專題02 高二上期末真題精-選（人教A版（2019）選擇性必修第一冊壓軸77題12個考點專練）（原卷版）-25學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點大串講

專題02高二上期末真題精選（壓軸77題12個考點專練）空間向量數(shù)量積最值（或范圍）問題空間向量模最值（或范圍）問題線面角的最值問題二面角的最值問題線面角的探索性問題二面角的探索性問題橢圓中的離心率最值（或范圍）問題雙曲線中的離心率最值（或范圍）問題圓錐曲線中面積定值問題圓錐曲線中面積最值（范圍）問題圓錐曲線中的定點問題圓錐曲線中的定值問題圓錐曲線中的定直線問題考點01空間向量數(shù)量積最值（或范圍）問題（共5小題）1．（23-24高三上·北京順義·期末）《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．現(xiàn)有一“陽馬”，平面，，為底面及其內(nèi)部的一個動點且滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·湖南·期中）已知正方體的棱長為2，球是正方體的內(nèi)切球，點是內(nèi)切球表面上的一個動點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（21-22高二下·安徽安慶·期末）已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，為圓的直徑，為圓上的點，則的最大值為（

）A．4 B． C．5 D．4．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面體的棱長為4，空間內(nèi)動點滿足，則的最大值為.5．（22-23高二上·廣東江門·期中）正方體的棱長為2，若動點在線段上運動，則的取值范圍是．考點02空間向量模最值（或范圍）問題（共4小題）1．（22-23高二下·四川達州·期末）已知棱長為的正方體中，點P滿足，其中，．當(dāng)平面時，的最小值為（

）A．1 B． C． D．22．（21-22高二上·安徽宿州·期末）如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（

）A． B． C．1 D．3．（22-23高一下·廣東云浮·期末）如圖，在正方體中，，E，M，N，P，Q分別為，，，，的中點，O為平面內(nèi)的一個動點，則的最小值為.

4．（21-22高二上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，P為正方形（包括邊界）內(nèi)一動點，當(dāng)P為的中點時，與所成角的余弦值為；若，則的最大值為．考點03線面角的最值問題（共5小題）1．（21-22高一下·福建南平·期末）如圖，正方體中，，，，當(dāng)直線與平面所成的角最大時，（

）A． B． C． D．2．（21-22高二上·遼寧·期末）如圖，在正方體ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直線l在正方形EFGH內(nèi)，點E到直線l的距離記為d，記二面角為A-l-P為θ，已知初始狀態(tài)下x=0，d=0，則（

）A．當(dāng)x增大時，θ先增大后減小 B．當(dāng)x增大時，θ先減小后增大C．當(dāng)d增大時，θ先增大后減小 D．當(dāng)d增大時，θ先減小后增大3．（多選）（23-24高二上·陜西渭南·期末）已知正方體的棱長為1，H為棱上的動點，則下列說法正確的是（

）A．B．平面與平面的夾角為C．三棱錐的體積為定值D．若平面，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為4．（多選）（23-24高二上·江西萍鄉(xiāng)·期末）如圖，正方體邊長為1，是線段的中點，是線段上的動點，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．三棱錐的體積為定值C．直線與平面所成角的正弦值為D．直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為5．（多選）（23-24高三上·山東淄博·期末）如圖，多面體，底面為正方形，底面，，，動點在線段上，則下列說法正確的是（

）A．多面體的外接球的表面積為B．的周長的最小值為C．線段長度的取值范圍為D．與平面所成的角的正弦值最大為考點04二面角的最值問題（共4小題）1．（多選）（23-24高二上·山東泰安·期末）如圖，在正四棱柱中，，點在線段上運動，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．若為的中點，則直線平面C．異面直線與所成角的正弦值的范圍是D．直線與平面所成角的正弦的最大值為2．（22-23高三上·安徽·期末）如圖，在四棱錐中，，E是PB的中點．(1)求CE的長；(2)設(shè)二面角平面角的補角大小為，若，求平面PAD和平面PBC夾角余弦值的最小值．3．（23-24高一下·天津南開·期末）如圖①所示，矩形中，，，點M是邊CD的中點，將沿AM翻折到，連接PB，PC，得到圖②的四棱錐，N為PB中點．(1)求證：平面；(2)若平面平面，求直線BC與平面所成角的大??；(3)設(shè)的大小為θ，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．4．（21-22高一下·山東青島·期末）如圖①所示，長方形中，，，點是邊的中點，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)若棱的中點為，求的長；(3)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．考點05線面角的探索性問題（共5小題）1．（22-23高一下·湖北武漢·期末）如圖，四棱臺中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，，、分別為、的中點，上下底面中心的連線垂直于上下底面，且與側(cè)棱所在直線所成的角為45°.

