專題01 高二上期末真題精-選（人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)?？?23題23類考點(diǎn)專練）（解析版）-25學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講

專題01高二上期末真題精選（?？?23題23類考點(diǎn)專練）用基底表示向量空間向量共面空集中兩個(gè)向量乘銳角（鈍角）借助向量證明平行（垂直）關(guān)系借助向量求點(diǎn)到直線距離向量法求異面直線所成角向量法解決線面角問題向量法解決二面角問題向量法解決點(diǎn)到平面的距離問題直線的傾斜角和斜率求直線方程兩條直線平行于垂直的判斷直線中的距離問題二元二次方程表示圓的條件求圓的方程直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系圓錐曲線中的定義問題圓錐曲線中上的點(diǎn)到定點(diǎn)的和差問題焦點(diǎn)三角形問題離心率問題弦長(zhǎng)問題（含焦點(diǎn)弦）中點(diǎn)弦問題一、用基底表示向量（共3小題）1．（23-24高一下·重慶·期末）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，設(shè)，則用表示為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】用空間基底表示向量【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算和中線向量的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】在三棱錐中，點(diǎn)N為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M在棱PC上，且滿足故，所以，點(diǎn)N為棱的中點(diǎn)，所以，故.故選：B．2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】用空間基底表示向量、空間向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何表示、空間向量加減運(yùn)算的幾何表示【分析】根據(jù)條件，利用空間向量的線性運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，，又，所以，得到，故選：A.3．（23-24高二上·浙江金華·期末）如圖，在四面體中，分別是上的點(diǎn)，且是和的交點(diǎn)，以為基底表示，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】用空間基底表示向量、空間向量的加減運(yùn)算【分析】由題意首先得四邊形為平行四邊形，進(jìn)一步結(jié)合線段比例分解向量成基底向量的線性組合即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，同理，所以四邊形為平行四邊形，所?故答案為：.二、空間向量共面（共3小題）1．（22-23高二上·遼寧丹東·期末）已知空間向量，，，若，，共面，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．6 C． D．12【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】空間向量共面求參數(shù)【分析】根據(jù)向量共面，建立方程組，解得答案.【詳解】由，，共面，可設(shè)，則，由，解得，代入第三個(gè)方程可得：，解得.故選：A.2．（22-23高二上·浙江寧波·期末）對(duì)空間中任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，能得到在平面內(nèi)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】空間向量的加減運(yùn)算、空間共面向量定理的推論及應(yīng)用【分析】用向量來判定點(diǎn)在平面內(nèi)，只需要滿足：（）【詳解】因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)不共線，則不共線，若四點(diǎn)共面，則存在唯一的一組實(shí)數(shù)使得，即，變形得，對(duì)于，，整理得，則，所以在平面內(nèi)，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，，可得：則，故不在平面內(nèi)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，，可得：，則，故不在平面內(nèi)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于，，可得：則，故不在平面內(nèi)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：3．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）在空間四面體中，對(duì)空間內(nèi)任意一點(diǎn)，滿足，則下列條件中可以確定點(diǎn)與，，共面的為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】空間共面向量定理的推論及應(yīng)用【分析】根據(jù)空間向量四點(diǎn)共面列式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)與，，共面等價(jià)于，即.故選：A.三、空集中兩個(gè)向量乘銳角（鈍角）（共4小題）1．（23-24高一下·山西長(zhǎng)治·期末）已知平面向量，滿足，，，夾角為，若與夾角為銳角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】已知向量共線（平行）求參數(shù)、向量夾角的計(jì)算、數(shù)量積的運(yùn)算律【分析】根據(jù)且與不共線，可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得且與不共線，則，所以，解得，當(dāng)與共線時(shí)，即存在，使得，解得，因?yàn)榕c不共線，所以，所以且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.2．（20-21高三上·安徽安慶·期末）已知向量，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】用向量解決夾角問題【解析】由題意可得，且、不共線，由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】向量，若與的夾角為鈍角，則，且、不共線，即，求得，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量的夾角求參數(shù)的取值范圍，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意考慮向量共線是不成立的.3．（23-24高一下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）已知向量，，若，的夾角為鈍角，則的取值范圍是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】由題意可得且與不反向共線，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】若與共線，則，得，此時(shí)，與方向相反，因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以且與不反向共線，即且，解得且，則的取值范圍是.故答案為：.4．（23-24高一下·四川自貢·期末）已知向量．(1)證明：；(2)與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)且【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、向量垂直的坐標(biāo)表示、由向量共線（平行）求參數(shù)【分析】（1）求出的坐標(biāo)，根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算證明；（2）轉(zhuǎn)化為，且不平行.【詳解】（1）根據(jù)題意，，則，所以；（2）與的夾角為鈍角，，則，解得，若向量，則，得，經(jīng)驗(yàn)證滿足同向共線，所以且.四、借助向量證明平行垂直關(guān)系（共5小題）1．（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）在直三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為3的正方形，，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)．(1)求的值；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】求空間中兩點(diǎn)間的距離、空間位置關(guān)系的向量證明【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得.（2）利用向量法來證得.【詳解】（1）依題意可知兩兩相互垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，.（2）因?yàn)?，?2．（23-24高二上·山東青島·期末）在正四棱柱中，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)到直線的距離；(2)求證：面.【答案】(1)(2)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明、點(diǎn)到直線距離的向量求法【分析】（1）依題建系，求得相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離的空間向量計(jì)算公式即可求得；（2）由（1）中所建的系求出的坐標(biāo)，分別計(jì)算得到和，由線線垂直推出線面垂直.【詳解】（1）

如圖,以為原點(diǎn)，以分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，正四棱柱,為中點(diǎn),則點(diǎn)到直線的距離為：.（2）由（1）可得，則，由可得，又由可得，又，故面.3．（23-24高三上·廣東深圳·期末）正方體中分別是的中點(diǎn).(1)證明：平面；【答案】(1)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明、線面角的向量求法【詳解】（1）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)是2，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，令，則，所以，則，又平面，故平面.4．（23-24高二上·廣東深圳·期末）如圖，在正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，高為4.

