蘇教版高二上學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修1)《2.1.3軌跡問題》同步測試題及答案

第第頁蘇教版高二上學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修1)《2.1.3軌跡問題》同步測試題及答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________[分值：100分]單選題每小題5分，共40分【基礎(chǔ)鞏固】1．已知A，B是圓O：x2＋y2＝16上的兩點，且AB＝6，若以AB為直徑的圓M恰好經(jīng)過點C(1，－1)，則圓心M的軌跡方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝9B．(x－1)2＋(y＋1)2＝9C．(x＋1)2＋(y－1)2＝9D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝92．已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1過點A(1,0)，則圓C的圓心的軌跡是()A．點B．直線C．線段D．圓3．在平面內(nèi)，A(－a,0)，B(a,0)，C是動點，若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2，則點C的軌跡為()A．線段B．射線C．圓D．直線4．已知M(－2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程是()A．x2＋y2＝4B．x2－y2＝4C．x2＋y2＝4(x≠±2)D．x2－y2＝4(x≠±2)5．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出了圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個定點A，B的距離之比是常數(shù)λ(λ>0，λ≠1)的點M的軌跡是圓．若兩定點A，B的距離為3，動點M滿足MA＝2MB，則點M的軌跡圍成區(qū)域的面積為()A．πB．2πC．3πD．4π6．已知等腰三角形ABC的底邊BC對應(yīng)的頂點是A(4,2)，底邊的一個端點是B(3,5)，則底邊另一個端點C的軌跡方程是()A．(x－4)2＋(y－2)2＝10B．(x＋4)2＋(y－2)2＝10C．(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5)D．(x＋4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5)7．(5分)已知圓O：x2＋y2＝4及一點P(－1,0)，Q在圓O上運動一周，PQ的中點M形成軌跡C，則軌跡C的方程為__________________________．8．(5分)圓x2＋y2＝8內(nèi)有一點P(2，－1)，AB為過點P的弦，則AB的中點Q的軌跡方程為____________．9．(10分)在邊長為1的正方形ABCD中，邊AB，BC上分別有一個動點Q，R，且BQ＝CR.求直線AR與DQ的交點P的軌跡方程．10．(12分)已知圓C：x2＋y2－8x＋12＝0，點O是坐標(biāo)原點，點A是圓C上一動點．(1)求線段OA的中點M的軌跡方程；(6分)(2)設(shè)P(x，y)是(1)中軌跡上一點，求eq\r(x2＋y＋22)的最大值和最小值．(6分)【綜合運用】11．在等腰三角形ABC中，若一腰的兩個端點分別是A(4,2)，B(－2,0)，A為頂點，則另一腰的一個端點C的軌跡方程是()A．x2＋y2－8x－4y＝0B．x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠－2，x≠10)C．x2＋y2＋8x＋4y－20＝0(x≠－2，x≠10)D．x2＋y2－8x－4y＋20＝0(x≠－2，x≠10)12．已知定點P1(－1,0)，P2(1,0)，動點M滿足MP1＝eq\r(2)MP2，則構(gòu)成△MP1P2面積的最大值是()A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C.eq\f(2\r(3),3)D．2eq\r(3)13．(5分)在平面內(nèi)，A，B是兩個定點，C是動點，若|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，則點C的軌跡為________________．14．(5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P(2,4)，過點P的直線l與圓O：x2＋y2＝4交于不同的兩點A，B.若線段AB的中點為M，則點M的軌跡方程為__________________．【創(chuàng)新拓展】15．(5分)樹林的邊界是直線l(如圖CD所在的直線)，一只兔子在河邊喝水時發(fā)現(xiàn)了一只狼，兔子和狼分別位于l的垂線AC上的點A和點B處，AB＝BC＝a(a為正常數(shù))，若兔子沿AD方向以速度2μ(μ為正常數(shù))向樹林逃跑，同時狼沿線段BM(M∈AD)方向以速度μ進(jìn)行追擊，若狼到達(dá)M處的時間不多于兔子到達(dá)M處的時間，狼就會吃掉兔子，則兔子的所有不幸點(即可能被狼吃掉的點)的區(qū)域面積S(a)＝________.(13分)平面上有一條長度為定值k(k>0)的線段AB，到線段AB兩個端點距離的平方和為k的點的軌跡是什么圖形？說明理由．參考答案1．B[設(shè)圓心M的坐標(biāo)為(x，y)，則(x－1)2＋(y＋1)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2，即(x－1)2＋(y＋1)2＝9.]2．D[∵圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1過點A(1,0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，∴(a－1)2＋b2＝1，∴圓C的圓心的軌跡是以(1,0)為圓心，1為半徑的圓．]3．C[設(shè)C(x，y)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x＋a，y)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x－a，y)，由eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2，得(x－a)(x＋a)＋y2＝2，即x2＋y2＝a2＋2，所以點C的軌跡為圓．]4．C[設(shè)P(x，y)，由條件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMP·kNP＝－1.即x2＋y2＝4，又當(dāng)P，M，N三點共線時，不能構(gòu)成三角形，所以x≠±2，即所求軌跡方程為x2＋y2＝4(x≠±2)．]5．D[以點A為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則可取B(3,0)．