(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.2．（22-23高三上·河南·期末）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，其對角線與交于點，，.(1)證明：平面；(2)若，，為銳角三角形，點為的中點，直線與平面所成角的正弦值為，求三棱錐的體積.3．（23-24高三上·安徽合肥·期末）如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長為6的正方形，下底面圓的一條弦EF交CD于點G，其中．

(1)證明：平面平面ABCD；(2)判斷母線BC上是否存在點P，使得直線PE與平面AEF所成的角的正弦值為，若存在，求CP的長；若不存在，請說明理由．4．（23-24高二上·遼寧大連·期末）如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，為中點，且平面，，，，為平面上一動點．(1)若與平面成角的正切值為，求的最小值．(2)若點在線段上，平面與所成角的正弦值為，求的值．5．（23-24高二上·廣東廣州·期末）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點是棱的中點，點是棱上一點.(1)證明：；(2)若直線與平面所成角的正切值為，求點到平面的距離.考點06二面角的探索性問題（共5小題）1．（23-24高二上·安徽阜陽·期末）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，且，平面平面ABCD，，點E為線段PC的中點，點F是線段AB上的一個動點．(1)求證：平面平面PBC；(2)設(shè)二面角的平面角為θ，當(dāng)時，求的值．2．（23-24高二下·云南臨滄·期末）如圖，在三棱錐中，，，點O是的中點，平面.(1)求；(2)點M在直線上，二面角的正弦值為，求三棱錐的體積.3．（23-24高二下·湖南邵陽·期末）如圖所示，是的直徑，點是上異于，平面ABC，、分別為，的中點，(1)求證：EF⊥平面PBC；(2)若，，二面角的正弦值為，求BC．4．（23-24高二下·云南大理·期末）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，分別是的中點，點為線段上一點，.

