湖北省荊門市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)水平檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省荊門市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)水平檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為故選：B2.對(duì)于正整數(shù)，若數(shù)列為等差數(shù)列，則是的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，，，，反之，取數(shù)列為常數(shù)列，對(duì)任意，，，，都有．故選：．3.在下列關(guān)于概率的命題中，正確的是（）A.若事件、滿足，則、為對(duì)立事件B.若三個(gè)事件、、兩兩獨(dú)立，則C.若事件、滿足，，，則、相互獨(dú)立D.若事件與是互斥事件，則與也是互斥事件【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若事件、不互斥，但是恰好，滿足，但是、不是對(duì)立事件．故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)樣本空間含有等可能的樣本點(diǎn)，且，，，可求得，，，所以，，，即、、兩兩獨(dú)立，但，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)槭录?、滿足，，，所以，所以、相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若事件與是互斥事件，不妨設(shè)與對(duì)立，則，此時(shí)，與是同一事件，故D錯(cuò)誤．故選：C.4.F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在C上，直線MF交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)N，則（）A. B. C.5 D.12【答案】B【解析】點(diǎn)在拋物線上，則，解之得，則又拋物線的焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線則直線MF的方程為，則N則故選：B5.在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù).一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定，假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天，那么感染人數(shù)由1（初始感染者）增加到3333大約需要的天數(shù)為（）（初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，這個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染……參考數(shù)據(jù)：）A42 B.43 C.35 D.49【答案】A【解析】設(shè)第n輪感染的人數(shù)為，則數(shù)列是，公比的等比數(shù)列，由，可得，兩邊取對(duì)數(shù)得，所以，所以，故需要的天數(shù)約為.故選：A6.在四面體中，M點(diǎn)在線段上，且，G是的重心，已知，，，則等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)镚是的重心，則，由，得，所以.故選：C.7.已知圓的方程為，若點(diǎn)在圓外，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，，又點(diǎn)在圓外，所以，，或，所以m的取值范圍為．故選：D.8.已知平面和平面的夾角為，，已知A，B兩點(diǎn)在棱上，直線，分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直于．已知，，則的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】平面和平面的夾角為，則二面角的大小為或，因?yàn)?，所以或，由題可知，，故或，或．故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.如圖，在下列四個(gè)正方體中，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線與平面平行的是（）A B.C. D.【答案】AC【解析】對(duì)于A，平面DEF，平面DEF，直線AB與平面DEF平行，故A正確；對(duì)于B，如圖，取正方體所在棱的中點(diǎn)G，連接FG并延長(zhǎng)，交AB延長(zhǎng)線于H，則AB與平面DEF相交于點(diǎn)H，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，平面DEF，平面DEF，直線AB與平面DEF平行，故C正確；對(duì)于D，AB與DF所在平面的正方形對(duì)角線有交點(diǎn)B，DF與該對(duì)角線平行，直線AB與平面DEF相交，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.下列說法不正確的有（）A.若兩條直線與互相平行，則實(shí)數(shù)a的值為B.若直線不經(jīng)過第三象限，則點(diǎn)在第二象限C.過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程為D.已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為或【答案】BC【解析】對(duì)于A，若兩條直線與互相平行，其中直線的斜率為，則直線的斜率存在且為，得，解得或，舍去，此時(shí)兩條直線與重合，故實(shí)數(shù)a的值為，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線不經(jīng)過第三象限，此時(shí)點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，不在第二象限，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)，即直線也滿足題意，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將直線化為，所以直線恒過定點(diǎn)，且直線的斜率為，其中，，結(jié)合圖象，若直線與線段相交，可得或，選項(xiàng)D正確．故選：BC.11.設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，，則下列說法正確的是（）A.B.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值C.時(shí)，n的最大值為33D.，，，……，，……中，最大值【答案】ACD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，滿足．綜上所述，，A正確；對(duì)于B項(xiàng)，要使取得最大值，則應(yīng)有，即，解得．又，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值．故B不正確；對(duì)于C項(xiàng)，由A知，，解，可得．所以，時(shí)，n的最大值為33．故C正確．對(duì)于D項(xiàng)，由前面可知當(dāng)，，且當(dāng)時(shí)，取得最大值，是最小正項(xiàng)，所以D正確．故選：ACD12.已知雙曲線（，），實(shí)軸長(zhǎng)為8，虛半軸長(zhǎng)為，，分別為雙曲線左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，P為雙曲線在第一象限上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為定值C.若直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且Q為中點(diǎn)，則直線l的方程為D.