(1)證明：平面平面；【答案】(1)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明、線面角的向量求法、證明面面垂直【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明，，再利用面面垂直的判定定理證明即可；【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，因?yàn)椋?，所以，，即，，又因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面?．（23-24高二上·北京東城·期末）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為，的中點(diǎn).(1)證明：平面；【答案】(1)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】面面角的向量求法、空間位置關(guān)系的向量證明【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量與方向向量的關(guān)系即可求證，【詳解】（1）因?yàn)槭侵比庵?，所以底?因?yàn)榈酌?，底面，所以?因?yàn)?，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則A2,0,0，，，，.因?yàn)镈，E分別為，的中點(diǎn)，所以，.所以，.因?yàn)榈酌?，所以是平面的一個(gè)法向量.因?yàn)椋?因?yàn)槠矫?，所以平?五、借助向量求點(diǎn)到直線距離（共4小題）1．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空間向量，，則B點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到直線距離的向量求法【分析】利用點(diǎn)到直線的空間向量距離公式求出答案.【詳解】，，故在上的投影向量的模為，故B點(diǎn)到直線的距離為.故選：A2．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知，，三點(diǎn)，則到直線的距離為.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到直線距離的向量求法【分析】根據(jù)條件，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，得到，所以到直線的距離為，故答案為：.3．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，，則點(diǎn)B到直線的距離為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到直線距離的向量求法【分析】根據(jù)題意，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，可得在方向上的投影為，又，由勾股定理可得點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：4．（23-24高二上·陜西渭南·期末）直線的方向向量為，且過點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到直線距離的向量求法【分析】根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到直線距離的向量求法計(jì)算即得.【詳解】依題意，，所以點(diǎn)到的距離.故答案為：六、向量法求異面直線所成角（共5小題）1．（23-24高三上·江西·期末）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，，分別為上、下底面圓的直徑，四面體的體積為，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】異面直線夾角的向量求法【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，假定的坐標(biāo)，結(jié)合已知解出的坐標(biāo)，利用線線角的向量求法求解即可.【詳解】如圖，找底面圓心，作與底面垂直，//，，故以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，規(guī)定，，設(shè)，，易知底面圓方程為，則，，故，，故，設(shè)到面的距離為，設(shè)面的法向量，故有，，解得，，，故，由點(diǎn)到平面的距離公式得，已知四面體的體積為，故得，解得(負(fù)根舍去)，易得，故，，，，設(shè)直線與所成角為，故有.故選：D2．（23-24高二上·江西上饒·期末）在正四棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值．【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】異面直線夾角的向量求法【分析】設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得與所成角的余弦值.【詳解】不妨設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則B1,0,0、C1,1,0、、，則，，所以，.因此，與所成角的余弦值為.故答案為：.3．（23-24高二上·天津·期末）在直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值是.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】異面直線夾角的向量求法【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求異面直線所成的角.【詳解】直三棱柱，且，以為原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸的正向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則A2,0,0，，，，，，設(shè)直線與成的角為，則，直線與所成角的余弦值為.故答案為：.4．（22-23高二上·湖南岳陽(yáng)·期末）如圖，在三棱錐中，底面，，點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，.(1)求證：平面.(2)已知點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長(zhǎng).【答案】(1)證明見解析(2)或2【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明、已知線線角求其他量【分析】（1）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面；（2）設(shè)，且，則,0,，由直線與直線所成角的余弦值，利用向量法能求出線段的長(zhǎng)．【詳解】（1）如圖，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,0,，,0,，,4,，,2,，,0,，,2,，,2,，,0,，,2,，設(shè)平面的法向量,,，則，取，得,0,，，平面，平面．（2）設(shè)，且，則,0,，,,，,2,，則，整理得解得或，所以線段AH的長(zhǎng)為或2．5．（21-22高二上·內(nèi)蒙古包頭·期末）在四棱錐中，，，，，為正三角形，且平面平面ABCD.(1)求二面角的余弦值；(2)線段PB上是否存在一點(diǎn)M（不含端點(diǎn)），使得異面直線DM和PE所成的角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)M位置為【知識(shí)點(diǎn)】已知線線角求其他量、面面角的向量求法、面面垂直證線面垂直、求平面的法向量【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦值；（2）設(shè)，利用向量法求異面直線的夾角，得到，解方程即得解.【詳解】（1）設(shè)是中點(diǎn)，為正三角形，則.因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，又平面PAD，所以面ABCD.又因?yàn)?，，所以為正三角形，所以，以為原點(diǎn)，分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，于是，，.設(shè)平面PEC的法向量為，由即可取.平面EBC的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則由圖知為為鈍角，所以二面角的余弦值為.（2）設(shè)，則，，，所以，解得或0（舍），所以存在點(diǎn)M使得.七、向量法解決線面角問題（共7小題）1．（2023·黑龍江哈爾濱·三模）已知四棱錐的底面為正方形，底面，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與平面所成角的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】線面角的向量求法【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，因?yàn)闉檎叫?，且底面，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，設(shè)，，則，所以，即，設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，即直線與平面所成角的最大值為.故選:C2．（22-23高二上·遼寧鞍山·期中）長(zhǎng)方體中，，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則與平面所成角的余弦值的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】線面角的向量求法【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用空間向量求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)的橫坐標(biāo)為，則，所以（），設(shè)與平面所成角的為，則，令（），對(duì)稱軸為，所以的最小值為，所以的最大值為，因?yàn)?，所以的最大值為，故選：D3．（23-24高二上·云南迪慶·期末）如圖形中，底面是菱形，，與交于點(diǎn)，底面，為的中點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、線面角的向量求法【分析】（1）連接，得到為的中位線，證得，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面；（2）以所在的直線分別為軸，以過點(diǎn)作的垂線所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，因?yàn)榈酌媸橇庑?，且與交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中位線，可得，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）解：以所在的直線分別為軸，以過點(diǎn)作的垂線所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，所以，又由，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成的角的正弦值為.【點(diǎn)睛】4．（23-24高二下·北京海淀·期末）在五面體中，平面，平面.(1)求證：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【知識(shí)點(diǎn)】線面角的向量求法、線面平行的性質(zhì)、證明線面平行、線面垂直證明線線平行【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)、線面平行的判定性質(zhì)推理即得.（2）結(jié)合已知可得直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面法向量，再利用線面角的向量求求解即得.【詳解】（1）由平面，平面，得，而平面，平面，則平面，又平面，平面平面，所以.（2）令，則，有，于是，由已知得直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.5．（23-24高二下·安徽阜陽(yáng)·期末）如圖，在三棱柱中，底面，點(diǎn)到平面的距離為2.

(1)證明：.(2)若直線與之間的距離為4，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】面面垂直證線面垂直、線面角的向量求法、證明線面垂直【分析】（1）結(jié)合已知線面垂直的判定定理證明平面，利用面面垂直的判定定理得平面平面，然后利用面面垂直的性質(zhì)定理得平面，從而得出均為直角三角形，利用勾股定理求解即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量公式求解即可.【詳解】（1）底面平面，

，又平面，平面，又平面，平面平面.過作交于，又平面平面，平面，平面．點(diǎn)到平面的距離為.在中，，設(shè)，則.均為直角三角形，且，，解得，，即.（2），，過作交于，則為的中點(diǎn).由直線與之間的距離為4，得，在中，.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，顯然n=0,1,0為平面設(shè)直線與平面所成角為，則則直線與平面所成角的正弦值為.6．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，為的中點(diǎn)，線段與交于點(diǎn)（如圖1）.將沿折起到位置，使得（如圖2）.(1)求證：平面平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】(1)證明見解析(2)存在，【知識(shí)點(diǎn)】證明面面垂直、已知線面角求其他量、線面角的向量求法【分析】（1）連接、，由平面幾何的知識(shí)得到，即，，即可得到，從而得到平面，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法得到方程，求出，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，所以，則，則，又P為的中點(diǎn)，連接，則且，，所以為菱形，同理可得為菱形，所以，所以，連接，則，又，所以，即，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）線段上存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為.因?yàn)槠矫妫?，，兩兩互相垂直，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，，設(shè)，因?yàn)?，，所以，設(shè)與平面所成角為，則，即，，解得或（舍去），所以線段上存在點(diǎn)，且，使得與平面所成角的正弦值為.7．（23-24高三上·寧夏石嘴山·期末）如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，側(cè)面平面，，，為的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)點(diǎn)在棱上，直線與平面所成的角的正弦值為，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、已知線面角求其他量、面面垂直證線面垂直【分析】（1）根據(jù)條件得到平面，從而得出，再利用條件得到四邊形是菱形，從而有，利用線面垂直的判定定理即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出及平面的一個(gè)法向量，利用線面角的向量法及條件，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，O為AD的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因?yàn)椋?，所以四邊形是菱形，得到，又，平面，平面，所以平?（2）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑妊菪?，所以，以所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)椋?，易得，則，所以，，令，所以，得到，由（1）知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，整理得到，解得或（舍），所以.八、向量法解決二面角問題（共7小題）1．（23-24高二下·青?！て谀┤鐖D，在四棱錐中，底面，平面，.

