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文檔簡(jiǎn)介
2025屆山東省微山縣第二中學(xué)高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),方程有四個(gè)不同的根,記最大的根的所有取值為集合,則“函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“”的().A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知函數(shù)(,是常數(shù),其中且)的大致圖象如圖所示,下列關(guān)于,的表述正確的是()A., B.,C., D.,3.已知函數(shù),則下列判斷錯(cuò)誤的是()A.的最小正周期為 B.的值域?yàn)镃.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱4.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,則的最小值為A.8 B.16 C.24 D.365.已知集合,集合,則()A. B. C. D.6.已知集合,,若,則()A. B. C. D.7.某幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的體積為()A. B.1 C. D.8.的展開式中,項(xiàng)的系數(shù)為()A.-23 B.17 C.20 D.639.已知甲、乙兩人獨(dú)立出行,各租用共享單車一次(假定費(fèi)用只可能為、、元).甲、乙租車費(fèi)用為元的概率分別是、,甲、乙租車費(fèi)用為元的概率分別是、,則甲、乙兩人所扣租車費(fèi)用相同的概率為()A. B. C. D.10.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,記,,…,N.若,則()A. B. C. D.11.定義在上函數(shù)滿足,且對(duì)任意的不相等的實(shí)數(shù)有成立,若關(guān)于x的不等式在上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.12.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時(shí),,則使得成立的的取值范圍是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.記等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和,若,則______.14.某大學(xué)、、、四個(gè)不同的專業(yè)人數(shù)占本???cè)藬?shù)的比例依次為、、、,現(xiàn)欲采用分層抽樣的方法從這四個(gè)專業(yè)的總?cè)藬?shù)中抽取人調(diào)查畢業(yè)后的就業(yè)情況,則專業(yè)應(yīng)抽取_________人.15.已知,如果函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________16.設(shè),若函數(shù)有大于零的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),其中,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí),證明:對(duì);(2)若函數(shù)在上存在極值,求實(shí)數(shù)的取值范圍。18.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),①求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;②比較與的大小;(2)當(dāng)時(shí),若對(duì)時(shí),,且有唯一零點(diǎn),證明:.19.(12分)已知,函數(shù).(1)若,求的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若,求的值.20.(12分)如圖,點(diǎn)是以為直徑的圓上異于、的一點(diǎn),直角梯形所在平面與圓所在平面垂直,且,.(1)證明:平面;(2)求點(diǎn)到平面的距離.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(1)求的直角坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo);(2)設(shè)與交于,兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,求.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面為等腰梯形,,為等腰直角三角形,,平面底面,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若平面與平面的交線為,求二面角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
作出函數(shù)的圖象,得到,把函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與在(2,4]上有交點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率,即可求得的取值范圍,再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖,由圖可知,,函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn),即有兩個(gè)不同的根,也就是與在上有2個(gè)交點(diǎn),則的最小值為;設(shè)過原點(diǎn)的直線與的切點(diǎn)為,斜率為,則切線方程為,把代入,可得,即,∴切線斜率為,∴k的取值范圍是,∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“”的充分不必要條件,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程,試題有一定的綜合性,屬于中檔題.2、D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項(xiàng).【詳解】從題設(shè)中提供的圖像可以看出,故得,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征,本題屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
先將函數(shù)化為,再由三角函數(shù)的性質(zhì),逐項(xiàng)判斷,即可得出結(jié)果.【詳解】可得對(duì)于A,的最小正周期為,故A正確;對(duì)于B,由,可得,故B正確;對(duì)于C,正弦函數(shù)對(duì)稱軸可得:解得:,當(dāng),,故C正確;對(duì)于D,正弦函數(shù)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為:解得:若圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則解得:,故D錯(cuò)誤;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換,三角函數(shù)的性質(zhì),熟記三角函數(shù)基本公式和基本性質(zhì),考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
