新編應(yīng)用數(shù)學(xué) 課件 第7章 行列式 矩陣 線性規(guī)劃初步

第7章行列式矩陣線性規(guī)劃初步7-1行列式及其性質(zhì)

7-3用初等變換求解線性方程組

7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

第7章行列式矩陣線性規(guī)劃初步

7-2矩陣及其運(yùn)算7-5數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)Matlab在行列式與矩陣計(jì)算中的應(yīng)用Lingo在線性規(guī)劃的中的應(yīng)用

7-1行列式及其性質(zhì)

一、行列式的定義二、行列式的性質(zhì)三、克萊姆法則7-1行列式及其性質(zhì)

一、行列式的定義引例1[二元一次方程組]二元一次線性方程的一般形式為：

用加減消元法求得其解為：7-1行列式及其性質(zhì)

引例2[三元一次方程組]三元一次線性方程組一般形式為：用加減消元法求得其解：為更好表示線性方程組的解，引入行列式的概念如下：定義7.1.1[二階行列式]設(shè)個(gè)數(shù)排成兩行兩列的數(shù)表表達(dá)式

稱為上式所確定的二階行列式，記作7-1行列式及其性質(zhì)

即：若記：則引例１的解可表示為：7-1行列式及其性質(zhì)

定義7.1.2[三階行列式]設(shè)個(gè)數(shù)排成三行三列的數(shù)表記稱為三階行列式，即7-1行列式及其性質(zhì)

若記：則引例2的解可表示為：7-1行列式及其性質(zhì)

例1計(jì)算三階行列式解由對(duì)角線法則，有7-1行列式及其性質(zhì)

定義7.1.3[n階行列式]形為

的式子，稱

為n階行列式，并規(guī)定其中

是

中去掉第一行第j列元素后剩下的元素組成的一個(gè)

階行列式．7-1行列式及其性質(zhì)

定義7.1.4

在n階行列式

中，把元素

所在的第i行第j列劃去后,余下的元素按原來(lái)的位置不變所排成的

階行列式，稱為元素

的余子式，記作

,稱

為元素

的代數(shù)余子式.7-1行列式及其性質(zhì)

例2計(jì)算三階行列式

解：7-1行列式及其性質(zhì)

例3設(shè)

，求

，

，

，.解：7-1行列式及其性質(zhì)

例4解方程組

解7-1行列式及其性質(zhì)

二.行列式的性質(zhì)定義7.1.5將行列式D中行、列互換得到的新行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為

(

)．性質(zhì)１行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式的值相等．可以看出7-1行列式及其性質(zhì)

性質(zhì)2互換行列式的兩行（列），行列式的值改變符號(hào)．可以看出7-1行列式及其性質(zhì)

性質(zhì)3將行列式的某一行（列）中所有元素都乘以數(shù)

，等于用

乘以行列式．推論1行列式中某行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面．推論2如果行列式的某行（列）的所有元素全為零，那么此行列式的值為零．推論3如果行列式中某兩行（列）對(duì)應(yīng)元素成比例，那么行列式的值為零．7-1行列式及其性質(zhì)

性質(zhì)４如果行列式中的某一行（列）的所有元素都是兩項(xiàng)之和，則這個(gè)行列式可以表示成兩個(gè)行列式的和．7-1行列式及其性質(zhì)

性質(zhì)5（倍加性質(zhì)）把行列式的某行（列）的元素同乘以數(shù)K加到另一行（列）對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變．7-1行列式及其性質(zhì)

性質(zhì)6（行列式展開(kāi)性質(zhì)）n階行列式

等于它的任意一行（或列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和。即:（按第i行展開(kāi)）（按第j列展開(kāi)）7-1行列式及其性質(zhì)

注意：計(jì)算高階行列式時(shí)，可以利用以上行列式的性質(zhì)，減少行列式的計(jì)算量，計(jì)算同一個(gè)行列式的方法多種多樣，有時(shí)需要多種方法結(jié)合使用，一般常用的計(jì)算方法主要有以下兩種：（1）利用行列式的性質(zhì)2（

或

）、性質(zhì)3（

或

）及性質(zhì)5（

或

）把行列式化為上三角行列式，從而計(jì)算處行列式的值（簡(jiǎn)稱：三角化法）.7-1行列式及其性質(zhì)

（2）利用行列式的性質(zhì)2（或）、性質(zhì)3（或）及性質(zhì)5（或

）把行列式的某一行（列）的元素化為盡量多的零，然后按該行（列）展開(kāi)降階，從而計(jì)算出行列式的值（簡(jiǎn)稱：降階法）.

計(jì)算行列式的方法有很多，除了上面所講的方法外，還有升階（加邊）法、遞推法及數(shù)學(xué)歸納法等，看下面的具體例子。7-1行列式及其性質(zhì)

例5計(jì)算行列式

解7-1行列式及其性質(zhì)

例6計(jì)算

解觀察

中的元素具有某種規(guī)律性，將

按第一行展開(kāi)7-1行列式及其性質(zhì)

由此得遞推公式：

，反復(fù)應(yīng)用此公式得：7-1行列式及其性質(zhì)

三.克萊姆法則

由引例1及引例2知，二階行列式、三階行列式來(lái)源于解二元、三元線性方程組，那么n階行列式能否用來(lái)解n個(gè)未知數(shù)，n個(gè)方程構(gòu)成的線性方程組呢？這是即將介紹的克萊姆法則．7-1行列式及其性質(zhì)

定理7.1.1[克萊姆法則]如果含有n個(gè)未知數(shù)n方程的n元線性方程組的系數(shù)行列式

，則此方程組有唯一解，且其解為：

，其中

為

列換為

（證明略）．（1.5）7-1行列式及其性質(zhì)

例7解線性方程組：解計(jì)算該方程組的系數(shù)行列式同理可得：7-1行列式及其性質(zhì)

所以，方程組的解為：7-1行列式及其性質(zhì)

線性方程組（1.5）右端的常數(shù)項(xiàng)

時(shí)，方程組（1.5)稱為齊次線性方程組，即為（1.6）

線性方程組（1.5）右端的常數(shù)項(xiàng)

不全為0時(shí)，方程組（1.5)稱為非齊次線性方程組.