(1)證明：平面.(2)若，，且直線與直線所成角的正切值為，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】線面垂直證明線線垂直、面面角的向量求法、證明線面垂直、線面平行的性質(zhì)【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理、判定定理以及線面平行的性質(zhì)定理證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解二面角的余弦值.【詳解】（1）因?yàn)榈酌妫酌?，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，又平面，平面平面，所以，所以平?（2）因?yàn)椋灾本€與直線所成的角為，因?yàn)榈酌妫酌?，所以，所以，即，設(shè)為2個(gè)單位長(zhǎng)度，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，

設(shè)平面的法向量為，則取，則，，得，易得平面的一個(gè)法向量為，由圖可知二面角為銳角，則二面角的余弦值為.2．（23-24高二下·內(nèi)蒙古·期末）如圖，在正四棱柱中，，，分別為的中點(diǎn)，為四邊形的中心．(1)證明：∥平面．(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、面面角的向量求法【分析】（1）由題意易得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而可證平面．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面與平面的一個(gè)法向量，利用向量法可求二面角的余弦值.【詳解】（1）連接．因?yàn)闉樗倪呅蔚闹行?，所以為的中點(diǎn)．又為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，則．又平面，平面，所以平面．（2）在正四棱柱中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，所以，則．設(shè)平面的法向量為，則令，得，即．連接．易知是平面的一個(gè)法向量，則．因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為．3．（23-24高二下·上海金山·期末）如圖，在中，.將繞旋轉(zhuǎn)得到，分別為線段的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)；(2)【知識(shí)點(diǎn)】面面角的向量求法、求點(diǎn)面距離【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，作，垂足為.證明平面，即點(diǎn)到平面的距離為的長(zhǎng)度．求出即可.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)和法向量坐標(biāo)，用向量法可解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，作，垂足為因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.又，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以．又，所以平面，即點(diǎn)到平面的距離為的長(zhǎng)度.易知平面，所以．因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，又，所以，所以．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，可得，令，則，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，可得，令，則，所以平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，則二面角的正弦值為.4．（23-24高二下·浙江溫州·期末）在三棱錐中，平面平面，，，分別為的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【知識(shí)點(diǎn)】面面角的向量求法、證明線面垂直【分析】（1）結(jié)合中點(diǎn)，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，從而利用線面垂直的性質(zhì)定理得，最后利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）過作交于點(diǎn)，設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量法求解二面角的正弦值即可.【詳解】（1），為中點(diǎn)，.又平面平面，平面平面，平面，平面，而平面，.又為的中點(diǎn)，，又，.又平面，平面.（2）過作交于點(diǎn)，設(shè)，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，故，，，.設(shè)為平面的法向量，則，即，，取，則，是平面的一個(gè)法向量.設(shè)為平面的法向量，則，即，，取，則，是平面的一個(gè)法向量.設(shè)二面角的大小為，則，，二面角的正弦值為.5．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·期末）已知四邊形為正方形，為，的交點(diǎn)，現(xiàn)將三角形沿折起到位置，使得，得到三棱錐.(1)求證：平面平面；(2)棱上是否存在點(diǎn)，使平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在滿足題意的點(diǎn)，且.【知識(shí)點(diǎn)】已知面面角求其他量、證明面面垂直【分析】（1）線線垂直得到線面垂直，然后得到面面垂直；（2）由三直線兩兩垂直建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)求得面的法向量，由法向量與面面角的余弦值建立等式，解出點(diǎn)的位置，得到比值.【詳解】（1）在正方形中，，又∵，∴，∴即，，且，平面，平面，∴平面，由∵平面，∴平面平面（2）由（1）可知，，，∴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則向量是平面的一個(gè)法向量，設(shè)，則A1,0,0，，∵在線段上，∴，∴，∴，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，∴，∴，設(shè)為平面與平面夾角，則，則，則，為中點(diǎn)，∴.6．（23-24高二下·江蘇南京·期末）如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若二面角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)度．【答案】(1)證明見解析；(2)6.【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、已知面面角求其他量、面面角的向量求法【分析】（1）應(yīng)用線面垂直判定定理證明即可；（2）設(shè)邊長(zhǎng)，應(yīng)用空間向量法求出二面角余弦值即可求出邊長(zhǎng).【詳解】（1）由題意知平面，又平面，所以，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?，所以四邊形為正方形，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面．又平面，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫妫云矫妫?）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，則，所以，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，所以，設(shè)二面角的大小為，則，解得，所以線段的長(zhǎng)為6．7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別在，上，且，．(1)求證：平面；(2)當(dāng)，，且平面與平面的夾角的余弦值為時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、已知面面角求其他量【分析】（1）由長(zhǎng)方體的性質(zhì)得到平面，即可得到，結(jié)合，得到平面，從而得到，同理可證，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)椋矫?，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平?（2）依題意，建立以為原點(diǎn)，以，，分別為，，軸的空直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，則，，，由（1）平面，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得（負(fù)值舍去），所以平面與平面的夾角的余弦值為時(shí).九、向量法解決點(diǎn)到平面的距離問題（共5小題）1．（23-24高一下·四川成都·期末）如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，，，E為中點(diǎn)，與交點(diǎn)為O．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)若，求點(diǎn)C到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、證明線面平行、點(diǎn)到平面距離的向量求法、證明面面垂直【分析】（1）只需證明，結(jié)合線面平行的判定定理即可得解；（2）只需證明平面，在結(jié)合面面垂直的判定定理即可得解；（3）首先證明面，由等體積法即可列方程求解.【詳解】（1）設(shè)，連結(jié)，∵E為中點(diǎn)，O為中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）連結(jié)，∵，O為中點(diǎn)，∴，又∵底面為菱形，∴，∵且兩直線在平面內(nèi)，∴平面，又∵平面，∴平面平面；（3）由（2）得：，由，同理可得：，而平面，∴面可求：，，，∴，而中，，可求：，，可求：，而，則，則即為所求點(diǎn)C到平面的距離．2．（23-24高二上·浙江嘉興·期末）如圖，在正四棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)．

