(qū)間有兩個零點(diǎn).故在區(qū)間上有4個零點(diǎn).所以④正確.綜上所述,正確的結(jié)論序號為①④.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.7、B【解析】

由點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程,可得在圓上,由坐標(biāo)滿足方程,可得在圓上,則求出兩圓內(nèi)公切線的斜率,利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程,在圓上,在坐標(biāo)滿足方程,在圓上,則作出兩圓的圖象如圖,設(shè)兩圓內(nèi)公切線為與,由圖可知,設(shè)兩圓內(nèi)公切線方程為,則,圓心在內(nèi)公切線兩側(cè),,可得,,化為,,即,,的取值范圍,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于綜合題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系,通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法,尤其在解決選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效,大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是正確作出曲線圖象,充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠使問題化難為簡,并迎刃而解.8、A【解析】

根據(jù)題意,求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式,即可求出切線斜率,即可得出答案.【詳解】解:由于,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得:,即切線斜率,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?,所以上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為3.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及運(yùn)用基本不等式求最值,考查計算能力.9、A【解析】

準(zhǔn)確畫圖,由圖形對稱性得出P點(diǎn)坐標(biāo),代入圓的方程得到c與a關(guān)系,可求雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)與軸交于點(diǎn),由對稱性可知軸,又,為以為直徑的圓的半徑,為圓心.,又點(diǎn)在圓上,,即.,故選A.【點(diǎn)睛】本題為圓錐曲線離心率的求解,難度適中,審題時注意半徑還是直徑,優(yōu)先考慮幾何法,避免代數(shù)法從頭至尾,運(yùn)算繁瑣,準(zhǔn)確率大大降低,雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問題,需強(qiáng)化練習(xí),才能在解決此類問題時事半功倍,信手拈來.10、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,可得,然后利用復(fù)數(shù)模的概念,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:由,所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,考驗(yàn)計算,屬基礎(chǔ)題.11、D【解析】

利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得,再根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性可得正確的選項.【詳解】因?yàn)?,,?又,故.因?yàn)楫?dāng)時,函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),所以.因?yàn)闉榕己瘮?shù),故,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在大小比較中的應(yīng)用,比較大小時注意選擇合適的中間數(shù)來傳遞不等關(guān)系,本題屬于中檔題.12、B【解析】

設(shè)點(diǎn)、,并設(shè)直線的方程為,由得,將直線的方程代入韋達(dá)定理,求得,結(jié)合的面積求得的值,結(jié)合焦點(diǎn)弦長公式可求得.【詳解】設(shè)點(diǎn)、,并設(shè)直線的方程為,將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,消去得,由韋達(dá)定理得,,,,,,,,可得,,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,解得,則拋物線的方程為,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線焦點(diǎn)弦長的計算,計算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵,考查計算能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)圖示分析出、、的坐標(biāo)表示,然后根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量積為零計算出的取值.【詳解】由圖可知:,所以,又因?yàn)?,所以,所?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)表示以及坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量積運(yùn)算,難度較易.已知,若,則有.14、.【解析】

畫出可行域,解出可行域的頂點(diǎn)坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值,比較大小得到目標(biāo)函數(shù)最值.【詳解】解:作出可行域,如圖所示,則當(dāng)直線過點(diǎn)時直線的截距最大,z取最大值.由同理,,取最大值.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題.線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得,所以對于一般的線性規(guī)劃問題,若可行域是一個封閉的圖形,我們可以直接解出可行域的頂點(diǎn),然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值,從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值;若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值.15、9【解析】分析:先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解:由題意可知,,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得,化簡得,因此當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,則的最小值為.點(diǎn)睛:在利用基本不等式求最值時,要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會出現(xiàn)錯誤.16、8【解析】

根據(jù),利用基本不等式可求得函數(shù)最值.【詳解】,,當(dāng)且僅當(dāng)且,即時,等號成立.時,取得最小值.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式,構(gòu)造基本不等式的形式是解題關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)有的把握認(rèn)為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).(2)【解析】

(1)根據(jù)列聯(lián)表和獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式計算出觀測值,從而由參考數(shù)據(jù)作出判斷.(2)因?yàn)闃颖局谐鲂胁淮骺谡值木用裼?0人,其中年輕人有10人,用樣本估計總體,則出行不戴口罩的年輕人的概率為,是老年人的概率為.根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式即可求得結(jié)果.【詳解】(1)由題意可知,有的把握認(rèn)為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).(2)由樣本估計總體,出行不戴口罩的年輕人的概率為,是老年人的概率為.人未戴口罩,恰有2人是青年人的概率.【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)及獨(dú)立重復(fù)事件的概率求法,難度一般.18、(1);(2)【解析】

(1)直接利用轉(zhuǎn)換公式,把參數(shù)方程,直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化;(2)利用極坐標(biāo)方程將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解即可.【詳解】(1)因?yàn)?,所以的普通方程為,又,,,的極坐標(biāo)方程為,的方程即為,對應(yīng)極坐標(biāo)方程為.(2)由己知設(shè),,則,,所以,又,,當(dāng),即時,取得最小值;當(dāng),即時,取得最大值.所以,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角坐標(biāo)方程,參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化,三角函數(shù)的值域求解等知識,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.19、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)在上有解,,設(shè),求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值,得到答案.(2)證明,只需證,記,求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)的最小值,得到證明.【詳解】(1)由題可得,在上有解,則,令,,當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,單調(diào)遞減.所以是的最大值點(diǎn),所以.(2)由,所以,要證明,只需證,即證.記在上單調(diào)遞增,且,當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增.所以是的最小值點(diǎn),,則,故.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線問題,證明不等式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和轉(zhuǎn)化能力.20、(1);(2)見解析【解析】

(1)利用乘“1”法,結(jié)合基本不等式求得結(jié)果.(2)直接利用基本不等式及乘“1”法,證明即可.【詳解】(1)因?yàn)?,所以因?yàn)?,所以(?dāng)且僅當(dāng),即時等號成立),所以(2)證明:因?yàn)?,所以故(?dāng)且僅當(dāng)時,等號成立)【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用,考查了乘“1”法的技巧,考查了推理論證能力,屬于中檔題.21、(1);(2).【解析】

若補(bǔ)充②③根據(jù)已知可得平面,從而有,結(jié)合,可得平面,故有,而,得到,②③成立與①②相同,①③成立,可得,所以任意補(bǔ)充

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