2025屆北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)倫中學高三下學期聯(lián)合考試數(shù)學試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)倫中學高三下學期聯(lián)合考試數(shù)學試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.阿基米德(公元前287年—公元前212年),偉大的古希臘哲學家、數(shù)學家和物理學家,他死后的墓碑上刻著一個“圓柱容球”的立體幾何圖形,為紀念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的,且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形,其表面積為,則該圓柱的內(nèi)切球體積為()A. B. C. D.2.下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是()A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+π(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)3.已知集合,則元素個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.44.已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),則()A.1 B.2 C.3 D.46.已知數(shù)列滿足,且成等比數(shù)列.若的前n項和為,則的最小值為()A. B. C. D.7.如圖在一個的二面角的棱有兩個點,線段分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi),且都垂直于棱,且,則的長為()A.4 B. C.2 D.8.一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積為()A. B.C. D.9.tan570°=()A. B.- C. D.10.若向量,,則與共線的向量可以是()A. B. C. D.11.若復數(shù)滿足,則()A. B. C. D.12.在區(qū)間上隨機取一個數(shù),使得成立的概率為等差數(shù)列的公差,且,若,則的最小值為()A.8 B.9 C.10 D.11二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,,則__________.14.已知關(guān)于x的不等式(ax﹣a2﹣4)(x﹣4)>0的解集為A,且A中共含有n個整數(shù),則當n最小時實數(shù)a的值為_____.15.已知是函數(shù)的極大值點,則的取值范圍是____________.16.如圖所示,平面BCC1B1⊥平面ABC,ABC=120,四邊形BCC1B1為正方形,且AB=BC=2,則異面直線BC1與AC所成角的余弦值為_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù)(其中),且函數(shù)在處的切線與直線平行.(1)求的值;(2)若函數(shù),求證:恒成立.18.(12分)已知A是拋物線E:y2=2px(p>0)上的一點,以點A和點B(2,0)為直徑兩端點的圓C交直線x=1于M,N兩點.(1)若|MN|=2,求拋物線E的方程;(2)若0<p<1,拋物線E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點為P,Q,點G為PQ的中點,O為坐標原點,求直線OG斜率的取值范圍.19.(12分)如圖,三棱柱中,側(cè)面是菱形,其對角線的交點為,且.(1)求證:平面;(2)設(shè),若直線與平面所成的角為,求二面角的正弦值.20.(12分)根據(jù)國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù),1978年至2018年我國GDP總量從0.37萬億元躍升至90萬億元,實際增長了242倍多,綜合國力大幅提升.將年份1978,1988,1998,2008,2018分別用1,2,3,4,5代替,并表示為;表示全國GDP總量,表中,.326.4741.90310209.7614.05(1)根據(jù)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計圖表,判斷與(其中為自然對數(shù)的底數(shù))哪一個更適宜作為全國GDP總量關(guān)于的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由),并求出關(guān)于的回歸方程.(2)使用參考數(shù)據(jù),估計2020年的全國GDP總量.線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:,.參考數(shù)據(jù):45678的近似值551484031097298121.(12分)正項數(shù)列的前n項和Sn滿足:(1)求數(shù)列的通項公式;(2)令,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,證明:對于任意的n∈N*,都有Tn<.22.(10分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).點在曲線上,點滿足.(1)以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,求動點的軌跡的極坐標方程;(2)點,分別是曲線上第一象限,第二象限上兩點,且滿足,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

設(shè)圓柱的底面半徑為,則其母線長為,由圓柱的表面積求出,代入圓柱的體積公式求出其體積,結(jié)合題中的結(jié)論即可求出該圓柱的內(nèi)切球體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為,則其母線長為,因為圓柱的表面積公式為,所以,解得,因為圓柱的體積公式為,所以,由題知,圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的,所以所求圓柱內(nèi)切球的體積為.故選:D【點睛】本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運算求解能力;熟練掌握圓柱的表面積和體積公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.2、C【解析】