(1)證明：平面平面；(2)求到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明、點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】（1）以為原點(diǎn)，以AD，DC所在直線為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面一個(gè)的法向量，根據(jù)平面法向量平行可得證（2）根據(jù)到平面的距離的空間向量公式即得【詳解】（1）以為原點(diǎn)，以AD，DC所在直線為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，．

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，所以設(shè)可得平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，所以，因?yàn)椋瑑善矫嬗植恢睾?，所以平面平面．?）因?yàn)?，所以，由?）知平面的一個(gè)法向量，則．3．（23-24高二上·安徽宣城·期末）如圖，在直三棱柱中，是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)到平面距離的向量求法、證明線面平行【分析】（1）連接交于，連接，由三角形中位線性質(zhì)得，再由線面平行的判定定理即可證明結(jié)果；（2）根據(jù)條件，建立空間直角坐標(biāo)系，由條件求得平面的法向量和，再利用空間距離的向量法，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）連接交于，連接，在三角形中，是三角形的中位線，所以，又平面，平面，所以平面.（2）由是直三棱柱，且，故，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又，則，則，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z由，得到，令，得，所以，又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.4．（23-24高二上·湖南衡陽(yáng)·期末）如圖所示，在直三棱柱中，，，，分別是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】空間位置關(guān)系的向量證明、點(diǎn)到平面距離的向量求法、證明線面平行【分析】（1）利用空間向量方法證明即可；（2）利用空間法向量求解點(diǎn)面距離即可.【詳解】（1）證明：如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，，所以，平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，又因?yàn)槠矫?，所以平面；?）由（1）知，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以平面的一個(gè)法向量為.所以點(diǎn)到平面的距離為，故點(diǎn)到平面的距離為5．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)是2，E、F分別是線段AB、的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、點(diǎn)到平面距離的向量求法【分析】（1）取中點(diǎn)M，連AM，MF，由四邊形AEFM是平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．求得平面的法向量n=x,y,z，由點(diǎn)到平面的距離求解.【詳解】（1）證明：如圖，取中點(diǎn)M，連AM，MF，則易證，且，所以四邊形AEFM是平行四邊形，從而，又面，面，所以平面．（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，所在直線為z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量n=x,y,z由，即，令，得，則，所以點(diǎn)到平面的距離十、直線的傾斜角和斜率（共4小題）1．（23-24高二上·河北滄州·期末）已知直線方程為，則其傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】直線的傾斜角、直線的一般式方程及辨析【分析】由直線方程可得斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角大小.【詳解】由題知直線斜率為，若直線的傾斜角為，則，∵，∴，故選：D．2．（23-24高二上·浙江寧波·期末）經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】已知兩點(diǎn)求斜率、斜率與傾斜角的變化關(guān)系【分析】利用斜率公式和傾斜角與斜率的關(guān)系求解.【詳解】解：因?yàn)橹本€經(jīng)過，所以經(jīng)過該兩點(diǎn)的直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)椋?，故選：D3．（23-24高二上·安徽亳州·期末）已知兩點(diǎn)，若直線與線段有公共點(diǎn)，則直線傾斜角的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】斜率與傾斜角的變化關(guān)系、已知兩點(diǎn)求斜率【分析】求出直線恒過的定點(diǎn)，根據(jù)斜率公式即可求解.【詳解】由直線，變形可得，由，解得，可得直線恒過定點(diǎn)，則，結(jié)合圖象可得：若直線與線段有公共點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為，由斜率定義，可得直線傾斜角的取值范圍為.故選：D.4．（23-24高二上·江蘇南京·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，是直線上不同的兩點(diǎn)，直線上的向量以及與它平行的非零向量都稱為直線的方向向量．已知直線的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為，則直線的傾斜角為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】直線的傾斜角、根據(jù)直線的方向向量求直線方程、斜率與傾斜角的變化關(guān)系【分析】根據(jù)直線的方向向量求出直線的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系可求出直線的傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所以，即直線的傾斜角為.故答案為：十一、求直線方程（共5小題）1．（23-24高一下·江蘇無錫·期末）已知頂點(diǎn)，邊AC上的高BH所在直線方程為，邊AB上的中線CM所在的直線方程為.(1)求直線AC的方程；(2)求的面積.【答案】(1)；(2)24.【知識(shí)點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程及辨析、求點(diǎn)到直線的距離、由兩條直線垂直求方程、求直線交點(diǎn)坐標(biāo)【分析】（1）利用點(diǎn)斜式求得直線的方程.（2）先求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式求得三角形的面積.【詳解】（1）由邊上的高所在直線方程為，得直線的斜率為，所以直線的方程為，即.（2）邊上的中線所在的直線方程為，由，解得，即，設(shè)，則，所以，解得，即，，到的距離為，所以的面積為.2．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）求過兩條直線與的交點(diǎn)，且分別滿足下列條件的直線方程.(1)過點(diǎn)；(2)平行于直線.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】由兩條直線平行求方程、求直線交點(diǎn)坐標(biāo)、直線的點(diǎn)斜式方程及辨析、直線兩點(diǎn)式方程及辨析【分析】（1）求出兩條直線與的交點(diǎn)，利用兩點(diǎn)式方程整理計(jì)算即可;（2）求出平行于的直線斜率，利用點(diǎn)斜式方程整理計(jì)算即可.【詳解】（1）由解得,即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.直線經(jīng)過點(diǎn)和，由兩點(diǎn)式方程得，，化簡(jiǎn)得所求直線方程為.（2）由可得直線的斜率為，故平行于直線的直線的斜率為，結(jié)合（1）問可得：兩條直線與的交點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式方程得，，化簡(jiǎn)得所求直線方程為.3．（23-24高二上·四川南充·期末）已知直線．(1)若直線與直線垂直，且經(jīng)過，求直線的斜截式方程；(2)若直線與直線平行，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，求直線的一般式方程．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】直線的斜截式方程及辨析、由兩條直線平行求方程、由兩條直線垂直求方程、直線圍成圖形的面積問題【分析】（1）根據(jù)垂直設(shè)，代入得到直線方程，再化成斜截式即可；（2）設(shè)，得到面積表達(dá)式求出值即可.【詳解】（1）由題意設(shè)直線的方程為:，由直線經(jīng)過得:，解得:，直線的方程為:，即.（2）由題意設(shè)直線的方程為:，令，則;令，則，所以直線兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積三角形的面積，解得:，所以直線的一般式方程為.4．（23-24高二上·北京石景山·期末）菱形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為邊所在直線過點(diǎn).(1)求邊所在直線的方程；(2)求對(duì)角線所在直線的方程.【答案】(1)BC所在直線方程為，AD所在直線方程為(2)【知識(shí)點(diǎn)】已知兩點(diǎn)求斜率、直線的點(diǎn)斜式方程及辨析、直線一般式方程與其他形式之間的互化、由兩條直線垂直求方程【分析】（1）求出，由點(diǎn)斜式求出直線方程；（2）求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)垂直關(guān)系得到，利用點(diǎn)斜式寫出直線方程，得到答案.【詳解】（1）由菱形的性質(zhì)可知，則.所以邊所在直線的方程為，即；邊所在直線的方程為，即.（2）線段的中點(diǎn)為，由菱形的幾何性質(zhì)可知，且為的中點(diǎn)，則，所以對(duì)角線所在直線的方程為，即.5．（23-24高二上·北京房山·期末）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為．(1)設(shè)線段的中點(diǎn)為，求中線所在直線的方程；(2)求邊上的高線的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程及辨析、求點(diǎn)到直線的距離【分析】（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段的中點(diǎn)為的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)斜式即得中線所在直線的方程；（2）由題意可得直線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式可得方程，然后由點(diǎn)到直線的距離公式代入可求得邊上的高線的長(zhǎng).【詳解】（1）設(shè)的坐標(biāo)為，則，，即，所以，則中線所在直線方程為，即．（2）由題意得．則直線的方程為，即中，邊上的高線的長(zhǎng)就是點(diǎn)到直線的距離．十二、兩條直線平行與垂直問題（共5小題）1．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）已知兩條不重合的直線和．若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．或1【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】已知直線平行求參數(shù)【分析】根據(jù)平行可解得實(shí)數(shù)，驗(yàn)證可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，故，故或，?dāng)時(shí)，的方程均為，它們重合，故舍去；當(dāng)時(shí)，，，它們平行，故選：B.2．（23-24高二上·江蘇連云港·期末）若兩條直線和平行，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】已知直線平行求參數(shù)【分析】由直線平行求出，注意檢驗(yàn)重合情形即可.【詳解】因?yàn)閮芍本€平行，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，舍去，故選：D3．（23-24高一下·重慶·期末）已知直線和直線垂直，則實(shí)數(shù).【答案】【知識(shí)點(diǎn)】已知直線垂直求參數(shù)【分析】根據(jù)兩直線垂直列方程，從而求得的值.【詳解】由于，所以，解得，所以的值為.故答案為：4．（23-24高二上·四川綿陽(yáng)·期末）已知直線：與直線：.若，則.【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】已知直線垂直求參數(shù)【分析】根據(jù)兩直線垂直列方程，由此求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故答案為：2.5．（22-23高二上·遼寧·期中）已知直線：，直線：(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)；(2)或.【知識(shí)點(diǎn)】已知直線平行求參數(shù)、已知直線垂直求參數(shù)【分析】（1）（2）利用直線平行、垂直的判定列方程求參數(shù)值，對(duì)于平行情況需要驗(yàn)證所得參數(shù)是否符合要求.【詳解】（1）由，則，即，所以或，當(dāng)，，，兩線重合，不合題設(shè)；當(dāng)，，，符合題設(shè)；綜上，（2）由，則，即，所以，即或.十三、直線中的距離問題（共3小題）1．（23-24高二下·貴州畢節(jié)·期末）點(diǎn)到直線l：的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)到直線的距離【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】點(diǎn)到直線l：的距離為.故選：A2．（多選）（23-24高二下·江蘇南京·期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn)分別在直線與上移動(dòng)，則線段的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離可能為（

