2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末試卷及答案（共三套）

…………○…………外…………○…………裝…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末試卷及答案（共三套）2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末試卷及答案（一）一.選擇題1.兩直線3x+y﹣3=0與6x+my+1=0平行，則它們之間的距離為（

）A.

4

B.

C.

D.

2.將邊長為的正方形ABCD沿對角線AC折成一個直二面角B﹣AC﹣D．則四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑為（

）A.

1

B.

C.

D.

3.下列命題正確的是（

）A.

兩兩相交的三條直線可確定一個平面

B.

兩個平面與第三個平面所成的角都相等，則這兩個平面一定平行

C.

過平面外一點的直線與這個平面只能相交或平行

D.

和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線4.在空間中，給出下面四個命題，則其中正確命題的個數(shù)為（

）

①過平面α外的兩點，有且只有一個平面與平面α垂直；

②若平面β內(nèi)有不共線三點到平面α的距離都相等，則α∥β；

③若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α；

④兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是兩條平行線．A.

0

B.

1

C.

2

D.

35.已知直線l1：x+2ay﹣1=0，與l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，則a的值是（

）A.

0或1

B.

1或

C.

0或

D.

6.如果圓（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上總存在到原點的距離為的點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A.

（﹣3，﹣1）∪（1，3）

B.

（﹣3，3）

C.

[﹣1，1]

D.

[﹣3，﹣1]∪[1，3]7.若圓C：（x﹣5）2+（y+1）2=m（m＞0）上有且只有一點到直線4x+3y﹣2=0的距離為1，則實數(shù)m的值為（

）A.

4

B.

16

C.

4或16

D.

2或48.已知二面角α﹣l﹣β為60°，AB?α，AB⊥l，A為垂足，CD?β，C∈l，∠ACD=135°，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為（

）A.

B.

C.

D.

9.如圖，在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C點，那么圖中與∠DCF相等的角的個數(shù)是（

）

A.

4

B.

5

C.

6

D.

710.點P是雙曲線﹣=1的右支上一點，M是圓（x+5）2+y2=4上一點，點N的坐標(biāo)為（5，0），則|PM|﹣|PN|的最大值為（

）A.

5

B.

6

C.

7

D.

811.m，n，l為不重合的直線，α，β，γ為不重合的平面，則下列說法正確的是（

）A.

m⊥l，n⊥l，則m∥n

B.

α⊥γ，β⊥γ，則α⊥β

C.

m∥α，n∥α，則m∥n

D.

α∥γ，β∥γ，則α∥β12.曲線y=1+與直線y=k（x﹣2）+4有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.

二.填空題13.如圖，網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1，若粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為________．

14.若過定點M（﹣1，0）且斜率為k的直線與圓x2+4x+y2﹣5=0在第一象限內(nèi)的部分有交點，則k的取值范圍是________．15.若點P在圓上，點Q在圓上，則|PQ|的最小值是________．16.直線x+7y﹣5=0分圓x2+y2=1所成的兩部分弧長之差的絕對值為________．三.解答題17.已知△ABC三邊所在直線方程：lAB：3x﹣2y+6=0，lAC：2x+3y﹣22=0，lBC：3x+4y﹣m=0（m∈R，m≠30）．（1）判斷△ABC的形狀；（2）當(dāng)BC邊上的高為1時，求m的值．18.如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC為等邊三角形，AA1=AB=6，D為AC的中點．

（1）求證：直線AB1∥平面BC1D；（2）求證：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（3）求三棱錐C﹣BC1D的體積．

答案解析部分一.<b>選擇題</b>1.【答案】D

【考點】兩條平行直線間的距離

【解析】【解答】解：∵直線3x+y﹣3=0與6x+my+1=0平行，

∴，解得m=2．

因此，兩條直線分別為3x+y﹣3=0與6x+2y+1=0，

即6x+2y﹣6=0與6x+2y+1=0．

∴兩條直線之間的距離為d===．

故答案為：D

【分析】根據(jù)兩條直線平行的一般式的系數(shù)關(guān)系可求出m=2，進(jìn)而得到兩條直線的方程，再利用兩條平行線間的距離公式可得結(jié)果。2.【答案】D

【考點】球的體積和表面積

【解析】【解答】解：∵邊長為的正方形ABCD沿對角線AC折成一個直二面角B﹣AC﹣D，

∴=1，AC=2，

取AC中點O，連結(jié)DO，BO，則DO=BO==1，

且DO⊥平面ABC，

∴VD﹣ABC==，

BD==，AB=BC=AD=DC=，

∴=，

=1，

∴四面體ABCD的表面積S=S△ADC+S△ABC+S△ABD+S△BCD

=2+，

∴四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑r===2﹣．

故答案為：D．

【分析】利用已知條件把VD﹣ABC轉(zhuǎn)化為四個小三棱錐的體積之和，每個小三棱錐的高就是內(nèi)切球的半徑，故得r=，即得結(jié)果。3.【答案】C