利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【詳解】與的終邊相同的角可以寫成2kπ+(k∈Z),但是角度制與弧度制不能混用,所以只有答案C正確.故答案為C【點睛】(1)本題主要考查終邊相同的角的公式,意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)與終邊相同的角=+其中.3、B【解析】

作出兩集合所表示的點的圖象,可得選項.【詳解】由題意得,集合A表示以原點為圓心,以2為半徑的圓,集合B表示函數(shù)的圖象上的點,作出兩集合所表示的點的示意圖如下圖所示,得出兩個圖象有兩個交點:點A和點B,所以兩個集合有兩個公共元素,所以元素個數(shù)為2,故選:B.【點睛】本題考查集合的交集運算,關(guān)鍵在于作出集合所表示的點的圖象,再運用數(shù)形結(jié)合的思想,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,列出方程求出的值,即可求解雙曲線的離心率,得到答案.【詳解】由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,可得,解得,此時雙曲線,則曲線的離心率為,故選C.【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應用,其中解答中熟記雙曲線的幾何性質(zhì),準確運算是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

結(jié)合分段函數(shù)的解析式,先求出,進而可求出.【詳解】由題意可得,則.故選:C.【點睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

利用等比中項性質(zhì)可得等差數(shù)列的首項,進而求得,再利用二次函數(shù)的性質(zhì),可得當或時,取到最小值.【詳解】根據(jù)題意,可知為等差數(shù)列,公差,由成等比數(shù)列,可得,∴,解得.∴.根據(jù)單調(diào)性,可知當或時,取到最小值,最小值為.故選:D.【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式、等比中項性質(zhì)、等差數(shù)列前項和的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意當或時同時取到最值.7、A【解析】

由,兩邊平方后展開整理,即可求得,則的長可求.【詳解】解:,,,,,,.,,故選:.【點睛】本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系,考查了空間想象能力,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.8、B【解析】

還原幾何體可知原幾何體為半個圓柱和一個四棱錐組成的組合體,分別求解兩個部分的體積,加和得到結(jié)果.【詳解】由三視圖還原可知,原幾何體下半部分為半個圓柱,上半部分為一個四棱錐半個圓柱體積為:四棱錐體積為:原幾何體體積為:本題正確選項:【點睛】本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問題,關(guān)鍵在于能夠準確還原幾何體,從而分別求解各部分的體積.9、A【解析】

直接利用誘導公式化簡求解即可.【詳解】tan570°=tan(360°+210°)=tan210°=tan(180°+30°)=tan30°=.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值,主要考查誘導公式的應用,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

先利用向量坐標運算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點睛】本題考查向量的坐標運算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標與橫坐標對應,縱坐標與縱坐標對應,切不可錯位.11、B【解析】

由題意得,,求解即可.【詳解】因為,所以.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

由題意,本題符合幾何概型,只要求出區(qū)間的長度以及使不等式成立的的范圍區(qū)間長度,利用幾何概型公式可得概率,即等差數(shù)列的公差,利用條件,求得,從而求得,解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意,本題符合幾何概型,區(qū)間長度為6,使得成立的的范圍為,區(qū)間長度為2,故使得成立的概率為,又,,,令,則有,故的最小值為11,故選:D.【點睛】該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題,涉及到的知識點有長度型幾何概型概率公式,等差數(shù)列的通項公式,屬于基礎(chǔ)題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、3【解析】

由題意得,,再代入中,計算即可得答案.【詳解】由題意可得,,∴,解得,∴.故答案為:.【點睛】本題考查向量模的計算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運算求解能力,求解時注意向量數(shù)量積公式的運用.14、-1【解析】

