2024-2025學年年七年級數(shù)學人教版下冊專題整合復習卷12.3 角的平分線的判定 第2課時同步練習(含答案)

2024-2025學年年七年級數(shù)學人教版下冊專題整合復習卷12.3角的平分線的判定第2課時同步練習(含答案)12.3第2課時角的平分線的判定一、選擇題1．到三角形三條邊的距離都相等的點是這個三角形的（）A.三條中線的交點 B.三條高的交點C.三條邊的垂直平分線的交點 D.三條角平分線的交點2．如圖，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分別為D、C，AD與BC相交于點P，若PA=PB，則∠1與∠2的大小是（）A．∠1=∠2B．∠1＞∠2C．∠1＜∠2D．無法確定第2題圖第3題圖第4題圖3.如圖，在Rt△ABC的斜邊BC上截取CD=CA，過點D作DE⊥BC，交AB于E，則下列結論一定正確的是（） A． AE=BE B． DB=DE C． AE=BD D． ∠BCE=∠ACE4.如圖，△ABC中，點O是△ABC內一點，且點O到△ABC三邊的距離相等；∠A=40°，則∠BOC=（） A． 110° B． 120° C． 130°D． 140°5．如圖，,△ABC的兩個外角平分線交于點P，則下列結論正確的是（）①PA=PC②BP平分∠ABC③P到AB，BC的距離相等④BP平分∠APC．A． ①② B． ①④ C． ②③ D． ③④第5題圖第6題圖第7題圖6．如圖，直線l1，l2，l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）A、1處B、2處C、3處D、4處7．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，M為AD上任意一點，則下列結論錯誤的是（）（A）DE＝DF．（B）ME＝MF．（C）AE＝AF．（D）BD＝DC．8.如圖，△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，有下列四個結論：①DA平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的點到B、C兩點的距離相等；④到AE，AF距離相等的點到DE、DF的距離也相等．其中正確的結論有（）A．1個B．2個C．3個D．4個第8題圖第10題圖第11題圖二、填空題9.在角的內部到角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的．10.如圖，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，則∠AOQ=°．11.如圖，AB∥CD，點P到AB、BC、CD距離都相等，則∠P=°．12.如圖，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，則∠PCA=°．第12題圖第13題圖13.如圖，△ABC的∠ABC的外角平分線BD與∠ACB的外角平分線CE相交于點P，若點P到AC的距離為4，則點P到AB的距離為.14.如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE⊥AB于D，且EC=ED，∠EBC=______-°15.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=3，連接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC邊上一動點，則DP長的最小值為第14題圖第15題圖第16題圖16.如圖，點M在∠ABC內，ME⊥AB于E點，MF⊥BC于F點，且ME=MF，∠ABC=70°，則∠BME=°．三、解答題17.如圖，表示兩條相交的公路，現(xiàn)要在的內部建一個物流中心．設計時要求該物流中心到兩條公路的距離相等，且到公路交叉處點的距離為1000米．（1）若要以的比例尺畫設計圖，求物流中心到公路交叉處點的圖上距離；（2）在圖中畫出物流中心的位置．18．如圖，P是∠BAC內的一點，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，AE=AF．求證：（1）PE=PF；（2）點P在∠BAC的角平分線上．19.PB，PC分別是△ABC的外角平分線且相交于P．求證：P在∠A的平分線上（如圖）．20．已知：如圖，，是的中點，平分．（1）若連接，則是否平分？請你證明你的結論．（2）線段與有怎樣的位置關系？請說明理由．22134DCMBA21.（1）班同學上數(shù)學活動課，利用角尺平分一個角（如圖所示）．設計了如下方案：（Ⅰ）∠AOB是一個任意角，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線．（Ⅱ）∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線．（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，請證明；若不可行，請說明理由；（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情況下，繼續(xù)移動角尺，同時使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？請說明理由．參考答案一、選擇題1.D2.A3.D4.A5.C6.D7.D8.D二、填空題9.平分線10.3511.9012.5513.414.2715.316.55三、解答題17.解:（1）1000米=100000厘米，100000÷50000=2（厘米）；(2)18.證明：（1）如圖，連接AP并延長，∵PE⊥AB，PF⊥AC∴∠AEP=∠AFP=90°又AE=AF，AP=AP，∵在Rt△AFP和Rt△AEP中∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），∴PE=PF．（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，∴∠EAP=∠FAP，∴AP是∠BAC的角平分線，故點P在∠BAC的角平分線上．