黑龍江省虎林市2025屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

黑龍江省虎林市2025屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,若正方體的六個(gè)面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.2.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙,是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一,它歷史悠久,風(fēng)格獨(dú)特,神獸人們喜愛.下圖即是一副窗花,是把一個(gè)邊長為12的大正方形在四個(gè)角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四個(gè)角處再剪出邊長全為1的一些小正方形.若在這個(gè)窗花內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),則該點(diǎn)不落在任何一個(gè)小正方形內(nèi)的概率是()A. B. C. D.3.已知,橢圓的方程,雙曲線的方程為,和的離心率之積為,則的漸近線方程為()A. B. C. D.4.已知向量,,則向量與的夾角為()A. B. C. D.5.tan570°=()A. B.- C. D.6.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù),其中是實(shí)數(shù),則等于()A. B. C. D.7.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的體積為()A. B.C. D.8.已知雙曲線:的左右焦點(diǎn)分別為,,為雙曲線上一點(diǎn),為雙曲線C漸近線上一點(diǎn),,均位于第一象限,且,,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.9.函數(shù)的圖象為C,以下結(jié)論中正確的是()①圖象C關(guān)于直線對稱;②圖象C關(guān)于點(diǎn)對稱;③由y=2sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長度可以得到圖象C.A.① B.①② C.②③ D.①②③10.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題:在下雨時(shí),用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸;③臺(tái)體的體積公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸11.某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成進(jìn)行分析,隨機(jī)抽取了200分到450分之間的2000名學(xué)生的成績,并根據(jù)這2000名學(xué)生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖,如圖所示,則成績在,內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為()A.800 B.1000 C.1200 D.160012.已知函數(shù),.若存在,使得成立,則的最大值為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,那么______.14.有2名老師和3名同學(xué),將他們隨機(jī)地排成一行,用表示兩名老師之間的學(xué)生人數(shù),則對應(yīng)的排法有______種;______;15.在等差數(shù)列()中,若,,則的值是______.16.某高校組織學(xué)生辯論賽,六位評委為選手成績打出分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示,若去掉一個(gè)最高分,去掉一個(gè)最低分,則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè),函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求在內(nèi)的極值;(2)設(shè)函數(shù),當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),總有,求實(shí)數(shù)的值.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為;直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線分別交于兩點(diǎn).(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;(2)若點(diǎn)的極坐標(biāo)為,,求的值.19.(12分)已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,且.若點(diǎn)為的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)作的兩條切線,其中為切點(diǎn).(1)求拋物線的方程;(2)求證:直線恒過定點(diǎn),并求面積的最小值.20.(12分)已知函數(shù),函數(shù).(Ⅰ)判斷函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)若時(shí),對任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值.21.(12分)已知數(shù)列中,(實(shí)數(shù)為常數(shù)),是其前項(xiàng)和,且數(shù)列是等比數(shù)列,恰為與的等比中項(xiàng).(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)若,當(dāng)時(shí),的前項(xiàng)和為,求證:對任意,都有.22.(10分)已知a>0,證明:1.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)題意,畫出幾何位置圖形,由圖形的位置關(guān)系分別求得的值,即可比較各選項(xiàng).【詳解】如下圖所示,平面,從而平面,易知與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交,∴,∵平面,平面,且與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交,∴,∴結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知,只有正確.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關(guān)系的判斷與綜合應(yīng)用,對空間想象能力要求較高,屬于中檔題.2、D【解析】

由幾何概型可知,概率應(yīng)為非小正方形面積與窗花面積的比,即可求解.【詳解】由題,窗花的面積為,其中小正方形的面積為,所以所求概率,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

根據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式,結(jié)合和的離心率之積為,即可得的關(guān)系,進(jìn)而得雙曲線的離心率方程.【詳解】橢圓的方程,雙曲線的方程為,則橢圓離心率,雙曲線的離心率,由和的離心率之積為,即,解得,所以漸近線方程為,化簡可得,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質(zhì)應(yīng)用,橢圓與雙曲線離心率表示形式,雙曲線漸近線方程求法,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