）A． B． C． D．【答案】CD【知識(shí)點(diǎn)】由兩條直線平行求方程、求點(diǎn)到直線的距離、求平行線間的距離【分析】根據(jù)直線平行可得在直線上運(yùn)動(dòng)，即可根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】解：動(dòng)點(diǎn)分別在直線與上移動(dòng)，又線段的中點(diǎn)為，，在直線上運(yùn)動(dòng)，到直線的距離．到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于等于．故選：CD．3．（23-24高二下·廣東江門·期末）已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的m的一個(gè)值．【答案】（答案不唯一）【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)到直線的距離、圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦、三角形面積公式及其應(yīng)用、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【分析】利用圓的弦長(zhǎng)求法，結(jié)合面積可得方程求解即可.【詳解】由圓可知，圓心，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，由垂徑定理可知，由面積為知：，解得或，則由點(diǎn)到直線的距離公式得：，當(dāng)時(shí)，有，解得：，當(dāng)時(shí)，有，解得：，故答案為：（取這三個(gè)中的任何一個(gè)都算對(duì)，答案不唯一）.十四、二元二次方程表示圓的條件（共4小題）1．（23-24高二上·廣東江門·期末）方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系【分析】由計(jì)算即可得.【詳解】，即.故選：D.2．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知點(diǎn)在圓外，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程之間的互化、二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系【分析】由點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，圓的一般方程可表示圓的條件，列出兩個(gè)不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】由表示圓，標(biāo)準(zhǔn)方程是,所以，解得，由點(diǎn)在圓外，即，所以或，綜上.故答案為：.3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系【分析】根據(jù)圓的一般方程條件計(jì)算即可得到答案.【詳解】方程表示一個(gè)圓，則，得.故答案為：4．（23-24高二上·廣東·期末）若方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系、圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程之間的互化【分析】將圓的一般方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程，在根據(jù)等號(hào)右邊的式子大于0求解.【詳解】原方程可化為，方程表示圓，則有，即.故答案為：十五、求圓的方程（共3小題）1．（23-24高二上·河北邯鄲·期末）已知圓過點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．B．C．D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】求過已知三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、由圓心（或半徑）求圓的方程【分析】由題意可得圓心，半徑，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由在圓上，故圓心在直線上，由在圓上，故圓心在直線上，即圓心，半徑，故方程為.故選：A.2．（23-24高三上·江蘇·期末）已知的頂點(diǎn)是，，，則的外接圓的方程是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求圓的一般方程【分析】設(shè)圓的一般方程為，分別將三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程，解方程組求出，即可得結(jié)論.【詳解】設(shè)所求圓的一般方程為，因?yàn)辄c(diǎn)，，在圓上，所以，解得，則所求圓的一般方程為：，.故答案為：.3．（23-24高二上·河北滄州·期末）在△OAB中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，，．(1)求AB邊上的高所在直線的方程；(2)求△OAB的外接圓方程【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程及辨析、求圓的一般方程、由兩條直線垂直求方程【分析】（1）先求出邊上的高線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出邊上的高所在直線的方程；（2）設(shè)的外接圓的方程為（），則把的坐標(biāo)代入求得的值，可得圓的方程．【詳解】（1）∵直線AB的斜率，∴AB邊上的高所在直線的斜率，又AB邊上的高所在直線過原點(diǎn)O，∴AB邊上的高所在直線的方程為．（2）設(shè)的外接圓的方程為（），則，解得，∴的外接圓方程為．十六、直線與圓的位置關(guān)系（共4小題）1．（23-24高三上·安徽亳州·期末）已知直線和曲線，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．無法確定【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷直線與圓的位置關(guān)系、直線過定點(diǎn)問題【分析】根據(jù)直線所過定點(diǎn)，結(jié)合圖象即可判定.【詳解】直線的方程可化為，所以直線恒過點(diǎn)，曲線即，表示圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為3的圓的上半部分（如圖），由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故選：B.2．（23-24高二上·陜西渭南·期末）已知直線和圓，則直線l與圓C（