由克拉默法則，不難得到如下關(guān)于齊次線性方程組解的定理：7-1行列式及其性質(zhì)

定理7.1.2若齊次線性方程組（1.6）的系數(shù)行列式時(shí)，則齊次線性方程組（1.6）有唯一零解.定理7.1.3若齊次線性方程組（1.6）有非零解，則齊次線性方程組的系數(shù)行列式.7-1行列式及其性質(zhì)

案例1[產(chǎn)品數(shù)量]一工廠有1000小時(shí)用于生產(chǎn)、維修、和檢驗(yàn)，各工序的工作時(shí)間分別為，且滿足，求各工序所用的時(shí)間分別為多少？解由題意得7-1行列式及其性質(zhì)

先求該方程組的系數(shù)矩陣：7-1行列式及其性質(zhì)

所以方程組的解為：類似地求出其它矩陣：因此生產(chǎn)、維修、和檢驗(yàn)三工序所用時(shí)間分別為225小時(shí)、450小時(shí)、325小時(shí)．7-1行列式及其性質(zhì)

案例2[T恤衫銷量]一大型商場(chǎng)出售四種型號(hào)的T恤衫：小號(hào)、中號(hào)、大號(hào)和加大號(hào)，每種型號(hào)的售價(jià)分別為：22元、24元、26元、30元，若商場(chǎng)某周共售出了13萬(wàn)件T衫，毛收入320萬(wàn)元．并已知大號(hào)的銷量為小號(hào)和加大號(hào)的總和，大號(hào)的銷售收入（毛收入）也為小號(hào)和加大號(hào)收入（毛收入）的總和，問(wèn)各種型號(hào)的T衫各售出多少件？7-1行列式及其性質(zhì)

解設(shè)該商場(chǎng)一周銷售T恤衫小號(hào)、中號(hào)、大號(hào)、加大號(hào)的銷量分別為

萬(wàn)件，由題意知先求該方程組的系數(shù)矩陣7-1行列式及其性質(zhì)

類似地求出其它矩陣：所以方程組的解為：因此小號(hào)、中號(hào)、大號(hào)、加大號(hào)型T衫的銷量分別為1萬(wàn)件、9萬(wàn)件、2萬(wàn)件、1萬(wàn)件．7-1行列式及其性質(zhì)

7-1行列式及其性質(zhì)7-3用初等變換求解線性方程組

7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

第7章行列式矩陣線性規(guī)劃初步

7-2矩陣及其運(yùn)算

7-5數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)Matlab在行列式與矩陣計(jì)算中的應(yīng)用Lingo在線性規(guī)劃的中的應(yīng)用

7-2矩陣及其運(yùn)算

一、矩陣的概念二、矩陣的運(yùn)算三、克萊姆法則7-2矩陣及其運(yùn)算一、矩陣的概念

引例1[物資調(diào)運(yùn)方案]某貨物從兩個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往三個(gè)銷地，調(diào)運(yùn)方案如表7-1所示.表7-17-2矩陣及其運(yùn)算這個(gè)調(diào)運(yùn)方案可以寫成一個(gè)2行3列的數(shù)表其中第

行第

列的數(shù)表示從第

個(gè)產(chǎn)地到第

個(gè)銷地的運(yùn)量．引例2[線性方程組]二元線性方程組將其未知量系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按照原來(lái)的次序組成一個(gè)矩形表：7-2矩陣及其運(yùn)算7-2矩陣及其運(yùn)算在實(shí)際問(wèn)題的研究中，還有許多地方用到這樣的數(shù)表，如單位職工的工資，學(xué)生各科成績(jī)，超市的價(jià)格表，工廠統(tǒng)計(jì)原材料及產(chǎn)銷地等.為此，引入如下定義：定義7.2.1由

個(gè)數(shù)排成

的

行

列的數(shù)表7-2矩陣及其運(yùn)算稱為

行

列矩陣，簡(jiǎn)稱

矩陣，其中表示第

行第

列的元素，

稱為

的行標(biāo)，

稱

為的列標(biāo)，通常用大寫的字母A,B,C或

等表示矩陣，有時(shí)為了標(biāo)明矩陣的行數(shù)和列數(shù)，常記作

或

下面我們來(lái)認(rèn)識(shí)一些特殊的矩陣：7-2矩陣及其運(yùn)算方陣：行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣稱為方陣．方陣的左上角到右下角稱為主對(duì)角線．主對(duì)角線上的元素稱為主對(duì)角元．零矩陣：元素都為零的矩陣，記作0．行矩陣：只有一行元素的矩陣．列矩陣：只有一列元素的矩陣．7-2矩陣及其運(yùn)算對(duì)角矩陣：除主對(duì)角線上元素外，其它元素全為零的方陣為對(duì)角矩陣．為了方便，記為：?jiǎn)挝痪仃嚕褐鲗?duì)角線上元素全１，其它元素全為零的方陣．記作I或

即7-2矩陣及其運(yùn)算7-2矩陣及其運(yùn)算上（下）三角矩陣：主對(duì)角線以下（上）的元素全為零的方陣，即：上三角方陣

下三角方陣

7-2矩陣及其運(yùn)算案例1[藥品庫(kù)存]某醫(yī)院甲乙兩種藥品的庫(kù)存量見(jiàn)表7-2所示.表7-2它可用矩陣表示：7-2矩陣及其運(yùn)算二.矩陣的運(yùn)算引例3[受力分析]作用在一靜止物體上的力如圖7-1所示，將物體所受的力沿水平方向和鉛直方向分解，得到如下關(guān)系：用矩陣表示：

