第十七講三角形與多邊形

第十七講三角形與多邊形1.了解:三角形的穩(wěn)定性;多邊形的定義,多邊形的頂點、邊、內(nèi)角、外角、對角線等概念;命題、定理的意義.2.理解:三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高線、角平分線等概念.3.掌握:三角形的內(nèi)角和定理及其推論;三角形的任意兩邊之和大于第三邊.4.會:按照邊的關(guān)系和角的大小對三角形進行分類;識別兩個互逆的命題,知道原命題成立其逆命題不一定成立.5.能:探索多邊形內(nèi)角和與外角和公式并會應(yīng)用公式解決數(shù)學(xué)問題.一、三角形的角平分線、中線和高1.三角形的角平分線:一個三角形有三條角平分線,并且都在三角形的_____,相交于一點,這個交點叫做三角形的_____.2.三角形的中線:一個三角形有三條中線,并且都在三角形的_____,相交于一點.內(nèi)部內(nèi)心內(nèi)部3.三角形的高:(1)銳角三角形:銳角三角形的三條高都在其_____,相交于一點.(2)直角三角形:直角三角形有兩條高與_______重合,另一條高在三角形的內(nèi)部,它們的交點是_________.(3)鈍角三角形:鈍角三角形有兩條高在三角形的_____,一條高在三角形的_____,三條高不相交,但三條高所在的直線相交于三角形外一點.內(nèi)部直角邊直角頂點外部內(nèi)部二、三角形與多邊形的性質(zhì)1.三角形三邊之間的關(guān)系:三角形任意兩邊的和_____第三邊,任意兩邊的差_____第三邊.2.三角形的內(nèi)角和定理:三角形三個內(nèi)角的和等于______.3.三角形的外角定理及推論:(1)三角形的一個外角_____與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.(2)三角形的一個外角_____與它不相鄰的任何一個內(nèi)角.大于小于180°等于大于4.多邊形的內(nèi)角和與外角和定理:(1)n邊形內(nèi)角和等于_____________.(2)多邊形的外角和等于______.(n-2)·180°360°三、命題、定理1.判斷一件事情的_____,叫做命題,命題由_____和_____兩部分組成.正確的命題是___命題,錯誤的命題是___命題.2.互逆命題:在兩個命題中,如果一個命題的_____和_____分別是另一個命題的_____和_____,那么這兩個命題稱為互逆命題.3.定理:經(jīng)過證明被確認_____的命題叫做定理.4.如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的,那么它也是一個定理,則這兩個定理為_____定理.語句條件結(jié)論條件結(jié)論結(jié)論條件正確互逆真假1.如圖,在△ABC中,AD是高線,AE是角平分線,AF是中線.∠ADC=______=90°.∠CAE=______=________.CF=___=_____.S△ACF=_____=_______.∠ADB∠BAEBFS△ABF2.如圖,在△ABC中,∠C=90°,若∠B的外角為145°,則∠A的度數(shù)為___度.553.若等腰三角形兩邊長分別為3和5,則它的周長是_______.4.如果一個正多邊形的一個外角是60°,那么這個正多邊形的邊數(shù)是__.5.對頂角相等的逆命題是___命題.6.如圖,已知∠1=100°,∠2=140°,那么∠3=_____.11或136假60°熱點考向一三角形三邊之間的關(guān)系

【例1】(1)(2013·溫州中考)下列各組數(shù)可能是一個三角形的邊長的是(

)A.1,2,4

B.4,5,9

C.4,6,8

D.5,5,11(2)(2012·長沙中考)現(xiàn)有3cm,4cm,7cm,9cm長的四根木棒,任取其中三根組成一個三角形,那么可以組成的三角形的個數(shù)是(

