2024高考數(shù)學第一輪復習：88 幾何法求線面角、二面角及距離(解析版)

8.8幾何法求線面角、二面角及距離

知識點總結

利用幾何法求線面角、二面角、距離的難點在于找到所求的角或距離，相對于向量法，幾

何法運算簡單、不易出錯.知識點1：線與線的夾角

平行直線

共面直線

（1）位置關系的分類:相交直線

異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點

（2）異面直線所成的角

①定義：設a,b是兩條異面直線，經過空間任一點。作直淺"〃a,Z/〃8，把"與"所成的銳角（或

直角）叫做異面直線“與人所成的角（或夾角）.

②范圍：

③求法：平移法：將異面直線〃，〃平移到同一平面內，放在同一三角形內解三角形.

知識點2：線與面的夾角

①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳知即為斜線與平面的線面角.

②范圍：［0,

③求法：

常規(guī)法：過平面外一點3做BE_L平面a,交平面a于點"；連接A8',則448即為直線與平

面。的夾角.接下來在放八鉆5'中解三角形.即sinN8A8'=理=上'（其中力即點8到面a的距離,

AB斜線長

可以采用等體積法求〃，斜線長即為線段的長度）；

知識點3：二面角

（1）二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，

這兩個平面稱為二面角的面.（二面角或者是二面角A-CO-3）

（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點為端點，在兩個半平面內分別做垂直于

棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角；范闈［0,網.

（3）二面角的求法

法一：定義法

在棱上取點，分別在兩面內引兩條射線與棱垂直，這兩條星線所成的角的大小就是二面角的平面角，

如圖在二面角a-/一0的棱上任取一點O,以O為垂足，分別在半平面a和4內作垂直于棱的射線OA和OB,

則射線Q4和08所成的角稱為二面角的平面角（當然兩條垂線的垂足點可以不相同，那求二面角就相當于

求兩條異面直線的夾角即可）.

法二：三垂線法

在面?；蛎鎻V內找一合適的點八，作人。_1_尸于。，過人作AB_Lc于8,則80為斜線科在面分內的

射影，/43O為二面角a-c?一4的平面角.如圖1,具體步驟：

①找點做面的垂線；即過點A,作AO_L尸于O；

②過點（與①中是同一個點）做交線的垂線：即過A作/連接40；

③計算：NABO為二面角。-。-尸的平面角，在R/A4AO中解三角形.

圖1圖2圖3

法三：射影面積法

凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個平面上的射影圖形面積的都可利用射影面

積公式（cos0=&=<3,如圖2）求出二面角的大?。?/p>

S斜SABC

法四：補棱法

當構成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為

補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題.當二平面沒有明確的交線時，也可直接用法三的攝影面

積法解題.

法五：垂面法

由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是

二面角的平面角.

例如：過二面角內一點A作A3_Lc于8,作ACJ.77于C,面ABC交棱”于點O,則血心就是二面

角的平面角.如圖3.此法實際應用中的比較少，此處就不一一舉例分析了.

知識點4：空間中的距離

求點到面的距離轉化為三棱錐等體積法求解.

典型例題分析

考向一幾何法求線面角

例1（2023?杭州質檢）在三棱柱ABC-A必G中，各棱長都相等，側棱垂直于底面，點。是8G

與B\C的交點，則AD與平面3BGC所成角的正弦值是（）

A」B也

A,502

一近n1

C.-z-D.5

答案C

解析取的中點￡,

連接DE,AE,如圖.

晨

B

依題意三棱柱ABC—為正三棱柱，

設棱長為2,則A￡=小，DE=\,

因為。，E分別是BCi和BC的中點，

所以。E〃CG,所以。EJ_平面ABC,

所以DELAE,

所以AD=ylAE2+DE2=WH=2.

因為AE_L8C,AE±DE,BSDE=E,

所以AE_L平面BB6C,

所以NADE是A。與平面88GC所成的角，

所以sin/AZ）E=^=坐，

所以A。與平面BBCC所成角的正弦值是坐.

感悟提升求線面角的三個步驟：

一作（找）角，二證明，三計算，其中作（找）角是關鍵，先找出斜線在平面上的射影，關鍵是作

垂線，找垂足，然后把線面角轉化到三角形中求解.