7-2矩陣及其運(yùn)算1.矩陣的相等若矩陣A,B具有相同的行數(shù)和相同的列數(shù)，則稱矩陣A,B是同型矩陣.定義7.2.3設(shè),若

則稱兩矩陣A與B相等，記作A=B．定義7.2.27-2矩陣及其運(yùn)算例1設(shè)矩陣

求元素

的值．解：由矩陣相等的定義可知：案例2[商品的銷售額]某商場(chǎng)四個(gè)品牌的三個(gè)系列在上半年、下半年的銷售額（單位：十萬(wàn)元）統(tǒng)計(jì)見(jiàn)下表解

四個(gè)品牌各系列上、下半年的銷售額可以矩陣A、B表示7-2矩陣及其運(yùn)算7-2矩陣及其運(yùn)算則四個(gè)品牌各系列全年的銷售額可表示為上式新矩陣C是由矩陣A與矩陣B對(duì)應(yīng)元素相加得到的．

2.矩陣的加法運(yùn)算定義7.2.4設(shè)矩陣

的對(duì)應(yīng)元素相加（減）得到的新的

矩陣

稱為矩陣A與B的和（差），記作注：矩陣的加法就是將兩個(gè)同型矩陣對(duì)應(yīng)位置的元素進(jìn)行相加．7-2矩陣及其運(yùn)算7-2矩陣及其運(yùn)算矩陣的加法滿足下列運(yùn)算律（設(shè)A，B，C都是

同型矩陣）：(1)交換律：A+B＝B+A;(2)結(jié)合律:(A+B)+C＝A+(B+C);(3)A+O＝O+A＝A(4)A+(-A)＝O7-2矩陣及其運(yùn)算案例3[調(diào)運(yùn)方案]設(shè)某種物資由3個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往4個(gè)銷地，兩次調(diào)運(yùn)方案分別見(jiàn)表7-4和表7-5，求兩次從各產(chǎn)地調(diào)運(yùn)物資到各銷地的運(yùn)量總和．表7-4表7-57-2矩陣及其運(yùn)算解：若分別用矩陣A和B表示各次的調(diào)運(yùn)量，則有則各產(chǎn)地到各銷地的運(yùn)量之和為：7-2矩陣及其運(yùn)算案例4[庫(kù)存清單]矩陣S給出了某家具店二月份各種沙發(fā)、椅子、餐桌的訂貨量，從生產(chǎn)車間運(yùn)到商店的家具有三種款式：古式、普通、現(xiàn)代，矩陣T給出了一月末倉(cāng)庫(kù)中家具數(shù)量清單：（1）矩陣S中10代表什么意思？（2）計(jì)算

，并解釋其實(shí)際意義？7-2矩陣及其運(yùn)算解（1）S中的數(shù)10表示二月份古式椅子的訂貨量為10張；（2）表示二月末倉(cāng)庫(kù)中家具的庫(kù)存量.7-2矩陣及其運(yùn)算案例5[庫(kù)存清單]一藥品供應(yīng)公司的存貨清單上顯示瓶裝維生素Ｃ和瓶裝維生素Ｅ的數(shù)量為：

維生素Ｃ：25箱瓶裝100片的，10箱瓶裝250片的，32箱瓶裝500片的；

維生素Ｅ：30箱瓶裝100片的，18箱瓶裝250片的，40箱瓶裝500片的．解最后公司維生素Ｃ和Ｅ的庫(kù)存量為：現(xiàn)用A矩陣表示這一庫(kù)存，若公司組織兩次貨運(yùn)以減少庫(kù)存，每次運(yùn)輸?shù)臄?shù)量用矩陣B表示，問(wèn)最后公司維生素Ｃ和Ｅ的庫(kù)存量為多少？7-2矩陣及其運(yùn)算3.矩陣的數(shù)乘運(yùn)算定義7.2.5一個(gè)數(shù)乘K以矩陣A是將數(shù)k乘以矩陣的每個(gè)元素，所得到的新矩陣C稱為矩陣的數(shù)乘．記作.當(dāng)時(shí)，稱規(guī)定7-2矩陣及其運(yùn)算矩陣的數(shù)乘滿足下列運(yùn)算律：（1）（2）（3）矩陣的加法運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.7-2矩陣及其運(yùn)算案例6[房屋開(kāi)發(fā)計(jì)劃]某房屋開(kāi)發(fā)商在開(kāi)發(fā)一小區(qū)時(shí)設(shè)計(jì)了Ａ、B、C、D四種不同類型的房屋，每種類型的房屋又有三種不同的設(shè)計(jì)：沒(méi)有車庫(kù)，一個(gè)車庫(kù)，兩個(gè)車庫(kù)，各種戶型的數(shù)量如表7-6所示.表7-6如果開(kāi)發(fā)商另有兩個(gè)與之同樣的開(kāi)發(fā)計(jì)劃，請(qǐng)用矩陣的運(yùn)算給出開(kāi)發(fā)商將開(kāi)發(fā)的各種戶型的總量.7-2矩陣及其運(yùn)算解房屋開(kāi)發(fā)商要開(kāi)發(fā)的一個(gè)小區(qū)的戶型可用矩陣表示為因?yàn)樵撻_(kāi)發(fā)商還要開(kāi)發(fā)兩個(gè)與之一樣的開(kāi)發(fā)計(jì)劃，所以該開(kāi)發(fā)商將開(kāi)發(fā)的各種房屋的總量可用矩陣表示為：7-2矩陣及其運(yùn)算案例7[庫(kù)存量]若甲倉(cāng)庫(kù)的三類商品4種型號(hào)的庫(kù)存數(shù)量用矩陣A表示，乙倉(cāng)庫(kù)的三類商品4種型號(hào)的庫(kù)存數(shù)量用矩陣B表示，已知甲倉(cāng)庫(kù)每件商品的保管費(fèi)為3（元/件），乙倉(cāng)庫(kù)每件商品的保管費(fèi)為每件4元，求甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)同類且同一種型號(hào)的商品保管費(fèi)之和．7-2矩陣及其運(yùn)算解甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)同類且同一種型號(hào)的商品保管費(fèi)之和為：7-2矩陣及其運(yùn)算4.矩陣的乘法運(yùn)算引例4[奶粉銷售]現(xiàn)有兩家連鎖超市出售三種奶粉，某日銷量（單位：包）見(jiàn)表7-7，每種奶粉的單價(jià)和利潤(rùn)見(jiàn)表7-8，求各超市奶粉的總收入和總利潤(rùn)．7-2矩陣及其運(yùn)算解先列表分析設(shè)C為各超市出售奶粉的總收入和總利潤(rùn)，則7-2矩陣及其運(yùn)算矩陣C中第一行第一列的元素等于矩陣A中第一行的元素與矩陣B中第一列的對(duì)應(yīng)元素相乘再相加得到，同樣，矩陣C中其它元素都是矩陣A中相應(yīng)的行與矩陣B中相應(yīng)的列對(duì)應(yīng)元素相乘再相加而得到，由此引入矩陣乘法的概念．7-2矩陣及其運(yùn)算定義7.2.6設(shè)有矩陣和矩陣則由元素構(gòu)成的矩陣稱為矩陣A與B的乘積，記作7-2矩陣及其運(yùn)算由矩陣乘法的定義可知：當(dāng)

