安徽省六安市2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省六安市2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，即，則且，則，，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知得，，則復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C3.已知向量，向量，則與的夾角大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】向量，，則，而，所以，的夾角為.故選：D4.等差數(shù)列的公差不為0，其前n項(xiàng)和為，若，則（）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，所以，則有，即，又，所以，所以.故選：C.5.函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，易知單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋瑒t，所以由得，所以，解得.故選：A.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，則，即，所以.故選：B.7.圓上一點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，點(diǎn)E，F(xiàn)為圓O上的兩點(diǎn)，且滿足，則直線的斜率為（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】由知，所以，而，∴.故選：B.8.某種生命體M在生長(zhǎng)一天后會(huì)分裂成2個(gè)生命體M和1個(gè)生命體N，1個(gè)生命體N生長(zhǎng)一天后可以分裂成2個(gè)生命體N和1個(gè)生命體M，每個(gè)新生命體都可以持續(xù)生長(zhǎng)并發(fā)生分裂.假設(shè)從某個(gè)生命體M的生長(zhǎng)開始計(jì)算，記表示第n天生命體M的個(gè)數(shù)，表示第n天生命體N的個(gè)數(shù)，則，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.數(shù)列為遞增數(shù)列C. D.若等比數(shù)列，則【答案】B【解析】依題意，，，則，而，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，，又，因此，于是，，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，因此為遞增數(shù)列，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，由為等比數(shù)列，得，解得或，當(dāng)時(shí)，，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，因此當(dāng)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，或，D錯(cuò)誤.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】A選項(xiàng)，定義域?yàn)?，且，故為偶函?shù)，且時(shí)，單調(diào)遞增，故A正確；B選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，故不是偶函?shù)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，時(shí)，單調(diào)遞減，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，且，故是偶函數(shù)，且時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故D項(xiàng)正確.故選：AD10.地震釋放的能量E與地震震級(jí)M之間的關(guān)系式為，2022年9月18日我國(guó)臺(tái)灣地區(qū)發(fā)生的6.9級(jí)地震釋放的能量為，2023年1月28日伊朗西北發(fā)生的5.9級(jí)地震釋放的能量為，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼馬拉什省發(fā)生的7.7級(jí)地震釋放的能量為，下列說法正確的是（）A.約為的10倍B.超過的100倍C.超過的10倍D.低于的10倍【答案】BC【解析】A.，所以，故A錯(cuò)誤；B.，，故B正確；C.，，故C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC11.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)任意的正數(shù)x，都滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，由得，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；由得，故B項(xiàng)正確；設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，由得，故C項(xiàng)正確：由得，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.12.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為棱上一點(diǎn)，滿足（d為定值），記P點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.n的最大值為18【答案】AD【解析】當(dāng)點(diǎn)P位于A或處時(shí)，d取到最小值.當(dāng)P在棱上由A到B移動(dòng)時(shí)，d由增大到，當(dāng)P在，，，，等棱上移動(dòng)時(shí)，d的變化也是由增大到.當(dāng)P在棱上由B到移動(dòng)時(shí)，d由減少到，再由增大到；當(dāng)P在，，，，等棱上移動(dòng)時(shí)，d也是由減少到，再由增大到.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.拋物線的焦點(diǎn)F與x軸上一點(diǎn)A的連線的中點(diǎn)P恰在拋物線上，則線段的長(zhǎng)為______.【答案】【解析】因?yàn)?，即，可知拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，設(shè)，則線段的中點(diǎn)為，則，所以.故答案為：.14.如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為______.【答案】【解析】作，，E，F(xiàn)為垂足，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，，故，又，，故，，由勾股定理得，四邊形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積分為三部分，以為半徑的圓的面積，以為母線和為半徑的圓錐的側(cè)面積，以為母線的圓臺(tái)的側(cè)面積所以該幾何體的表面積為.故答案為：15.已知函數(shù)的最小正周期為，將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，則在上的值域?yàn)開_____.【答案】【解析】，，，，將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，再將所得的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，因?yàn)?，所以，所以，所以在上的值域?yàn)?故答案為：16.已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，圓與雙曲線C的漸近線在第一象限交于點(diǎn)A，點(diǎn)B在雙曲線C上，，則雙曲線C的漸近線方程為______.【答案】【解析】由，得點(diǎn)A為的中點(diǎn)，記為C的左焦點(diǎn)，連接，令半焦距為c，則，由，解得，即，而，因此，由雙曲線定義得，即，所以雙曲線C的漸近線方程為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.證明：（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得，由得，兩式作差得，即，則，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.解：（2）當(dāng)時(shí)，由（1）得，又，所以，所以.18.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c.（1）若，，求角A的值；（2）若，且b是a和的等差中項(xiàng)，求的值.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，又因?yàn)?，所以，且，所以?（2）顯然，由b是a和的等差中項(xiàng)得，即，可得，因?yàn)?，由余弦定理可得，化?jiǎn)得，即，解得或（舍去），由，可得，由余弦定理，得.19.已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象在處的切線與x軸平行，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.解：（1）.由題意，解得，所以，，在處的切線方程為（2）.①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，由得，在上的變化情況如下表：x00極大值極小值由上表可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為和，減區(qū)間為.20.如圖，在三棱錐中，，垂足為點(diǎn)E，平面，垂足在上，點(diǎn)在上，且.（1）證明：平面；（2）若，，三棱錐的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.證明：（1）由平面，平面，得，又，而平面，平面，，所以平面，又平面，所以.再由平面，平面，得，得，又，，得，即.又平面，平面，，所以平面.解：（2）由條件知，所以，在中，，所以.由（1）知，所以，即，得，可知為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)由（1）易得，，兩兩垂直，以、、正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示由題意可知，，，，，.則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角，則.故直線與平面所成角的正弦值為.21.平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離，是它到定點(diǎn)的距離的2倍.（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)F直線（不與y軸重合）與軌跡相交于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸平行線交直線l于點(diǎn)T，求證：直線過定點(diǎn).解：（1）由題意，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，平方整理得，所以點(diǎn)P的軌跡方程為.證明：（2）由題意，設(shè)直線的方程為，，，則.將代入得，所以，，顯然，所以因?yàn)橹本€的方程為，令，則，因此，直線過定點(diǎn).22.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.解：（1）的定義域?yàn)?，①若，則，時(shí)，時(shí)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值為，無極小值，②若，