(1)證明：；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，試求的值.5．（23-24高二下·湖南長沙·期末）由四棱柱截去三棱錐后得到如圖所示的幾何體，四邊形是菱形，為與的交點，平面.(1)求證：平面；(2)若二面角的正切值為，求平面與平面夾角的大小.考點07橢圓，雙曲線中的離心率最值（或范圍）問題（共7小題）1．（23-24高三上·河北·期末）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）如圖，橢圓和有相同的焦點，離心率分別為為橢圓的上頂點，與橢圓交于點B，若，則的最小值為．3．（23-24高二上·江蘇常州·期末）已知橢圓的離心率為，點，若橢圓上存在四個不同的點到點的距離相等，則的取值范圍為．4．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如圖，在中，已知，其內(nèi)切圓與AC邊相切于點D，且，延長BA到E，使，連接CE，設(shè)以E，C為焦點且經(jīng)過點A的橢圓的離心率為，以E，C為焦點且經(jīng)過點A的雙曲線的離心率為，則的取值范圍是．5．（23-24高二上·湖南·期末）如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點為兩曲線的一個公共點，且為的內(nèi)心，三點共線，且軸上點滿足，則的最小值為；的最小值為.6．（23-24高二上·廣東深圳·期末）設(shè)橢圓的左右焦點分別為，，焦距為，點在橢圓的內(nèi)部，橢圓上存在點使得成立，則橢圓的離心率的取值范圍為.7．（23-24高二上·四川成都·期末）已知分別為橢圓的左、右焦點，A為右頂點，B為上頂點，若在線段AB上有且僅有一個點P使，則橢圓離心率的取值范圍為（寫成集合或區(qū)間形式）．考點08圓錐曲線中面積定值問題（共9小題）1．（23-24高二下·河北·期末）已知點和點在橢圓上.(1)求橢圓C的方程；(2)若過點P的直線l交橢圓C于一點B，且的面積為，求直線l的方程.2．（23-24高二下·湖南益陽·期末）已知橢圓的左、右焦點分別為、，在橢圓上，且面積的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于P，Q兩點，且，求證：（為坐標(biāo)原點）的面積為定值.3．（23-24高二上·湖北荊門·期末）已知橢圓的離心率為，，，，，設(shè)P為橢圓C上一點的面積的最大值為.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)P在第三象限，直線與y軸交于點M，直線與x軸交于點N，求證：四邊形的面積為定值.4．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知分別為雙曲線的左，右焦點，過雙曲線左頂點的直線與圓相切.(1)求直線的方程；(2)若直線與雙曲線交于另一點求的面積.5．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知雙曲線的離心率為，焦點到漸近線的距離為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為坐標(biāo)原點，直線交雙曲線于兩點，求的面積．6．（23-24高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，且的離心率為2，焦距為4．(1)求的方程；(2)直線過點且與交于兩點，為坐標(biāo)原點，若的面積為，求的方程．7．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知圓，動圓與圓內(nèi)切，且與定直線相切，設(shè)動圓圓心的軌跡為．(1)求的方程；(2)過點的直線與交于、兩點，若（為坐標(biāo)原點）的面積為，求直線的方程．8．（23-24高二上·四川宜賓·期末）已知點在拋物線上，斜率為的直線與交于兩點，記直線的斜率分別為(1)證明：為定值:(2)若，求的面積．9．（23-24高二上·黑龍江牡丹江·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C：（）與圓O的一個交點為．(1)求拋物線C及圓O的方程；(2)設(shè)直線l與圓O相切于點R，與拋物線C交于A，R兩點，求的面積．考點09圓錐曲線中面積最值（范圍）問題（共10小題）1．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知橢圓的離心率為，橢圓的左，右焦點與短軸兩個端點構(gòu)成的四邊形面積為.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，過點作軸的垂線交橢圓交于另一點，求面積的最大值.2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知橢圓的焦距為，且過點．(1)求的方程．(2)記和分別是橢圓的左、右焦點．設(shè)是橢圓上一個動點且縱坐標(biāo)不為．直線交橢圓于點（異于），直線交橢圓于點（異于）．若的中點為，求三角形面積的最大值．3．（22-23高三上·河南·期末）已知橢圓：的離心率為，直線過橢圓的左焦點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點且與軸不重合的直線交橢圓于兩點，為橢圓的右焦點，求面積的取值范圍.4．（23-24高二上·江蘇南京·期末）設(shè)，在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左焦點為，直線與雙曲線的右支交于兩點，與雙曲線的漸近線交于兩點.(1)求的取值范圍；(2)記的面積為的面積為，求取值范圍.5．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上的雙曲線的焦距為4，且過點.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點的直線交雙曲線的右支于，兩點，連接并延長交雙曲線的左支于點，求的面積的最小值.6．（23-24高二上·重慶·期末）已知雙曲線的右焦點，漸近線方程．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點F的直線l與雙曲線C的右支交于A、B兩點，交y軸于點P，若，，求證：為定值；(3)在（2）的條件下，若點Q是點P關(guān)于原點O的對稱點，求面積的取值范圍．7．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知雙曲線，是雙曲線上一點．(1)若橢圓以雙曲線的頂點為焦點，長軸長為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)是第一象限中雙曲線漸近線上一點，是雙曲線上一點，且，求的面積（為坐標(biāo)原點）；8．（23-24高二上·浙江紹興·期末）拋物線C：，橢圓M：，．(1)若拋物線C與橢圓M無公共點，求實數(shù)r的取值范圍；(2)過拋物線上點作橢圓M的兩條切線分別交拋物線C于點P，Q，當(dāng)時，求面積的最小值．9．（23-24高二上·江西吉安·期末）已知拋物線C：的焦點F在x軸正半軸上，過F的直線l交C于A，B兩點，過F與l垂直的直線交C于D，E兩點，其中B，D在x軸上方，M，N分別為，的中點．已知當(dāng)l的斜率為2時，．(1)求拋物線C的解析式；(2)試判斷直線是否過定點，若過定點，請求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由；(3)設(shè)G為直線與直線的交點，求面積的最小值．10．（23-24高三上·山東日照·期末）已知橢圓，其上焦點與拋物線的焦點重合.若過點的直線交橢圓于點，同時交拋物線于點（如圖1所示，點在橢圓與拋物線第一象限交點下方）.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并證明；(2)過點與直線垂直的直線交拋物線于點（如圖2所示），試求四邊形面積的最小值.考點10圓錐曲線中的定點問題（共9小題）1．（23-24高二下·江西九江·期末）已知，是橢圓C：的左、右焦點，點是C上一點，的中點在y軸上，O為坐標(biāo)原點.(1)求橢圓C的方程；(2)已知過橢圓上一點的切線方程為.設(shè)動直線l：與橢圓C相切于點P，且與直線相交于點Q，求證：以PQ為直徑的圓與軸交于定點.2．（23-24高二下·廣東茂名·期末）已知橢圓：（）的一個頂點為，離心率為.(1)求的方程；(2)設(shè)，直線（且）與交于不同的兩點，，若直線與交于另一點，則直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.3．（23-24高二上·河南鄭州·期末）已知橢圓：的離心率為，過右焦點的直線與相交于、兩點．當(dāng)垂直于長軸時，．(1)求橢圓的方程；(2)橢圓上是否存在點，使得當(dāng)繞點轉(zhuǎn)到某一位置時，四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．（23-24高二下·陜西延安·期末）已知雙曲線經(jīng)過點．(1)求的離心率；(2)設(shè)直線經(jīng)過的右焦點，且與交于不同的兩點，點N關(guān)于x軸的對稱點為點P，證明：直線過定點．5．（23-24高二上·山東棗莊·期末）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點，上頂點為，離心率為.(1)求雙曲線的方程；(2)記雙曲線的上、下頂點為、，為直線上一點，直線與雙曲線交于另一點，直線與雙曲線交于另一點，求證：直線過定點，并求出定點坐標(biāo).6．（23-24高二上·安徽馬鞍山·期末）過點作直線l與雙曲線C：交于A，B兩點，P是雙曲線C的左頂點，直線與y軸分別交于．(1)求直線l斜率的取值范圍；(2)求證：線段的中點M為定點，并求出點M的坐標(biāo)．7．（23-24高二上·河北邢臺·期末）已知為拋物線上的一點，為的焦點.(1)設(shè)的準(zhǔn)線與軸交于點，過點作，垂足為，求四邊形的面積；(2)若、為上橫坐標(biāo)不同的兩動點，、與均不重合，且直線、的斜率之積為，證明：直線過定點.8．（23-24高二上·浙江金華·期末）已知為拋物線的焦點，為坐標(biāo)原點，為的準(zhǔn)線上一點，直線的斜率為的面積為．已知，設(shè)過點的動直線與拋物線交于兩點，直線與的另一交點分別為．