求出,進(jìn)而可求,即能求出向量夾角.【詳解】解:由題意知,.則所以,則向量與的夾角為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示.求向量夾角時(shí),通常代入公式進(jìn)行計(jì)算.5、A【解析】

直接利用誘導(dǎo)公式化簡求解即可.【詳解】tan570°=tan(360°+210°)=tan210°=tan(180°+30°)=tan30°=.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

對復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡,由于為純虛數(shù),則化簡后的復(fù)數(shù)形式中,實(shí)部為0,得到的值,從而得到復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù),所以,得所以.故選A項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,純虛數(shù)的概念,屬于簡單題.7、B【解析】

還原幾何體可知原幾何體為半個(gè)圓柱和一個(gè)四棱錐組成的組合體,分別求解兩個(gè)部分的體積,加和得到結(jié)果.【詳解】由三視圖還原可知,原幾何體下半部分為半個(gè)圓柱,上半部分為一個(gè)四棱錐半個(gè)圓柱體積為:四棱錐體積為:原幾何體體積為:本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問題,關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確還原幾何體,從而分別求解各部分的體積.8、D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點(diǎn)分別為,為雙曲線上的一點(diǎn),為雙曲線的漸近線上的一點(diǎn),且都位于第一象限,且,可知為的三等分點(diǎn),且,點(diǎn)在直線上,并且,則,,設(shè),則,解得,即,代入雙曲線的方程可得,解得,故選D.點(diǎn)睛:本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),離心率的求法,考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力,雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì),求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式,轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).9、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心和圖象變換的知識(shí),判斷出正確的結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?,所以①正確.,所以②正確.將的圖象向右平移個(gè)單位長度,得,所以③錯(cuò)誤.所以①②正確,③錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心,考查三角函數(shù)圖象變換,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】試題分析:根據(jù)題意可得平地降雨量,故選B.考點(diǎn):1.實(shí)際應(yīng)用問題;2.圓臺(tái)的體積.11、B【解析】

由圖可列方程算得a,然后求出成績在內(nèi)的頻率,最后根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)×頻率可以求得成績在內(nèi)的學(xué)生人數(shù).【詳解】由頻率和為1,得,解得,所以成績在內(nèi)的頻率,所以成績在內(nèi)的學(xué)生人數(shù).故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率直方圖的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.12、C【解析】

由題意可知,,由可得出,,利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,進(jìn)而可得出,由此可得出,可得出,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可得解.【詳解】,,由于,則,同理可知,,函數(shù)的定義域?yàn)?,對恒成立,所以,函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,同理可知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,則,,則,構(gòu)造函數(shù),其中,則.當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式最值的計(jì)算,涉及指對同構(gòu)思想的應(yīng)用,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,有一定的難度.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由已知利用誘導(dǎo)公式可求,進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解.【詳解】∵,∴,,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,屬于基礎(chǔ)題.14、36;1.【解析】

的可能取值為0,1,2,3,對應(yīng)的排法有:.分別求出,,,,由此能求出.【詳解】解:有2名老師和3名同學(xué),將他們隨機(jī)地排成一行,用表示兩名老師之間的學(xué)生人數(shù),則的可能取值為0,1,2,3,對應(yīng)的排法有:.∴對應(yīng)的排法有36種;,,,,∴故答案為:36;1.【點(diǎn)睛】本題考查了排列、組合的應(yīng)用,離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望,屬于中檔題.15、-15【解析】

是等差數(shù)列,則有,可得的值,再由可得,計(jì)算即得.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列,,又,,,故.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),也可以由已知條件求出和公差,再計(jì)算.16、【解析】

