2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古科左中旗民族高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古科左中旗民族高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．已知全集，集合，，則（

）A． B．C． D．2．函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．3．已知為虛數(shù)單位，若，則（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．5．函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．6．如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，則等于（）A． B．C． D．7．若，且，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．8．下列比大小正確的是（

）A． B．C． D．多選題（共3小題，每小題6分，共18分。每小題給出的備選答案中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題意的。全部選對(duì)得6分，不分選對(duì)得3分，選錯(cuò)或不選的0分。）9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．命題“，”是真命題B．已知關(guān)于的不等式的解集為，則C．函數(shù)的最小值為6D．“”是“關(guān)于的方程有一正根和一負(fù)根”的充要條件10．已知函數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是B．若在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是C．若在上的值域?yàn)?，則的取值范圍是D．若在上有最大值，沒有最小值，則的取值范圍是11．已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．的最小正周期為πC．的最大值為 D．在上單調(diào)遞增三、填空題（本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分）12．已知函數(shù)，則在處切線方程為.13．若，則．14．已知，滿足，，則.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．）15．已知全集，集合求：(1).(2).(3).16．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論方程（）解的個(gè)數(shù).17．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，．(1)求和的值；(2)求的值．18．如圖，在直三棱柱中，，，是中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值；19．已知函數(shù)．(1)求的最小正周期；(2)求的單調(diào)性；(3)求的最大值以及取得最大值時(shí)的集合；高三數(shù)學(xué)第三次月考答案題號(hào)12345678910答案ADCACBADBDACD題號(hào)11答案AC1．A【分析】根據(jù)并集、補(bǔ)集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所?故選：A2．D【分析】當(dāng)時(shí)，，可排除A、B、C；當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得D選項(xiàng)符合要求.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故A、B、C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，若，則，且在上單調(diào)遞增，D選項(xiàng)不符合；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，若，則，D選項(xiàng)符合；故函數(shù)的圖象可能是D.故選：D.3．C【分析】舉反例排除ABD，利用不等式的性質(zhì)判斷C，從而得解.【詳解】因?yàn)?，且，?duì)于A，取，滿足，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取，滿足，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，即，故C正確；對(duì)于D，取，則，故D錯(cuò)誤.故選：C.4．A【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合的圖象性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】，由的圖象可知在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，故A正確，BCD均錯(cuò)誤.故選：A.5．C【分析】將題干等式兩邊同時(shí)平方，再結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系與二倍角公式即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?故選：C.6．B【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得.故選：B.7．A【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】由得，，故.故選：A.8．D【分析】構(gòu)造函數(shù)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷A,化簡(jiǎn)函數(shù)構(gòu)造函數(shù)后應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性判斷B,應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)判斷C,計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于A:設(shè),當(dāng)在上單調(diào)遞增，所以,所以,A錯(cuò)誤；對(duì)于B:設(shè)，當(dāng)在上單調(diào)遞增，當(dāng)在0,+∞上單調(diào)遞減,所以,所以,當(dāng)取所以,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C:因?yàn)椋珻錯(cuò)誤；對(duì)于D:因?yàn)?D選項(xiàng)正確.故選：D.9．