訓練1（2023?湖州模擬）如圖,已知正四棱錐P—ABC。底面邊長為2,側棱長為4,M為側棱

PC的中點，則直線3M與底面A3C。所成角的正弦值為（）

a

AB

A亞B*

A.3

「逗D等

「6

答案D

解析作。。_1_底面A3CO于0,連接oc,

*B

因為正四棱錐P-ABCD底面邊長為2,故。。=啦，

又測棱長為4,故P0=yjPC2-OC=714.

又M為側棱PC中點，取OC的中點F,連接MF,8M,

則歷尸統(tǒng)少）。，且MRL平面ABC。，

故NMBF是BM與平面A8C所成角，

且Mb=：PO=乎

JJ

BC

「21

又cosPC"-4"

在△BCM中，由余弦定理有用0=朗8。2+CM?—28CCMcosNBCM=?

MF_V14_V2T

在△BEW中，sinZMBF=

BVf_2加一6,

故直線8M與底面ABCD所成角的正弦值為等.

考向二幾何法求二面角

例2如圖所示，在三棱錐S—A3c中，ASBC,5c都是等邊三角形，且3c=2,SA=，5,

則二面角S-8C-4的大小為（）

A.300B.45°

C.60°D.75°

答案C

解析如圖所示，取8。的中點。，連接AO,SD,

VAABC,△S^C都是等邊三角形,

:?SB=SC,AB=AC1

因此有4O_L8C,SD±BC.

/ADS為側面SBC與底面ABC所成的二面角的平面角.

因為BC=2,AD±BC,SDLBC,ASBC,△45C都是等邊三角形，

所以SD=qSB2_=小=1=5,AD=\JAB2—B?K4—]=事,

而%=小，所以△SD4是正三角形,

工/AOS=60。，

即二面角S-BC-A的大小為60°.

感悟提升作二面角的平面角的方法:

作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個半平面內找一點作另一個半平面

的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二

面角的平面角.

訓練2我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.在

如圖所示的“塹堵”中，AC=CB=CCi,則二面角G—AB—C的正切值為（）

A.1

c亞

。2D.V2

答案D

解析由AC=C3知，ACA.CB,CM,

由條件，可知NGMC即為二面角G-A8-C的平面角,

設AC=C8=CCi=〃，則CM=^〃，

tanZCMC=-^=y[2.

考向三幾何法求距離

角度1點線距

例3如圖，在四棱錐P-ABC7）中，平面ABC。，PB=AB=2BC=4,AB_LBC,則點。

到直線PA的距離為（

A2小B.2小

C.A/2

答案A

解析如圖，取物的中點M,連接CM,

因為尸8_L平面A8CQ,

又8Cu平面A8CQ,

所以PBLBC,

又因為A8_L3C,PBCAB=B,PB,ABu平面加8,

所以BC_L平面辦B,又％u平面%B,

所以BC_L%,BC上PB,

因為M是出的中點，PB=AB,

所以3M_LB4,

又8C_LMBMCBC=B,8W,8Cu平面8cM,

所以雨平面BCM,又CMu平面BCM,

所以CM_L%,

即CM為點C到直線%的距離.

在等腰Rl△%B中，BM=^~乙PB=2版

在RtABCM中，CM=7BM2+BC2=78+4=2小,

故點C到直線PA的距離為2小.

角度2點面距

例4如圖所示，在長方體中，AD=AAi=2,AB=4,點E是棱A5的中點,

則點E到平面ACD\的距離為（）

AEB

A.lB?

C.TD.也

答案B

解析設點E到平面AC。的距離為〃，

因為點E是棱AB的中點，

所以點E到平面\CDx的距離等于點B到平面ACD^的距離的一半,

又平面ACG過8。的中點，

所以點B到平面ACDi的距離等于點D到平面ACDi的距離，

由等體積法VD-ACD[=VD1-ACD,

所以;S“a）/2/7=；SMC/>QD1,

S△力e=；X2X4=4,DD\=2,

在△ACQ1中，ADi=2?AC=CDi=2?

所以S"6=\X2啦義、（2#）2一（啦）2=6,

112

則；X6X2〃=gX4X2,解得/?='!，

即點E到平面AS的距離為導

感悟提升1.求點線距一般要作出這個距離，然后利用直角三角形求解，或利用等面積法求解.

2.求點面距時，若能夠確定過點與平面垂直的直線，即徑出這個距離，可根據(jù)條件求解，若不

易作出點面距，可借助于等體積法求解.

