遼寧省縣級重點高中協(xié)作體2023-2024學年高二上學期期末考試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省縣級重點高中協(xié)作體2023-2024學年高二上學期期末數學試題注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：人教B版選擇性必修第一?二冊.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在一組樣本數據、、、、、、、不全相等）的散點圖中，若所有的樣本點都在直線上，則這組樣本數據的相關系數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為所有的樣本點都在直線上，所以相關系數滿足.又因為，所以，所以.故選：C.2.某學生要從5門選修課中選擇1門，從4個課外活動中選擇2個，則不同的選擇種數為（）A.11 B.10 C.20 D.30【答案】D【解析】先從5門選修課中選擇1門，有5種選法；再從4個課外活動中選擇2個，有種選法.所以該學生不同的選擇種數為.故選：D.3.設，隨機變量的分布列為：589則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，所以.故選：D4.已知的展開式的二項式系數之和為256，則其展開式中第4項的系數為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為二項式系數之和為256，所以，得，的展開式的通項，令，得.故選：A5.（）A.120 B.119 C.110 D.109【答案】B【解析】因為，所以故選：B.6.法國數學家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現橢圓的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓的中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，分別與橢圓相切，顯然所以點C一定在其蒙日圓上，所以，所以，故橢圓的離心率為.故選：C.7.某校高三年級有8名同學計劃高考后前往武當山?黃山?廬山三個景點旅游.已知8名同學中有4名男生，4名女生.每個景點至少有2名同學前往，每名同學僅選一處景點游玩，其中男生甲與女生不去同一處景點游玩，女生與女生去同一處景點游玩，則這8名同學游玩行程的方法數為（）A.564 B.484 C.386 D.640【答案】A【解析】8人分三組可分為2人，2人，4人和2人，3人，3人，共兩種情況.第一種情況分成2人，2人，4人：女生去同一處景點，當成2人組時，其他6人分成2人，4人兩組且男生甲與女生不同組，有種方法；當在4人組時，有種方法.第二種情況分成2人，3人，3人：當成2人組時，有種方法；當在3人組時，有種方法.故這8名同學游玩行程的方法數為.故選：A.8.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知通項公式，所以，同時，上述兩式相加得，所以，所以.故選：B二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，且與相互獨立，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因為與相互獨立，所以.故選：AC.10.隨機變量，且，隨機變量，若，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因為，且，所以，故A正確.因為，所以.因為，所以，所以，故B錯誤.因為，所以，故C正確.因為，所以，故D錯誤.故選：AC.11.在直角坐標系中，已知點，直線，過外一點作的垂線，垂足為，且，記動點的軌跡為，過點作的切線，該切線與軸分別交于兩個不同的點，則下列結論正確的是（）A.動點的軌跡方程為B.當時，三點共線C.對任意點（除原點外），都有D.設，則的最小值為4【答案】ABC【解析】易知動點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，所以的方程為，故選項A正確；當時，記點，由，所以.不妨設，則.設過點的切線方程為，聯立方程組消去得：.由解得：，所以過點的切線方程為且，因，所以三點共線，故選項B正確；設過點的切線方程為，聯立方程組消去得：，由可得：.因為，所以，化簡得：.則，故，又，故，所以，故選項C正確；因為，點為拋物線上任一點，故當且僅當三點共線時，最小，即的最小值為點到直線的距離，所以，故選項D錯誤.故選：ABC.12.某公司成立了甲、乙、丙三個科研小組，針對某技術難題同時進行科研攻關，攻克該技術難題的小組都會獲得獎勵．已知甲、乙、丙三個小組攻克該技術難題的概率分別為，且三個小組各自獨立進行科研攻關，則（）A.該技術難題被攻克的概率為：B.在該技術難題被攻克的條件下，只有一個小組獲得獎勵的概率為C.在丙小組攻克該技術難題的條件下，恰有兩個小組獲得獎勵的概率為D.