遼寧省點石聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省點石聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.2,3 C. D.【答案】C【解析】，故.故選：C2.已知命題，命題，則（）A.命題和命題都是真命題B.命題的否定和命題都是真命題C.命題的否定和命題都是真命題D.命題的否定和命題的否定都是真命題【答案】D【解析】對于命題，當(dāng)或時，，故命題是假命題，命題否定為真命題；對于命題，因為，所以命題為假命題，命題的否定為真命題；綜上可得：命題的否定和命題的否定都是真命題，故選：D3.函數(shù)圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】定義域為，，故該函數(shù)為偶函數(shù)，故可排除B、D，當(dāng)時，有，故可排除A.故選：C.4.已知m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】由，得或，則A錯誤．由，得或相交，則B錯誤．由，得或，則C錯誤．由，得，則D正確．故選：D5.已知向量，，且，則向量與的夾角等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，，得，由，得，解得，則，則，，，因此，而，所以.故選：D6.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題.今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬.”馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文如下：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？該問題中，1斗為10升，則馬主人應(yīng)償還的粟(單位：升)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】5斗＝50升.設(shè)羊、馬、牛的主人應(yīng)償還粟的量分別為a1，a2，a3，由題意可知a1，a2，a3構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，且S3＝50，則＝50，解得a1＝，所以馬主人應(yīng)償還粟的量為a2＝2a1＝，故選：D.7.已知正數(shù)滿足，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，令函數(shù)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，則；令函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，而，，則；令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，，則，所以的大小關(guān)系為.故選：D8.已知函數(shù)為偶函數(shù)，且的圖象關(guān)于點對稱，當(dāng)時，，則（）A.2024 B.2 C.1 D.0【答案】D【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，又因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以，進(jìn)而可得：又，所以，即，所以函數(shù)的周期為4，所以.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若是的充分不必要條件，則實數(shù)的值可以為（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】依題意是的真子集，則可以是，或.當(dāng)時，易得；當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得.故選：BCD.10.已知函數(shù)，有下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論為（）A.的圖像關(guān)于軸對稱B.不是的一個周期C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.當(dāng)時，的值域為【答案】ABD【解析】，fx定義域是全體實數(shù)關(guān)于原點對稱，是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，A正確；，，所以不是的一個周期，B正確；，，，C錯；時，，又，則，時，，又，所以，綜上，時，，D正確．故選：ABD．11.已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞增 B.是函數(shù)的極大值點C.既無最大值，也無最小值 D.當(dāng)時，有三個零點【答案】BD【解析】由題意得，所以，對于A，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，故A錯誤;對于B，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，,所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以x=1是函數(shù)的極大值點，故B正確;對于C，當(dāng)時，，當(dāng)時，又,的大致圖象如圖所示，的值域為,所以有最小值，無最大值，故C錯誤;對于D，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增,因為,所以,所以在上有一個零點;當(dāng)x<2時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,又，當(dāng)時，.結(jié)合的大致圖象（如上圖），在有一個零點，在上有一個零點，綜上，當(dāng)時，有三個零點，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列其前項和為，則______.【答案】5000【解析】由題意.故答案：5000.13.如圖，正方體中，是的中點，是側(cè)面上的動點，且//平面，則與平面所成角的正切值的最大值是_________.【答案】【解析】設(shè)分別為邊上的中點,則四點共面，且平面平面，又面，落在線段上，是與平面所成的角，，設(shè)的中點為,則當(dāng)與重合時最小，此時與平面所成角的正切值有最大值為，故答案為.14.已知曲線與有公共切線，則實數(shù)的最大值為______．【答案】【解析】設(shè)曲線與的切點分別為，，因為，，則兩切線斜率，，所以，，所以，所以，即，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，即，即，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求角C的大?。?）若，的面積為，求的周長．解：（1）由正弦定理可得：,,,,,.（2）由三角形面積可知：,，由余弦定理可知：,解得：，所以三角形的周長為：.16.某運輸公司今年初用49萬元購進(jìn)一臺大型運輸車用于運輸.若該公司預(yù)計從第1年到第年花在該臺運輸車上的維護(hù)費用總計為萬元，該車每年運輸收入為25萬元.（1）該車運輸幾年開始盈利？（即總收入減去成本及所有費用之差為正值）（2）若該車運輸若干年后，處理方案有兩種：①當(dāng)年平均盈利達(dá)到最大值時，以17萬元的價格賣出；②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時，以8萬元的價格賣出.哪一種方案較為合算？請說明理由.解：（1）由題意可得，即，解得，，該車運輸3年開始盈利.；（2）該車運輸若干年后，處理方案有兩種：①當(dāng)年平均盈利達(dá)到最大值時，以17萬元的價格賣出，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，方案①最后的利潤為：（萬；②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時，以8萬元的價格賣出，，時，利潤最大，方案②的利潤為（萬，兩個方案的利潤都是59萬，按照時間成本來看，第一個方案更好，因為用時更短，方案①較為合算.17.已知向量，，函數(shù).（1）若，求；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的值域.（3）若將的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個單位長度，可得到的圖象，求的解集.解：（1）因為，，，則，顯然，所以，則；（2），，當(dāng)時，，，所以函數(shù)的值域為；（3）由（2）知，結(jié)合題意，得，，即，即，所以，，即的解集為，.18.如圖，三棱柱中，側(cè)面底面ABC，且，．（1）證明：平面ABC；（2）若，，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取BC的中點M，連結(jié)MA、．因為，，所以，，由于AM，平面，且，因此平面，因為平面，所以，又因為，所以，因為平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC，因為，所以平面ABC.（2）解：法一：因為，且，所以．以AB，AC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．所以，，．設(shè)平面的法向量為m=x1,y1令，則，設(shè)平面的法向量為n=x2,y2令，則，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角余弦值為.法二：將直三棱柱補成長方體．連接，過點C作，垂足為P，再過P作，垂足為Q，連接CQ，因為平面，且平面，所以，又因為，由于BD，平面，且，所以平面，則為直角三角形，由于平面，所以，因為，平面CPQ，且，所以平面CPQ，因為平面CPQ，所以，則∠CQP為平面與平面的夾角或補角，在中，由等面積法可得,因為，所以，因此平面與平面夾角的余弦值為.19.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍；（3）若對任意恒成立，求的取值范圍.解：（1）的定義域為，當(dāng)時，時，時，；當(dāng)時，時，；當(dāng)時，時，；時；當(dāng)時，時；時；綜上，時，的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；時，的遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間；時，的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是；時，的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)