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三明市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)復(fù)數(shù)z=,則|z|=()A. B. C. D.2.已知集合,則()A. B.C. D.3.中國(guó)古典樂器一般按“八音”分類.這是我國(guó)最早按樂器的制造材料來(lái)對(duì)樂器進(jìn)行分類的方法,最先見于《周禮·春官·大師》,分為“金、石、土、革、絲、木、匏(páo)、竹”八音,其中“金、石、木、革”為打擊樂器,“土、匏、竹”為吹奏樂器,“絲”為彈撥樂器.現(xiàn)從“八音”中任取不同的“兩音”,則含有打擊樂器的概率為()A. B. C. D.4.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,過原點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn),延長(zhǎng)交右支于點(diǎn),若,則雙曲線的離心率是()A. B. C. D.5.設(shè)函數(shù),則函數(shù)的圖像可能為()A. B. C. D.6.已知x,,則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.下列與函數(shù)定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是()A. B. C. D.8.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問題:“今有鱉臑(biēnaò),下廣五尺,無(wú)袤;上袤四尺,無(wú)廣;高七尺.問積幾何?”該幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體外接球的表面積為()A.平方尺 B.平方尺C.平方尺 D.平方尺9.已知向量,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.10.已知函數(shù),,若對(duì)任意的,存在實(shí)數(shù)滿足,使得,則的最大值是()A.3 B.2 C.4 D.511.已知空間兩不同直線、,兩不同平面,,下列命題正確的是()A.若且,則 B.若且,則C.若且,則 D.若不垂直于,且,則不垂直于12.如圖,是圓的一條直徑,為半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn),則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)f(x)=etx(t>0),過點(diǎn)P(t,0)且平行于y軸的直線與曲線C:y=f(x)的交點(diǎn)為Q,曲線C過點(diǎn)Q的切線交x軸于點(diǎn)R,若S(1,f(1)),則△PRS的面積的最小值是_____.14.曲線y=e-5x+2在點(diǎn)(0,3)處的切線方程為________.15.設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足,則不等式的解集為__________.16.在中,已知,,則A的值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.(12分)據(jù)《人民網(wǎng)》報(bào)道,美國(guó)國(guó)家航空航天局(NASA)發(fā)文稱,相比20年前世界變得更綠色了,衛(wèi)星資料顯示中國(guó)和印度的行動(dòng)主導(dǎo)了地球變綠.據(jù)統(tǒng)計(jì),中國(guó)新增綠化面積的來(lái)自于植樹造林,下表是中國(guó)十個(gè)地區(qū)在去年植樹造林的相關(guān)數(shù)據(jù).(造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復(fù)、人工更新的面積之和)單位:公頃地區(qū)造林總面積造林方式人工造林飛播造林新封山育林退化林修復(fù)人工更新內(nèi)蒙61848431105274094136006903826950河北5833613456253333313507656533643河南14900297647134292241715376133重慶2263331006006240063333陜西297642184108336026386516067甘肅325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629寧夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053(1)請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)分別寫出在這十個(gè)地區(qū)中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區(qū);(2)在這十個(gè)地區(qū)中,任選一個(gè)地區(qū),求該地區(qū)新封山育林面積占造林總面積的比值超過的概率;(3)在這十個(gè)地區(qū)中,從退化林修復(fù)面積超過一萬(wàn)公頃的地區(qū)中,任選兩個(gè)地區(qū),記X為這兩個(gè)地區(qū)中退化林修復(fù)面積超過六萬(wàn)公頃的地區(qū)的個(gè)數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.18.(12分)秉持“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念,為推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展,有必要調(diào)查研究新能源汽車市場(chǎng)的生產(chǎn)與銷售.下圖是我國(guó)某地區(qū)年至年新能源汽車的銷量(單位:萬(wàn)臺(tái))按季度(一年四個(gè)季度)統(tǒng)計(jì)制成的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中的值,并估計(jì)銷量的中位數(shù);(2)請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)新能源汽車平均每個(gè)季度的銷售量(同一組數(shù)據(jù)用該組中間值代表),并以此預(yù)計(jì)年的銷售量.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線:.過點(diǎn)的直線:(為參數(shù))與曲線相交于,兩點(diǎn).(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;(2)若,求實(shí)數(shù)的值.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓的方程為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求和的極坐標(biāo)方程;(2)過且傾斜角為的直線與交于點(diǎn),與交于另一點(diǎn),若,求的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù),為實(shí)數(shù),且.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間和極值;(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間,上的值域(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).22.(10分)已知函數(shù)的最大值為,其中.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)若求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