基礎題型訓練

一、單選題

1.在中國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一種稱為“曲池〃的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且

均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截的部分），現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為2,AA，驅,CC,,

。。均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應的兩個圓的半徑分別為1和2,對應的圓心角為90。，則圖中異面

直線A%與CR所成角的余弦值為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)異面直線的夾角運算求解.

［詳解】設ABICD=O,%GA=日，分別延長DC,D,C,到E,日,使得OE=OC=CD,O,旦=0￡=C,Dt,

連接E%O（L，Ea，BE,

可得A瓦〃EOJ/CD.,則異面直線與CR所成角NBQE（或其補角）,

則BQ]=EOi=君,BE=O,

BO；+E/-BE?=5+5-2=4

在普印中,由余弦定理可得cos/8。石=

2帕?EO、--2xx/5xV5-5

4

即異面直線AB.與CD、所成角的余弦值為（.

2.一個正六棱錐，其側面和底面的夾角大小為6（），則該正六棱錐的高和底面邊長之比為（）

A.3:2B.3:1C.2:3D.1:3

【答案】A

pn

【分析】如圖正六楂錐尸-MCZ郎中，取科的中點小則NPMO為側面和底面的夾角‘根據(jù)說的值

p（）

可求得肉的值.

如圖正六棱錐尸-48CO即中，底面中心為。，取人4的中點連接尸M,OM,

則八ABA.OM,所以NPMO為側面和底面的夾角，即NPMO=60°

因為PO_Z底面ABCDEF,OMu底面ABCDEF,

POr-

所以尸OJ_OM,所以---=tan60=J5,

OM

P。=￡

又0M=皂AB,所以6

2——AB

2

所啜S#3

2,

故選：A

3.在正方體ABC。-A4aA中，。是AG的中點，則異面直線AO與6c的夾角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】先利用線線平行推得/"AO是異面直線AO與8G的夾角，再利用勾股定理依次求得AA，〃O，A。,

從而得解.

【詳解】連接

因為正方體A8CO—ASGA中，ABiIC\D\,AB=C\D\,

所以四邊形A8G2是平行四邊形，則ADJ/8G，

所以ZD.AO是異面直線AO與BC、的夾角，

不妨設正方體ABC?！狝4GA的棱長為2,則4〃=20,D,O=x/2,AO=ylA.A2+A.O2=76,

故AD；=￡>02+AO2,即R0JL4。，則0。<卬40<90。,

所以sin/〃AO=^=g,則？7)MO30?.

故選:A.

4.如圖，在長方體ABCO-AAGA中，48=2,4。=。。|=1.則直線人。|與平面48℃所成角的余弦值是

()

A-TBYC-T

【答案】c

【分析】根據(jù)線面角的定義，可知/AC/即為宜線AG與平面84。。所成角，解三角形即可求得結果.

【詳解】如圖，連接直線Bq,顯然，在長方體ABC。-AgC心中，482平面BBC。，故/AC用即為直

線AG與平面B8CC所成角,

r?

在RtAC/中，A5=2,C1B=^/BC+qC=x/2,AC；=JdB?=百+（五＞=瓜,

C；8五二石

:.cosNAG4=

AC1瓜—3

故選：C.

5.在正四面體/WCD中，點E,F,G分別為棱"C,CD,HC的中點，則異面直線AK,AG所成用的

余弦值為（）

DT

【答案】A

【分析】根據(jù)異面直線夾角的定義結合余弦定理運算求解.

【詳解】連接OE,設正四面體ABCD的棱長為2,

因為G,產分別為AC,CD的中點，則G產〃A。，

所以異面直線AE,FG所成角為/DAE（或其補角），

在VAO￡中，則AE=QE=6,AO=2,

由余弦定理可得cosNDAE=、0+4＞一°回2=4+3-3=立，

2ADAE2x2x63

所以異面直線AE,"G所成角的余弦值為由.

3

故選：A.

A

6.如圖，在三棱柱ABC-AAG中，底面48c是正三角形，側棱與底面A8C垂直，^.AB=4,AAi=2>/3,E,F

分別是AG.8C的中點，則異面直線律與CG所成的角的余弦值為（）

A1c3不

A?--------RD?C?--------

727

【答案】D

【分析】根據(jù)異面直線夾角的定義分析求解.