的最小值為【答案】ABD【解析】由題意可知：，，，雙曲線方程為，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，內(nèi)切圓與邊分別切于點(diǎn)，可知：，因?yàn)椋O(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由可知：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，即，所以內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為定值4，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)，，若Q為中點(diǎn)，則，可得，，因?yàn)锳，B在雙曲線上，則，兩式相減得，整理得，即，所以直線l的方程為，即，聯(lián)立方程，消去y得，計(jì)算，故C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋瑒t，可得，當(dāng)且僅當(dāng)P在線段上時(shí)，等號(hào)成立，故D正確．故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分．把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）13.已知是等比數(shù)列，且，，則______.【答案】4【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，所以，所以，所以.故答案為：414.在一次羽毛球男子單打比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲、乙進(jìn)入了決賽.比賽規(guī)則是三局兩勝制．根據(jù)以往戰(zhàn)績(jī)，每局比賽甲獲勝概率為0.4，乙獲勝概率為0.6，利用計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)，產(chǎn)生內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1或2時(shí)，表示一局比賽甲獲勝，現(xiàn)計(jì)算機(jī)產(chǎn)生15組隨機(jī)數(shù)為：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，據(jù)此估計(jì)甲獲得冠軍的概率為__________．【答案】【解析】由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的15組數(shù)據(jù)中，甲獲得冠軍的數(shù)據(jù)有421，231，114，522，123，232，122，共7組，據(jù)此估計(jì)甲獲得冠軍的概率為．故答案為：.15.一條光線從射出與x軸相交于點(diǎn)，經(jīng)x軸反射，交y軸于R，則光線從P到R所走的路程為__________．【答案】【解析】關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，光線從射出與x軸相交于點(diǎn)，則反射光線所在的直線經(jīng)過點(diǎn)，Q，則反射光線所在直線的方程為，化簡(jiǎn)得，得，所以則光線從P到R所走的路程為．故答案為：.16.若恰有三組不全為0的實(shí)數(shù)對(duì)滿足關(guān)系式，則實(shí)數(shù)t的所有可能取值的和為______.【答案】【解析】由已知得，，整理得，看成有且僅有三條直線滿足，和到直線（不過原點(diǎn)）的距離t相等；由，（1）當(dāng)，此時(shí)，易得符合題意的直線l為線段的垂直平分線以及直線平行的兩條直線.（2）當(dāng)時(shí)，有4條直線l會(huì)使得點(diǎn)和到它們的距離相等，注意到l不過原點(diǎn)，所以當(dāng)其中一條直線過原點(diǎn)時(shí)，會(huì)作為增根被舍去；設(shè)點(diǎn)A到l的距離為d，①作為增根被舍去的直線l，過原點(diǎn)和A，B的中點(diǎn)，其方程為，此時(shí)，，符合；②作為增根被舍去的直線l，過原點(diǎn)且以為方向向量，其方程為，此時(shí)，，符合；綜上，滿足題意的實(shí)數(shù)t為，，，它們的和為.故答案為：四、解答題（本題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.甲、乙兩人組成“上元隊(duì)”參加猜燈謎比賽，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)燈謎，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為.在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.記事件“甲第一輪猜對(duì)”，“乙第一輪猜對(duì)”，“甲第二輪猜對(duì)”，“乙第二輪猜對(duì)”.（1）求“上元隊(duì)”在第一輪活動(dòng)中僅猜對(duì)1個(gè)燈謎的概率；（2）求“上元隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)燈謎的個(gè)數(shù)相等且至少為1的概率.解：（1）設(shè)“上元隊(duì)”在第一輪活動(dòng)中僅猜對(duì)1個(gè)燈謎”，則，則，故“上元隊(duì)”在第一輪活動(dòng)中僅猜對(duì)1個(gè)燈謎的概率為.（2）甲兩輪猜對(duì)1個(gè)燈謎的概率為，甲兩輪猜對(duì)2個(gè)燈謎的概率為，乙兩輪猜對(duì)1個(gè)燈謎的概率為，乙兩輪猜對(duì)2個(gè)燈謎的概率為，所以“上元隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)燈謎的個(gè)數(shù)相等且至少為1的概率為.18.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求滿足條件的最大整數(shù)n.解：（1），，可得，又由，所以，則數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，所以.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，若，即，因?yàn)楹瘮?shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以滿足的最大整數(shù)n的值為2023.19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線，設(shè)圓C半徑為1，圓心在l上．（1）若圓心C也在直線上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．解：（1）根據(jù)題意，圓心C在直線上，也在直線上，聯(lián)立方程，解得，即，所以圓．當(dāng)切線斜率存在時(shí)，過點(diǎn)A的切線方程可設(shè)為，即，則，所以切線方程．當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直線也與圓相切；綜上所述：所求切線直線方程為或．（2）設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)椋瑒t，即點(diǎn)M的軌跡方程為，又點(diǎn)M在圓C上，所以，若存在這樣的點(diǎn)M，則與有公共點(diǎn)，即兩圓的圓心距d滿足，即，解得或，所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.20.在三棱錐中，M是線段的中點(diǎn)，，，，．（1）證明：P在平面內(nèi)的射影O為的垂心；（2）求二面角的余弦值．解：（1）因?yàn)椋芍?，同理可得．且平面，平面，，所以平面．由平面，可得，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且，則．由，可知，，則，所以，過P作平面于O，平面，則，，且，平面，所以平面，由平面，可知，由，，，所以平面，由平面，可知，且，平面，所以平面，由平面，可知，所以P在平面內(nèi)的射影O為的垂心．（2）由（1）知，，，故以P為原點(diǎn)，為x軸，為z軸，為y軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由（1）可知：平面，則平面的一個(gè)法向量為．因?yàn)椋?，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，可得，設(shè)所求二面角的平面角為，由圖象可知，為銳角，可得，所以二面角的平面角的余弦值為．21.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，①因?yàn)?，所以，所以，②兩式相減得，所以.由①②，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，，所以，所以.假設(shè)數(shù)列中存在3項(xiàng)，，，（其