山東省聊城市2023-2024學年高一上學期期末教學質量抽測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省聊城市2023-2024學年高一上學期期末教學質量抽測數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故.故選：C.2.下列函數(shù)中，既是周期函數(shù)又是偶函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，是奇函數(shù)不滿足題意，故A錯誤；對于B，若，首先定義域為關于原點對稱，且，所以是偶函數(shù)，又，所以是周期函數(shù)，故B正確；對于C，畫出函數(shù)的圖象如圖所示：由此可知函數(shù)不是周期函數(shù)，故C錯誤；對于D，若，則，所以不是偶函數(shù)，故D錯誤.故選：B.3.已知，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，且，所以，則，，則.故選：A.4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】利用對數(shù)函數(shù)的性質可得，，利用誘導公式可得，所以.故選：D.5.如圖，一個半徑為米的筒車按逆時針方向每分鐘轉圈，筒車的軸心距離水面的高度為米．設筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：）（在水面下則為負數(shù)），若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，則與時間（單位：）之間的關系可以表示為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設，由題意可知，，，解得，，函數(shù)的最小正周期為，則，當時，，可得，又因為，則，故.故選：A.6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由函數(shù)可知定義域為，且定義域關于原點對稱，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故排除選項B；因為，故排除選項A；因為，故排除選項D.故選：C.7.若是三角形的一個內角，且函數(shù)在區(qū)間上單調，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當時，，由于是三角形的一個內角，所以，則，由于函數(shù)在區(qū)間上單調，所以，解得，即的取值范圍為.故選：B.8.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點a，b，c，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】畫出的圖象和的圖象，如下：由題意得，，且，即，，故，當且僅當，即時，等號成立.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．9.以下說法正確的是（）A.“，”的否定是“，”B.“”是“”的充分不必要條件C.若一扇形弧長為，圓心角為，則該扇形的面積為D.“，”是真命題，則【答案】ACD【解析】對于A，“，”的否定是“，”，故A正確；對于B，即，解得，因為所以“”是“”的必要不充分條件，故B錯誤；對于C，扇形弧長為，圓心角為，所以扇形的半徑長為，則該扇形面積為，故C正確；對于D，因為“，”是真命題，即，對恒成立，當時，命題成立；當時，，解得，綜上可得，，故D正確.故選：ACD.10.若實數(shù)、滿足，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因為函數(shù)為上的增函數(shù)，由，可得，對于A選項，當時，，A錯；對于B選項，因為，則，所以，，B對；對于C選項，因為，則，可得，所以，，因為對數(shù)函數(shù)為上的減函數(shù)，故，C對；對于D選項，，D錯.故選：BC.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.在上單調遞增C.若、，且，則D.把的圖象向右平移個單位長度，然后再把所得曲線上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到函數(shù)的圖象，則【答案】ACD【解析】對于A選項，由圖可知，，函數(shù)的最小正周期滿足，可得，則，則，又因為，可得，因為，則，所以，，可得，所以，，A對；對于B選項，當時，，所以，上不單調，B錯；對于C選項，當時，，由可得，所以，函數(shù)在區(qū)間內的圖象關于直線對稱，若、，且，則，所以，，C對；對于D選項，把的圖象向右平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象，再將所得曲線上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到函數(shù)的圖象，則，D對.故選：ACD.12.已知函數(shù)的定義域為R，對任意，都有，當時，，且，則（）A.，都有B.當時，C.是減函數(shù)D.若，則不等式的解集為【答案】BCD【解析】令，則，又，所以，當時，，所以，又，所以，即，A錯誤，B正確；設，則，又，所以，所以，又當時，，當時，，，所以，即，所以在上單調遞減，C正確；因為，所以，所以，即，又在上單調遞減，所以，解得，所以不等式的解集為，D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題．