）A．相切 B．相離C．相交 D．相交且過圓心【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】判斷直線與圓的位置關(guān)系、求點(diǎn)到直線的距離【分析】計(jì)算圓心到直線的距離，將這個(gè)距離和半徑比較即可.【詳解】由圓，可得圓心，半徑，則圓心到直線的距離為，即，所以直線與圓相切.故選：A.3．（23-24高三上·河北秦皇島·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若對(duì)任意，圓與直線恒相切，則直線的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【分析】由題意可得，結(jié)合的任意性以及恒成立問題分析求解即可．【詳解】設(shè)直線，則到直線的距離，若要對(duì)任意恒成立，則，且，解得，由，有．故選：A4．（多選）（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則的值可以為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】AB【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)到直線的距離、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【分析】直線與圓相交得到圓心到直線的距離小于半徑求解即可得到答案．【詳解】解：因?yàn)橹本€與圓相交于不同的兩點(diǎn)、，所以圓心到直線的距離，解得，選項(xiàng)中只有3,4滿足，故選：AB．十七、圓與圓的位置關(guān)系（共5小題）1．（23-24高二上·浙江寧波·期末）已知圓：，圓：，則兩圓的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷圓與圓的位置關(guān)系、由標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得各自的半徑，圓心，結(jié)合圓心距滿足的條件即可判斷.【詳解】由題意圓：即圓：的圓心，半徑分別為，圓：即圓：的圓心，半徑分別為，所以兩圓的圓心距滿足，所以兩圓的位置關(guān)系為相交.故選：B.2．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圓：（，）與圓：，則圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．外離 D．與m的取值有關(guān)【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷圓與圓的位置關(guān)系【分析】求出兩圓心距離，判斷其與兩圓半徑和的大小即可得答案.【詳解】圓：，即，圓心，半徑，圓：，即，圓心，半徑，所以當(dāng)時(shí)，所以圓與圓的位置關(guān)系是外離.故選：C.3．（23-24高二上·江蘇泰州·期末）設(shè)，若圓與圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)或范圍【分析】根據(jù)兩圓心距離與半徑和與差的關(guān)系列不等式求解.【詳解】圓，圓心為，半徑為，圓，圓心為，半徑為，若圓與圓有公共點(diǎn)，則，又，所以.故選：D4．（23-24高二上·浙江嘉興·期末）已知與圓：和圓：都相切的直線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】圓的公切線條數(shù)、由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)或范圍【分析】由題意可得兩圓相交，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系求參即可.【詳解】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，因?yàn)榕c圓：和圓：都相切的直線有且僅有兩條，所以兩圓相交，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.5．（23-24高二上·福建龍巖·期末）已知圓與圓外離，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑、由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)或范圍【分析】由題意表示出兩圓的圓心半徑，進(jìn)一步結(jié)合兩圓外離列出不等式即可求解.【詳解】由題意圓與圓的圓心、半徑依次分別為，因?yàn)閮蓤A外離，所以圓心距滿足，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.十八、圓錐曲線中的定義問題（共4小題）1．（23-24高二上·天津?qū)幒印て谀┰O(shè)橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，其中一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且橢圓上的任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和等于10，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用橢圓定義求方程、橢圓的方程與橢圓（焦點(diǎn)）位置的特征、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線【分析】根據(jù)拋物線方程有準(zhǔn)線為，由題意可得、，進(jìn)而寫出橢圓方程.【詳解】由拋物線的準(zhǔn)線為，故橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則，由橢圓定義知，故，所以橢圓方程為.故選：C2．（多選）（23-24高二上·山東聊城·期末）若平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)Px,y滿足，則（

）A．時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓B．時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓C．時(shí)，點(diǎn)的軌跡為橢圓D．時(shí)，點(diǎn)的軌跡為雙曲線【答案】ABD【知識(shí)點(diǎn)】求平面軌跡方程、橢圓定義及辨析、軌跡問題——圓、利用雙曲線定義求方程【分析】根據(jù)條件，結(jié)合選項(xiàng)，利用圓、橢圓、雙曲線的定義，逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，由，得到，其表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為，由圓的定義知點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，由，得到，整理得到，即，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，由，得到，其表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離之和為，又兩定點(diǎn)，間的距離為，所以點(diǎn)的軌跡為線段上的點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，由，得到，其表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離之差的絕對(duì)值為，又，由雙曲線的定義知，點(diǎn)的軌跡為雙曲線，故選：ABD.3．（多選）（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知圓，圓，圓，圓，直線，則（

）A．與圓都外切的圓的圓心軌跡是雙曲線的一支B．與圓外切?內(nèi)切的圓的圓心軌跡是橢圓C．過點(diǎn)且與直線相切的圓的圓心軌跡是拋物線D．與圓都外切的圓的圓心軌跡是一條直線【答案】ABC【知識(shí)點(diǎn)】利用拋物線定義求動(dòng)點(diǎn)軌跡、軌跡問題——橢圓、求雙曲線的軌跡方程【分析】根據(jù)幾何關(guān)系確定，A正確，，B正確，根據(jù)拋物線定義知C正確，確定，得到D錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：設(shè)圓心為，半徑為，則，，故，圓心軌跡是雙曲線的一支，正確；對(duì)選項(xiàng)B：設(shè)圓心為，半徑為，則，，故，圓心軌跡是橢圓，正確；對(duì)選項(xiàng)C：設(shè)圓心為，半徑為，故到定點(diǎn)和定直線的距離相等為，圓心軌跡是拋物線，正確；對(duì)選項(xiàng)D：設(shè)圓心為，半徑為，則，，故，在兩圓外，圓心軌跡是兩條射線，錯(cuò)誤；故選：ABC.4．（23-24高二下·上海寶山·期末）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微：數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，包含的意思是：幾何圖形中都蘊(yùn)藏著一定的數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀的反映和描述，通過“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，常?？梢郧擅畹亟鉀Q問題，所以“數(shù)形結(jié)合”是研究數(shù)學(xué)問題的重要思想方法之一.比如：這個(gè)代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點(diǎn)可得，方程的解為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由距離求點(diǎn)的坐標(biāo)、利用雙曲線定義求方程【分析】將原方程配方，方程的解轉(zhuǎn)化為直線與雙曲線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)?！驹斀狻吭匠炭苫癁椋鋷缀我饬x為點(diǎn)到0,4，距離之差的絕對(duì)值等于，則該點(diǎn)的軌跡滿足雙曲線的定義，根據(jù)雙曲線的定義得：，，，所以，又因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，令得，所以原方程的解為。故答案為：十九、圓錐曲線中上的點(diǎn)到定點(diǎn)的和差問題（共6小題）1．（23-24高二上·山西太原·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)M在C上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離的和、差最值【分析】根據(jù)橢圓的定義轉(zhuǎn)化，結(jié)合三點(diǎn)共線來求得的取值范圍.【詳解】依題意，，，，，，所以，當(dāng)位于線段與橢圓交點(diǎn)處時(shí)等號(hào)成立.根據(jù)橢圓的定義可知，如圖所示，設(shè)的延長(zhǎng)線與橢圓相交于，則當(dāng)位于時(shí)，取得最大值為，綜上所述，的取值范圍為.故選：B【點(diǎn)睛】在橢圓中，求解橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)、定點(diǎn)的距離的和或差的最值，可以考慮通過橢圓的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合三點(diǎn)共線來確定最值.在解題過程中，要畫出對(duì)應(yīng)的圖象，結(jié)合圖象來進(jìn)行求解.2．（23-24高二上·山東青島·期末）設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（

