遼寧省縣級(jí)重點(diǎn)高中協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省縣級(jí)重點(diǎn)高中協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版選擇性必修第一?二冊(cè).一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在一組樣本數(shù)據(jù)、、、、、、、不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有的樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)樗械臉颖军c(diǎn)都在直線上，所以相關(guān)系數(shù)滿足.又因?yàn)?，所以，所?故選：C.2.某學(xué)生要從5門選修課中選擇1門，從4個(gè)課外活動(dòng)中選擇2個(gè)，則不同的選擇種數(shù)為（）A.11 B.10 C.20 D.30【答案】D【解析】先從5門選修課中選擇1門，有5種選法；再?gòu)?個(gè)課外活動(dòng)中選擇2個(gè)，有種選法.所以該學(xué)生不同的選擇種數(shù)為.故選：D.3.設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為：589則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，所以.故選：D4.已知的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則其展開式中第4項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)之和為256，所以，得，的展開式的通項(xiàng)，令，得.故選：A5.（）A.120 B.119 C.110 D.109【答案】B【解析】因?yàn)椋怨蔬x：B.6.法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓的中心為圓心的圓，這個(gè)圓被稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A為，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，分別與橢圓相切，顯然所以點(diǎn)C一定在其蒙日?qǐng)A上，所以，所以，故橢圓的離心率為.故選：C.7.某校高三年級(jí)有8名同學(xué)計(jì)劃高考后前往武當(dāng)山?黃山?廬山三個(gè)景點(diǎn)旅游.已知8名同學(xué)中有4名男生，4名女生.每個(gè)景點(diǎn)至少有2名同學(xué)前往，每名同學(xué)僅選一處景點(diǎn)游玩，其中男生甲與女生不去同一處景點(diǎn)游玩，女生與女生去同一處景點(diǎn)游玩，則這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為（）A.564 B.484 C.386 D.640【答案】A【解析】8人分三組可分為2人，2人，4人和2人，3人，3人，共兩種情況.第一種情況分成2人，2人，4人：女生去同一處景點(diǎn)，當(dāng)成2人組時(shí)，其他6人分成2人，4人兩組且男生甲與女生不同組，有種方法；當(dāng)在4人組時(shí)，有種方法.第二種情況分成2人，3人，3人：當(dāng)成2人組時(shí)，有種方法；當(dāng)在3人組時(shí)，有種方法.故這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為.故選：A.8.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知通項(xiàng)公式，所以，同時(shí)，上述兩式相加得，所以，所以.故選：B二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，且與相互獨(dú)立，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以.故選：AC.10.隨機(jī)變量，且，隨機(jī)變量，若，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因?yàn)椋?，所以，故A正確.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以，故B錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以，故C正確.因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，過(guò)外一點(diǎn)作的垂線，垂足為，且，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，過(guò)點(diǎn)作的切線，該切線與軸分別交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為B.當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)共線C.對(duì)任意點(diǎn)（除原點(diǎn)外），都有D.設(shè)，則的最小值為4【答案】ABC【解析】易知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以的方程為，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，記點(diǎn)，由，所以.不妨設(shè)，則.設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程組消去得：.由解得：，所以過(guò)點(diǎn)的切線方程為且，因，所以三點(diǎn)共線，故選項(xiàng)B正確；設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程組消去得：，由可得：.因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得：.則，故，又，故，所以，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，點(diǎn)為拋物線上任一點(diǎn)，故當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即的最小值為點(diǎn)到直線的距離，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.12.某公司成立了甲、乙、丙三個(gè)科研小組，針對(duì)某技術(shù)難題同時(shí)進(jìn)行科研攻關(guān)，攻克該技術(shù)難題的小組都會(huì)獲得獎(jiǎng)勵(lì)．已知甲、乙、丙三個(gè)小組攻克該技術(shù)難題的概率分別為，且三個(gè)小組各自獨(dú)立進(jìn)行科研攻關(guān)，則（）A.該技術(shù)難題被攻克的概率為：B.在該技術(shù)難題被攻克的條件下，只有一個(gè)小組獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率為C.在丙小組攻克該技術(shù)難題的條件下，恰有兩個(gè)小組獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率為D.