)A.1個B.2個C.3個D.4個【思路點撥】(1)若兩個較小的數(shù)的和大于最大的數(shù),那么這三個數(shù)是一個三角形的邊長.(2)先列出所有的組數(shù),再根據(jù)“任意兩邊之和大于第三邊”確定可以組成的三角形的個數(shù).【自主解答】(1)選C.∵1+2<4,4+5=9,5+5<11,∴選項A,B,D不可能是一個三角形的邊長,而4+6>8,∴選項C是一個三角形的邊長.(2)選B.采用列舉法,可以分為(3,4,7),(3,4,9),(3,7,9),(4,7,9)四組,其中第一組中3+4=7、第二組中3+4<9,不滿足“任意兩邊之和大于第三邊”的關(guān)系,其余兩組均能組成三角形.【名師助學(xué)】1.判斷三條線段是否能組成三角形的兩個方法(1)可將最小的一條線段和較大的一條線段之和與最大的線段相比較.(2)用最大的線段與較小的線段之差與最小的線段進行比較.2.注意事項(1)已知等腰三角形的兩邊長求第三邊的值或周長時,要將一邊分腰或底分別討論.(2)三角形的第三邊滿足:小于另外兩邊的和,大于另外兩邊的差.熱點考向二三角形的內(nèi)角和定理及其推論

【例2】(1)(2012·云南中考)如圖,在△ABC中,∠B=67°,∠C=33°,AD是△ABC的角平分線,則∠CAD的度數(shù)為(

)A.40°B.45°C.50°D.55°(2)(2011·懷化中考)如圖所示,∠A,∠1,∠2的大小關(guān)系是(

)A.∠A>∠1>∠2B.∠2>∠1>∠AC.∠A>∠2>∠1D.∠2>∠A>∠1(3)(2013·襄陽中考)如圖,在△ABC中,D是BC延長線上一點,∠B=40°,∠ACD=120°,則∠A的度數(shù)為(

)A.60°B.70°C.80°D.90°【思路點撥】(1)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求∠BAC的度數(shù),再根據(jù)角平分線的定義求∠CAD.(2)根據(jù)“三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內(nèi)角”進行比較大小.(3)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理的推論知∠ACD=∠A+∠B,根據(jù)已知條件得出答案.【自主解答】(1)選A.∵∠B=67°,∠C=33°,∴∠BAC=80°,∵AD是△ABC的角平分線,∴∠CAD=∠BAC=40°.(2)選B.∵∠2是△CDE的一個外角,∴∠2>∠1,∵∠1是△CEA的一個外角,∴∠1>∠A,∴∠2>∠1>∠A.(3)選C.∵∠ACD是△ABC的外角,∴∠ACD=∠A+∠B,∴∠A=120°-40°=80°.【名師助學(xué)】1.在三角形中解決角的問題,一般要將角轉(zhuǎn)化到同一個三角形中利用三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì),從整體上求解.2.證明角的不等關(guān)系時,經(jīng)常用三角形外角性質(zhì)來證明.3.注意事項:(1)三角形的一個外角等于和它“不相鄰”的兩個內(nèi)角的和,而不是等于任意兩個內(nèi)角的和.(2)三角形角的相關(guān)計算,一定要分清外角、內(nèi)角以及是否相鄰.熱點考向三多邊形的外角和與內(nèi)角和

【例3】(1)(2013·湛江中考)已知一個多邊形的內(nèi)角和是540°,則這個多邊形是(

)A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.七邊形(2)(2012·銅仁中考)一個多邊形每一個外角都等于40°,則這個多邊形的邊數(shù)是

.【思路點撥】(1)根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式列方程求解.(2)根據(jù)多邊形的外角和為360°,且每一個外角都等于40°求解.【自主解答】(1)選B.設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n,那么(n-2)·180°=540°,解得n=5.(2)這個多邊形的邊數(shù)是360÷40=9.答案:9【名師助學(xué)】1.多邊形的外角和與內(nèi)角和定理的運用(1)利用內(nèi)角和公式為(n-2)·180°→由邊數(shù)求內(nèi)角和或由內(nèi)角和求邊數(shù).(2)因為任何多邊形的外角和都等于360°,所以多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān),解題時常常將多邊形的內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題.2.多邊形的對角線將其分割成許多個三角形或特殊的四邊形,結(jié)合三角形或特殊的四邊形的性質(zhì)及判定進行角、線段的相關(guān)計算和證明.熱點考向四判斷命題的真假

