工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換課件

第五節(jié)矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換1二、初等矩陣四、用初等變換求矩陣的秩三、初等變換法求逆矩陣五、小結(jié)1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換2

一、矩陣的初等變換1、引例求解線性方程組分析：用加、減消元法解上述方程組。1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換31．上述方程組的求解方法可為消元法．

2．始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍．(與相互替換）（以替換）（以替換）1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換43．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換5

因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知量并未參與運算．若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換．1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換6定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:2、矩陣的初等變換1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換7定義矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換．

初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．

同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．逆變換逆變換逆變換1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換根據(jù)矩陣初等變換定義可知：對系數(shù)矩陣為非奇異方陣的線性方程組進行一系列初等變換后可得出該方程有惟一一組解的事實，可描述為下列定理。定理1：任何非奇異方陣都可以用有限次初等行變換將其化為單位矩陣。（見課本25頁例題1）1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換9定義2

由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣.

矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運算，應(yīng)用廣泛.二、初等矩陣的概念1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換101-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換111-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換121-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換13初等矩陣與初等變換之間的關(guān)系設(shè)第行第行1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換141-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換151-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換161-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換171-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換18

注意:以右乘矩陣,其結(jié)果相當(dāng)與把的第列(不是列)乘加到第列(不是列)上.1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換19

定理2設(shè)是一個矩陣，對施行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣.

定理3非奇異方陣A的逆矩陣可以表示為有限個初等陣的積。1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換20三、初等變換法求逆矩陣

方法是：1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換21

解例21-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換221-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換23即初等行變換1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換24例3解1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換251-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換261-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換27特點：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元．四、用初等變換求矩陣的秩

1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換28一、矩陣秩的概念矩陣的秩1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換291-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換30例4解1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換定理4行階梯形矩陣的秩等于其非零行的行數(shù)。

如果我們能把一般矩陣化為行階梯形矩陣，那么該矩陣的秩就一目了然了?。?-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換32例5解1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換331-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換34由階梯形矩陣有三個非零行可知1-5工程數(shù)學(xué)矩陣的初等變換35五、小結(jié)1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．2.初等變換3.單位矩陣初等矩陣.