【詳解】如圖，取AC的中點。，連接力上力石,貝IJOE//CG，且。石=CC=2G,

所以NDE廠為異面直線E戶與GC所成的角（或其補角）,

又因為尸是8c的中點，則加尸=；A8=2,

又因為三楂柱48C-A4C的側極與底面垂直,

則平面人BC,且G〃u平面人8C,所以DE工DF,

在RiZkf）即中，EF=ylDE2+DF~=4?所以8S/。七F="=噂

EF2

故選:D.

7.在直二棱柱A3C-A心G中，ABJ.BC,Ab=3C=，過點A作直線/與A&和6。所成的角均為。，

則a的最小值為（）

A.60°B.45°C.30°D.15°

【答案】C

【分析】計算異面直線AG和qc所成的角，則。的最小值為異面直線AG和8c所成角的一半.

【詳解】依題意，直三棱柱是正方體的一半，如圖所示，

AC〃AG，.?./印”為異面直線4G和8。所成角，

又AC=HC=A4，..VABC是等i力三角形，???/瓦。=60。，

過C作直線/的平行線則當/'與/a。的角平分線重合時，a取得最小值30。.

故選：C

二、填空題

8.已知正三棱柱AB。-。為”WC的外心，則異面直線AG與OB所成角的大小為

【答案】

【分析】根據(jù)異面直線夾角的定義結合線面垂直分析求解.

【詳解】延長8。交AC于點”，

因為為正三角形，則點”為AC的中點，可得8WJ.AC,

又因為叫1平面4BC,平面ABC,可得BA/J.AA，

且ACAAA=4,AC,AA,U平面ACGA，可得平面ACGA，

由于AGU平面ACGA，所以BMJLAG，即OBIAG，

所以異面直線AG與。3所成角的大小為

故答案為：--

9.如圖，在三棱錐P—A3C中，24_L底面A8C,Z4CB=90°,且AC=BC=PA=2,M是尸"的中點,

則AM與平面尸8c所成角的正弦值是.

P

【答案】近R加

33

【分析】根據(jù)圖形特征，取尸C中點。，連接4ROM,通過線面垂直的性質與判定得到AO1面2CB,因

而NAW是AM與平面P8C所成角，再通過相關計算，在直角三角形中計算其正弦值即可.

【詳解】如圖，取PC中點O,連接AQOM,

因為而ABC,ACu面A8C,

所以B4_LAC,

又因為AC=E4=2,

所以At)_LPC,

因為尸A_1_面ABC,ACuiEABC,

所以PA_LAC,

又因為NAC8=90。，所以8C_LAC,

因為PAACu面尸AC,PAAC=A,

所以8c工面PAC,

因為ADu面PAC,

所以8C_LA0,

因為PCBCu面PCB,PCcBC=C

所以AD_L面尸C8,

所以/AMD是AM與平面PBC所成角，

因為如J.4C,AC=PA=2,

所以4。=專=&,

由已證知，BC_Z面PAC,因為ACu面PAC,

所以BC±AC,

所以AB=JAC2+8C2=2后

因為尸AJ_面ABC,A8u面A8C,

所以B4_LAB,

所以P3=JPT+482="7^=2"

所以AM=“8=G,

由已證知，4。_1_面夕。4,

又因為OMu面PC4,所以AO_LZW

所以sinNAMD==率=—.

AM石3

即AM與平面P8C所成角的正弦值是遠.

故答案為：如

3

10.長度為15cm的線段兩個端點到平面。的距離分別為3cm和12cm,且這兩個端點都在平面。的同一側,

則這條線段所在直線與平面。所成角的正弦值為.

3

【答案】1/0.6

【分析】根據(jù)線面夾角的定義分析運算.

【詳解】如圖所示，設線段兩個端點A4在平面a的投影分別為co,連接AC8ACO,

則AC=3,B￡>=12,A5=15,

在線段8。上取點E,使得OE=38石=9,連接CE,

因為AC〃QE,AC=DEf則ACEO為平行四邊形，可得AB〃CE,AB=CE=\5

則線段A3所在直線與平面。所成角的即為線段CE所在直線與平面。所成角N7)CE,

所以這條線段所在直線與平面a所成角的正弦值sinNOCE=IDgE==9=:3

CE155

三、解答題

11.如圖，在三棱柱ABC-A4G中，面為正方形，面例GC為菱形，NC4A=60。側面AAGCJL

面A83M.

⑴求證：從61面。14；

⑵求二面角C-BB1-A的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

⑵乎

【分析】(1)利用面面垂直的性質定理和線面垂直的判定定理即可得證.