在該技術難題被兩個小組攻克的條件下，這兩個小組是乙和丙的概率最大【答案】BD【解析】記甲、乙、丙三個小組各自攻克該技術難題分別為事件A，B，C，對于A項，記該技術難題被攻克為事件M，則，故A項錯誤；對于B項，記恰有一個小組獲得獎勵為事件R，則．由A項知，記技術難題被攻克為事件M，則，在該技術難題被攻克的條件下，只有一個小組受到獎勵的概率為，故B項正確；對于C項，在丙小組攻克該技術難題的條件下，恰有兩個小組獲得獎勵的概率為，故C項錯誤；對于D項，記恰有兩個小組獲得獎勵為事件N，則．在該技術難題被兩個小組攻克的條件下，這兩個小組是乙和丙的概率為，這兩個小組是甲和乙的概率為，這兩個小組是甲和丙的概率為，故D項正確．故選：BD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上13.已知服從參數為0.6的兩點分布，則__________.【答案】【解析】.故答案為：14.已知與具有相關關系，且利用關于的回歸直線方程進行預測，當時，，當時，，則關于的回歸直線方程中的回歸系數為__________.【答案】5【解析】設關于的回歸直線方程為，由題意得，解得，即回歸系數為5.故答案為：5.15.某班要從3名男同學和5名女同學中隨機選出4人去參加某項比賽，設抽取的4人中女同學的人數為，則__________.【答案】【解析】因.故答案為：.16.已知，直線為上的動點.過點作的切線，切點分別為，當最小時，點的坐標為__________，直線的方程為__________.【答案】①②【解析】的標準方程為，其圓心為，半徑為2.如圖，由題意可知，則，所以當最小時，最小，此時與直線垂直，所以直線的方程為，即.聯立，解得，所以點的坐標為，.在Rt中，，同理.以為圓心，為半徑作圓，如圖，則線段為與的公共弦，的方程為，即，兩圓方程相減得，即直線的方程為.故答案為：；四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.某機構為了解學生是否喜歡繪畫與性別有關，調查了400名學生（男女各一半）的選擇，發(fā)現喜歡繪畫的人數是300，喜歡繪畫的男生比女生少60人.（1）完成下面的列聯表；喜歡繪畫不喜歡繪畫總計男生女生總計（2）根據調查數據回答：有把握認為是否喜歡繪畫與性別有關嗎？附：.臨界值表如下：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）列聯表為:

喜歡繪畫不喜歡繪畫總計男生12080200女生18020200總計300100400（2）由（1）中列聯表得:所以有的把握認為是否喜歡繪畫與性別有關.18.已知拋物線的焦點為是上的點，且.（1）求的方程；（2）已知直線交于兩點，且的中點為，求的方程.解：（1）因為，所以，故拋物線方程為.（2）易知直線的斜率存在，設的斜率為，則兩式相減得，整理得.因為的中點為，所以，所以直線的方程為，即.聯立與，得，顯然，綜上滿足題意的方程為.19.如圖，長方體的底面為正方形，為上一點.（1）證明：；（2）若平面，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）由題可知，平面，所以.連接，因為四邊形為正方形，所以.又，平面，所以平面，所以.（2）以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則.因為平面，所以，解得，所以平面的一個法向量為.易知是平面的一個法向量，，所以平面與平面夾角的余弦值為.20.已知雙曲線的離心率為，且其焦點到漸近線的距離為1.（1）求的方程；（2）若動直線與恰有1個公共點，且與的兩條漸近線分別交于兩點，為坐標原點，證明：的面積為定值.解：（1）設右焦點為，一條漸近線方程為，所以該焦點到漸近線的距離為.因為，所以.故的方程為.（2）當直線的斜率不存在時，的方程為，此時.當直線的斜率存在時，不妨設，且.聯立方程組得.由，得.聯立方程組，得.不妨設與的交點分別為，則.同理可求，所以.因為原點到的距離，所以.因為，所以.故的面積為定值，定值為.21.在四面體中，分別是和的中點.（1）證明：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）因為是的中點，所以.又是的中點，所以.因為，所以.又，平面.所以平面因為平面，所以平面平面.（2）在平面內作，交于點.以為原點分別以的方向為軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，所以在平面內，.作，垂足為，作，垂足為，則平面，所以.因為是邊長為2的正三角形，所以為的中點，且，可得，所以.由（1）知平面的一個法向量為，所以可取平面的一個法向量為.因為，所以.設直線與平面所成角，則，即直線與平面所成角的正弦值為.22.甲袋中裝有3個紅球，3個白球，乙袋中裝有1個紅球，2個白球，兩個袋子均不透明，所有的小球除顏色外完全相同．先從甲袋中一次性抽取3個小球，記錄顏色后放入乙袋，再將乙袋中的小球混勻后從乙袋中一次性抽取3個小球，記錄顏色．設隨機變量X表示在甲袋中抽取出的紅球個數，Y表示在乙