方法一:由題意得,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),得成等差數(shù)列,設(shè),則,,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,從而的最小值為16,故選B.方法二:設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為d,由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及,化簡(jiǎn)可得,即,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,從而的最小值為16,故選B.5、C【解析】
求出集合的等價(jià)條件,利用交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】解:∵,,∴,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
由,得,代入集合B即可得.【詳解】,,,即:,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的含義,也考查了元素與集合的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】該幾何體為三棱錐,其直觀圖如圖所示,體積.故選.8、B【解析】
根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,結(jié)合乘法分配律,求得的系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為.則①出,則出,該項(xiàng)為:;②出,則出,該項(xiàng)為:;③出,則出,該項(xiàng)為:;綜上所述:合并后的項(xiàng)的系數(shù)為17.故選:B【點(diǎn)睛】本小題考查二項(xiàng)式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎(chǔ)知識(shí),考查理解能力,計(jì)算能力,分類討論和應(yīng)用意識(shí).9、B【解析】
甲、乙兩人所扣租車費(fèi)用相同即同為1元,或同為2元,或同為3元,由獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得.【詳解】由題意甲、乙租車費(fèi)用為3元的概率分別是,∴甲、乙兩人所扣租車費(fèi)用相同的概率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性事件的概率.掌握獨(dú)立事件的概率乘法公式是解題基礎(chǔ).10、D【解析】
通過計(jì)算,可得,最后計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題可知:所以所以猜想可知:由所以所以故選:D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及不完全歸納法的應(yīng)用,選擇題、填空題可以使用取特殊值,歸納猜想等方法的使用,屬中檔題.11、B【解析】
結(jié)合題意可知是偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,化簡(jiǎn)題目所給式子,建立不等式,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系,構(gòu)造新函數(shù),計(jì)算最值,即可.【詳解】結(jié)合題意可知為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,故可以轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)于恒成立,即即對(duì)恒成立即對(duì)恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點(diǎn)睛】本道題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,計(jì)算范圍,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù),計(jì)算最值,即可得出答案.12、D【解析】構(gòu)造函數(shù),令,則,由可得,則是區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù),且,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān),但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系,抓住其本質(zhì),那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題,能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí),并掌握好使用的技巧和方法,這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn),構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題,是一種常用技巧.許多問題,如果運(yùn)用這種思想去解決,往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路,有著非凡的功效.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,可得,求解即可.【詳解】由題意,,,因?yàn)?所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等差中項(xiàng)的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
求出專業(yè)人數(shù)在、、、四個(gè)專業(yè)總?cè)藬?shù)的比例后可得.【詳解】由題意、、、四個(gè)不同的專業(yè)人數(shù)的比例為,故專業(yè)應(yīng)抽取的人數(shù)為.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣,根據(jù)分層抽樣的定義,在各層抽取樣本數(shù)量是按比例抽取的.15、【解析】
首先把零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程問題,等價(jià)于有三個(gè)零點(diǎn),兩側(cè)開方,可得,即有三個(gè)零點(diǎn),再運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合最值即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),即零點(diǎn)有,顯然,則有,可得,即有三個(gè)零點(diǎn),不妨令,對(duì)于,函數(shù)單調(diào)遞增,,,所以函數(shù)在區(qū)間上只有一解,對(duì)于函數(shù),,解得,,解得,,解得,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)若有兩個(gè)零點(diǎn),則有,綜上可知,若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的零點(diǎn),恰當(dāng)?shù)拈_方,轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點(diǎn)問題,注意恰有三個(gè)零點(diǎn)條件的應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)的范圍,屬于難題.16、【解析】