【考點】平面的基本性質(zhì)及推論

【解析】【解答】解：對于A，兩兩相交的三條直線可確定一個平面或三個平面，故A錯誤；

對于B，兩個平面與第三個平面所成的角都相等，則這兩個平面平行或相交，故B錯誤；

對于C，過平面外一點的直線一定在平面外，且直線與這個平面相交或平行，故C正確；

對于D，和兩條異面直線都相交的兩條直線是異面直線或共面直線，故D錯誤．

故答案為：C．

【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)及推論得到A、B、C選項的反例即可。4.【答案】A

【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用

【解析】【解答】解：當(dāng)過平面α外的兩點在垂直于平面α的直線上時，命題①不成立；

不共線三點在平面α，β的兩側(cè)時，②不成立；

無數(shù)條直線平行時，③不成立；

在正方體中ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1與B1C1是異面直線，AA1在面ABCD中的射影是點，故④錯．

故選A．

【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)以及推論可得到命題①②③④的反例，故不正確。5.【答案】C

【考點】兩條直線平行與傾斜角、斜率的關(guān)系

【解析】【解答】解：當(dāng)a=0時，兩直線的斜率都不存在，

它們的方程分別是x=1，x=﹣1，顯然兩直線是平行的．

當(dāng)a≠0時，兩直線的斜率都存在，故它們的斜率相等，

由≠，解得：a=．

綜上，a=0或，

故答案為：C．

【分析】分情況討論當(dāng)a=0時，兩直線的斜率都不存在，但兩直線平行是成立的。當(dāng)a≠0時，兩條直線平行斜率相等可得a的值，故a=0或

.6.【答案】D

【考點】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【解析】【解答】解：圓（x﹣a）2+（y﹣a）2=8的圓心（a，a）到原點的距離為|a|，半徑r=2，

由圓（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上總存在點到原點的距離為，

∴2﹣≤|a|≤2+，

∴1≤|a|≤3解得1≤a≤3或﹣3≤a≤﹣1．

∴實數(shù)a的取值范圍是[﹣3，﹣1]∪[1，3]．

故答案為：D

【分析】由題意可知，當(dāng)圓心到直線的距離位于：半徑減去到半徑加上這個范圍內(nèi)時，總會存在這樣的點到原點的距離為。7.【答案】A

【考點】直線與圓的位置關(guān)系

【解析】【解答】解：∵圓C：（x﹣5）2+（y+1）2=m（m＞0）

上有且只有一點到直線4x+3y﹣2=0的距離為1，

∴圓心（5，﹣1）到直線4x+3y﹣2=0的距離d=r+1，

∴d==+1，

解得m=4．

故答案為：A．

【分析】利用圓心到直線的距離d=r+1可求出m的值。8.【答案】B

【考點】異面直線及其所成的角

【解析】【解答】解：如圖，過A點做AE⊥l，使BE⊥β，垂足為E，過點A做AF∥CD，過點E做EF⊥AE，連接BF，

∵AE⊥l∴∠EAC=90°

∵CD∥AF又∠ACD=135°

∴∠FAC=45°∴∠EAF=45°

在Rt△BEA中，設(shè)AE=a，則AB=2a，BE=a，

在Rt△AEF中，則EF=a，AF=a，

在Rt△BEF中，則BF=2a，

∴異面直線AB與CD所成的角即是∠BAF，

∴cos∠BAF===．

故答案為：B．

【分析】由已知作出輔助線，找到兩條異面直線所成的角是∠BAF，根據(jù)三個直角三角形的邊的關(guān)系，由余弦定理可求出cos∠BAF的值。9.【答案】B

【考點】弦切角

【解析】【解答】解：由已知及弦切角定理可得：∠DCF=∠DAC①

又∠DAC=∠DBC，

所以：∠DCF=∠DBC②．

又AC平分∠BAD，

∠DCF=∠BAC③，

又∠BDC=∠BAC，

所以：∠DCF=∠BDC④，

又由弦切角定理可得：∠BAC=∠BCE，

所以：∠DCF=∠BCE⑤，

綜上，圖中與∠DCF相等的角的個數(shù)是5．

故答案為：B．

【分析】根據(jù)已知條件以及弦切角定理推導(dǎo)可得。10.【答案】D

【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)