時(shí)（1）矩陣A的列數(shù)必須等于矩陣B的行數(shù)，兩矩陣才能相乘；（2）矩陣C的行數(shù)等于矩陣A的行數(shù)，矩陣C的列數(shù)等于矩陣B的列數(shù)；（3）矩陣C中第i行第j列的元素等于矩陣A中第i行的元素與矩陣B中第j列對(duì)應(yīng)元素相乘再相加而得到．7-2矩陣及其運(yùn)算矩陣乘法滿足下列運(yùn)算律：（1）結(jié)合律：（）＝（）；（2）數(shù)乘結(jié)合律：（3）分配律：7-2矩陣及其運(yùn)算案例8[商場(chǎng)稅收]若用矩陣A表示某商場(chǎng)兩個(gè)分場(chǎng)營(yíng)業(yè)額，用矩陣B表示兩種商品的國(guó)稅率，地稅率，即設(shè)：求兩個(gè)分場(chǎng)應(yīng)該向國(guó)家財(cái)政和地方財(cái)政上交的稅費(fèi)．7-2矩陣及其運(yùn)算解：7-2矩陣及其運(yùn)算案例9[網(wǎng)絡(luò)參數(shù)矩陣]已知兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)矩陣鏈?zhǔn)竭B接的參數(shù)為AB，計(jì)算AB，問(wèn)BA是否存在？7-2矩陣及其運(yùn)算解因?yàn)榫仃嘊的列數(shù)為3，矩陣A的行數(shù)為2，它們不相等，所以BA不存在．7-2矩陣及其運(yùn)算例2[線性方程組的矩陣表示]對(duì)于n元線性方程組：設(shè)7-2矩陣及其運(yùn)算則線性方程組可用矩陣的乘法表示為：即：7-2矩陣及其運(yùn)算例3設(shè)求AB和BA解從上例可以看出：，即矩陣的乘法不滿足交換律.7-2矩陣及其運(yùn)算5.矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算案例10[汽車銷售利潤(rùn)]某一汽車銷售公司有甲乙兩個(gè)銷售部，矩陣S給出了兩個(gè)汽車銷售部三種汽車的銷量，矩陣P給出了三種汽車的銷售利潤(rùn)．求兩個(gè)銷售部的總利潤(rùn)各為多少？7-2矩陣及其運(yùn)算解兩個(gè)銷售部的利潤(rùn)與矩陣的乘積有關(guān)，但矩陣P是矩陣，矩陣S是矩陣，它們不能相乘，將矩陣P的行列互換后得到新的矩陣可以與矩陣S相乘，這個(gè)新的矩陣就是P的轉(zhuǎn)置矩陣．即兩銷售部的總利潤(rùn)為：7-2矩陣及其運(yùn)算

