北京市房山區(qū)2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1北京市房山區(qū)2025屆高三上學期期中考試數(shù)學試題第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合或，集合，則為（）A B.或x≥4C. D.【答案】C【解析】因為集合或，集合，所以，故選:C.2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上單調(diào)遞減的是（）A.y＝x﹣2 B.y＝|lnx| C.y＝2﹣x D.y＝xsinx【答案】A【解析】A.f（x）是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，滿足條件.B.函數(shù)的定義域為（0，+∞），函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件.C.函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件.D.f（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）＝xsinx＝f（x），f（x）為偶函數(shù)，在（0，+∞）不具備單調(diào)性，不滿足條件.故選：A.3.函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數(shù)的最小正周期為，故選：C.4.已知兩條不同的直線，和兩個不同的平面，，下列四個命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】若，，則或，故A錯誤；若，，則或為異面直線，故B錯誤；若，，則或或與斜交，故C錯誤；若，則內(nèi)必有一直線滿足，又，所以，又，所以，故D正確.故選：D.5.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】易知.故選：B.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將該函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)y=fx的圖象.若函數(shù)y=fx為奇函數(shù)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖設(shè)函數(shù)的部分圖像與軸的交點為，由圖可知，所以，所以點與點關(guān)于點對稱，設(shè)，則，解得，因為將函數(shù)函數(shù)的圖象向左平移（）個單位長度，得到函數(shù)y=fx的圖象，且圖象關(guān)于原點對稱，所以平移后的函數(shù)y=fx為奇函數(shù)，即相當于把的圖象與軸最近的交點平移到坐標原點即可，由圖可知此點為，所以，故選：B.7.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當，時，，則當時，有，解得，充分性成立；當，時，滿足，但此時，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.8.已知函數(shù)，下列說法錯誤的是（）A.的定義域為 B.的圖象關(guān)于軸對稱C.的圖象關(guān)于原點對稱 D.在上單調(diào)遞增【答案】B【解析】函數(shù)，則，即，解得，所以函數(shù)定義域為，故A正確；又，所以的奇函數(shù)，則函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，故B錯誤，C正確；因為，又在上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：B9.沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，利用細沙全部流到下部容器所需要的時間進行計時.如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成.這兩個圓錐的底面直徑和高分別相等，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度（h）的（細管長度忽略不計）.假設(shè)細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.這個沙堆的高與圓錐的高h的比值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】細沙全部在上部時，沙漏上部分圓錐中的細沙的高為，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則細沙形成的圓錐的底面半徑為，∴細沙的體積為.細沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑r，設(shè)高為，則，得.∴.故選：A.10.對于函數(shù)﹐若集合中恰有個元素，則稱函數(shù)是“階準偶函數(shù)”.若函數(shù)是“階準偶函數(shù)”，則的取值范圍是（）A.-∞,0 B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，函數(shù)是“階準偶函數(shù)”，則集合中恰有個元素.當時，函數(shù)有一段部分為，注意的函數(shù)本身具有偶函數(shù)性質(zhì)，故集合中不止有兩個元素，矛盾，當時，根據(jù)“階準偶函數(shù)”的定義得的可能取值為或，為，故當，該方程無解，當，解得或，故要使得集合中恰有個元素，則需要滿足，即；當時，函數(shù)，的取值為，為，根據(jù)題意得滿足恰有兩個元素，故滿足條件.綜上，實數(shù)取值范圍是.故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域為________．【答案】【解析】由題得，所以函數(shù)的定義域是.故答案為12.已知角的頂點在坐標原點，始邊在軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限的點，且點的縱坐標為，則____________．【答案】【解析】由題設(shè)知：，故.13.已知命題：若，為第二象限角，且，則.能說明為假命題的一組，的值為__________，________.【答案】（答案不唯一）（答案不唯一）【解析】如，，滿足，為第二象限角，且，但是，，即，即命題為假命題，故，符合題意（答案不唯一）故答案為：；（答案不唯一）14.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個不同的實根，則數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】當時，即為，解得，當時，即為，解得，因為關(guān)于的方程有兩個不同的實根，所以且，解得且，所以.