圓錐曲線小題綜合練【解析版】-2025屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

圓錐曲線小題綜合練一、單項選擇題1．(★)(2024·長沙模擬)若拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1的一個焦點，則p等于()A．2B．10C.eq\r(7)D．2eq\r(7)答案D解析拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1的左焦點為(－eq\r(7)，0)，所以p＝2eq\r(7).2．(★★)(2023·深圳模擬)若雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓x2＋y2－4y＋2＝0所截得的弦長為2，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(3)B.eq\f(2\r(3),3)C．2D.eq\r(2)答案C解析圓的方程x2＋y2－4y＋2＝0可化為x2＋(y－2)2＝2，則其圓心坐標(biāo)為(0,2)，半徑為eq\r(2).雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，由對稱性，不妨取y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0.圓心(0,2)到漸近線的距離d＝eq\r(\r(2)2－12)＝1，又由點到直線的距離公式，可得eq\f(|2a|,\r(b2＋a2))＝eq\f(2a,c)＝eq\f(2,e)＝1，所以e＝2.3．(★★)(2023·石家莊模擬)已知拋物線y2＝－2x上的兩點A，B(點A的橫坐標(biāo)大于點B的橫坐標(biāo))滿足eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(FA,\s\up6(→))(O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線焦點)，弦AB的中點M的橫坐標(biāo)為－eq\f(5,6)，則實數(shù)λ的值為()A.eq\f(3,2)B.eq\f(4,3)C．3D．4答案D解析由題意可得拋物線y2＝－2x的焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，直線AB的斜率存在．由eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(FA,\s\up6(→))，可得eq\o(BA,\s\up6(→))＝λeq\o(FA,\s\up6(→))，即直線AB過拋物線的焦點F，設(shè)直線AB的方程為y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>x2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝－2x，,y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，))消去y得k2x2＋(k2＋2)x＋eq\f(k2,4)＝0，∴x1x2＝eq\f(1,4)，又∵弦AB的中點M的橫坐標(biāo)為－eq\f(5,6)，∴x1＋x2＝－eq\f(5,3)，∴x1＝－eq\f(1,6)，x2＝－eq\f(3,2)，∴點A到準(zhǔn)線的距離為|FA|＝|x1|＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)，點B到準(zhǔn)線的距離為|FB|＝|x2|＋eq\f(1,2)＝2，又|AB|＝|FA|＋|FB|＝eq\f(8,3)，∴eq\f(|FA|,|AB|)＝eq\f(1,4)，又eq\o(BA,\s\up6(→))＝λeq\o(FA,\s\up6(→))，故λ＝4.4．(★★)(2023·衡水模擬)已知橢圓C1和雙曲線C2有相同的左、右焦點F1，F(xiàn)2，若C1，C2在第一象限內(nèi)的交點為P，且滿足∠POF2＝2∠PF1F2，設(shè)e1，e2分別是C1，C2的離心率，則e1，e2的關(guān)系是()A．e1e2＝2 B．eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝2C．eeq\o\al(2,1)＋e1e2＋eeq\o\al(2,2)＝2 D．eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝2eeq\o\al(2,1)eeq\o\al(2,2)答案D解析如圖，因為∠POF2＝∠PF1F2＋∠F1PO，∠POF2＝2∠PF1F2，所以∠PF1F2＝∠F1PO，所以|OF1|＝|OP|＝|OF2|＝c，所以PF1⊥PF2，記橢圓長半軸長為a1，雙曲線實半軸長為a2，|PF1|＝m，|PF2|＝n，則由橢圓和雙曲線定義可得m＋n＝2a1，①m－n＝2a2，②①2＋②2可得2(m2＋n2)＝4(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2))，由勾股定理知m2＋n2＝4c2，代入上式可得2c2＝aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)，整理得eq\f(a\o\al(2,1),c2)＋eq\f(a\o\al(2,2),c2)＝2，即eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝2，所以eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝2eeq\o\al(2,1)eeq\o\al(2,2).二、多項選擇題5．(★★)(2024·溫州模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為它的左、右焦點，A，B分別為它的左、右頂點，點P是橢圓上的一個動點，下列結(jié)論中正確的有()A．存在點P使得∠F1PF2＝eq\f(π,2)B．cos∠F1PF2的最小值為－eq\f(7,25)C．若PF1⊥PF2，則△F1PF2的面積為9D．直線PA與直線PB的斜率乘積為定值eq\f(9,25)答案ABC解析由橢圓的方程eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，可得a＝5，b＝3，∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(25－9)＝4.A中，設(shè)P(x，y)，若∠F1PF2＝eq\f(π,2)，則直線PF1，PF2互相垂直，則eq\f(y,x－4)×eq\f(y,x＋4)＝－1，即y2＝16－x2，∵eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，∴eq\f(x2,25)＋eq\f(16－x2,9)＝1，解得x＝±eq\f(5\r(7),4)，∴存在點P使得∠F1PF2＝eq\f(π,2)，故A正確；B中，設(shè)|PF1|，|PF2|的長分別為p，q.