定義7.2.7把矩陣A的行與列到互得到新的矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作．即如果則例如則7-2矩陣及其運(yùn)算矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下列運(yùn)算規(guī)律：(1)(2)(3)(4)7-2矩陣及其運(yùn)算例4設(shè),求解從此例看出7-2矩陣及其運(yùn)算案例11[生產(chǎn)安排]一工廠生產(chǎn)三種型號(hào)的機(jī)器零件，每天的產(chǎn)量由矩陣A給出，生產(chǎn)各種型號(hào)單位產(chǎn)品所需要的材料和工作時(shí)間由矩陣B給出，請(qǐng)用矩陣的運(yùn)算給出該廠生產(chǎn)所有機(jī)器零件所需要的總材料和總工作時(shí)間．7-2矩陣及其運(yùn)算解：由矩陣的乘法得，該廠生產(chǎn)所有機(jī)器零件所需要的總材料和總工作時(shí)間為：7-2矩陣及其運(yùn)算6.方陣的行列式定義7.2.8由n階方陣A的元素（按原來(lái)的位置）構(gòu)成的行列式稱為方陣A的行列式，記作定義7.2.9若n階方陣A的行列式，則稱方陣A為非奇異矩陣；反之，若則稱方陣為奇異矩陣.7-2矩陣及其運(yùn)算設(shè)都式n階方陣，為實(shí)常數(shù)，為正整數(shù)，則(1)(2)(3)(4)7-2矩陣及其運(yùn)算例5設(shè)，，求,,解7-2矩陣及其運(yùn)算三.逆矩陣在數(shù)的乘法過(guò)程中，對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)a則有成立.類似地，在矩陣的乘法基礎(chǔ)上引入逆矩陣概念.7-2矩陣及其運(yùn)算定義7.2.10對(duì)于n階方陣A，如果存在一個(gè)n階方陣B，使，則稱方陣A是可逆的，并稱B是A的逆矩陣，記作，即例如二階方陣容易驗(yàn)證，所以B是A的逆矩陣，同樣A也是B的逆矩陣，它們是互逆的．7-2矩陣及其運(yùn)算設(shè)A、B均為n階可逆方陣，方陣的逆運(yùn)算有下列運(yùn)算規(guī)律：（1）（2）（3）（4）（5）7-2矩陣及其運(yùn)算定義7.2.11設(shè)A是一個(gè)n階方陣：由n階方陣A的行列式中元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的n階矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣，記作.7-2矩陣及其運(yùn)算定義7.2.127-2矩陣及其運(yùn)算例6已知求.解（方法1）設(shè)，由定義有即由矩陣的相等有7-2矩陣及其運(yùn)算解得故所求逆矩陣為7-2矩陣及其運(yùn)算（方法2）所有元素的代數(shù)余子式為7-2矩陣及其運(yùn)算故所求逆矩陣為7-2矩陣及其運(yùn)算案例12[汽車銷量]某一汽車銷售公司有兩個(gè)銷售部，矩陣S給出了兩個(gè)汽車銷售部的兩種汽車的銷量月未盤點(diǎn)時(shí)統(tǒng)計(jì)得到兩個(gè)銷售部的利潤(rùn)，用矩陣表示為．設(shè)兩種車的銷售利潤(rùn)為矩陣，則有，問(wèn)如何從中得到兩種車的銷售利潤(rùn)P？7-2矩陣及其運(yùn)算解由得，先求出，再用矩陣的乘法就可得到P．由即設(shè)得7-2矩陣及其運(yùn)算故有從矩P中可以看到兩種汽車的銷售利潤(rùn)分別為大型車是3866.7貨幣單位，小型車是-1350貨幣單位．7-2矩陣及其運(yùn)算7-1行列式及其性質(zhì)7-3用初等變換求解線性方程組

7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

第7章行列式矩陣線性規(guī)劃初步

7-2矩陣及其運(yùn)算7-5數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)Matlab在行列式與矩陣計(jì)算中的應(yīng)用Lingo在線性規(guī)劃的中的應(yīng)用

7-3用初等變換求解線性方程組

一、矩陣的初等變換二、用初等變換求解線性方程組一.矩陣的初等變換引例1[投資組合]某人用60萬(wàn)元投資A.B兩個(gè)項(xiàng)目，其中A項(xiàng)目的收益率為7%，B項(xiàng)目的收益率為12%,最終總收益為5.6萬(wàn)元．問(wèn)他在A.B項(xiàng)目上各投資了多少萬(wàn)元？7-3用初等變換求解線性方程組解設(shè)他A.B在兩項(xiàng)目上各投資了萬(wàn)元，根據(jù)題意，建立如下的線性方程組下面用高斯消元法求解此方程組，把方程組消元的過(guò)程列在表7-13的左欄，系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)組成的矩陣（稱為增廣矩陣）的變換過(guò)程列在表7-13右欄．7-3用初等變換求解線性方程組7-3用初等變換求解線性方程組分析引例1求解過(guò)程，可以看出，利用高斯消元法求解線性方程組的過(guò)程實(shí)際上是對(duì)方程組不斷地進(jìn)行以下幾種運(yùn)算：交換某兩個(gè)方程的位置；某個(gè)方程乘以不為零的常數(shù)k；某個(gè)方程乘以數(shù)k加到另一個(gè)方程上去．對(duì)應(yīng)的增廣矩陣經(jīng)過(guò)了相應(yīng)的三種變換：互換矩陣的兩行；用一個(gè)非零的數(shù)乘以矩陣的某行；將矩陣的某行乘以數(shù)k加到另一行．這三種變換通常稱為矩陣的初等行（列）變換.7-3用初等變換求解線性方程組定義7.3.1設(shè)矩陣

，滿足下列三個(gè)條件之一的變換，稱為矩陣A的初等行變換.(1)互換矩陣A的第i行與第j行對(duì)應(yīng)元素位置，記作(2)將矩陣A的第i行所有元素?cái)?shù)乘以非零數(shù)K，記作(3)將矩陣A的第i行所有元素乘以數(shù)K后加到第j行的所有元素上，記作矩陣的三種初等含變化（1）、（2）、（3）分別稱為互換變換、倍乘變換和倍加變換.7-3用初等變換求解線性方程組定義7.3.1中的矩陣的“行”換成“列”即可得矩陣的初等列變換．因此，矩陣的初等列變換也有三種，分別記作

，

，

.矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換．注意：一個(gè)矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成另一個(gè)不同的矩陣B，這一過(guò)程我們通常記為

,為了方便看清楚矩陣的變換過(guò)程，往往在箭頭記號(hào)上下加上初等變換說(shuō)明.7-3用初等變換求解線性方程組例如將矩陣

的第1行乘以2加到第2行對(duì)應(yīng)元素上去，有7-3用初等變換求解線性方程組二.用初等變換解線性方程組案例1[密碼學(xué)]在軍事通訊中，常將字符（信號(hào)）與數(shù)字對(duì)應(yīng)，如7-3用初等變換求解線性方程組例如are對(duì)應(yīng)一矩陣