(2)過C作CWLAA于〃，過〃作于K,連接CK,利用線面垂直的性質定理得出NCKH為二

面角C-BB.-A的平面角，在□△C77K中直接求解即可.

【詳解】(1)由菱形A4.G。可得/1G，AC,

面AAGC，面4陰A，面AAGC面人網4=44，

又正方形A34A中44，相1,

.?.A4_1面44,。。，又AGu平面A41GC,A.B.A.AC,,

AB|AC=A，AA，ACU平面CAiBl,ACtJL面CA81.

(2)過C作C〃1A4,于〃，則C”J_面

過H作HK工BBI于K,連接CK,

因BB,u平面ABB,A,,則CH1陰，

又CH,HKu平面CHK,CHHK=H,故BBJ平面CHK,

又CKu平面CHK,所以

故/CK〃為二面角C-BB1-A的平面角，

在RtaC/ZK中，設AC=a,AA,=AB=a,ZCA4,=60°,

:.CH=叵，HK=AB=a,CK=slcH2+HK2=—,

22

cosZ.CKH==—

\/7a7?

~T

即二面角C-BBX-A的余弦值為硬.

BKB、

12.如圖，48是圓。的直徑，點P在圓。所在平面上的射影恰是圓。上的點C,且4c=28C,點、D是PA

的中點，PO與交于點E,點尸是PC上的一個動點.

p

A

⑴求證：BC-LPA；

⑵求二面角3—PC-O平面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

(2)與

【分析】（1）通過證明8cl平面PAC來證得8C_ZQ4；

（2）判斷出二面角"-長-。平面角，解直角三角形求得其余弦值；

【詳解】（1）證明：點尸在圓0所在平面上的射影恰是圓。上的點C,二夕。，平面A3C,

BCu平面A8C,BC上PC,

又A8是圓。的直徑，有8CJ.AC,旦PCcAC=C,PC,ACu平面P4C,

所以8C工平面P4C,又Q4u平面PAC,所以8CJ.P4.

（2）尸C_L平面人BC,0coeu平面48c,所以尸C_Lbr,PC±OC,

??.“CO為二面角8-尸C-O的平面角.

設AC=2BC=2,則43=有，OA=OB=OC=—f有NBCO=NOBC,NBCO為銳角,

2

在直角.ABC中可得cosNABC=空=；=￡,故cos/BCO=在，

ABV555

故二面角8-PC-O平面角的余弦值為李.

13.如圖，正三棱柱ABC-ABC中，瓦尸分別是棱8月上的點，A,E=BF=^AAi.

B

（1）證明：平面C$_L平面ACGA；

⑵若AC=AE=2,求二面角￡—C/—G的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵手

4

【分析】（1）建立空間直角坐標系，求解兩個平面的法向量，利用法向量證明面面垂直;

（2）求出兩個平面的法向量，利用法向量的夾角求出二面角的余弦值.

【詳解】（1）證明：取3。的中點0,連接04,

在正三棱柱八BC-A與G中，不妨設4B=2a?/V\=3；

以。為原點，08,04分別為x軸和V軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示,

則C（-4U,U）,月8,6。,0）,尸（4,0,1）,&（0,&42）,

CT=(23(),1),CE=(?島,2),。上a、0),CC；=(0,0,3)；

n-CF=02ax+z=0

設平面C￡F的一個法向量為〃=（X,y,z）,則

n-CE=0ax+\[3ay+2z=0

取尸一1,貝!11y=-6,z=2a,即〃二（一1,一石,2。）；

m?C4=0

設平面4CCA的一個法向量為〃?=（N，y,zJ,則，

m-CCj=0'

即卜匚f孫二°，取,一得，"=（石1，。）.

3Z1—U

因為m?〃=-出+4=0，所以平面CE￡_L平面ACGA；

（2）因為4c=AE=2,由（1）可得。=1,即〃=（一1,一6,2）,

易知平面CTG的一個法向量為。4=（0,6,0）,

nOA-3

cos(〃,O4)=1工仁=--

\/聞例限64，

二面角E-CF-C,的余弦值為業(yè).

4

14.如圖所示，平面平面ABC。，四邊形A￡7方為矩形，I3C//AD,AB1AD,AE=AD=2AB=4,

BC=2.

⑴求多面體ABCDEF的體積;

（2）求二面角CO—A的余弦值.