先根據(jù)莖葉圖求出平均數(shù)和中位數(shù),然后可得結(jié)果.【詳解】剩下的四個(gè)數(shù)為83,85,87,95,且這四個(gè)數(shù)的平均數(shù),這四個(gè)數(shù)的中位數(shù)為,則所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)的差為.【點(diǎn)睛】本題主要考查莖葉圖的識(shí)別和統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算,側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)極大值是,無極小值;(2)【解析】

(1)當(dāng)時(shí),可求得,令,利用導(dǎo)數(shù)可判斷的單調(diào)性并得其零點(diǎn),從而可得原函數(shù)的極值點(diǎn)及極大值;(2)表示出,并求得,由題意,得方程有兩個(gè)不同的實(shí)根,,從而可得△及,由,得.則可化為對任意的恒成立,按照、、三種情況分類討論,分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值可解決;【詳解】(1)當(dāng)時(shí),.令,則,顯然在上單調(diào)遞減,又因?yàn)?,故時(shí),總有,所以在上單調(diào)遞減.由于,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:+-增極大減所以在上的極大值是,無極小值.(2)由于,則.由題意,方程有兩個(gè)不等實(shí)根,則,解得,且,又,所以.由,,可得又.將其代入上式得:.整理得,即當(dāng)時(shí),不等式恒成立,即.當(dāng)時(shí),恒成立,即,令,易證是上的減函數(shù).因此,當(dāng)時(shí),,故.當(dāng)時(shí),恒成立,即,因此,當(dāng)時(shí),所以.綜上所述,.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、研究函數(shù)的極值等知識(shí),考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想,考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題解決問題的能力,該題綜合性強(qiáng),難度大,對能力要求較高.18、(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為即,直線的普通方程為;(2).【解析】

(1)利用代入法消去參數(shù)方程中的參數(shù),可得直線的普通方程,極坐標(biāo)方程兩邊同乘以利用即可得曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義,利用韋達(dá)定理可得結(jié)果.【詳解】(1)由,得,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為,即,直線的普通方程為.(2)將直線的參數(shù)方程代入并化簡、整理,得.因?yàn)橹本€與曲線交于,兩點(diǎn).所以,解得.由根與系數(shù)的關(guān)系,得,.因?yàn)辄c(diǎn)的直角坐標(biāo)為,在直線上.所以,解得,此時(shí)滿足.且,故..【點(diǎn)睛】參數(shù)方程主要通過代入法或者已知恒等式(如等三角恒等式)消去參數(shù)化為普通方程,通過選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程,利用關(guān)系式,等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化,這類問題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標(biāo)方程,用直角坐標(biāo)方程解決相應(yīng)問題.19、(1)(2)見解析,最小值為4【解析】

(1)根據(jù)焦點(diǎn)到直線的距離列方程,求得的值,由此求得拋物線的方程.(2)設(shè)出的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程,由此判斷出直線恒過拋物線焦點(diǎn).求得三角形面積的表達(dá)式,進(jìn)而求得面積的最小值.【詳解】(1)依題意,解得(負(fù)根舍去)∴拋物線的方程為(2)設(shè)點(diǎn),由,即,得∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為,即∵,∴∵點(diǎn)在切線上,①,同理,②綜合①、②得,點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.即直線恒過拋物線焦點(diǎn)當(dāng)時(shí),此時(shí),可知:當(dāng),此時(shí)直線直線的斜率為,得于是,而把直線代入中消去得,即:當(dāng)時(shí),最小,且最小值為4【點(diǎn)睛】本小題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式,考查拋物線方程的求法,考查拋物線的切線方程的求法,考查直線過定點(diǎn)問題,考查拋物線中三角形面積的最值的求法,考查運(yùn)算求解能力,屬于難題.20、(1)故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;(2).【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)題意得到的解析式和定義域,求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性.(Ⅱ)分析題意可得對任意,恒成立,構(gòu)造函數(shù),則有對任意,恒成立,然后通過求函數(shù)的最值可得所求.試題解析:(I)由題意得,,∴.當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),令,解得;令,解得.故函數(shù)在上

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