【例4】(2012·淄博中考)下列命題為假命題的是(

)A.三角形三個內(nèi)角的和等于180°B.三角形兩邊之和大于第三邊C.三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方D.三角形的面積等于一條邊的長與該邊上的高的乘積的一半【思路點撥】根據(jù)學(xué)過的知識逐一判定真假,可用舉反例的方法判定一個命題為假命題.【自主解答】選C.選項A,B中的命題分別為三角形的內(nèi)角和定理與三角形三邊關(guān)系定理,均為真命題;對于選項C,只有直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方,而其他三角形的三邊都不具有這一關(guān)系,因此是假命題;選項D中的命題是三角形的面積計算公式,是真命題.【名師助學(xué)】1.任何命題都可以改寫成“如果…,那么…”的形式,“如果”后面的部分是條件,“那么”后面的部分是結(jié)論.2.對某個命題來說,反例是指符合命題的條件,但與命題的結(jié)論相矛盾的例子.3.注意事項:(1)一個命題正確,它的逆命題不一定正確.(2)任何一個命題都有逆命題,但任何一個定理不一定有逆定理.【典例】(2012·蘇州模擬)若等腰三角形兩邊長分別為2和5,則它的周長是

.【糾錯路徑】1.找錯:通過分析錯誤解答的過程,第___步開始出現(xiàn)錯誤.2.錯因:_______________________________________________________________.3.糾錯:_________________________________________________________________________________________②當長度為5的邊為底邊時,由于2+2<5,所以2,2,5三條線段組不成三角形由于2+2<5,2,2,5三條線段組不成三角形,∴當長度為2的邊為底邊時,等腰三角形的周長為5+5+2=12.【知識拓展】三角形的三邊關(guān)系是構(gòu)成三角形的前提,因此,關(guān)于三角形的邊長或周長的計算題,應(yīng)首先滿足三邊關(guān)系定理,對于不能構(gòu)成三角形的情況應(yīng)舍去.【學(xué)以致用】1.(2011·黔南州中考)已知三角形的兩邊的長分別為3和6,第三邊是方程x2-6x+8=0的解,則這個三角形的周長是(

)A.11B.13C.11或13D.11和13【解析】選B.解方程x2-6x+8=0,得x=2或x=4,由于2,3,6不能組成三角形,只有3,4,6能組成三角形,因此周長是13,故選B.2.(2012·蘇州模擬)等腰三角形的一個外角為110°,則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為

.【解析】當?shù)妊切我阎倪@個外角為頂角的外角時,這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為180°-110°=70°;當?shù)妊切我阎倪@個外角為底角的外角時,這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為180°-70°-70°=40°.答案:70°或40°1.(2013·陜西模擬)等腰△ABC中,AB=AC,周長為12,則腰長AB的取值范圍是(

)A.0<AB<12B.0<AB<6C.3<AB<6D.6<AB<12【解析】選C.設(shè)AB=x,則BC=12-2x,由三角形三邊關(guān)系得:0<12-2x<x+x,解得3<x<6.2.(2013·上海模擬)命題:①直角都相等;②兩直線平行,內(nèi)錯角相等;③全等三角形的三條對應(yīng)邊相等.其中逆命題為真命題的有(

)A.0個B.1個C.2個D.3個【解析】選C.命題①的逆命題為:相等的角是直角,它是一個假命題;命題②的逆命題為:內(nèi)錯角相等,兩直線平行,它是一個真命題;命題③的逆命題為:三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等,它是一個真命題,因此逆命題為真命題的有2個.3.(2013·北京模擬)已知某多邊形的每一個外角都是72°,則它的邊數(shù)為(