，但如果按這種方式傳輸，則很容易被敵方破譯，于是必須采用加密，即用一個(gè)約定的加密矩陣A乘以原信號(hào)B，傳輸信號(hào)為

，收到信號(hào)的一方再將信號(hào)還原（破譯）為

，如果敵方不知道加密矩陣，則很難破譯，設(shè)收到信號(hào)為

，加密矩陣為問(wèn)原信號(hào)是什么？7-3用初等變換求解線性方程組解設(shè)原信號(hào)是

，由已知條件知：該線性方程組對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為：7-3用初等變換求解線性方程組對(duì)該增廣矩陣實(shí)行初等行變換得：故原信號(hào)為

．7-3用初等變換求解線性方程組從上述解線性方程組的求解過(guò)程可以看到：一個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)一個(gè)線性方程組，對(duì)線性方程組實(shí)行同解變形，即是對(duì)矩陣實(shí)行初等行變換，通過(guò)對(duì)矩陣實(shí)行初等行變換，使最后一個(gè)矩陣變?yōu)槊總€(gè)非零行的第一個(gè)非零元素全為１，而它所在列的元素全為零，把這種矩陣稱為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣，然后通過(guò)該矩陣寫出原線性方程組的解．7-3用初等變換求解線性方程組1.矩陣的秩引例2觀察方程組不難發(fā)現(xiàn)方程

,所以方程（3）式是多余的，稱（3）為不獨(dú)立方程，為了去掉方程組中多余的方程，引入矩陣的“秩”的概念．7-3用初等變換求解線性方程組定義7.3.2對(duì)給定的

矩陣A實(shí)施初等行變換而得到的行階梯形矩陣（行階梯形矩陣是指每一行中第一個(gè)非零元素前零的個(gè)數(shù)隨行數(shù)的增加而增加）中，非零元素的行數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作

．如案例1中增廣矩陣的秩為3．7-3用初等變換求解線性方程組再如所以，矩陣

的秩為2．7-3用初等變換求解線性方程組定理7.3.1（線性方程組有解的判定定理）線性方程組有解的充分必要條件是：

．其中7-3用初等變換求解線性方程組（1）時(shí)方程組有唯一的解；（2）

時(shí)，方程組有無(wú)窮多組解；

（3）

時(shí)方程組無(wú)解．由以上定理知，用初等變換解線性方程組時(shí)，一般分兩步進(jìn)行：7-3用初等變換求解線性方程組第一步將方程組的增廣矩陣用初等行變換變?yōu)殡A梯形矩陣，判斷方程組是否有解；即看

是否等于

，相等有解，否則無(wú)解．第二步用初等行變換進(jìn)一步將行階梯形矩陣化為每個(gè)非零行第一個(gè)非零元素為1，其對(duì)應(yīng)列位置元素全為零的行最簡(jiǎn)階梯形矩陣，根據(jù)行最簡(jiǎn)階梯形矩陣寫出方程組的解．7-3用初等變換求解線性方程組例如

，

是行最簡(jiǎn)階梯形矩陣.而

不是行最簡(jiǎn)階梯形矩陣.類似地，可定義列最簡(jiǎn)階梯形矩陣（略）.7-3用初等變換求解線性方程組案例2[打印行數(shù)]有三臺(tái)打印機(jī)同時(shí)工作，一分鐘共打印8200行字，如果第一臺(tái)打印機(jī)工作兩分鐘，第二臺(tái)打印機(jī)工作三分鐘，共打印12200行字；如果第一臺(tái)打印機(jī)工作一分鐘，第二臺(tái)打印機(jī)工作兩分鐘，第三臺(tái)打印機(jī)工作三分鐘，共可打印17600行字，問(wèn)每臺(tái)打印機(jī)每分鐘可打印多少行字？7-3用初等變換求解線性方程組解：設(shè)第i臺(tái)打印機(jī)每分鐘打印字的行數(shù)分別為

，由題意得該方程組的增廣矩陣為7-3用初等變換求解線性方程組將該方程組的求解轉(zhuǎn)化對(duì)增廣矩陣實(shí)行初等行變換假使從最后一個(gè)矩陣中可以看出：第一臺(tái)打印機(jī)每分鐘打字2200行，第二臺(tái)打印機(jī)每分鐘打字2600行，第三臺(tái)打印機(jī)每分鐘打字3400行．7-3用初等變換求解線性方程組案例3[建筑師的設(shè)計(jì)方案]假使你是一個(gè)設(shè)計(jì)師，某小區(qū)要建設(shè)一棟公寓．現(xiàn)有一個(gè)模塊構(gòu)造計(jì)劃方案要你來(lái)設(shè)計(jì)，根據(jù)基本建筑面積每個(gè)樓層可以有三種設(shè)計(jì)戶型的方案，見(jiàn)表7-14，如果要設(shè)計(jì)出含有136套一居室，74套二居室，66套三居室的公寓，是否可行？設(shè)計(jì)方案是否唯一？表7-147-3用初等變換求解線性方程組解為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)每層樓只用一種設(shè)計(jì)方案．有

層采用方案A，有

層采用方案B，有

層采用方案C，根據(jù)條件可得7-3用初等變換求解線性方程組對(duì)該方程組的增廣矩陣實(shí)行初等行變換得7-3用初等變換求解線性方程組由于

，所以方程組有無(wú)窮多組解．由最后一個(gè)矩陣得方程組的解又由于

都是非負(fù)整數(shù)，則方程組有唯一解

．所以設(shè)計(jì)方案可行且唯一，設(shè)計(jì)方案為6層采用方案A，2層采用方案B，8層采用方案C．7-3用初等變換求解線性方程組例1當(dāng)