40

【答案】（1）5

⑵;

【分析】（1）通過割補法，結合錐體體積計算公式求得正確答案.

（2）作出二面角歹-C0-A的平面角，進而計算出其余弦值.

【詳解】（1）如圖，連接3。，

團四邊形4EFB為矩形，

0AE1AB,I3F±AB,

（3平面48石對平面ABCD,平面ABMn平面A8CO=48,

AEu平面A8ER班'u平面ABE尸,

(MWffiABCD,8咫平面/WS

回ADu平面ABC。,

^AELAD,

又ADIAB,ABnAE=A,人民斗石匚平面人石「火，

MP0平面AE/次

1132

?%校徘。-八國=ZS矩形AEFB'A。=-x4x2x4=—,

JJJ

BBC//AD,ABLAD,

mAB.LBC.

?]j8

0VElSi#F-HCD=75BC/r^F=TX-X2X2X4=-?

團多面體A8CDE/的體積為

_32840

VV+V

^mMCDEF=Vn^D-AEFB-:極鏘F-BCD=+=?

(2)如圖，過4作AGJ_C。交。C的延長線于點G,連接尸G,

BFWffiABCD,￡>Gu平面A8CO,

團。施戶73,

又D5BG,BGcFB=B,BG,FBu平面FBG,

團。電平面FBG,

回凡;u平面五8G,

0DG0FG,

00FGB為二面角F-CD-A的平面角，由題意得ZADC=45°,

BBC//AD,

0ZfiCG=45°,

在R/0F9G中，F(xiàn)B^AE-4,BG=BCsm45c=應,

0FG=VFB2+BG2=y/42+（x/2）2=3立，

1

0cosZFG?=—=",

FG3

自二面角F-CD-A的余弦值為g.

15.如圖，已知點。是正方形43co所在平面外一點，M,N分別是PC的中點.

⑴求證：MN//平面%D；

⑵若中點為Q,求證：平面MNQ〃平面以D.

⑶若雨（3平面A3CQ,AB=PA=2,求直線M與面布。所成的侑.

【答案】（1）證明見解析

⑵證明見解析

⑶45。

【分析】（1）利用三角形的中位線可.得線線平行，進而由線面平行的判斷即可求證，

（2）由線面平行即可求證，

（3）利用線面垂直得線線垂直，進而可由幾何法求解線面角，即可由三角形的邊角關系求角大小.

【詳解】（1）取尸。的中點七，連接AE,NE,

因為N是PC的中點，所以NE〃DC且NE=；DC,

又必是48的中點，ABC。是正方形，所以AM〃衣且AM=!AB=1OC,

22

所以NE〃AM且NE=AM,

所以四邊形4WNE為平行四邊形，所以MN//AE,

又MN（Z平面見D,AKu平面以。，所以MN//平面%D.

（2）因為。為PB的中點，M是A8的中點

所以MQ〃AP,又MQ（Z平面辦D,APu平面附D,所以MQ〃平面附D,

又A/N〃平面附￡>,MQcMN-M,MQ,MNu平面MNQ,

所以平面用NQ〃平面%D.

（3）因為附回平面ABCQ,EAu平面以Q,

所以平面以。3平面ABCD,

又ABCD為正方形，所以人HMD,A4u平面ABC。，平面孔Wc平面ABCO=AO,

所以A碗平面PAD,

所以融出即為直線與面以。所成的角，乂A3=%=2,所以她以為等腰直角三角形，所以她以=45。,

即直線尸8與面以。所成的角為45。.

16.如圖，在四棱錐P-A3C/）中，四邊形A8CO是邊長為2的正方形，AC與BD交于點0,A4_L[SABC。,

且R4=2.

⑴求證401平面PAC.；

⑵求P。與平面P4C所成角的大小.

【答案】（1）證明見解析

（2）30

【分析】（1）由4C/4。，因為%，平面A8CO,得到R4_L3D,結合直線與平面垂直的判定定理，即可

證得8。/平面「AC；

（2）連接PO,得到NOPO為尸￡>與平面尸AC所成的角，在直角.OPO中，即可求得尸。與平面尸AC所成

的角.

【詳解】（1）解:因為A8C。是正方形，所以AC/8O,

又因為1%_L平面AHA,8￡>u平面ASC￡>,所以/M_L以）,

因為PAAC=A,2Au平面PAC,ACu平面PAC,

所以BD_Z平面PAC.