）A．3 B．2 C． D．5【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)到直線的距離、拋物線定義的理解、拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離的和、差最值、根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，利用拋物線定義及點(diǎn)到直線的距離公式求解即得.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，過點(diǎn)作于，垂直于直線于點(diǎn)，顯然，點(diǎn)到直線的距離，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是點(diǎn)到直線的垂線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為2.故選：B

3．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離的和、差最值、拋物線定義的理解【分析】根據(jù)拋物線定義確定，分析出圓的圓心和半徑，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，則有,即，由此將求的最小值問題轉(zhuǎn)化為求最小值問題，得出當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值即可.【詳解】

由題意知是拋物線的焦點(diǎn)，拋物線準(zhǔn)線方程為：，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為,即點(diǎn)到拋物線線的準(zhǔn)線的距離為：；圓是圓心為，半徑的圓，根據(jù)拋物線定義有：，因?yàn)辄c(diǎn)是圓上的一點(diǎn),所以,即,由此有：，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，所以，所以的最小值為6.故選：B.4．（多選）（21-22高二上·河北滄州·期末）已知點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，、分別為圓：、：上的動(dòng)點(diǎn)，則的值可能為（

）A．2 B．6 C．9 D．12【答案】BC【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線定義的理解、利用定義求雙曲線中線段和、差的最值、由標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑【分析】先由已知條件可知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為兩個(gè)圓的圓心，再利用平面幾何知識(shí)把轉(zhuǎn)化為雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)之間的距離，結(jié)合雙曲線的定義可求出的范圍，從而可得答案【詳解】由雙曲線的方程可得，焦點(diǎn)為，圓：的圓心為，半徑為2，圓：的圓心為，半徑為1，所以，，所以,，所以，故選：BC5．（23-24高二上·山東臨沂·期中）已知是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為該橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若在橢圓內(nèi)部，則的最大值為；的最小值為．【答案】8【知識(shí)點(diǎn)】橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離的和、差最值、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】設(shè)右焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的定義得到，則，求出橢圓的左準(zhǔn)線方程，根據(jù)圓錐曲線的第二定義，設(shè)到左準(zhǔn)線的距離為，則，所以，則，即可得解.【詳解】橢圓中，，，則，設(shè)右焦點(diǎn)為，則，離心率，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)；

又橢圓左準(zhǔn)線方程為，設(shè)到左準(zhǔn)線的距離為，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在過點(diǎn)作左準(zhǔn)線的垂線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)..

故答案為：；6．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知，是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】7【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求雙曲線中線段和、差的最值、求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、利用定義解決雙曲線中焦點(diǎn)三角形問題【分析】由題意結(jié)合雙曲線定義將轉(zhuǎn)換為，進(jìn)一步由三角形三邊關(guān)系即可求解.【詳解】如圖所示：

由題意，設(shè)為雙曲線右焦點(diǎn)，線段與雙曲線右支交于點(diǎn)，所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)重合，所以的最小值為7.故答案為：7.二十、焦點(diǎn)三角形問題（共6小題）1．（多選）（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．面積的最大值是C．橢圓C的離心率為 D．最小值為【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積問題、橢圓定義及辨析、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離的和、差最值【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)橢圓定義求出答案；B選項(xiàng)，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)在上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，面積最大，求出最大值；C選項(xiàng)，由直接求解即可；D選項(xiàng)，作出輔助線，結(jié)合橢圓定義得到，當(dāng)三點(diǎn)共線且在之間時(shí),取得最小值，得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，由橢圓定義可得，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)在上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，面積最大，最大值為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，離心率，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)，連接，由橢圓定義可知，故，故，當(dāng)三點(diǎn)共線且在之間時(shí)，取得最小值，最小值為，所以最小值為，D正確.故選：ACD2．（多選）（23-24高二上·重慶·期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上項(xiàng)點(diǎn)為B，直線與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．四邊形的周長(zhǎng)為12B．當(dāng)時(shí)，的面積為C．直線，的斜率之積為D．若點(diǎn)P為橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】AD【知識(shí)點(diǎn)】橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積問題、橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離的和、差最值、橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)問題、橢圓中的定值問題【分析】根據(jù)橢圓定義結(jié)合橢圓對(duì)稱性可判斷A；利用焦點(diǎn)三角形的面積公式可判斷B；設(shè)Mx1,y1，，表示出，的斜率之積，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上即可化簡(jiǎn)求值，判斷C；將轉(zhuǎn)化為，利用圖形的幾何意義求解，判斷D.【詳解】對(duì)于A，由題意知對(duì)于橢圓，，與橢圓交于，兩點(diǎn)，則，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，,故四邊形的周長(zhǎng)為，A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，的面積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)Mx1,y1故，而Mx1,y1即，故，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，故,則，故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，且P在之間時(shí)等號(hào)成立，而，，故的最小值為，D正確，故選：AD.3．（多選）（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知為橢圓上一點(diǎn)，分別為橢圓的上焦點(diǎn)和下焦點(diǎn)，若構(gòu)成直角三角形，則點(diǎn)坐標(biāo)可能是（

）.A． B．C． D．【答案】AD【知識(shí)點(diǎn)】橢圓中焦點(diǎn)三角形的其他問題、求橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】根據(jù)給定條件，按直角頂點(diǎn)為點(diǎn)和焦點(diǎn)分類求出點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)，由為直角三角形，則直角可能為若為直角，則，由，得；若為直角，則，由，得；若為直角，則在圓上，由，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)可能是AD.故選：AD4．（多選）（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知橢圓C：，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（