取何值時(shí)線性方程

無(wú)解？有唯一解？無(wú)窮多解？解對(duì)線性方程組的增廣矩陣實(shí)行初等行變換由最后一個(gè)矩陣可知，

時(shí)方程組無(wú)解；

時(shí)方程組有唯一一組解；

時(shí)方程組有無(wú)窮多組解．7-3用初等變換求解線性方程組例2解線性方程組解該方程組的常數(shù)部分全為零，這樣的方程組稱為齊線性方程組，它一定有零解．現(xiàn)對(duì)其系數(shù)矩陣實(shí)行初等行變換從最后一個(gè)矩陣中可以看出

，該方程組的系數(shù)矩陣的秩，方程有唯一一組解

7-3用初等變換求解線性方程組例3解齊線性方程組解對(duì)該齊線性方程組的系數(shù)矩陣變形得7-3用初等變換求解線性方程組由最后矩陣得到原方程組的同解方程組其中

為自由變量，設(shè)其分別取任意常數(shù)

，于是原方程組的解為：事實(shí)上，對(duì)齊次方程組而言，它一定有零解，當(dāng)它的系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)才有非零解．7-3用初等變換求解線性方程組7-1行列式及其性質(zhì)7-3用初等變換求解線性方程組

7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

第7章行列式矩陣線性規(guī)劃初步

7-2矩陣及其運(yùn)算7-5數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)Matlab在行列式與矩陣計(jì)算中的應(yīng)用Lingo在線性規(guī)劃的中的應(yīng)用

7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

一、線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型二、線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法一.線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型線性規(guī)劃問(wèn)題屬于運(yùn)籌學(xué)的范疇，運(yùn)籌學(xué)是用數(shù)學(xué)方法研究各種系統(tǒng)最優(yōu)化問(wèn)題的學(xué)科．其目的是制定一個(gè)合理利用人、財(cái)、物的最佳方案，發(fā)揮和提高系統(tǒng)的效能及效益，為決策者提供科學(xué)決策的依據(jù)．應(yīng)用運(yùn)籌學(xué)處理問(wèn)題的步驟可概括為：提出問(wèn)題，建立模型，優(yōu)化求解，評(píng)價(jià)分析及決策支持．隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步及新的系統(tǒng)問(wèn)題的不斷出現(xiàn)，運(yùn)籌學(xué)在經(jīng)濟(jì)管理、工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)、國(guó)防、科技等領(lǐng)域發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用．先看下面幾個(gè)問(wèn)題．7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

案例１[鋼板截取]要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截得三種規(guī)格小鋼板的塊數(shù)如表7-16所示：今需要A、B、C三種規(guī)格的鋼板各12、15、27塊，問(wèn)需要兩種規(guī)格的鋼板最少多少?gòu)?？?-167-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

解設(shè)需要第一種規(guī)格的鋼板

張，第二種規(guī)格的鋼板

張，由已知條件得7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

案例2[生產(chǎn)安排]某廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)一噸產(chǎn)品所需的煤、電耗及利潤(rùn)如下表7-17：現(xiàn)因條件限制，煤每周只有360噸，供電局每周只供電300千瓦，試問(wèn)，該廠如何安排周生產(chǎn)計(jì)劃使利潤(rùn)最大？7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

解設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品

噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品

噸，由已知條件得7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

案例3[運(yùn)輸問(wèn)題]設(shè)有某種物資要從

，

，

三個(gè)倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往四個(gè)銷售點(diǎn)

，

，

，

.各發(fā)貨點(diǎn)（倉(cāng)庫(kù)）的發(fā)貨量、

各收貨點(diǎn)（銷售點(diǎn)）

的收貨量以及

到

的單位運(yùn)費(fèi)如表7-18，問(wèn)如何組織運(yùn)輸才能使總運(yùn)費(fèi)最少？表7-187-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

解設(shè)

表示從產(chǎn)地

運(yùn)往銷地

的運(yùn)輸量，

例如

表示由產(chǎn)地

運(yùn)往銷地

的數(shù)量等等．那么滿足產(chǎn)地的供應(yīng)量約束為7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

滿足銷地的需求量約束為所以最佳調(diào)運(yùn)量就是求一組變量

使它滿足上述約束條件并使總運(yùn)費(fèi)最小7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

再加上變量的非負(fù)約束

，就得到解決這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：其中

為第i個(gè)倉(cāng)庫(kù)向第j個(gè)銷地的單位運(yùn)費(fèi)，如

表示第一個(gè)倉(cāng)庫(kù)向第二個(gè)銷地的單位運(yùn)費(fèi)為18；

表示第i個(gè)倉(cāng)庫(kù)的發(fā)貨量；

表示第j銷地的收貨量．7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

上述各例具有下列共同特征：1.存在一組變量，通常稱之為決策變量，用決策變量表達(dá)某一方案或解決某一實(shí)際問(wèn)題時(shí)．通常要求這些變量的取值是非負(fù)的；2.存在若干個(gè)約束條件，可以用一組線性等式或線性不等式來(lái)描述；3.存在一個(gè)線性目標(biāo)函數(shù)，按實(shí)際問(wèn)題求最大值或最小值．具有以上特征的問(wèn)題稱為線性規(guī)劃．它的的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即線性規(guī)劃問(wèn)題數(shù)學(xué)模型（簡(jiǎn)稱線性規(guī)劃模型）的一般形式為7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

式中

表示求最大值，

表示求最小值，

是由實(shí)際問(wèn)題所確定的常數(shù).

