2025屆北京市西城區(qū)月壇中學(xué)高考沖刺押題(最后一卷)數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆北京市西城區(qū)月壇中學(xué)高考沖刺押題(最后一卷)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)f(x)=sin(wx+)(w>0,<)的最小正周期是π,若將該函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)圖象關(guān)于直線x=對稱,則函數(shù)f(x)的解析式為()A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(2x-)C.f(x)=sin(2x+) D.f(x)=sin(2x-)2.如圖,長方體中,,,點(diǎn)T在棱上,若平面.則()A.1 B. C.2 D.3.圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.4.在條件下,目標(biāo)函數(shù)的最大值為40,則的最小值是()A. B. C. D.25.學(xué)業(yè)水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為、、、、五個等級.某班共有名學(xué)生且全部選考物理、化學(xué)兩科,這兩科的學(xué)業(yè)水平測試成績?nèi)鐖D所示.該班學(xué)生中,這兩科等級均為的學(xué)生有人,這兩科中僅有一科等級為的學(xué)生,其另外一科等級為,則該班()A.物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至多有人B.物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至少有人C.這兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生至多有人D.這兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生至少有人6.已知直線過雙曲線C:的左焦點(diǎn)F,且與雙曲線C在第二象限交于點(diǎn)A,若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線C的離心率為A. B. C. D.7.若,則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是()A.B.C.D.8.某幾何體的三視圖如圖所示,其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形,則此幾何體的體積是()A. B. C. D.9.拋物線的焦點(diǎn)為,則經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的個數(shù)有()A.1個 B.2個 C.0個 D.無數(shù)個10.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成,爻分為陽爻“——”和陰爻“——”.如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦,則該重卦至少有2個陽爻的概率是()A. B. C. D.11.《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首,它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認(rèn)識,是中華人文文化的基礎(chǔ),它反映出中國古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法.我們用近代術(shù)語解釋為:把陽爻“-”當(dāng)作數(shù)字“1”,把陰爻“--”當(dāng)作數(shù)字“0”,則八卦所代表的數(shù)表示如下:卦名符號表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)坤0000震0011坎0102兌0113依此類推,則六十四卦中的“屯”卦,符號“”表示的十進(jìn)制數(shù)是()A.18 B.17 C.16 D.1512.如圖,在矩形中的曲線分別是,的一部分,,,在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),若此點(diǎn)取自陰影部分的概率為,取自非陰影部分的概率為,則()A. B. C. D.大小關(guān)系不能確定二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若實(shí)數(shù)滿足約束條件,設(shè)的最大值與最小值分別為,則_____.14.曲線y=e-5x+2在點(diǎn)(0,3)處的切線方程為________.15.設(shè)函數(shù),當(dāng)時,記最大值為,則的最小值為______.16.函數(shù)在區(qū)間(-∞,1)上遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:(),與軸負(fù)半軸交于,離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線:與橢圓交于,兩點(diǎn),連接,并延長交直線于,兩點(diǎn),已知,求證:直線恒過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).18.(12分)設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為,已知.(1)求;(2)若為銳角三角形,求的取值范圍.19.(12分)如圖,四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,在銳角中,E是邊PD上一點(diǎn),且.(1)求證:平面ACE;(2)當(dāng)PA的長為何值時,AC與平面PCD所成的角為?20.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知:,:,:.(1)求與的極坐標(biāo)方程(2)若與交于點(diǎn)A,與交于點(diǎn)B,,求的最大值.21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)解不等式;(2)記的最大值為,若實(shí)數(shù)、、滿足,求證:.22.(10分)等比數(shù)列中,.(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)記為的前項(xiàng)和.若,求.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得到,由此求得滿足條件的的值,即可求得答案.【詳解】分析:由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得到,由此求得滿足條件的的值,即可求得答案.詳解:因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是,所以,解得,所以,將該函數(shù)的圖像向右平移個單位后,得到圖像所對應(yīng)的函數(shù)解析式為,由此函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得:,即,取,得,滿足,所以函數(shù)的解析式為,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及函數(shù)的解析式的求解,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.2、D【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì),可知;結(jié)合即可證明,進(jìn)而求得.由線段關(guān)系及平面向量數(shù)量積定義即可求得.【詳解】長方體中,,點(diǎn)T在棱上,若平面.則,則,所以,則,所以,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

