2024-2025學(xué)年江西省新余市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年江西省新余市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的傾斜角為（

）A．0° B．90° C．180° D．不存在2．平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡為（

）A．線(xiàn)段 B．圓 C．橢圓 D．無(wú)軌跡3．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．4．直線(xiàn)和直線(xiàn)在同一坐標(biāo)系中可能是（

）A．B． C． D．5．已知圓與圓相交所得的公共弦長(zhǎng)為，則圓的半徑（

）A． B． C．或1 D．6.已知在所有礦石中含有某種稀有元素的概率約為0.01，小郅與小祥同學(xué)有一把探測(cè)器可識(shí)別該稀有元素且準(zhǔn)確率高達(dá)0.9（即有0.1的概率對(duì)不含有該稀土元素的礦石作出反應(yīng)）.在某次探索實(shí)踐任務(wù)中，他們共同發(fā)現(xiàn)了一堆由探測(cè)器檢驗(yàn)含有該元素的礦石，但是否真的含有該元素則需進(jìn)一步檢驗(yàn)，再回實(shí)驗(yàn)室途中，小祥提出用2000元向小郅賣(mài)出所有礦石，若礦石中真實(shí)含有該元素，則價(jià)值約10000元，否則將一文不值.若小郅同學(xué)出錢(qián)購(gòu)買(mǎi)，則他獲得利潤(rùn)的均值約為：（）元.A.-B.-0B.-1100C.2200D.70007.設(shè)，，，則的大小關(guān)系為：（）.A.B.C.D.8.現(xiàn)有一三棱錐，，為其外接球（四個(gè)頂點(diǎn)均在球的球面上）球心，，，平面恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn).設(shè)平面截球的截面為，截面中心為，若，，為上一點(diǎn)，則取最大值時(shí)，（）.A.B.C. D.二、多選題（共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．）9．已知曲線(xiàn)：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，，則是兩條直線(xiàn)B．若，則是圓，其半徑為C．若，則是橢圓D．若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上10.已知首項(xiàng)均為的等差數(shù)列和等比數(shù)列，的公差恰好為公比的倒數(shù)，若恒成立，則的取值可以是：（）.A.B.C. D.11.在長(zhǎng)、寬、高分別為1、1、2的長(zhǎng)方體中任取3個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成平面，則該長(zhǎng)方體在上的投影面積可能是：（）.B.C. D.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被圓：所截得的弦最短時(shí)的直線(xiàn)的方程為．13.已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，焦點(diǎn)為，動(dòng)圓與相切，若經(jīng)過(guò)總存在直線(xiàn)與相切，則的取值范圍是：.14．設(shè)分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)，若，則直線(xiàn)的斜率為。四、解答題（本題共5小題，共77分）15．（13分）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，為上一點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為上一點(diǎn)，且，求的面積.16．(15分)在平行四邊形中，，，邊，所在直線(xiàn)的方程分別為和．(1)求邊所在直線(xiàn)的方程和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；(2)求過(guò)點(diǎn)且在軸和軸截距相等的直線(xiàn)方程．17.（15分）已知數(shù)列滿(mǎn)足,.的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)積為.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列并求出其通項(xiàng).(2)已知，求證.18.（17分）橢圓的光學(xué)性質(zhì)在物理學(xué)中有主要應(yīng)用：如圖1，在橢圓上有一點(diǎn)，分別為其左、右焦點(diǎn)，過(guò)作直線(xiàn)與切于，則直線(xiàn)與的夾角大小相等.