BD【分析】對(duì)于A：舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于B：可知：的兩根為，且，利用韋達(dá)定理分析判斷；對(duì)于C：換元，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)一元二次方程結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：例如，但，可知命題“，”是假命題，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：由題意可知：的兩根為，且，則，可得，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：令，可得，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：若，則，可知方程有2個(gè)不相等的實(shí)根，且，所以方程有一正根和一負(fù)根，即充分性成立；若方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)為，則，即必要性成立；綜上所述：“”是“關(guān)于的方程有一正根和一負(fù)根”的充要條件，故D正確；故選：BD.10．ACD【分析】把的范圍求出來(lái)，看成一個(gè)整體，再利用正弦曲線的性質(zhì)，即可得到范圍的判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，又在上單調(diào)遞增，所以，可得，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，若在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意得，即，故C正確；對(duì)于D，由題意得，解得，故D正確.故選：ACD.11．AC【分析】由偶函數(shù)的定義可得選項(xiàng)A正確；根據(jù)可得選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)，結(jié)合倍角公式可得選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)可化為，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)?，，所以，為偶函?shù)，選項(xiàng)A正確．因?yàn)椋淖钚≌芷诓粸棣羞x項(xiàng)，B錯(cuò)誤．，選項(xiàng)C正確．，，，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC.12．【分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出以及，最后利用點(diǎn)斜式求出切線方程即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，，所以在處切線方程的斜率，即切線方程為.故答案為.13．【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式求解.【詳解】因?yàn)?故14．/0.6【分析】將兩式平方相加，可得，平方相減，可得與的關(guān)系，結(jié)合和差化積公式把化成，可得的值.【詳解】因?yàn)?，所以，，相加得，即，所以，相減得，又，，所以，所以，所以，解得.故方法點(diǎn)睛：已知，求值的問(wèn)題，通常對(duì)已知的兩式有如下處理方式：（1）兩式平方相加，可得的值.（2）兩式相乘，利用和差化積公式，結(jié)合（1）中的值，可求的值.（3）兩式平方相減，結(jié)合和差化積公式，結(jié)合（1）中的值，可求的值.15．(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）根據(jù)集合的交集，并集，補(bǔ)集的定義，計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意，所以.（2）因?yàn)?，所?（3）因?yàn)?，所?16．(1)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)詳見解析.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系可得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值和極小值，由此討論出在對(duì)應(yīng)取值范圍內(nèi)方程解的個(gè)數(shù).【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，由f′x<0，可得，由，可得或x>0，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由（1）可知函數(shù)在，0,+∞上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴在時(shí)函數(shù)取極大值：；在時(shí)函數(shù)取極小值：，又∵，，∴，可得函數(shù)的大致圖象，

∴當(dāng)時(shí)，有0個(gè)解；當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)解；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)解；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)解.17．(1)，．(2)【分析】（1）由余弦定理求，再由正弦定理求出即可；（2）由二倍角的正、余弦公式及兩角和的正弦公式得解.【詳解】（1）在中，由，得．由已知及余弦定理，得，所以．由正弦定理，得．所以的值為，的值為．（2）由（1）及，得，所以，．所以．18．(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，易證，再由線面平行的判定證結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值；（3）根據(jù)（2）所得空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求點(diǎn)面距.【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，直棱柱中，顯然是中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，故，面，面，則面.（2）由直三棱柱中，故可構(gòu)建如圖所示空間直角坐標(biāo)系，所以面的一個(gè)法向量為，又，所以，若是面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值.（3）由，則，則點(diǎn)到平面的距離.19．(1)(2)詳見解析(3)詳見解析【分析】（1）先化簡(jiǎn)函數(shù)的的解析式，再利用公式即可求得的最小正周期；（2）先求得的最大值，再利用整體代入法即可求得取最大值時(shí)的集合；（3）利用代入法即可求得在上的單調(diào)性【詳解】（1）則的最小正周期（2）由，得則當(dāng)，時(shí)，取得最大值故的最大值為，取得最大值時(shí)的集合為；（3）由，可得，由，得，則在單調(diào)遞增；由，得，則在單調(diào)遞減故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為科左中旗民族職?！?shí)驗(yàn)高中2024-2025學(xué)年度上學(xué)期高三數(shù)學(xué)學(xué)科期中考試試題解析一、單選題123456DCCBBD7891011DDACDACDAD二、填空題120./6三、全部解析1．D【分析】借助導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算即可得.【詳解】，則，解得.故選：D.2．C【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合計(jì)算，并且需要分類討論．【詳解】且，，又，，解得：或，當(dāng)，則，則；當(dāng)，則（舍去）；故選：C．3．