山西省陽(yáng)泉市2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省陽(yáng)泉市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，集合，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題知，得，則，故選：A．2已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】由，得：，所以：，即：，故C項(xiàng)正確.故選：C.3.如圖所示，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn),為的中點(diǎn),若，則等于（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】由平面向量基本定理，化簡(jiǎn)，所以，即，故選：A．4.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，所以，所以，而，故解得，而，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.故選：D.5.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以在點(diǎn)處的切線斜率為.所以切線方程為，即，故選：D.6.已知點(diǎn)A，拋物線C：的焦點(diǎn)F．射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則=（）A B. C. D.【答案】C【解析】拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F（0，1），定點(diǎn)A（2，0），∴拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=-1.設(shè)準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)P，則FM：MN=FP：FN，又F（0，1），A（2，0），∴直線FA為：x+2y-2=0，當(dāng)y=-1時(shí)，x=4，即N（4，-1），，=.7.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見初行行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”其意思是“有一個(gè)人走378里，第一天健步行走，從第二天起因?yàn)槟_痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天到達(dá)目的地.”則此人第一天走了（）A.192里 B.148里 C.132里 D.124里【答案】A【解析】由題意可得這個(gè)人每天走的路程成等比數(shù)列，且公比，，，故，解得.故選：A．8.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則在上單調(diào)遞增，又由是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.由，得，則，兩邊平方整理得，解得故選：B.二、多項(xiàng)選擇題9.已知函數(shù)，則（）A.圖象的一條對(duì)稱軸方程為B.圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為C.將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖象D.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的曲線關(guān)于軸對(duì)稱【答案】CD【解析】，令，，則，，故A錯(cuò)誤；令，則，所以圖象的對(duì)稱中心為，故B錯(cuò)誤；將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），得到曲線的圖象，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線的圖象，故C正確；將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的曲線方程為，其為偶函數(shù)，故D正確.故選：CD.10.將四大名著《紅樓夢(mèng)》《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》，詩(shī)集《唐詩(shī)三百首》《徐志摩詩(shī)集》和戲曲《中華戲曲》7本書放在一排，則（）A.戲曲書放在正中間位置的不同放法有種 B.詩(shī)集相鄰的不同放法有種C.四大名著互不相鄰的不同放法有種 D.四大名著不放在兩端的不同放法有種【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，戲曲書放在正中間，其余6本書和6個(gè)位置進(jìn)行全排列，共有種不同放法，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，將兩本詩(shī)集進(jìn)行捆綁，有2種放法，再將捆綁的詩(shī)集和剩余的5本書，進(jìn)行全排列，此時(shí)有種放法，故詩(shī)集相鄰的不同放法有種，B正確；C選項(xiàng)，先將詩(shī)集和戲曲進(jìn)行全排列，有種方法，且3本書互相之間有4個(gè)空，將4大名著進(jìn)行插空，有種方法，故共有種放法，C正確；D選項(xiàng)，將除四大名著外的3本書中，挑選2本放在兩端，有種放法，再將剩余5本書和5個(gè)位置進(jìn)行全排列，有種放法，故四大名著不放在兩端的不同放法有種，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知?是雙曲線C：的上?下焦點(diǎn)，點(diǎn)M是該雙曲線的一條漸近線上的一點(diǎn)，并且以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M，則下列說法正確的有（）A.雙曲線C的漸近線方程為B.以為直徑的圓方程為C.點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為D.的面積為【答案】AD【解析】由雙曲線方程知,，焦點(diǎn)在軸，漸近線方程為，A正確；，以為直徑的圓的方程是，B錯(cuò)誤；由得或，由得或.所以，點(diǎn)橫坐標(biāo)是，C錯(cuò)誤；，D正確．故選：AD．12.如圖，矩形中，，為邊的中點(diǎn)，將沿翻折成，若為線段的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列結(jié)論中正確的是（）A.翻折到某個(gè)位置，使得B.翻折到某個(gè)位置，使得平面C.四棱錐體積的最大值為D.點(diǎn)在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：由題可知：，若存在某個(gè)位置使得，由于，平面，可得平面，且平面，所以，又因?yàn)椋傻?，由于在折疊過程中，，所以存在某個(gè)位置，使得，故存在某個(gè)位置，使得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若存在某個(gè)位置，使得平面，由平面，可知，因?yàn)?，由可得，由可得，因?yàn)榕c不能同時(shí)成立，所以平面不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若四棱錐體積的最大時(shí)，則平面平面，由于是等腰直角三角形，可知此時(shí)點(diǎn)到平面的距離為，所以四棱錐體積的最大值為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：取中點(diǎn)，連接，由于為線段的中點(diǎn)，則為定值，所以在以點(diǎn)為球心的球面上，故D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題13.已知，，若，則____．【答案】【解析】由題意可得：，，若，則，解得，則，所以.故答案為：.14.高三某位同學(xué)參加物理、化學(xué)、政治科目的等級(jí)考，已知這位同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目考試中達(dá)A+的概率分別為，這三門科目考試成績(jī)的結(jié)果互不影響，則這位考生至少得1個(gè)A+的概率是______.【答案】【解析】這位考生三門科目考試成績(jī)都不是的概率為，所以這位考生至少得1個(gè)A的概率為故答案為：15.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則______【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，可得，解得，所?故答案為：.16.已知函數(shù)．若存在實(shí)數(shù)，，使在上的值域?yàn)?，?qǐng)寫出一個(gè)符合條件的的值____．【答案】（內(nèi)的任意一個(gè)值均可）【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然在上單調(diào)遞增，依題意，，，因此方程，即在有兩個(gè)不等實(shí)根，令，于是方程有兩個(gè)不等的非負(fù)實(shí)根，則，解得，所以符合條件的的值可以為.故答案為：四、解答題17.中，角，，的對(duì)邊分別是，，，（1）求角；（2）若為邊的中點(diǎn)，且，求的最大值.解：（1）由，得，即又由余弦定理，可得，又，；（2）∵是邊的中點(diǎn)，∴，那么，又，∴又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴∴，的最大值是4.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)均在二次函數(shù)的圖象上，可得，則有：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；且也符合，所以．（2）由（1）可得：，所以，所以.19.如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn).（1）證明：∥平面；（2）設(shè)，若點(diǎn)到平面的距離為,求二面角的大小.（1）證明：連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié),因?yàn)闉榫匦?，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，平面平面，所以平面（2）解：因?yàn)闉榫匦危詢蓛纱怪痹O(shè)，則，由有即：，解得：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，則設(shè)為平面的法向量，則，即可取，又為平面的法向量.由，故二面角的大小為.20.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．解：（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，故．21.橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓經(jīng)過點(diǎn)且短軸長(zhǎng)為2.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）過點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于A、兩點(diǎn)，線段的中垂線與軸交于點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，求的最小值.解：（1）由題意設(shè)橢圓的方?為，因橢圓經(jīng)過點(diǎn)且短軸長(zhǎng)為2，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由已知得直線的方程為，設(shè)，將直線代入，得，解得，不妨設(shè)則；同理得，即，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，所以線段的中垂線的方程為，因?yàn)榫€段的中垂線與軸交于點(diǎn)，所以令得，得，因?yàn)闄E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.所以設(shè)橢圓的參數(shù)方程為，，因