為利潤(rùn)系數(shù)或成本系數(shù)；

稱為限定系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)；

稱為結(jié)構(gòu)系數(shù)或消耗系數(shù)；

為決策變量；每一個(gè)約束條件只有一種符號(hào)

．也可以寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

有時(shí)也寫成矩陣形式其中7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

二.線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法線性規(guī)劃問(wèn)題一般用單純形法或數(shù)學(xué)軟件求解，但當(dāng)決策變量只有兩個(gè)時(shí)，可以用圖解法求解．先看上述案例１的求解．

例１在案例１鋼板的截取中，我們得到了線性規(guī)劃模型：求解該模型．7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

首先,在平面直角坐標(biāo)系中畫出約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域（稱為可行域，圖7-3陰影部分）以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，由于，所以只考慮第一象限的情形．7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

其次，找出可行域中使目標(biāo)函數(shù)取得最小值的點(diǎn)（可行域內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)稱為可行解，在所有的可行解中使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)的解稱為最優(yōu)解）．目標(biāo)函數(shù)

在坐標(biāo)平面可以表示成以Z為參數(shù)的一簇平行直線，即

，其斜率為-1，截距為Z，位于該直線上的點(diǎn)具有相同的目標(biāo)函數(shù)值Z，因而稱其為等值線．對(duì)于不同的目標(biāo)值Z，可以得到一簇平行的等值線，只要將等值線在可行域內(nèi)平移，就可以得到一條使目標(biāo)函數(shù)的值在可行域內(nèi)為最小的等值線，7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

本題的等值線在點(diǎn)A處在

軸上的截距最小，因此目標(biāo)函數(shù)的最小值在點(diǎn)A處取得，該點(diǎn)為兩直線

的交點(diǎn)，其坐標(biāo)為

，即可得

（最少需要兩種鋼板11張）．圖7-37-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

例2求解案例2生產(chǎn)計(jì)劃安排問(wèn)題．解案例2的線性規(guī)劃模型為第一步確定可行域．畫出該規(guī)劃模型中約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域（如圖7-4陰影所示）．第二步畫出等值線

．此等值線在兩直線交點(diǎn)A處取值時(shí)截距最大，此時(shí)圖7-47-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

例3用圖解法求下列線性規(guī)劃問(wèn)題(1)(2)7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

解（1）首先畫出約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域（圖7-6陰影部分），然后畫出等值線

，此等值線是以Z為縱截距的一族平行直線，這族平行直線在可行域內(nèi)點(diǎn)A處縱截距最大值，此時(shí)7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

（2）首先畫出約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域（圖7-7陰影部分），然后畫出等值線

，此等值線以縱截距

為參數(shù)，對(duì)應(yīng)著一族平行直線，這族平行直線在可行域內(nèi)點(diǎn)A處取得最小值，此時(shí)7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

由此，圖解法求解線性規(guī)劃問(wèn)題一般分為三步：第一步：建立直角坐標(biāo)系；第二步：找出所有約束條件所構(gòu)成的公共區(qū)域，即可行域；第三步：改變目標(biāo)函數(shù)值z(mì)，使等值線平行移動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)到可行域上的某一點(diǎn)時(shí)，如果再移動(dòng)就將脫離可行域，則該點(diǎn)使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極值，該點(diǎn)坐標(biāo)則為最優(yōu)解．7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

7-1行列式及其性質(zhì)7-3用初等變換求解線性方程組

7-4線性規(guī)劃的基本概念及圖解法

第7章行列式矩陣線性規(guī)劃初步

7-2矩陣及其運(yùn)算7-5數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)Matlab在行列式與矩陣計(jì)算中的應(yīng)用Lingo在線性規(guī)劃的中的應(yīng)用

7-5Matlab在行列式與矩陣計(jì)算中的應(yīng)用Lingo在線性規(guī)劃的中的應(yīng)用

一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康亩?、主要命令三、?shí)驗(yàn)任務(wù)一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?.應(yīng)用MATLAB計(jì)算行列式；2.應(yīng)用MATLAB進(jìn)行矩陣運(yùn)算；3.應(yīng)用MATLAB解線性方程組；4.應(yīng)用Lingo解線性規(guī)劃問(wèn)題.7-5Matlab在行列式與矩陣計(jì)算中的應(yīng)用Lingo在線性規(guī)劃的中的應(yīng)用

二、主要命令1.

：兩個(gè)同型矩陣相加減；2.

：數(shù)乘矩陣；3.

：兩個(gè)矩陣相乘；4.

：方陣的n次冪；5.

：矩陣右除，計(jì)算

；6.

：矩陣左除，計(jì)算

；7.

：求矩陣A的行列式；8.

或

：求矩陣A的逆矩陣；9.

或

：求矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣；10.

：求矩陣A的秩；11.

：求矩陣A的行簡(jiǎn)化階梯形矩陣形式.7-5Matlab在行列式與矩陣計(jì)算中的應(yīng)用Lingo在線性規(guī)劃的中的應(yīng)用

三、實(shí)驗(yàn)任務(wù)任務(wù)1計(jì)算行列式

例1求行列式

輸入命令：A=[32000；13200；01320；00132；00013];a=a輸出結(jié)果：a=637-5Matlab在行列式與矩陣計(jì)算中的應(yīng)用Lingo在線性規(guī)劃的中的應(yīng)用

任務(wù)2矩陣運(yùn)算例2已知

，求

，

，

。輸入命令：A=[101220；91518；12915；81015]；B=[151325；121116；15610；101218]；C=A+BD=3*AE=5*B7-5Matlab在行列式與矩陣計(jì)算中的應(yīng)用Lingo在線性規(guī)劃的中的應(yīng)用

輸出結(jié)果：C=252545212634271525182233D=303660274554362745243045E=75651256055807530505060907-5Matlab在行列式與矩陣計(jì)算中的應(yīng)用Lingo在線性規(guī)劃的中的應(yīng)用

例3設(shè)

，求

和

。

輸入命令：A=[32-1;235];B=[13;-54;36];AB=A*BBA=B*A輸出結(jié)果：AB=-1011248BA=91114-72252124277-5Matlab在行列式與矩陣計(jì)算中的應(yīng)用Lingo在線性規(guī)劃的中的應(yīng)用

例4

已知

，求輸入命令：for