19.證明：過P點作PE，PH，PG分別垂直AB，BC，AC．∵PB，PC分別是△ABC的外角平分線，∴PE=PH，PH=PG，∴PE=PG．∴P點在∠A的平分線上．20．（1）平分．2134ＤＣＭＢ2134ＤＣＭＢＡＥ，，，（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）．又，．，，平分（到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）．（2），理由如下：，（垂直于同一條直線的兩條直線平行）．（兩直線平行，同旁內角互補）又，（角平分線定義），，．即．21.解：（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少證明三角形全等的條件，∵只有OP=OP，PM=PN不能判斷△OPM≌△OPN；∴就不能判定OP就是∠AOB的平分線；方案（Ⅱ）可行．證明：在△OPM和△OPN中，，∴△OPM≌△OPN（SSS），∴∠AOP=∠BOP（全等三角形對應角相等）；∴OP就是∠AOB的平分線．（2）當∠AOB是直角時，此方案可行；∵四邊形內角和為360°，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，∴∠AOB=90°，∵PM=PN，∴OP為∠AOB的平分線．（到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上），當∠AOB不為直角時，此方案不可行；因為∠AOB必為90°，如果不是90°，則不能找到同時使PM⊥OA，PN⊥OB的點P的位置．12.3角的平分線的性質(第1課時)一、選擇題1.用尺規(guī)作已知角的平分線的理論依據(jù)是（）A．SASB．AASC．SSSD．ASA2.如圖，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，下列結論錯誤的是（）A、PD＝PEB、OD＝OEC、∠DPO＝∠EPO;D、PD＝OD3.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BD交AC于D，若CD=3cm，則點D到AB的距離DE是（）A．5cmB．4cmC．3cmD．2cm4.如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，則△DEB的周長為（）A.4㎝B.6㎝C.10㎝D.不能確定第2題圖第3題圖第4題圖5.如圖，OP平分，，，垂足分別為A，B．下列結論中不一定成立的是（）A. B.平分C. D.垂直平分6.如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC交AC于點F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC長是（） A．4 B． 3 C． 6D． 5第5題圖第6題圖第7題圖7.如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為（） A、11 B、5.5C、7 D、3.58.已知：如圖，△ABC中，∠C＝90o，點O為△ABC的三條角平分線的交點，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，點D、E、F分別是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，則點O到三邊AB、AC和BC的距離分別等于（）（A）2cm、2cm、2cm．（B）3cm、3cm、3cm．（C）4cm、4cm、4cm．（D）2cm、3cm、5cm．二、填空題9．如圖，P是∠AOB的角平分線上的一點，PC⊥OA于點C，PD⊥OB于點D，寫出圖中一對相等的線段（只需寫出一對即可）.10．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2cm，則點D到BC的距離為________cm．11.如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上一個動點，若PA=3，則PQ的最小值為．第9題圖第10題圖第11題圖12.如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，AD=3，BC=10，則△BDC的面積是．第12題圖第13題圖第15題圖13.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=10，AD平分∠BAC交BC于點D，且BD：CD=3：2，則點D到線段AB的距離為．14.已知△ABC中，AD是角平分線，AB=5，AC=3，且S△ADC=6，則S△ABD=．15.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，連接EF，則EF與AD的關系是．16.通過學習我們已經知道三角形的三條內角平分線是交于一點的．如圖，P是△ABC的內角平分線的交點，已知P點到AB邊的距離為1，△ABC的周長為10，則△ABC的面積為．17.如圖，AD∥BC，∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點P，作PE⊥AB于點E．若PE=2，則兩平行線AD與BC間的距離為．第16題圖第17題圖第18題圖18.如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60．其三條角平分線交于點O，則S△ABO：S△BCO：S△CAO=．三、解答題19．已知：AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，AFCDEBBD＝CDAFCDEB20.如圖，畫∠AOB=90°，并畫∠AOB的平分線OC，將三角尺的直角頂點落在OC的任意一點P上，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊分別相交于點E、F，試猜想PE、PF的大小關系，并說明理由．21.如圖，AB∥CD，以點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點P，作射線AP，交CD于點M．（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度數(shù)；（2）若CN⊥AM，垂足為N，求證：△ACN≌△MCN．22.如圖，已知△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，若∠A=90°，那么BC、BA、AE三者之間有何關系？并加以證明．23.如圖，△ABC中，D為BC的中點，DE⊥BC交∠BAC的平分線AE于點E，EF⊥AB于F，EG⊥AG交AC的延長線于G．求證：BF=CG．