故答案為：.15.如圖，在邊長為1的正方體中，是棱上的一個動點，給出下列四個結(jié)論：①三棱錐的體積為定值；②存在點，使得平面；③對每一個點，在棱上總存在一點，使得平面；④是線段上的一個動點，過點的截面垂直于，則截面的面積的最小值為．其中所有正確結(jié)論序號是____________．【答案】①④【解析】對于①，如下圖所示：在邊長為1的正方體中，易知平面，因為點是棱上的一個動點，可設(shè)點到平面的距離為，且，則三棱錐的體積，故①正確；對于②，連接，，因為在平行四邊形中，，所以不垂直，所以使得不垂直平面，所以②不正確.對于③，當點與點重合時，無論點在何位置，直線與平面相交，故③錯誤；對于④，根據(jù)題意，作圖如下：因為正方體中，易知平面，所以，設(shè)，則，，在中，，，則該截面面積，由，當時，，故④正確；故答案為：①④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在中，，，.（1）求，的值和的面積；（2）求的值.解：（1）由余弦定理可得，注意到，，，所以，即，解得，進一步；（2）由余弦定理可得，，因為，所以，而，從而.17.已知函數(shù)在點處取得極大值5，其導函數(shù)y=f'x的圖象經(jīng)過點1,0，2,0，如圖所示.（1）的值；（2），，的值；（3）函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）由圖象可知：在上，；在上，；在上，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，；（2）因為且，，，得：，解得：，，；（3）由（2）得，則，可知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，又，，，，，.18.已知函數(shù).從下列四個條件中選擇兩個作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定.（1）求的解析式；（2）設(shè)，求的單調(diào)遞增區(qū)間以及在區(qū)間上的最大值.條件①：；條件②：為偶函數(shù)；條件③：的最大值為1；條件④：圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.注：如果選擇的條件不符合要求，此題得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.解：（1）因為，則為奇函數(shù)，故②不能選，選擇條件①③：因為函數(shù)的最大值為1，所以，即，因為，所以，的值不唯一，故不能選.選擇條件①④：因為函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，即，所以，因為，所以，即，所以.選擇條件③④：因為函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，即，因為函數(shù)的最大值為1，所以，即，所以.（2）因為，令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，當時，，所以，所以當，即時取得最大值，且.19.如圖，四棱柱的底面是邊長為2的正方形，側(cè)面底面，，是的中點.（1）求證：平面；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個條件作為已知，使二面角唯一確定，（i）求二面角的余弦值；（ii）判斷直線是否在平面內(nèi)，說明理由.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.解：（1）在四棱柱中，連結(jié)，設(shè)，連結(jié)，在中，因為、分別為的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）（i）選擇條件①：因為底面是正方形，所以，側(cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，故平面，又平面，則，即四邊形為矩形，因為，則，與選擇條件①：等價，故條件不能進一步確定的夾角大小，故二面角不能確定；選擇條件②：連結(jié)，因為底面是正方形，所以，又因為側(cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，所以平面，又平面，所以，在中，因為，，所以，在中，因為，，所以，又平面，所以平面，又，所以如圖建立空間直角坐標系，其中，，，，且，，易知為平面的一個法向量，設(shè)為平面面的一個法向量，則即.不妨設(shè)，則，可得，所以，因為二面角的平面角是鈍角，設(shè)為，故，所以二面角的余弦值為.選擇條件③：因為底面是正方形，所以，因為，且平面，所以平面，因為平面，所以，因為側(cè)面平面，且側(cè)面平面，平面，所以平面，又，所以如圖建立空間直角坐標系，（下面同選擇條件②）.（ii）如圖所示，平面，理由如下：，與相交，所以直線與直線異面，這表明四點不共面，即平面.20.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）當時，求證：時，成立.參考數(shù)據(jù).解：（1）當時，，，則，，所以曲線y=fx在點1,f1處的切線方程為即.（2）由題意可知：的定義域為，且，（i）當時，，當時，f'x<0，當時，f所以在0,+∞上遞減，在上遞增；（ⅱ）當時，令，則或，①當，即時，，所以函數(shù)在上遞增；②當時，即時，當時，f'x<0，當和時，f'所以在上遞減，在和上遞增；③當時，即時，當時，f'x<0，當和時，f'所以在上遞減，在和0,+∞上遞增.（3）當時，由（2）可知：在0,1上遞減，在1,+∞上遞增，則，構(gòu)建，則，當時，；當時，；可知在0,1內(nèi)單調(diào)遞增，在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減，則，可得，即當時，成立.21.已知{an}是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項的最大值記為An，最小值記為Bn，令．（Ⅰ）若an＝2n（n＝1，2，3，…），寫出b1，b2，b3的值；（Ⅱ）證明：bn+1≥bn（n＝1，2，3，???）；（Ⅲ）若{bn}是等比數(shù)列，證明：存在正整數(shù)n0，當n≥n0時，an，an+1，an+2，…是等比數(shù)列．解：（Ⅰ）∵an＝2n，∴An＝2n，Bn＝2，∴n．b1＝1，b2＝2，b3＝3．（Ⅱ）證明：由題意知An+1≥An＞0，0＜Bn+1≤Bn，所以An+1Bn≥AnBn+1．所以，即bn+1≥bn．（Ⅲ）證明：由題意知，及bn+1≥bn，①當bn+1＝bn時