三視圖對應(yīng)的幾何體為如圖所示的幾何體,利用割補(bǔ)法可求其體積.【詳解】根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示,它是一個圓柱截去上面一塊幾何體,把該幾何體補(bǔ)成如下圖所示的圓柱,其體積為,故原幾何體的體積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積,復(fù)原幾何體時注意三視圖中的點(diǎn)線關(guān)系與幾何體中的點(diǎn)、線、面的對應(yīng)關(guān)系,另外,不規(guī)則幾何體的體積可用割補(bǔ)法來求其體積,本題屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移得到最值點(diǎn),再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示,畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)圖像知:當(dāng)時,有最大值為,即,故..當(dāng),即時等號成立.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù),均值不等式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.5、D【解析】

根據(jù)題意分別計(jì)算出物理等級為,化學(xué)等級為的學(xué)生人數(shù)以及物理等級為,化學(xué)等級為的學(xué)生人數(shù),結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,可得出合適的選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意可知,名學(xué)生減去名全和一科為另一科為的學(xué)生人(其中物理化學(xué)的有人,物理化學(xué)的有人),表格變?yōu)椋何锢砘瘜W(xué)對于A選項(xiàng),物理化學(xué)等級都是的學(xué)生至多有人,A選項(xiàng)錯誤;對于B選項(xiàng),當(dāng)物理和,化學(xué)都是時,或化學(xué)和,物理都是時,物理、化學(xué)都是的人數(shù)最少,至少為(人),B選項(xiàng)錯誤;對于C選項(xiàng),在表格中,除去物理化學(xué)都是的學(xué)生,剩下的都是一科為且最高等級為的學(xué)生,因?yàn)槎际堑膶W(xué)生最少人,所以一科為且最高等級為的學(xué)生最多為(人),C選項(xiàng)錯誤;對于D選項(xiàng),物理化學(xué)都是的最多人,所以兩科只有一科等級為且最高等級為的學(xué)生最少(人),D選項(xiàng)正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理,考查推理能力,屬于中等題.6、B【解析】

直線的傾斜角為,易得.設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為E,可得中,,則,所以雙曲線C的離心率為.故選B.7、B【解析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,,在恒成立,在恒成立,,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是,故選B.8、C【解析】由三視圖可知,該幾何體是下部是半徑為2,高為1的圓柱的一半,上部為底面半徑為2,高為2的圓錐的一半,所以,半圓柱的體積為,上部半圓錐的體積為,所以該幾何體的體積為,故應(yīng)選.9、B【解析】

圓心在的中垂線上,經(jīng)過點(diǎn),且與相切的圓的圓心到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)的距離相等,圓心在拋物線上,直線與拋物線交于2個點(diǎn),得到2個圓.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,又焦點(diǎn),,由拋物線的定義知,過點(diǎn)、且與相切的圓的圓心即為線段的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn),這樣的交點(diǎn)共有2個,故過點(diǎn)、且與相切的圓的不同情況種數(shù)是2種.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的簡單性質(zhì),本題解題的關(guān)鍵是求出圓心的位置,看出圓心必須在拋物線上,且在垂直平分線上.10、C【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對立事件,即該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻的概率,再根據(jù)兩對立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設(shè)“該重卦至少有2個陽爻”為事件.所有“重卦”共有種;“該重卦至少有2個陽爻”的對立事件是“該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻”,其中,沒有陽爻(即6個全部是陰爻)的情況有1種,只有1個陽爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個陽爻的概率是.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了對立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

由題意可知“屯”卦符號“”表示二進(jìn)制數(shù)字010001,將其轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)即可.【詳解】由題意類推,可知六十四卦中的“屯”卦符號“”表示二進(jìn)制數(shù)字010001,轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算為1×20+1×24=1.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)制是轉(zhuǎn)化,新定義知識的應(yīng)用等,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.12、B【解析】