(2)解：連接PO,因為4。_Z平面BAO,所以NOPO為P。與平面PAC所成的角,

因為45=24=2,所以PO=娓,DO=g,

在直角DPO中,tanZDPO=—=^=—,

POR3

所以NZ)PO=30,即尸。與平面PAC所成的角為30.

提升題型訓練

一、多選題

1.已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,AB為底面直徑，ZAFB=120°,E4=2,點C在底面圓周上，且

二面角尸一AC—O為45。，則().

A.該圓錐的體積為冗B.該圓錐的側面積為467c

C.AC=20D.ZXPAC的面積為名

【答案】AC

【分析】根據(jù)圓錐的體積、側面積判斷A、B選項的正確性，利用二面角的知識判斷C、D選項的正確性.

【詳解】依題意，ZAPB=120°,PA=2,所以O尸=1,04=08=6,

A送項，圓錐的體積為:XTTX(G)xl=7C,A選項正確;

B選項，圓錐的側面積為兀xgx2=267t,B選項錯誤;

C選項，設。是AC的中點，連接

則AC_LO￡>,AC_LPO,所以NP3是二面角P—AC—O的平面角,

則/尸DO=45。，所以OP=8=1,

故AQ=CQ=G^F=&,則AC=2夜，C選項正確;

D選項，PD=正+12=叵，所以S丹仁=Jx2&x0=2,D選項錯誤.

2.已知點尸是空間中的一個動點，正方體棱長為2,下列結論正確的是（）

A.若動點。在棱48上，則直線4。與始終保持垂直

B.若動點P在棱AB上，則三棱錐G-APC的體積是定值

C.若動點P在對角線AC上，當點P為AC中點時，直線與平面4BCO所成的角最小

D.若動點P在四面體AC內部時，點P與該四面體四個面的距離之和為定值

【答案】ABD

【分析】根據(jù)立體兒何相關定理逐項分析.

【詳解】對于A,連接如圖：

D,G

則BC~L8G，A8_L平面8c=8,48u平面48coi,BJu平面A8CQ1,

.?.8C~L平面ABGA，。/<=平面48。1。，二4。，。/,正確;

對于B,如圖:

連接PC,PC，DC，則三棱錐G-RPC的體積等于三棱錐P-CGA的體積,

.?.A8//平面8AG，點P到平面8RG的距離=8C為定值，即三棱錐P-CGA的高為定值，底面三角形

C〃G的面積為定值，

所以三棱錐尸-CGA的體積為定，直，正確；

對于C,連接。P,如圖：

設直線。/與平面/WCO的夾角為a,在R/RDP中，tana=部,當P為AC的中點時，。尸最小，tana

最大，即。最大，錯誤；

對于D,因為AC=8C=gA=q。，四面體4C4A是正四面體，

本問題等價于當夕點在四面體S-A3c內部時到各個面的距離之和為定值，如圖；

s

^S-ABC=^P-ARS+^P-ACS+^P-BCS+^P-ABC=§(4+力2+‘4+^4)S.，其中

%，%,%也是點P到四個面的距離,

.?.4+色+/4+區(qū)二%也，為定值，正確;

、ABC

故選:ABD.

3.如圖，在正四棱柱ABCO-AMGA中，底面邊長AB=&，側棱長M=退，尸為底面48CD內的動點,

且A/與班彳所成角為30。，則下列命題正確的是（）

B.當卅P〃平面A。。時，用P與平面ACQ的距離為日

C.直線C/與底面A8CO所成角的最大值為5

D.二面角P-AG-o的范圍是哈曰

【答案】AC

【分析】選項A根據(jù)A/與84所成角為30。求出AP=],從而確定動點P的軌跡并求出長度；選項B利用

等體積法即可求得；選項C根據(jù)直線與平面所成角的定義找到直線G2與底面ABC。所成角，再計算最大值

即可：選項D通過點尸在特殊位置時求出二面角尸-AG-力的平面角超出選項范圍進行排除.

【詳解】正四棱柱A8CZ）-A4GA中，底面是正方形，側棱垂直于底面.

對于A選項，因為M84且A尸與BB1所成角為30。，所以AP與AA所成角也為30。.又M1AP,

，AP=A4,"tan30=1.

又?尸在底面A8CO內，的軌跡為以A為圓心，1為半徑的圓周的四分之一，長度為JX2T：X1=5.故選

項A正確;

對于B選項，當與尸〃平面AG。時，e到平面ACQ的距離即為與平面4G。的距離.