)A.4B.5C.6D.8【解析】選B.∵任何多邊形的外角和為360°,∴所求的多邊形的邊數(shù)為360÷72=5.4.(2013·長沙模擬)若一個正多邊形的一個內(nèi)角是120°,則這個正多邊形的邊數(shù)是(

)A.9B.8C.6D.4【解析】選C.設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為n,由題意得(n-2)×180=n×120,解得n=6.【高手支招】多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和的關(guān)系1.一個多邊形的內(nèi)角和取決于它的邊數(shù),隨著邊數(shù)的增加而增加,并且每增加一條邊,內(nèi)角和就增加180°.2.因為正多邊形的每個內(nèi)角都相等,所以正多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)可以確定,它是5.(2013·溫州模擬)如圖,在△ABC中,AB=AC,已知∠ACE=140°,則∠A=(

)A.30°B.40°C.50°D.100°【解析】選D.∵∠ACE=140°,∴∠ACB=180°-140°=40°.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=40°,∴∠A=180°-40°-40°=100°.6.(2013·門平谷模擬)已知等腰三角形的頂角為50°,則這個等腰三角形的底角為(

)A.50°B.65°C.80°D.50°或65°【解析】選B.等腰三角形的底角為7.(2013·吉安模擬)設(shè)一個不等邊三角形的最小內(nèi)角為∠A,在下列四個度數(shù)中,∠A最大可取(

)A.20°B.58°C.60°D.89°【解析】選B.∵∠A為不等邊三角形的最小內(nèi)角,∴∠A是小于60°的角,∵在四個度數(shù)中只有20°,58°符合小于60°的角的條件,∴∠A最大可取58°.8.(2013·無錫模擬)若一個三角形的一邊長為3cm,則它的周長可能為(

)A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm【解析】選D.∵三角形任意兩邊之和大于第三邊,∴這個三角形的另外兩邊之和大于3cm,∴這個三角形的周長大于6cm,只有選項D符合題意.9.(2013·湖南模擬)已知三角形的兩邊長為4,8,則第三邊的長度可以是

(寫出一個即可).【解析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得第三邊的長度x在4～12之間(不包括4和12),所以在4～12之間(不包括4和12)任意一個數(shù)都符合題意.答案:5(答案不唯一)1.(2012·巴中中考)三角形的下列線段中能將三角形的面積分成相等的兩部分的是(

)A.中線B.角平分線C.高線D.中位線【解析】選A.三角形的中線將三角形分成兩個等底同高的三角形,而三角形的面積=×底×高,根據(jù)公式可知只要底與高分別相等,它們的面積就相等.2.(2012·梧州中考)如圖,AE是△ABC的角平分線,AD⊥BC于點D,若∠BAC=128°,∠C=36°,則∠DAE的度數(shù)是(

)A.10°B.12°C.15°D.18°【解析】選A.因為AE是△ABC的角平分線,∠BAC=128°,所以∠CAE=64°,又因為AD⊥BC于點D,∠C=36°,則∠CAD=90°-36°=54°,因此∠DAE=∠CAE-∠CAD=10°3.(2013·鞍山中考)如圖,已知D,E在△ABC的邊上,DE∥BC,∠B=60°,∠AED=40°,則∠A的度數(shù)為(

)A.100°

B.90°

C.80°

D.70°【解析】選C.∵DE∥BC,∠AED=40°,∴∠C=∠AED=40°.∵∠B=60°,∴∠A=180°-∠C-∠B=180°-40°-60°=80°.4.(2013·宜昌中考)下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長度,將它們首尾連接后,能擺成三角形的一組是(

)A.1,2,6B.2,2,4C.1,2,3D.2,3,4【解析】選D.A中因為1+2<6,所以本組不能構(gòu)成三角形;B中因為2+2=4,所以本組不能構(gòu)成三角形;C中因為1+2=3,所以本組不能構(gòu)成三角形;D中因為2+3>4,所以本組可以構(gòu)成三角形.5.(2013·揚州中考)一個多邊形的每個內(nèi)角均為108°,則這個多邊形是(

)A.七邊形B.六邊形C.五邊形D.四