討論三種情況,a<0時,根據(jù)均值不等式得到a(﹣a)≤﹣14,計算等號成立的條件得到答案.【詳解】已知關(guān)于x的不等式(ax﹣a1﹣4)(x﹣4)>0,①a<0時,[x﹣(a)](x﹣4)<0,其中a0,故解集為(a,4),由于a(﹣a)≤﹣14,當且僅當﹣a,即a=﹣1時取等號,∴a的最大值為﹣4,當且僅當a4時,A中共含有最少個整數(shù),此時實數(shù)a的值為﹣1;②a=0時,﹣4(x﹣4)>0,解集為(﹣∞,4),整數(shù)解有無窮多,故a=0不符合條件;③a>0時,[x﹣(a)](x﹣4)>0,其中a4,∴故解集為(﹣∞,4)∪(a,+∞),整數(shù)解有無窮多,故a>0不符合條件;綜上所述,a=﹣1.故答案為:﹣1.【點睛】本題考查了解不等式,均值不等式,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.15、【解析】

方法一:令,則,,當,時,,單調(diào)遞減,∴時,,,且,∴在上單調(diào)遞增,時,,,且,∴在上單調(diào)遞減,∴是函數(shù)的極大值點,∴滿足題意;當時,存在使得,即,又在上單調(diào)遞減,∴時,,,所以,這與是函數(shù)的極大值點矛盾.綜上,.方法二:依據(jù)極值的定義,要使是函數(shù)的極大值點,由知須在的左側(cè)附近,,即;在的右側(cè)附近,,即.易知,時,與相切于原點,所以根據(jù)與的圖象關(guān)系,可得.16、【解析】

將平移到和相交的位置,解三角形求得線線角的余弦值.【詳解】過作,過作,畫出圖像如下圖所示,由于四邊形是平行四邊形,故,所以是所求線線角或其補角.在三角形中,,故.【點睛】本小題主要考查空間兩條直線所成角的余弦值的計算,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)求導得到,解得答案.(2)變形得到,令函數(shù),求導得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到,,得到證明.【詳解】(1),,解得.(2)得,變形得,令函數(shù),,令解得,當時,時.函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,,,即,即,恒成立.【點睛】本題考查了根據(jù)切線求參數(shù),證明不等式,意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力,綜合應用能力.18、(1).(2)【解析】

(1)設(shè)A的坐標為A(x0,y0),由題意可得圓心C的坐標,求出C到直線x=1的距離.由半個弦長,圓心到直線的距離及半徑構(gòu)成直角三角形可得p的值,進而求出拋物線的方程;(2)將拋物線的方程與圓的方程聯(lián)立可得韋達定理,進而求出中點G的坐標,再求出直線OG的斜率的表達式,換元可得斜率的取值范圍.【詳解】(1)設(shè)A(x0,y0)且y02=2px0,則圓心C(),圓C的直徑|AB|,圓心C到直線x=1的距離d=|1|=||,因為|MN|=2,所以()2+d2=()2,即1,y02=2px0,整理可得(2p﹣4)x0=0,所以p=2,所以拋物線的方程為:y2=4x;(2)聯(lián)立拋物線與圓的方程整理可得x2﹣2(5﹣p)x+16=0,△>0,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=2(5﹣p),x1x2=16,所以中點G的橫坐標xG=5﹣p,yG(),所以kOG(0<P<1),令t=5﹣p(t∈(4,5)),則kOG(),解得0<kOG,所以直線OG斜率的取值范圍(0,).【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的綜合,換元方法的應用,屬于中檔題.19、(1)見解析;(2).【解析】

(1)根據(jù)菱形的特征和題中條件得到平面,結(jié)合線面垂直的定義和判定定理即可證明;

2建立空間直角坐標系,利用向量知識求解即可.【詳解】(1)證明:∵四邊形是菱形,,平面平面,又是的中點,,又平面(2)∴直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角.平面,∴直線與平面所成的角為,即.因為,則在等腰直角三角形中,所以.在中,由得,以為原點,分別以為軸建立空間直角坐標系.則所以設(shè)平面的一個法向量為,則,可得,取平面的一個法向量為,則,所以二面角的正弦值的大小為.(注:問題(2)可以轉(zhuǎn)化為求二面角的正弦值,求出后,在中,過點作的垂線,垂足為,連接,則就是所求二面角平面角的補角,先求出,再求

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