在該技術(shù)難題被兩個(gè)小組攻克的條件下，這兩個(gè)小組是乙和丙的概率最大【答案】BD【解析】記甲、乙、丙三個(gè)小組各自攻克該技術(shù)難題分別為事件A，B，C，對(duì)于A項(xiàng)，記該技術(shù)難題被攻克為事件M，則，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，記恰有一個(gè)小組獲得獎(jiǎng)勵(lì)為事件R，則．由A項(xiàng)知，記技術(shù)難題被攻克為事件M，則，在該技術(shù)難題被攻克的條件下，只有一個(gè)小組受到獎(jiǎng)勵(lì)的概率為，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，在丙小組攻克該技術(shù)難題的條件下，恰有兩個(gè)小組獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，記恰有兩個(gè)小組獲得獎(jiǎng)勵(lì)為事件N，則．在該技術(shù)難題被兩個(gè)小組攻克的條件下，這兩個(gè)小組是乙和丙的概率為，這兩個(gè)小組是甲和乙的概率為，這兩個(gè)小組是甲和丙的概率為，故D項(xiàng)正確．故選：BD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上13.已知服從參數(shù)為0.6的兩點(diǎn)分布，則__________.【答案】【解析】.故答案為：14.已知與具有相關(guān)關(guān)系，且利用關(guān)于的回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于的回歸直線方程中的回歸系數(shù)為__________.【答案】5【解析】設(shè)關(guān)于的回歸直線方程為，由題意得，解得，即回歸系數(shù)為5.故答案為：5.15.某班要從3名男同學(xué)和5名女同學(xué)中隨機(jī)選出4人去參加某項(xiàng)比賽，設(shè)抽取的4人中女同學(xué)的人數(shù)為，則__________.【答案】【解析】因.故答案為：.16.已知，直線為上的動(dòng)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為__________，直線的方程為__________.【答案】①②【解析】的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑為2.如圖，由題意可知，則，所以當(dāng)最小時(shí)，最小，此時(shí)與直線垂直，所以直線的方程為，即.聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，.在Rt中，，同理.以為圓心，為半徑作圓，如圖，則線段為與的公共弦，的方程為，即，兩圓方程相減得，即直線的方程為.故答案為：；四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.某機(jī)構(gòu)為了解學(xué)生是否喜歡繪畫與性別有關(guān)，調(diào)查了400名學(xué)生（男女各一半）的選擇，發(fā)現(xiàn)喜歡繪畫的人數(shù)是300，喜歡繪畫的男生比女生少60人.（1）完成下面的列聯(lián)表；喜歡繪畫不喜歡繪畫總計(jì)男生女生總計(jì)（2）根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)回答：有把握認(rèn)為是否喜歡繪畫與性別有關(guān)嗎？附：.臨界值表如下：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）列聯(lián)表為:

喜歡繪畫不喜歡繪畫總計(jì)男生12080200女生18020200總計(jì)300100400（2）由（1）中列聯(lián)表得:所以有的把握認(rèn)為是否喜歡繪畫與性別有關(guān).18.已知拋物線的焦點(diǎn)為是上的點(diǎn)，且.（1）求的方程；（2）已知直線交于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求的方程.解：（1）因?yàn)椋?，故拋物線方程為.（2）易知直線的斜率存在，設(shè)的斜率為，則兩式相減得，整理得.因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，所以直線的方程為，即.聯(lián)立與，得，顯然，綜上滿足題意的方程為.19.如圖，長(zhǎng)方體的底面為正方形，為上一點(diǎn).（1）證明：；（2）若平面，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）由題可知，平面，所以.連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所?又，平面，所以平面，所以.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則.因?yàn)槠矫妫?，解得，所以平面的一個(gè)法向量為.易知是平面的一個(gè)法向量，，所以平面與平面夾角的余弦值為.20.已知雙曲線的離心率為，且其焦點(diǎn)到漸近線的距離為1.（1）求的方程；（2）若動(dòng)直線與恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：的面積為定值.解：（1）設(shè)右焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，所以該焦點(diǎn)到漸近線的距離為.因?yàn)椋?故的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為，此時(shí).當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)，且.聯(lián)立方程組得.由，得.聯(lián)立方程組，得.不妨設(shè)與的交點(diǎn)分別為，則.同理可求，所以.因?yàn)樵c(diǎn)到的距離，所以.因?yàn)?，所?故的面積為定值，定值為.21.在四面體中，分別是和的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.又是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所?又，平面.所以平面因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）在平面內(nèi)作，交于點(diǎn).以為原點(diǎn)分別以的方向?yàn)檩S，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以在平面?nèi)，.作，垂足為，作，垂足為，則平面，所以.因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，所以為的中點(diǎn)，且，可得，所以.由（1）知平面的一個(gè)法向量為，所以可取平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)?，所?設(shè)直線與平面所成角，則，即直線與平面所成角的正弦值為.22.甲袋中裝有3個(gè)紅球，3個(gè)白球，乙袋中裝有1個(gè)紅球，2個(gè)白球，兩個(gè)袋子均不透明，所有的小球除顏色外完全相同．先從甲袋中一次性抽取3個(gè)小球，記錄顏色后放入乙袋，再將乙袋中的小球混勻后從乙袋中一次性抽取3個(gè)小球，記錄顏色．設(shè)隨機(jī)變量X表示在甲袋中抽取出的紅球個(gè)數(shù)，Y表示在乙