參考答案一、選擇題1.C2.D3.C4.B5.D6.B7.B8.A二、填空題9.PC=PD（答案不唯一）10.211.312.1513.414.1015.AD垂直平分EF16.517.418.4：5：6三、解答題19．證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△DEB與Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠B＝∠C．20.解：PE=PF，理由是：過點P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，則∠PME=∠PNF=90°，∵OP平分∠AOB，∴PM=PN，∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN，在△PEM和△PFN中∴△PEM≌△PFN，∴PE=PF．21.（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°，由作法知，AM是∠CAB的平分線，∴∠MAB=∠CAB=33°（2）證明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA，∴∠CAM=∠CMA，又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC，在△ACN和△MCN中，∵，∴△ACN≌△MCN．22.解：BC、BA、AE三者之間的關系：BC=BA+AE，理由如下：過E作ED⊥BC交BC于點D，∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，∵在Rt△BAE和Rt△BDE中，∴Rt△BAE≌Rt△BDE（HL），∴BA=BD，∵AB=AC，∠A=90°∴∠C=45°，∴∠CED=45°=∠C，∴DE=CD，∵AE=DE，∴AE=CD=DE，∴BC=BD+DC=BA+AE．23.證明：連接BE、EC，∵ED⊥BC，D為BC中點，∴BE=EC，∵EF⊥ABEG⊥AG，且AE平分∠FAG，∴FE=EG，在Rt△BFE和Rt△CGE中，∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），∴BF=CG12.3角的平分線的性質專題一利用角的平分線的性質解題1．如圖，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若DF⊥AB，垂足為F，DG⊥AC，垂足為G，且DF=DG．求證：AD⊥BC.2．如圖，已知CD⊥AB于點D，BE⊥AC于點E，BE，CD交于點O，且AO平分∠BAC．求證：OB=OC．3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，，AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點E，AC=3cm，求BE的長．專題二角平分線的性質在實際生活中的應用4．如圖，三條公路把A、B、C三個村莊連成一個三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個三角形區(qū)域內修建一個集貿市場，要使集貿市場到三條公路的距離相等，則這個集貿市場應建在（）A．在AC、BC兩邊高線的交點處B．在AC、BC兩邊中線的交點處C．在∠A、∠B兩內角平分線的交點處D．在AC、BC兩邊垂直平分線的交點處5．如圖，要在河流的南邊，公路的左側M區(qū)處建一個工廠，位置選在到河流和公路的距離相等，并且到河流與公路交叉A處的距離為1cm（指圖上距離），則圖中工廠的位置應在__________，理由是__________．6．已知：有一塊三角形空地，若想在空地中找到一個點，使這個點到三邊的距離相等，試找出該點．（保留作圖痕跡）狀元筆記【知識要點】1．角的平分線的性質角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．2．角的平分線的判定角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．【溫馨提示】1．到三角形三邊距離相等的點是三角形三條角平分線的交點，不是其他線段的交點．2．到三角形三邊距離相等的點不僅有內角的平分線的交點，還有相鄰兩外角的平分線的交點，這樣的點共有4個．【方法技巧】1．利用角的平分線的性質解決問題的關鍵是：挖掘角的平分線上的一點到角兩邊的垂線段．若已知條件存在兩條垂線段——直接考慮垂線段相等，若已知條件存在一條垂線段——考慮通過作輔助線補出另一條垂線段，若已知條件不存在垂線段——考慮通過作輔助線補出兩條垂線段．2．利用角平分線的判定解決問題的策略是：挖掘已知圖形中一點到角兩邊的垂線段．若已知條件存在兩條垂線段——先證明兩條垂線段相等，然后說明角平分線或角的關系；若已知條件存在一條垂線段——考慮通過作輔助線補出另一條垂線段，再證明兩條垂線段相等；若已知條件不存在垂線段——考慮通過作輔助線補出兩條垂線段后，證明兩條垂線段相等．參考答案1．證明：∵，∴AD是的平分線，∴．在和中，∴．∴．又∵，∴，∴．2．證明：∵AO平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD=OE，在Rt△BDO和Rt△CEO中，∴．