）A．存在點(diǎn)P使得B．的最小值為C．若，則的面積為1D．直線PA與直線PB的斜率乘積為定值【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積問題、橢圓中焦點(diǎn)三角形的其他問題、橢圓中的定值問題【分析】設(shè)橢圓短軸頂點(diǎn)為根據(jù)的符號(hào)即可判斷A；記，則，結(jié)合余弦定理與基本不等式求解判斷B；結(jié)合題意得，進(jìn)而計(jì)算面積判斷C；設(shè)，直接求解即可判斷D.【詳解】設(shè)橢圓短軸頂點(diǎn)為，由題知橢圓：中，，則，，，，對(duì)于A選項(xiàng)，由于，，所以的最大角為鈍角，故存在P使得，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，記，則，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由于，故，所以，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，則，，于是，故D錯(cuò)誤.故選：AC.5．（多選）（23-24高二下·貴州六盤水·期末）圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì)．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)處發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線在點(diǎn)處反射后，反射光線所在直線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線在點(diǎn)處的切線平分．如圖，對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線過點(diǎn)，其左、右焦點(diǎn)分別為．若從發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上一點(diǎn)反射的光線為，點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的方程為B．過點(diǎn)且垂直于的直線平分C．若，則D．若，則【答案】ABD【知識(shí)點(diǎn)】利用定義解決雙曲線中焦點(diǎn)三角形問題、等軸雙曲線、余弦定理解三角形【分析】選項(xiàng)A，利用條件，設(shè)雙曲線方程為，再利用雙曲線過點(diǎn)，即可求解；選項(xiàng)B，根據(jù)條件，借助圖形，即可求解；選項(xiàng)C，利用余弦定理及雙曲線的定義，得到，再結(jié)合條件，即可求解；選項(xiàng)D，利用C中結(jié)果，再結(jié)合條件，即可求解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，所以，解得，得到雙曲線的方程為，正確，對(duì)于B，如圖，由題知，，所以，若，所以，正確，對(duì)于C，記，所以，又，得到，又，所以，又，由，得，錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)?，，由，得，又，得到，得到，從而有，得到，由，得到，從而有，解得，正確，故選：ABD.6．（多選）（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．若，則的面積為2C．過P點(diǎn)且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條D．存在直線與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)P為中點(diǎn)【答案】AB【知識(shí)點(diǎn)】求弦中點(diǎn)所在的直線方程或斜率、利用定義解決雙曲線中焦點(diǎn)三角形問題【分析】對(duì)A，根據(jù)雙曲線的定義判斷即可；對(duì)B，根據(jù)雙曲線定義結(jié)合勾股定理求解即可；對(duì)C，數(shù)形結(jié)合分析判斷即可；對(duì)D，根據(jù)點(diǎn)差法結(jié)合雙曲線性質(zhì)求解即可.【詳解】對(duì)A，根據(jù)雙曲線的定義可得，故A正確；對(duì)B，因?yàn)?，，則，又，故，即，故，故B正確；對(duì)C，由雙曲線的漸近線可得，過點(diǎn)且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有與兩條漸近線分別平行的兩條直線、與雙曲線右支相切的兩條直線，共4條，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，設(shè)存在兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，則，即，又，故，，故，即.由漸近線的性質(zhì)可得過點(diǎn)且斜率為2的直線與雙曲線無交點(diǎn)，故不存在直線與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)P為中點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.

故選：AB二十一、離心率問題（共11小題）1．（23-24高二下·廣東廣州·期末）油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史.將油紙傘撐開后擺放在戶外場(chǎng)地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個(gè)半徑為的圓，圓心到傘柄底端距離為，陽(yáng)光照射油紙傘在地面形成了一個(gè)橢圓形影子（某時(shí)刻，陽(yáng)光與地面夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的長(zhǎng)軸上，則該橢圓的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】結(jié)合橢圓的知識(shí)以及正弦定理求得，進(jìn)而可得橢圓的離心率.【詳解】如圖，為傘沿所在圓的直徑，為橢圓形的左右頂點(diǎn)，由題意可得，則，陽(yáng)光照射方向與地面的夾角為60°，即，則，，在中，，即，即，解得，而，故,.故選：B.2．（23-24高二下·海南?？凇て谀┮阎菣E圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】橢圓定義及辨析、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、橢圓中焦點(diǎn)三角形的其他問題【分析】根據(jù)已知向量關(guān)系得出直角，再根據(jù)定義得出長(zhǎng)軸長(zhǎng)及焦距關(guān)系計(jì)算出離心率即可.【詳解】因?yàn)樗?在中,所以,所以,所以.故選：A.3．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，曲線上存在一點(diǎn)，使得為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線定義的理解、利用定義解決雙曲線中焦點(diǎn)三角形問題、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】畫出圖形，用雙曲線定義和勾股定理構(gòu)造方程求解即可.【詳解】如圖所示，為等腰直角三角形，且，運(yùn)用勾股定理，知道根據(jù)．由雙曲線定義，知道，即，解得，故離心率為：.故選：C.4．（23-24高二下·山西長(zhǎng)治·期末）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線交的左支于兩點(diǎn)，若，，成等差數(shù)列，且，則的離心率是（

A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線定義的理解、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】由題意可得，再結(jié)合雙曲線的定義可得，設(shè)，在中，利用余弦定理求出，再利用雙余弦定理得出的關(guān)系式，即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，則，故，在中，由余弦定理得，，解得（舍去），所以，因?yàn)?，所以，即，即，整理得，所以，即的離心率是.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.5．（23-24高二下·江蘇鹽城·期末）若雙曲線C：的漸近線與圓沒有公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【分析】先根據(jù)雙曲線方程求得雙曲線的漸近線，進(jìn)而利用圓心到漸近線的距離大于半徑求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而利用求得a和c的關(guān)系，則雙曲線的離心率可求．【詳解】雙曲線漸近線為，且與圓沒有公共點(diǎn)，圓心到漸近線的距離大于半徑，即，，，．故選：B．6．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)、，是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最小值為.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】利用橢圓和雙曲線的定義，在焦點(diǎn)三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解.【詳解】不妨設(shè)為第一象限的點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可得，，所以，，，在△中，，由余弦定理得，化簡(jiǎn)得，即．所以，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)等號(hào)成立．故答案為：7．（23-24高二下·四川德陽(yáng)·期末）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C：的右焦點(diǎn)，若C上存在一點(diǎn)P，使得為等邊三角形，則橢圓C的離心率為.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】橢圓定義及辨析、求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】由條件可知為直角三角形，結(jié)合橢圓定義確定關(guān)系，由此可求離心率.【詳解】取橢圓的左焦點(diǎn)，連結(jié)，由為等邊三角形，則，可知為直角三角形，且，設(shè)，則，，可得，則，所以橢圓的離心率是.故答案為：.8．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別是是橢圓上兩點(diǎn)，四邊形為矩形，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】設(shè)，則，，表示出，在中求出PF1，再結(jié)合橢圓的定義可得，然后在中利用勾股定理列方程可求出離心率.【詳解】設(shè)，則由題意可得，，，所以，在中，，因?yàn)?，所以，解得，所以，，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以離心率.故答案為：9．（23-24高二下·安徽阜陽(yáng)·期末）已知圓與雙曲線的漸近線有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)到直線的距離、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、已知方程求雙曲線的漸近線、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】先根據(jù)雙曲線方程求得雙曲線的漸近線，進(jìn)而利用圓心到漸近線的距離小于等于半徑求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而利用求得a和c的不等關(guān)系，即雙曲線的離心率范圍可求．【詳解】圓，雙曲線的漸近線為，圓與雙曲線的漸近線有公共點(diǎn)，圓心到漸近線的距離，，，即，．故答案為：．10．（23-24高二下·貴州遵義·期末）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于一條漸近線的直線l，分別交兩漸近線于A，B兩點(diǎn)，且A，B分別在第一、四象限，若，則該雙曲線的離心率為．【答案】##【知識(shí)點(diǎn)】求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍、已知方程求雙曲線的漸近線【分析】先根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求得，再由，用表示出，根據(jù)雙曲線的漸近線方程及正切二倍角公式，即可求得與的等量關(guān)系式，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】由題意知：雙曲線的右焦點(diǎn)，漸近線方程為，即，由點(diǎn)到直線距離公式可知：，又，，∵，即，設(shè)，則，而，，由正切二倍角公式可知：，即，化簡(jiǎn)可得：，即，由雙曲線離心率公式可知.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.11