設(shè)M(x，y)，依題意有，eq\f(\r(x2＋y2),\r(x－32＋y2))＝2，化簡整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，故點M的軌跡為圓，該圓的面積為4π.]6．C[設(shè)C(x，y)，由題意知，AB＝eq\r(3－42＋5－22)＝eq\r(10)，因為△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，于是有CA＝AB＝eq\r(10)，即點C的軌跡是以A為圓心，eq\r(10)為半徑的圓，又點A，B，C構(gòu)成三角形，即三點不可共線，則軌跡中需去掉點B(3,5)及點B關(guān)于點A對稱的點(5，－1)，所以點C的軌跡方程為(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5)．]7.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋y2＝1解析設(shè)M(x，y)，則Q(2x＋1,2y)，因為Q在圓x2＋y2＝4上，所以(2x＋1)2＋4y2＝4，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋y2＝1，所以軌跡C的方程是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋y2＝1.8．x2＋y2－2x＋y＝0解析設(shè)AB的中點為Q(x，y)，若斜率存在且不為0，則AB的斜率為k＝eq\f(y＋1,x－2)，又OQ⊥AB，所以kOQ·k＝－1，即eq\f(y,x)·eq\f(y＋1,x－2)＝－1，整理得x2＋y2－2x＋y＝0，點(2，－1)，(2,0)，(0,0)，(0，－1)也滿足，所以點Q的軌跡方程為x2＋y2－2x＋y＝0.9．解分別以AB，AD邊所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系．如圖所示，則點A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，設(shè)動點P(x，y)，Q(t,0)(0≤t≤1)，由BQ＝CR知，AQ＝BR，則R(1，t)．當(dāng)t≠0時，直線AR：y＝tx，①直線DQ：eq\f(x,t)＋y＝1，則1－y＝eq\f(x,t)，②①×②消去t，得y(1－y)＝tx·eq\f(x,t)，化簡得x2＋y2－y＝0.當(dāng)t＝0時，點P與原點重合，坐標(biāo)(0,0)也滿足上述方程．故點P的軌跡方程為x2＋y2－y＝0.10．解(1)設(shè)M(x，y)，則A(2x,2y)，因為點A在圓C上，所以4x2＋4y2－16x＋12＝0，化簡得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1.所以點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1，它是圓心為D(2,0)，半徑為1的圓．(2)設(shè)Q(0，－2)，所以eq\r(x2＋y＋22)＝PQ，由平面幾何知識知，DQ－1≤PQ≤DQ＋1，又DQ＝2eq\r(2)，所以PQmin＝2eq\r(2)－1，PQmax＝2eq\r(2)＋1.11．B[設(shè)另一腰的一個端點C的坐標(biāo)為(x，y)，由題設(shè)條件知AC＝AB，即(x－4)2＋(y－2)2＝(4＋2)2＋(2＋0)2，x≠10，x≠－2.整理，得x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠－2，x≠10)，即為端點C的軌跡方程．]12．B[設(shè)M(x，y)，由MP1＝eq\r(2)MP2,可得eq\r(x＋12＋y2)＝eq\r(2)·eq\r(x－12＋y2)，化簡得(x－3)2＋y2＝8，即M在以(3,0)為圓心，2eq\r(2)為半徑的圓上運動，又＝eq\f(1,2)P1P2·|yM|＝|yM|≤2eq\r(2)，即△MP1P2面積的最大值是2eq\r(2).]13．以線段AB為直徑的圓解析當(dāng)點C與點A，B均不重合時，設(shè)O為線段AB的中點，則eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝2eq\o(CO,\s\up6(→)).因為|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(CO,\s\up6(→))|，所以|eq\o(CO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以AC⊥BC，當(dāng)點C與點A或B重合時也滿足|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以點C的軌跡為以線段AB為直徑的圓．14．(x－1)2＋(y－2)2＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)<x<2))解析設(shè)點M(x，y)，∵M(jìn)是線段AB的中點，∴MO⊥MP，又∵eq\o(OM,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(PM,\s\up6(→))＝(x－2，y－4)，∴x(x－2)＋y(y－4)＝0，即x2＋y2－2x－4y＝0，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，,x2＋y2－2x－4y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(6,5)，,y＝\f(8,5)，))又∵M(jìn)在圓O的內(nèi)部，∴點M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－2)2＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)<x<2)).15.eq\f(4a2,9)π解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,2a)，B(0，a)，設(shè)M(x，y)，由eq\f(BM,μ)≤eq\f(AM,2μ)，得2eq\r(x2＋y－a2)≤eq\r(x2＋y－2a2)，整理得x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(2,3)a))2≤eq\f(4a2,9)，∴M在以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)a))為圓心，以eq\f(2,3)a為半徑的圓上及圓的內(nèi)部，∴S(a)＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a))2＝eq\f(4a2,9)π.16．解如圖以直線AB為x軸，線段AB的中點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)，0))，設(shè)P(x，y)為曲線上的任意一點，因為點P到線段AB兩個端點距離的平方和為k，所以PA2＋PB2＝k，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k