(1)求證：的方程為：；(2)如圖2：在（1）的基礎(chǔ)上，雙曲線(xiàn)的離心率為且與有相同焦點(diǎn)，不與、的交點(diǎn)重合，與交于兩點(diǎn)，過(guò)分別作的切線(xiàn)交于.求證：（?。áⅲ?9.（17分）已知某類(lèi)數(shù)集中有個(gè)元素，這些元素的和為且它們的某種排列可以構(gòu)成等差數(shù)列，我們就稱(chēng)這樣的集合為“好集”.對(duì)于一系列互不相同的正整數(shù)，若好集滿(mǎn)足：，，中的元素個(gè)數(shù)至多為1，且存在某些使它們的并集（）中元素的某種排列也為等差數(shù)列，我們就稱(chēng)可以構(gòu)成“優(yōu)集合”.特別的，規(guī)定下標(biāo)最小的好集.證明：好集可以構(gòu)成優(yōu)集合.若好集可以構(gòu)成優(yōu)集合，證明：不全為偶數(shù).若好集可以構(gòu)成優(yōu)集合，試判斷是否能為以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列？若能，請(qǐng)求出所有的通項(xiàng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.答案：題號(hào)12345678答案BAABCBAD題號(hào)91011答案ADACDABC13．14.-47.注：構(gòu)造函數(shù)：比較；而與的比較與的比較與的比較，所以可以構(gòu)造比較；15．【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，因?yàn)?，可得，所以，則，，由橢圓的定義可得，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；——8分（2）因?yàn)?，所以，所以，所?——13分16．【詳解】（1）在平行四邊形中，，由邊所在直線(xiàn)，可設(shè)邊所在的直線(xiàn)方程為，將代入上式，則，解得，則；由點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.——7分（2）由（1）可知邊所在的直線(xiàn)，由題意可知邊所在的直線(xiàn)，聯(lián)立可得，解得，可得，——10分過(guò)的直線(xiàn)設(shè)為，令時(shí)，，令時(shí)，，則，整理可得，，解得或，可得或.——15分17．（1），配湊成該形式即可證明，這里從略；（4分）（2）一方面：可以將寫(xiě)成：，然后分情況：①時(shí)，，成立，（5分）②時(shí)，，而，（8分）所以：，累乘得：.（9分）注意：也可以使用數(shù)學(xué)歸納法.另一方面：由題意：，所以，（13分）累加得：，再累乘得.（15分）同樣的，亦可使用數(shù)學(xué)歸納法.18．（1）聯(lián)立判別式為0即可（注意，這里出現(xiàn)的方程在下面的問(wèn)題中可以直接使用）（3分）（2）（?。┫惹蟪龅姆匠虨椋海?分）再用與聯(lián)立，設(shè)，得到，（8分），同（1）寫(xiě)出的方程，得到其斜率之積即可；（10分）（ⅱ）聯(lián)立兩切線(xiàn)得到，（12分）于是，用兩點(diǎn)之間距離公式計(jì)算，，，（14分）由此可以證明證明：，再由光學(xué)性質(zhì)得到（15分），從而證明與相似，從而推出結(jié)論.（17分）19.解：（1），，，（答案不唯一） 3分（2）證：由于集合公差不影響結(jié)果，不妨設(shè)其公差為2.記，由等差數(shù)列的性質(zhì)：若全為偶數(shù)，則為偶數(shù) 4分，而中的元素同樣滿(mǎn)足上述性質(zhì)，所以互為相反數(shù)的元素一定屬于同一集合 5分而，所以中必有一個(gè)集合的元素公差為2，且公差必為偶數(shù) 6分不妨設(shè)，，①的公差為2：則中有一個(gè)公差為，那么另一個(gè)集合元素公差為且與中至少有一個(gè)不為，不妨設(shè)，則中至少有一個(gè)集合必然存在公差為2和或的項(xiàng)，這與中的元素的某種排列為等差數(shù)列矛盾，舍去； 8分②的公差不為2：則此時(shí)的相鄰兩項(xiàng)中包含的個(gè)元素，這些元素中必有連續(xù)的不超過(guò)項(xiàng)來(lái)自公差為2的集合（不妨設(shè)為），那么中集合元素公差應(yīng)不為2，這時(shí)，中元素必然存在公差為2與不為2的項(xiàng)，這與中的元素的某種排列為等差數(shù)列矛盾，舍去 10分故不全為偶數(shù).能.設(shè)的公比為，總項(xiàng)數(shù)為（為偶數(shù)）或（為奇數(shù)），因?yàn)?，所以?xiàng)數(shù)最多的集合公差最小為2，總項(xiàng)數(shù)至少為. 11分①為大于2的偶數(shù)，下試證：，即證：而②為大于2的奇數(shù)，，由此說(shuō)明：時(shí)不符合題意