則在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝eq\f(p2＋q2－4c2,2pq)＝eq\f(p＋q2－4c2－2pq,2pq)＝eq\f(4a2－4c2－2pq,2pq)＝eq\f(2b2－pq,pq)＝eq\f(2b2,pq)－1≥eq\f(2b2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋q,2)))2)－1＝eq\f(2b2,a2)－1＝eq\f(18,25)－1＝－eq\f(7,25)，當(dāng)且僅當(dāng)p＝q＝a＝5時取等號，∴cos∠F1PF2的最小值為－eq\f(7,25)，故B正確；C中，由∠F1PF2＝90°，可得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，∴|PF1||PF2|＝eq\f(4a2－4c2,2)＝2×(25－16)＝18，∴＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|＝eq\f(1,2)×18＝9，故C正確；D中，當(dāng)P不為橢圓的左、右頂點時，設(shè)P(x0，y0)，y0≠0，可得eq\f(x\o\al(2,0),25)＋eq\f(y\o\al(2,0),9)＝1，由橢圓的方程可得A(－5,0)，B(5,0)，則kPA·kPB＝eq\f(y0,x0＋5)·eq\f(y0,x0－5)＝eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－25)＝eq\f(9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),25))),x\o\al(2,0)－25)＝－eq\f(9,25)，故D不正確．6．(★★)(2024·濟(jì)南質(zhì)檢)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過點F的直線與拋物線交于點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，點P在l上的射影為P1，則()A．若x1＋x2＝6，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ))＝8B．以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切C．設(shè)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PM))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PP1))≥eq\r(2)D．過點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有2條答案ABC解析對于A，因為p＝2，所以|PQ|＝x1＋x2＋2，則|PQ|＝8，故A正確；對于B，設(shè)N為PQ的中點，點N在l上的射影為N1，點Q在l上的射影為Q1，則由梯形性質(zhì)可得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(NN1))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PP1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(QQ1)),2)＝eq\f(|PF|＋|QF|,2)＝eq\f(|PQ|,2)，故B正確；對于C，因為F(1,0)，所以|PM|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PP1))＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)三點共線時等號成立，故C正確；對于D，顯然直線x＝0，y＝1與拋物線只有一個公共點．當(dāng)過點M的直線斜率存在時，可設(shè)為y＝kx＋1(k≠0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.令Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，解得k＝1，所以直線y＝x＋1與拋物線也只有一個公共點，所以有三條直線符合題意，故D錯誤．三、填空題7．(★★)(2023·聊城模擬)如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點．若雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，從F2發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點反射后(A，B，F(xiàn)2在同一直線上)，分別經(jīng)過點C和D，且cos∠BAC＝－eq\f(4,5)，AB⊥BD，則E的離心率為________．答案eq\f(\r(10),2)解析如圖，連接F1A，F(xiàn)1B，則F1，A，C三點共線，F(xiàn)1，B，D三點共線，設(shè)|F2B|＝x，則|F1B|＝x＋2a，因為cos∠F1AB＝cos(π－∠BAC)＝eq\f(4,5)，所以sin∠F1AB＝eq\r(1－cos2∠F1AB)＝eq\f(3,5)，所以tan∠F1AB＝eq\f(sin∠F1AB,cos∠F1AB)＝eq\f(3,4)，又AB⊥BD，所以tan∠F1AB＝eq\f(|F1B|,|AB|)＝eq\f(3,4)，即|AB|＝eq\f(4,3)|F1B|＝eq\f(4,3)x＋eq\f(8,3)a，sin∠F1AB＝eq\f(|F1B|,|F1A|)＝eq\f(3,5)，即|F1A|＝eq\f(5,3)|F1B|＝eq\f(5,3)x＋eq\f(10,3)a，又|F2A|＝|AB|－|F2B|＝eq\f(1,3)x＋eq\f(8,3)a，因此|F1A|－|F2A|＝eq\f(4,3)x＋eq\f(2,3)a＝2a，即x＝a，在Rt△F1F2B中，由勾股定理得(2c)2＝(x＋2a)2＋x2＝10a2，即c2＝eq\f(5,2)a2.故e＝eq\f(\r(10),2).8．(★★★)(2023·南京模擬)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，若橢圓上存在點P(異于長軸的端點)，使得csin∠PF1F2＝asin∠PF2F1，則該橢圓離心率e的取值范圍是____________．答案(eq\r(2)－1,1)解析由已知得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)，在△