先用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn),然后用模長(zhǎng)公式求模長(zhǎng).【詳解】解:z====﹣﹣,則|z|====.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
先由得或,再計(jì)算即可.【詳解】由得或,,,又,.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集,補(bǔ)集的運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.3、B【解析】
分別求得所有基本事件個(gè)數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù),根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【詳解】從“八音”中任取不同的“兩音”共有種取法;“兩音”中含有打擊樂器的取法共有種取法;所求概率.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問題的求解,關(guān)鍵是能夠利用組合的知識(shí)求得基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù).4、D【解析】
設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,連接,,,設(shè),則,,,和中,利用勾股定理計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,連接,,,設(shè),則,,,,根據(jù)對(duì)稱性知四邊形為矩形,中:,即,解得;中:,即,故,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.5、B【解析】
根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)排除,再計(jì)算排除得到答案.【詳解】定義域?yàn)椋?,函?shù)為偶函數(shù),排除,排除故選【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像,通過函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性,特殊值排除選項(xiàng)是常用的技巧.6、D【解析】
,不能得到,成立也不能推出,即可得到答案.【詳解】因?yàn)閤,,當(dāng)時(shí),不妨取,,故時(shí),不成立,當(dāng)時(shí),不妨取,則不成立,綜上可知,“”是“”的既不充分也不必要條件,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件,必要條件的判定,屬于容易題.7、C【解析】
分析函數(shù)的定義域和單調(diào)性,然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋谏蠟闇p函數(shù).A選項(xiàng),的定義域?yàn)椋谏蠟樵龊瘮?shù),不符合.B選項(xiàng),的定義域?yàn)?,不符?C選項(xiàng),的定義域?yàn)椋谏蠟闇p函數(shù),符合.D選項(xiàng),的定義域?yàn)?,不符?故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個(gè)三棱錐,將三棱錐補(bǔ)充成一個(gè)長(zhǎng)方體,此長(zhǎng)方體的外接球就是該三棱錐的外接球,由球的表面積公式計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】由三視圖可得,該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐,為三棱錐外接球的球心,此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長(zhǎng)方體的外接球,所以為的中點(diǎn),設(shè)球半徑為,則,所以外接球的表面積,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積,關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖,找出外接球的球心位置和半徑,屬于中檔題.9、A【解析】
投影即為,利用數(shù)量積運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為,由題意,得,,所以,向量在向量方向上的投影為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考察了向量的數(shù)量積運(yùn)算,難度不大,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為,對(duì)于恒成立,然后構(gòu)造函數(shù),然后求出的范圍,進(jìn)一步得到的最大值.【詳解】,,對(duì)任意的,存在實(shí)數(shù)滿足,使得,易得,即恒成立,,對(duì)于恒成立,設(shè),則,令,在恒成立,,故存在,使得,即,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.,將代入得:,,且,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,零點(diǎn)存在定理和不等式恒成立問題,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.11、C【解析】因答案A中的直線可以異面或相交,故不正確;答案B中的直線也成立,故不正確;答案C中的直線可以平移到平面中,所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直,是正確的;答案D中直線也有可能垂直于直線,故不正確.應(yīng)選答案C.12、B【解析】
連接、,即可得到,,再根據(jù)平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律計(jì)算可得;【詳解】解:連接、,,是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn),,且,所以四邊形為棱形,.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算律的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