VD.W=15WI-M=|X|XV2XV2XV3=^.

v_v一正

VD-A,B,C,~VB,-A,C,D~~,

在,AG。中，AD=GD=6AJ=2,AG邊上的高為2,

設4到平面AC。的距離為〃，則匕一^〃=,3.門/?=’乂,乂2>2乂/2=也，

個M】〃3323

解得〃=且.故選項B錯誤；

2

對于C選項，連接CQ,則線段CP為線段GP在底面A8CO的投影，故直線GP與底面A3CO所成角為

Z.PCXC,且tanZPCjC='^，

7T

由選項A可知，當P為正方形A8CO中心時，CP最短為1,此時tan/尸CC最大為6,即NPCC=3?故選項

C正確；

對于D選項，當〃在線段AS上時，AP=l,BP=&-1，

因為,AG。是等腰三角形，所以取AG中點o,連接。。，則。D1AG.

過。作PM〃AG交8。于點M,分別連接ARCM,則AP=GM=2,故四邊形4PMG是等腰梯形，取

PM中點N,則ON_LAG，所以NOON是二面角p-AG-D的平面角.

在四邊形APMG中，A2=GM=2，AG=2,PM=&PB=2-日故ON=叵.又BN=、PM="顯,

222

=z

故DN=2-(1-

2

由選項B知，OD=2.

4+--(l+-+x/2)

226-V2V2

在△DON中,由余弦定理得cosADON=

x/14

2ox2ox

2

所以〃ON*,故選項D錯誤.

故選：AC.

4.兩個相交平面構成四個二面角，其中較小的二面角稱為這兩個相交平面所成角；在正方體中，不在同一

表面上的兩條平行的棱所確定的平面稱為該正方體的對角面.則在某正方體中，兩個不重合的對角面所成角

的大小可能為（）

7171

AA.-BC.-兀C.-兀DC.一

6432

【答案】CD

【分析】結合圖象，根據(jù)兩個相交平面所成角的定義確定兩個不重合的對角面所成角的可能大小即可.

【詳解】如圖：

平面ABCR與平面CD\B.的交線為EF,

因為AE//BF,AE=B*,ABJ.AEt

所以四邊形為矩形，故AK_LQ,同理

所以ZA.EA為二面角\-EF-A的平面角,

又乙4,￡尸=90,所以二面角A「Ef-人的平面角為90,

由相交平面所成角的定義可得平面人與平面CD4冏所成的角的大小為90,

如圖（2）

TmBCDA與半囿ABCR的交線為叫,

因為4。，八"，AQJLAB,AO,A8u平面ABCQ,ADtnAB=A,

所以AQ_L平面A4GR,設4。AD、=N,

則AN_L平面A8CQ,過點N作NMJ.8A，

則”MN為二面角A.-BD.-A的平面角，

設正方體的邊長為〃，則AN=空，

因為NND\M=4BD、A"NMD\=￡BAD、=90,

MND.N

所以NMD、s8A0,所以二五二3，

ABUXD

也

所以的二軍

>J3a6

所以tan"MN=A^=6,又幺MV€（0,90）,

MN

所以NA,MN=60,

所以平面ABG。與平面CD4,B1所成的角的大小為60,

故選：CD.

5.如圖，在正方體48CQ-AMG。中，EEG分別為GO，C￡，A2的中點，則以下結論正鬧的是（）

DiEG

AB

A.A.E1CG

B.平面G〃Cc平面A28=4C

C.DE//平面GFC

D.異面直線A。與尸c所成角的余弦值是嚕

【答案】BCD

【分析】由題意可得出CG1GC-可判斷A；因為四點G,RAC共面，所以平面GFCc平面他C￡)=AC可

判斷B；由線面平行的判定定理可判斷C；由異面直線所成角可判斷D.

【詳解】對于A,連接GG,易證AE//GG，因為CG，平面44G

而GC]U平面A4G。，所以CC]_LGC],

所以在△GGC中，GG與GC不垂直，所以AECG不垂直，故A不正確;

對于B,連接ACAG，因為EG分別為C￡,A4的中點,

所以AG/A4C7/G戶,所以四點G,凡AC共面,

所以平面G"Cc平面488=4。，故B正確；

對于C,連接GE,易證GE//AO,GE=A￡>,所以四邊形AOEG是平行四邊形,

所以ED//G4,所以平面GE4C,A