C【分析】判斷向量是否共線，即可判斷向量是否作為基底．【詳解】、是平面內(nèi)所有向量的一組基底，與，不共線，可以作為基底，與，不共線，可以作為基底，，故與共線，不可以作為基底，與，不共線，可以作為基底，故選：C．4．B【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)即可求解.【詳解】等比數(shù)列中，各項(xiàng)均為正數(shù)，，則，所以與的等比中項(xiàng)為.故選：B.5．B【分析】解一元二次不等式可得，再由交集、并集運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】解不等式可得；又可知，可知A錯(cuò)誤，B正確；，即可得C錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤.故選：B6．D【分析】根據(jù)線面垂直可得，故可求參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)椋?，故存在?shí)數(shù)，使得，故，故，故選：D.7．D【分析】根據(jù)給定條件，利用平均數(shù)、眾數(shù)、方差、中位數(shù)的意義判斷即得.【詳解】依題意，第9名成績(jī)居于17名學(xué)生成績(jī)的中間位置，平均數(shù)是17名學(xué)生成績(jī)的平均值，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，方差反應(yīng)17名學(xué)生成績(jī)的波動(dòng)大小，它們與成績(jī)的位置關(guān)系不大，而中位數(shù)是17名學(xué)生成績(jī)按由小到大排列，最中間位置的數(shù)，所以除了需要了解自己的成績(jī)，還需要了解這17名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù).故選：D.8．D【分析】利用乘法運(yùn)算先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再利用求模公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，故選：D.9．BC【分析】化簡(jiǎn)各選項(xiàng)中的集合，利用集合相等的定義直接判斷．【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A不滿足條件；對(duì)于B選項(xiàng)，，B滿足條件；對(duì)于C選項(xiàng)，，C滿足條件；對(duì)于D選項(xiàng)，，D不滿足條件.故選：BC.10．ACD【分析】根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，且橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，頂點(diǎn)為，焦距為8，離心率.故選：ACD11．AB【分析】利用不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋坏仁絻蛇呁?，可得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，又，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，又，所以，故C不正確；對(duì)于D，令，則，解得，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故D不正確.故選：AB.12．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的解析式有意義，列出不等式組，即可求解.【詳解】由函數(shù)有意義，則滿足，可得，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為.13．【分析】由特稱命題的否定得到真命題，再求的最小值即可.【詳解】命題“”是假命題等價(jià)于命題“”是真命題．故，從而實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為.14．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，求出，然后將不等式進(jìn)行參變量分離，將恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，通過(guò)換元，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，從而得解.【詳解】因?yàn)?，，則，所以，，又不等式恒成立，且，可得，令，則原題意等價(jià)于對(duì)一切，恒成立，當(dāng)時(shí)，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.15．(1)(2)【分析】（1）化簡(jiǎn)集合，將原問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換為，對(duì)集合是否是空集進(jìn)行分類討論，由此即可得解；（2）首先，即，然后再根據(jù)題意列出不等式即可求解.【詳解】（1），，若，則，情形一：若，則，此時(shí)滿足，故符合題意；情形二：若，則首先，其次還要滿足，所以；綜上所述，滿足題意的m的取值范圍是；（2）若，則首先，即，其次還需滿足或，解得或，綜上所述，滿足題意的的取值范圍為.16．(1)不動(dòng)點(diǎn)為和；(2).【分析】（1）根據(jù)題意得到，解該一元二次方程即可得解；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得到，且，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）令，可得，可得，解得，所以二次函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為和.（2）二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的不動(dòng)點(diǎn)，且，則方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，即方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，所以，且，因?yàn)?，即，解得，可得，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得f′x，然后分與討論，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1），，，，所以的圖象在點(diǎn)1,f1處的切線方程為，即.（2），則，當(dāng)時(shí)，f′x>0，即在0,+當(dāng)時(shí)，，與題意不符.當(dāng)時(shí)，，f′x>0，在上單調(diào)遞增；，f′x<0，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，取得最大值，且為.由題意可得，解得.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18．(1)答案見解析(2)(3)切去的正方形邊長(zhǎng)為時(shí)，才能使盒子的容積最大，【分析】（1）由題意得，當(dāng)，，即可求解；（2）由（1），當(dāng)時(shí)，，即可求解；（3）設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為，得到盒子的容積為則，利用不等式，即可求解