先求導(dǎo)數(shù),求解導(dǎo)數(shù)為零的根,結(jié)合根的分布求解.【詳解】因?yàn)椋?,令得,因?yàn)楹瘮?shù)有大于0的極值點(diǎn),所以,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)問題,極值點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的變號(hào)零點(diǎn),側(cè)重考查轉(zhuǎn)化化歸思想.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見證明;(2)【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而求得函數(shù)的最小值,得到要證明的結(jié)論;(2)問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有解,法一:對(duì)a分類討論,分別研究a的不同取值下,導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及值域,從而得到結(jié)論.法二:構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域,再利用零點(diǎn)存在定理說明函數(shù)存在極值.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,于是,.又因?yàn)椋?dāng)時(shí),且.故當(dāng)時(shí),,即.所以,函數(shù)為上的增函數(shù),于是,.因此,對(duì),;(2)方法一:由題意在上存在極值,則在上存在零點(diǎn),①當(dāng)時(shí),為上的增函數(shù),注意到,,所以,存在唯一實(shí)數(shù),使得成立.于是,當(dāng)時(shí),,為上的減函數(shù);當(dāng)時(shí),,為上的增函數(shù);所以為函數(shù)的極小值點(diǎn);②當(dāng)時(shí),在上成立,所以在上單調(diào)遞增,所以在上沒有極值;③當(dāng)時(shí),在上成立,所以在上單調(diào)遞減,所以在上沒有極值,綜上所述,使在上存在極值的的取值范圍是.方法二:由題意,函數(shù)在上存在極值,則在上存在零點(diǎn).即在上存在零點(diǎn).設(shè),,則由單調(diào)性的性質(zhì)可得為上的減函數(shù).即的值域?yàn)椋?,?dāng)實(shí)數(shù)時(shí),在上存在零點(diǎn).下面證明,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上存在極值.事實(shí)上,當(dāng)時(shí),為上的增函數(shù),注意到,,所以,存在唯一實(shí)數(shù),使得成立.于是,當(dāng)時(shí),,為上的減函數(shù);當(dāng)時(shí),,為上的增函數(shù);即為函數(shù)的極小值點(diǎn).綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上存在極值.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,涉及函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的最值的求法,考查構(gòu)造法的應(yīng)用,是一道綜合題.18、(1)①見解析,②見解析;(2)見解析【解析】
(1)①把代入函數(shù)解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到,再求出,利用直線方程的點(diǎn)斜式求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;②令,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.(2)由題意,,在上有唯一零點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,當(dāng),時(shí),在,上單調(diào)遞增,得到.由在恒成立,且有唯一解,可得,得,即.令,則,再由在上恒成立,得在上單調(diào)遞減,進(jìn)一步得到在上單調(diào)遞增,由此可得.【詳解】解:(1)①當(dāng)時(shí),,,,又,切線方程為,即;②令,則,在上單調(diào)遞減.又,當(dāng)時(shí),,即;當(dāng)時(shí),,即;當(dāng)時(shí),,即.證明:(2)由題意,,而,令,解得.,,在上有唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,當(dāng),時(shí),,在,上單調(diào)遞增..在恒成立,且有唯一解,,即,消去,得,即.令,則,在上恒成立,在上單調(diào)遞減,又,,.在上單調(diào)遞增,.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查邏輯思維能力與推理論證能力,屬難題.19、(1);(2).【解析】
(1)利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為,然后解不等式,可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由得出,并求出的值,利用兩角差的正弦公式可求出的值.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,由,得,因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2),,,,,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵,屬中等題.20、(1)見解析;(2)【解析】
(1)取的中點(diǎn),證明,則平面平面,則可證平面.(2)利用,是平面的高,容易求.,再求,則點(diǎn)到平面的距離可求.【詳解】解:(1)如圖:取的中點(diǎn),連接、.在中,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),平面平面,故平面在直角梯形中,,且,∴四邊形是平行四邊形,,同理平面又,故平面平面,又平面平面.(2)是圓的直徑,點(diǎn)是圓上異于、的一點(diǎn),又∵平面平面,平面平面平面,可得是三棱錐的高線.在直角梯形中,.設(shè)到平面的距離為,則,即由已知得,由余弦定理易知:,則解得,即點(diǎn)到平面的距離為故答案為:.【點(diǎn)睛】考查線面平行的判定和利用等體積法求距離的方法,是中檔題.21、(1),(2)【解析】
(1)利用互化公式把曲線C化成直角坐標(biāo)方程,把點(diǎn)P的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo);(2)把直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式代入曲線C的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)韋達(dá)定理以及參數(shù)t的幾何意義可得.【詳解】(1)由ρ2得ρ2+ρ2si
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