【解析】【解答】解：雙曲線﹣=1的右支中，∵a=3，b=4，c=5，

∴F1（﹣5，0），F(xiàn)2（5，0），

∵|PF1|﹣|PF2|=2a=6，

∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，

所以，|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2||

=6+2

=8．

故選D

【分析】利用雙曲線的定義可得，|PF1|﹣|PF2|=2a=6故|MP|≤|PF1|+|MF1|即|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2||=811.【答案】D

【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

【解析】【解答】解：由m⊥l，n⊥l，在同一個平面可得m∥n，在空間不成立，故錯誤；

若α⊥γ，β⊥γ，則α與β可能平行與可能相交，故錯誤；

m∥α，n∥α，則m、n可能平行、相交或異面，故錯誤；

α∥γ，β∥γ，利用平面與平面平行的性質(zhì)與判定，可得α∥β，正確．

故答案為：D．

【分析】利用空間中直線與平面之間的位置關(guān)系可得出A、B、C選項的反例。12.【答案】D

【考點】直線與圓相交的性質(zhì)

【解析】【解答】解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

由題意可得：直線l過A（2，4），B（﹣2，1），

又曲線圖象為以（0，1）為圓心，2為半徑的半圓，

當(dāng)直線l與半圓相切，C為切點時，圓心到直線l的距離d=r，即=2，

解得：k=；

當(dāng)直線l過B點時，直線l的斜率為=，

則直線l與半圓有兩個不同的交點時，實數(shù)k的范圍為．

故答案為：

【分析】根據(jù)題意作出圖像，由已知可得：當(dāng)直線l與半圓相切，C為切點時，圓心到直線l的距離d=r，即得k的值；當(dāng)直線l過B點時，直線l的斜率為，故直線l與半圓有兩個不同的交點時，實數(shù)k的范圍在這兩個值之間即可。二.<b>填空題</b>13.【答案】10

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積

【解析】【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個俯視圖為底面的三棱錐，

底面面積S=×5×4=10，

高h(yuǎn)=3，

故體積V==10，

故答案為：10．

【分析】根據(jù)三視圖可得該幾何體是一個三棱錐,由已知利用三棱錐的體積公式可求出結(jié)果。14.【答案】（0，）

【考點】直線與圓的位置關(guān)系

【解析】【解答】解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x+2）2+y2=9，

∴圓心坐標(biāo)為（﹣2，0），半徑r=3，

令x=0，則，

設(shè)A（0，），又M（﹣1，0），

∴，

又∵直線過第一象限且過（﹣1，0）點，

∴k＞0，又直線與圓在第一象限內(nèi)有交點，

∴k＜=，

則k的取值范圍是（0，）．

故答案為：（0，）

【分析】首先求出圓與y軸的交點，即得kMA=，根據(jù)題意直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有交點，故直線的斜率

0<k＜.15.【答案】2

【考點】圓與圓的位置關(guān)系及其判定

【解析】【解答】解：據(jù)題意易求，又兩圓的半徑分別為1和2，

故|PQ|的最小值為：|C1C2|﹣2﹣1=2．

故答案為2．

【分析】先求出兩個圓的圓心之間的距離，最小值就是這個距離減去兩個圓的半徑之和。16.【答案】π

【考點】直線與圓的位置關(guān)系

【解析】【解答】解：解：圓x2+y2=1的圓心（0，0）到直線x+7y﹣5=0的距離為：

d==，

故弦長為2=2=，

故弦所對的圓心角為，兩段弧長之比為3：1，

兩段弧長之差的絕對值是=π．

故答案為：π．

【分析】根據(jù)弦長和圓心到直線的距離可求出弦所對的圓心角為，由圓心角的大小進(jìn)而得到兩段弧的長度之比，故得到兩部分弧長之差為π。三.<b>解答題</b>17.【答案】（1）解：直線AB的斜率為，直線AC的斜率為，

所以kAB?kAC=﹣1，

所以直線AB與AC互相垂直，

因此，△ABC為直角三角形

（2）解：解方程組，得，即A（2，6）．

由點到直線的距離公式得

當(dāng)d=1時，，即|30﹣m|=5，

解得m=25或m=35．

【考點】三角形的形狀判斷

【解析】【分析】1、由已知的直線方程可分別求出直線的斜率，可求出kAB?kAC=﹣1，即得三角形的形狀。

2、聯(lián)立兩條直線的方程先求出頂點A的坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式求出d的表達(dá)式，令d=1求出m的值即可。18.【答案】（1）證明：如圖所示，