先用定積分求得陰影部分一半的面積,再根據(jù)幾何概型概率公式可求得.【詳解】根據(jù)題意,陰影部分的面積的一半為:,于是此點(diǎn)取自陰影部分的概率為.又,故.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型,定積分的計(jì)算以及幾何意義,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

畫出可行域,平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置,由此求得最大值以及最小值,進(jìn)而求得的比值.【詳解】畫出可行域如下圖所示,由圖可知,當(dāng)直線過點(diǎn)時,取得最大值7;過點(diǎn)時,取得最小值2,所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的最值.這種類型題目的主要思路是:首先根據(jù)題目所給的約束條件,畫出可行域;其次是求得線性目標(biāo)函數(shù)的基準(zhǔn)函數(shù);接著畫出基準(zhǔn)函數(shù)對應(yīng)的基準(zhǔn)直線;然后通過平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置;最后求出所求的最值.屬于基礎(chǔ)題.14、.【解析】

先利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率,再寫出切線方程.【詳解】因?yàn)閥′=-5e-5x,所以切線的斜率k=-5e0=-5,所以切線方程是:y-3=-5(x-0),即y=-5x+3.故答案為y=-5x+3.【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的求導(dǎo),意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率,相應(yīng)的切線方程是15、【解析】

易知,設(shè),,利用絕對值不等式的性質(zhì)即可得解.【詳解】,設(shè),,令,當(dāng)時,,所以單調(diào)遞減令,當(dāng)時,,所以單調(diào)遞增所以當(dāng)時,,,則則,即故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)最值的求法,考查絕對值不等式的性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力,屬于難題.16、【解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)型函數(shù)的定義域列不等式組,解不等式求得的取值范圍.【詳解】由二次函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析;定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】

(1)由條件直接算出即可(2)由得,,,由可得,同理,然后由推出即可【詳解】(1)由題有,.∴,∴.∴橢圓方程為.(2)由得,.又∴,同理又∴∴∴∴∴∴,此時滿足∴∴直線恒過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】涉及橢圓的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時,一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.18、(1)(2)【解析】

(1)利用正弦定理化簡已知條件,由此求得的值,進(jìn)而求得的大小.(2)利用正弦定理和兩角差的正弦公式,求得的表達(dá)式,進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】(1)由題設(shè)知,,即,所以,即,又所以.(2)由題設(shè)知,,即,又為銳角三角形,所以,即所以,即,所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形,考查利用角的范圍,求邊的比值的取值范圍,屬于中檔題.19、(1)證明見解析;(2)當(dāng)時,AC與平面PCD所成的角為.【解析】

(1)連接交于,由相似三角形可得,結(jié)合得出,故而平面;(2)過作,可證平面,根據(jù)計(jì)算,得出的大小,再計(jì)算的長.【詳解】(1)證明:連接BD交AC于點(diǎn)O,連接OE,,,又平面ACE,平面ACE,平面ACE.(2),,平面PAD作,F(xiàn)為垂足,連接CF平面PAD,平面PAD.,有,,平面就是AC與平面PCD所成的角,,,,,,時,AC與平面PCD所成的角為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定,線面垂直的判定與線面角的計(jì)算,屬于中檔題.20、(1)的極坐標(biāo)方程為;的極坐標(biāo)方程為:(2)【解析】

(1)根據(jù),代入即可轉(zhuǎn)化.(2)由:,可得,代入與的極坐標(biāo)方程求出,從而可得,再利用二倍角公式、輔助角公式,借助三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】(1):,,的極坐標(biāo)方程為:,,的極坐標(biāo)方程為:,(2):,則(為銳角),,,,當(dāng)時取等號.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、二倍角公式、輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.21、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)采用零點(diǎn)分段法:、、,由此求解出不等式的解集;(2)先根據(jù)絕對值不等式的幾何意義求解出的值,然后利用基本不等式及其變形完成證明.【詳解】(1)當(dāng)時,不等式為,解得當(dāng)時,不等式為,解得當(dāng)時,不等式為,解得∴原不等式的解集為(2)當(dāng)且僅當(dāng)

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