計(jì)算R(t,0),PR=t﹣(t),△PRS的面積為S,導(dǎo)數(shù)S′,由S′=0得t=1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸,P(t,0),∴Q(t,f(t))即Q(t,),又f(x)=etx(t>0)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=tetx,∴過Q的切線斜率k=t,設(shè)R(r,0),則k,∴r=t,即R(t,0),PR=t﹣(t),又S(1,f(1))即S(1,et),∴△PRS的面積為S,導(dǎo)數(shù)S′,由S′=0得t=1,當(dāng)t>1時(shí),S′>0,當(dāng)0<t<1時(shí),S′<0,∴t=1為極小值點(diǎn),也為最小值點(diǎn),∴△PRS的面積的最小值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.14、.【解析】
先利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率,再寫出切線方程.【詳解】因?yàn)閥′=-5e-5x,所以切線的斜率k=-5e0=-5,所以切線方程是:y-3=-5(x-0),即y=-5x+3.故答案為y=-5x+3.【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的求導(dǎo),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率,相應(yīng)的切線方程是15、【解析】
根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)F(x),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)F(x),則F′(x),∵,∴F′(x)>0,即函數(shù)F(x)在定義域上單調(diào)遞增.∵∴,即F(x)<F(2x)∴,即x>1∴不等式的解為故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用,根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.16、【解析】
根據(jù)正弦定理,由可得,由可得,將代入求解即得.【詳解】,,即,,,則,,,,則.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和二倍角的正弦公式,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、(1)人工造林面積與總面積比最大的地區(qū)為甘肅省,人工造林面積與總面積比最小的地區(qū)為青海??;(2);(3)分布列見詳解,數(shù)學(xué)期望為【解析】
(1)通過數(shù)據(jù)的觀察以及計(jì)算人工造林面積與造林總面積比值,可得結(jié)果.(2)通過數(shù)據(jù)的觀察以及計(jì)算新封山育林面積與造林總面積比值,得出比值超過的地區(qū)個(gè)數(shù),然后可得結(jié)果.(3)計(jì)算退化林修復(fù)面積超過一萬(wàn)公頃的地區(qū)中選兩個(gè)地區(qū)總數(shù),退化林修復(fù)面積超過六萬(wàn)公頃的地區(qū)的個(gè)數(shù)為,列出所有取值并計(jì)算相應(yīng)概率,然后可得結(jié)果.【詳解】(1)人工造林面積與總面積比最大的地區(qū)為甘肅省,人工造林面積與總面積比最小的地區(qū)為青海省.(2)記事件A:在這十個(gè)地區(qū)中,任選一個(gè)地區(qū),該地區(qū)新封山育林面積占總面積的比值超過根據(jù)數(shù)據(jù)可知:青海地區(qū)人工造林面積占總面積比超過,則(3)退化林修復(fù)面積超過一萬(wàn)公頃有6個(gè)地區(qū):內(nèi)蒙、河北、河南、重慶、陜西、新疆,其中退化林修復(fù)面積超過六萬(wàn)公頃有3個(gè)地區(qū):內(nèi)蒙、河北、重慶,所以X的取值為0,1,2所以,,隨機(jī)變量X的分布列如下:【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)據(jù)的處理以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望,審清題意,細(xì)心計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.18、(1),中位數(shù)為;(2)新能源汽車平均每個(gè)季度的銷售量為萬(wàn)臺(tái),以此預(yù)計(jì)年的銷售量約為萬(wàn)臺(tái).【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可計(jì)算出的值,利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得銷量的中位數(shù)的值;(2)利用每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以相應(yīng)矩形的面積,相加可得出銷量的平均數(shù),由此可預(yù)計(jì)年的銷售量.【詳解】(1)由于頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為,則,解得,由于,因此,銷量的中位數(shù)為;(2)由頻率分布直方圖可知,新能源汽車平均每個(gè)季度的銷售量為(萬(wàn)臺(tái)),由此預(yù)測(cè)年的銷售量為萬(wàn)臺(tái).【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率分布直方圖求參數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1),;(2).【解析】
(1)將代入求解,由(為參數(shù))消去即可.(2)將(為參數(shù))與聯(lián)立得,設(shè),兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為,,則,,再根據(jù),即,利用韋達(dá)定理求解.【詳解】(1)把代入,得,由(為參數(shù)),消去得,∴曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程分別是,.(2)將(為參數(shù))代入得,設(shè),兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為,,則,,由得,所以,即,所以,而,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和直線參數(shù)方程的應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.20、(1);(2)【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換公式,把參數(shù)方程,直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化;(2)利用極坐標(biāo)方程將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解即可.【詳解】(1)因?yàn)椋缘钠胀ǚ匠虨?,又,,,的極坐標(biāo)方程為,的方程即為,對(duì)應(yīng)極坐標(biāo)方程為.(2)由己知設(shè),,則,,所以,又,,當(dāng),即時(shí),取得最小值;當(dāng),即時(shí),取得最大值.
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