∴OB=OC．3．解：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠B=90°，又DE⊥AB，∴∠C=∠AED=90°，又，∴∠A=60°，∠B=30°，又∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC=DE，∴cm．在Rt△DAE和Rt△DBE中，∴△DAE≌△DBE（AAS），∴cm．4．C解析：根據(jù)角平分線的性質，集貿市場應建在∠A、∠B兩內角平分線的交點處．故選C．5．∠A的角平分線上，且距A1cm處角平分線上的點到角兩邊的距離相等6．解：作兩個角的平分線，交點P就是所求作的點．12.3角的平分線的性質1．角的平分線的性質(1)內容角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．(2)書寫格式如圖所示，∵點P在∠AOB的角平分線上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.談重點角平分線的性質的理解和應用(1)使用角的平分線的性質有兩個條件：①點在角的平分線上；②過這一點作角的兩邊的垂線段．結論是：這點到角的兩邊的距離相等，即兩條垂線段相等．(2)角的平分線的性質是證明兩線段相等的方法之一，而且不用再證明兩個三角形全等．(3)如果已知一個點在角的平分線上，常作出該點到角兩邊的垂線段，運用性質得到兩線段相等．【例1】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D.若CD＝2cm，則點D到直線AB的距離是__________cm.解析：因為點D在∠ABC的角平分線上，所以點D到直線AB的距離等于點D到直線BC的距離，即點D到直線AB的距離等于CD的長．答案：22．角的平分線的判定(1)內容角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．(2)書寫格式如圖所示，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴點P在∠AOB的角平分線上．(3)作用運用角的平分線的判定，可以證明兩個角相等和一條射線是角的平分線．警誤區(qū)角的平分線的性質和判定適用的條件在運用角的平分線的性質和判定時，往往錯誤地將一線段當作“距離”，主要原因是不能正確理解角平分線的性質和判定，因此在運用角的平分線的性質和判定時，一定要注意“距離”必須有垂直的條件．【例2】如圖所示，BE＝CF，BF⊥AC于點F，CE⊥AB于點E，BF和CE交于點D，求證：AD平分∠BAC.證明：∵BF⊥AC，AB⊥CE，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.在△BDE和△CDF中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠DEB＝∠DFC，,∠BDE＝∠CDF，,BE＝CF，))∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴DE＝DF.又∵BF⊥AC，AB⊥CE，∴AD平分∠BAC(角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上)．3．運用角的平分線的性質解決實際問題運用角的平分線的性質的前提條件是已知角的平分線以及角平分線上的點到角兩邊的距離．在運用角的平分線的性質解決實際問題時，題目中常常出現(xiàn)求到某個角的兩邊距離相等的點的位置，只要作出角的平分線即可．運用角平分線的性質解決實際問題時，一定要把實際問題中道路、河流等抽象成數(shù)學圖形直線，并且要求的點是到兩線的距離相等，常常確定兩線夾角的平分線上的點，這個過程就是建立數(shù)學模型的過程，這是在解決實際問題中常用的方法．4．運用角的平分線的判定解決實際問題在實際問題中，如果出現(xiàn)了某個地點到某些線的距離相等，常先把實際問題轉化為數(shù)學問題，即建立數(shù)學模型(角的平分線)．然后根據(jù)已知某點到角兩邊的距離相等，則常常聯(lián)想到用角的平分線的判定得到角的平分線來解決問題．解技巧巧用角的平分線的性質和判定解決問題能根據(jù)已知條件聯(lián)想到角的平分線的性質或判定是解決問題的關鍵．找到解決問題的切入點就是已知條件中有點到直線的距離相等或要找到到兩條直線的距離相等的點．5．綜合運用角的平分線的性質和判定解決實際問題角的平分線的性質和判定的關系如下：對于角的平分線的性質和判定，一方面要正確理解和明確其條件和結論，“性質”和“判定”恰好是條件和結論的互換，在應用時不要混淆，性質是證兩條線段相等的依據(jù)，判定是證明兩角相等的依據(jù)．析規(guī)律構造角的平分線的模型證明線段相等當有角平分線時，常過角平分線上的點向角的兩邊作垂線，根據(jù)角平分線的性質得線段相等．同樣，欲證明某射線為角平分線時，只需過其上一點向角的兩邊作垂線，再證線段相等即可．【例3】如圖，某考古隊為進行研究，尋找一座古城遺址．根據(jù)資料記載，該城在森林附近，到兩條河岸的距離相等，到古塔的距離是3000m．根據(jù)這些資料，考古隊很快找到了這座古城的遺址．你能運用學過的知識在圖中合理地標出古城遺址的位置嗎？請你試一試．(比例尺為1∶100000)解：如圖．作法：(1)以點C為圓心，以任意長為半徑畫弧，交兩河岸于A，B兩點，分別以A，B為圓心，以大于eq\f(1,2)AB長為半徑畫弧，兩弧交于點O，過C，O作射線CO.(2)按比例尺計算得古塔與P的圖上距離為3cm，以古塔為圓心，以3cm長為半徑畫弧交CO于點P，則點P即為所求．【例4】如圖所示，有一名民警在值班，他位于到平行的大街兩側以及過街天橋AB的距離相等的點P處．此時，這位民警發(fā)現(xiàn)有一可疑分子從天橋A處走向B處，請問民警在注視可疑分子從A處走到B處時，他的視線轉過了多大角度？解：連接PA，PB.∵點P到BE，AF，AB的距離相等，∴PA，PB分別是∠FAB，∠EBA的角平分線，即∠PBA＝eq\f(1,2)∠EBA，∠PAB＝eq\f(1,2)∠FAB