(1)求拋物線的方程；(2)當(dāng)直線與的斜率均存在時，討論直線是否恒過定點，若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．9．（23-24高二上·陜西漢中·期末）已知拋物線過點，直線與拋物線交于兩點，為坐標(biāo)原點，．(1)求拋物線的方程；(2)求證：直線過定點；(3)在軸上是否存在點，使得直線與直線的斜率之和為0？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．考點11圓錐曲線中的定值問題（共9小題）1．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知橢圓的右焦點坐標(biāo)為，兩個焦點與短軸一個端點構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的方程和離心率；(2)若過點與點的直線交橢圓于，兩點，過點且與直線平行的直線交軸于點，直線與直線于點，求的值.2．（23-24高二下·廣西南寧·期末）已知橢圓的離心率為，點在上，分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓的右頂點.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓上一點的坐標(biāo)為，若為鈍角，求橫坐標(biāo)的取值范圍；(3)過點的直線與橢圓交于不同的兩點D，E(D，E與不重合)，直線分別與直線交于P，Q兩點，求的值.3．（23-24高二下·福建廈門·期末）已知動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，記的軌跡為.(1)求的方程；(2)過原點的直線交于兩點，過作直線的垂線交于點（異于點），直線與軸，軸分別交于點.設(shè)直線，的斜率分別為，.（?。┳C明：為定值；（ⅱ）求四邊形面積的最大值.4．（23-24高二上·江蘇泰州·期末）已知雙曲線：過點，離心率為.(1)求的方程；(2)過點且斜率為的直線交雙曲線左支于點，平行于的直線交雙曲線的漸近線于A，B兩點，點A在第一象限，直線的斜率為.若四邊形為平行四邊形，證明：為定值.5．（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知雙曲線：與圓的一個交點為.(1)求雙曲線E的方程；(2)設(shè)點A為雙曲線E的右頂點，點B，C為雙曲線E上關(guān)于原點O對稱的兩點，且點B在第一象限，直線與直線交于點M，直線與雙曲線E交于點D.設(shè)直線與的斜率分別為，，請問是否為定值?若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.6．（23-24高二上·山東淄博·期末）已知雙曲線（，）的離心率為2，且經(jīng)過點.(1)求雙曲線的方程；(2)點，在雙曲線上，且，，為垂足.證明：①直線過定點；②存在定點，