13.已知冪函數(shù)的圖象通過點，則__________．【答案】【解析】設冪函數(shù)的解析式為，∵冪函數(shù)過點，∴，∴，∴該函數(shù)的解析式為，∴.故答案為：.14.若，且，則的最小值為__________．【答案】8【解析】因為若，且，則，又因為，所以，令，則，即，解得或（舍去），當且僅當時，等號成立，所以最小值為8.故答案為：8.15.在中，，邊上的高等于，則__________．【答案】【解析】由題意設為邊上的高，，又，所以，所以垂足必定落在線段上面，如圖所示：，，又，所以.故答案為：.16.定義在R上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，且在上單調遞減，若，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為__________．【答案】【解析】定義在R上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，所以關于對稱，因為在上單調遞減，所以在上單調遞增，所以越靠近對稱軸函數(shù)值越小，所以由得，由于，所以，可得，即時恒成立，可得，由于在時單調遞增，，在時單調遞減，，所以恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.函數(shù)的值域為，的定義域為．（1）求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為在上單調遞減，所以，當時有最大值，且最大值為，當時，有最小值，最小值為，所以．（2）由，得，解得，所以，，因為，所以，解得，故實數(shù)的取值范圍．18.在平面直角坐標系中，角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸非負半軸重合，終邊過點．（1）求的值；（2）已知為銳角，，求．解：（1）因為角的終邊過點，所以，則，，，．（2）因為角的終邊過點，所以為第四象限角，即，又因為為銳角，則，可得，因為，則，因，所以，則，所以．19.為了鞏固拓展脫貧攻堅的成果，振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟，某地政府利用電商平臺為脫貧鄉(xiāng)村進行直播帶貨，既方便了人們購物和交流，又有效地解決了農(nóng)產(chǎn)品銷售困難的問題．為了支持家鄉(xiāng)的發(fā)展，越來越多的人注冊成為某電商平臺的會員進行購物和交流．已知該平臺建立前3年的會員人數(shù)如下表所示：建立平臺年數(shù)工x123會員人數(shù)y（千人）142029為了描述建立平臺年數(shù)與該平臺會員人數(shù)y（千人）的關系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①；②；③．（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)選出最恰當?shù)暮瘮?shù)模型，并說明理由，同時求出該函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)第（1）問選擇的函數(shù)模型，預計平臺建立t年的會員人數(shù)將超過100.2萬人，求t的最小值．參考數(shù)據(jù)：，，．解：（1）從表中數(shù)據(jù)可知，所選函數(shù)必須滿足兩個條件：增函數(shù)，增長速度越來越快，因為模型①為減函數(shù)，模型②增長速度越來越慢，所以不能選擇模型①和②，模型③符合兩個條件，所以選擇模型③，將數(shù)據(jù)代入可得，解得，所以，函數(shù)為，．（2）由（1）知，，則．得，，故t的最小值為12．20.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)在上的單調性，并根據(jù)定義證明你的判斷；（2）函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是為奇函數(shù)．依據(jù)上述結論，證明：的圖象關于點成中心對稱圖形．解：（1）函數(shù)在上單調遞減，證明如下：任取，且，，因為，且，所以，，所以，即，故函數(shù)在上單調遞減．（2）證明：設，則，因為函數(shù)定義域為，且，所以為奇函數(shù)，故的圖象關于點成中心對稱圖形．21.已知函數(shù)，、是的圖象與直線的兩個相鄰交點，且．（1）求的值及函數(shù)在上的最小值；（2）若關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）函數(shù)，則，因為、是函數(shù)的圖象與直線的兩個相鄰交點，且，所以，函數(shù)的最小正周期為，則，可得，由，得，所以，所以，故函數(shù)在上的最小值為．（2）設，因為，所以，因為不等式恒成立，設，所以在上恒成立，則，即，解得，故的取值范圍為．22.若存在實數(shù)、使得，則稱函數(shù)為函數(shù)，的“函數(shù)”．（1）若函數(shù)為函數(shù)、的“函數(shù)”，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，求函數(shù)、的解析式；（2）設函數(shù)，，是否存在實數(shù)、使得函數(shù)為函數(shù)、的“函數(shù)”，且同時滿足：①是偶函數(shù)；②的值