連接B1C交BC1于O，連接OD，

因為四邊形BCC1B1是平行四邊形，

所以點O為B1C的中點，

又因為D為AC的中點，

所以O(shè)D為△AB1C的中位線，

所以O(shè)D∥B1A，

又OD?平面C1BD，AB1?平面C1BD，

所以AB1∥平面C1BD．

（2）證明：因為△ABC是等邊三角形，D為AC的中點，

所以BD⊥AC，

又因為AA1⊥底面ABC，

所以AA1⊥BD，

根據(jù)線面垂直的判定定理得BD⊥平面A1ACC1，

又因為BD?平面C1BD，

所以平面C1BD⊥平面A1ACC1

（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，

∴S△BCD=×3×3=，

∴==??6=9．

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積，直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定

【解析】【分析】1、根據(jù)已知條件作輔助線：連接B1C交BC1于O，連接OD，由題意可得OD∥B1A，利用線面平行的判定定理可得證。

2、利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理可得證。

3、利用等體積法轉(zhuǎn)化頂點和底面可求出體積。2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末試卷及答案（二）本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。一、選擇題（每小題4分，共32分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1.若實數(shù)a，b滿足a>b，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.2.對變量有觀測數(shù)據(jù)理據(jù)…，10），得散點圖1：對變量有觀測數(shù)據(jù)…，10），得散點圖2，由這兩個散點圖可以判斷（）A.變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B.變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C.變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D.變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)3.從甲、乙兩個城市分別隨機抽取16臺自動售貨機，對其銷售額進(jìn)行統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示（如圖所示）。設(shè)甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，中位數(shù)分別為，，則（）A. B.C. D.4.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入a＝4，那么輸出的n的值為（）A.2 B.3 C.4 D.55.公差不為零的等差數(shù)列的第1項、第6項、第21項恰好構(gòu)成等比數(shù)列，則它的公比為（）A. B. C.3 D.－36.下列命題中正確的是（）A.若兩條直線都平行于同一個平面，則這兩條直線平行；B.過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直；C.若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個平面；D.若兩條直線都垂直于同一個平面，則這兩條直線共面。7.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為（）A. B. C. D.28.在△ABC中，，BC邊上的高等于，則cosA＝（）A. B. C. D.二、填空題（每小題5分，共30分）9.一支田徑隊有男女運動員98人，其中男運動員有56人，按男、女比例用分層抽樣的方法，從全體運動員中抽出一個容量為28的樣本，那么應(yīng)抽取女運動員人數(shù)是________。10.若滿足，則的最大值為_____________。11.如圖所示，在某路段檢測點，對180輛汽車的車速進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果表示為如下頻率分布直方圖，則車速不小于90km/h的汽車約有__________輛。12.邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中隨機撒一粒豆子，落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為，則陰影區(qū)域的面積為__________。13.若不等式對任意實數(shù)x恒成立，則a的取值范圍是_____________。14.數(shù)列中，如果對任意都有（k為常數(shù)），則稱為等差比數(shù)列，k稱為公差比，現(xiàn)給出下列命題：①等差比數(shù)列的公差比一定不為0；②等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列；③若，則數(shù)列是等差比數(shù)列；④若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比；其中正確的命題的序號為___________。三、解答題（共38分，請寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.（本小題12分）在△ABC中，角。（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）求的最大值。16.（本小題13分）手機完全充滿電量，在開機不使用的狀態(tài)下，電池靠自身消耗一直到出現(xiàn)低電量警告之間所能維持的時間稱為手機的待機時間。為了解A，B兩個不同型號手機的待機時間，現(xiàn)從某賣場庫存手機中隨機抽取A，B兩個型號的手機各5臺，在相同條件下進(jìn)行測試，統(tǒng)計結(jié)果如下：手機編號12345A型待機時間（h）120125122124124B型待機時間（h）118123127120a已知A，B兩個型號被測試手機待機時間的平均值相等。（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判斷A，B兩個型號被測試手機待機時間方差的大?。ńY(jié)論不要求證明）；（Ⅲ）從被測試的手機中隨機抽取A，B型號手機各1臺，求至少有1臺的待機時間超過122小時的概率。17.（本小題13分）如圖，在三棱柱中，⊥底面ABC，∠BAC＝90°，，。M，N分別為BC和CC1的中點，P為側(cè)棱上的動點。（Ⅰ）求證：平面APM⊥平面；（Ⅱ）若P為線段的中點，求證：∥平面APM；（Ⅲ）試判斷直線BC1與平面APM是否能夠垂直，若能垂直，求PB的值；若不能垂直，請說明理由。四、填空題（每小題3分，共15分，請將答案填在題中的橫線上）18.記為區(qū)間的長度，已知函數(shù)，其值域為，則區(qū)間的長度的最小值是__________。19.設(shè)三棱柱的體積為10，點P，Q分別是側(cè)棱、上的點，且，則四棱錐的體積為__________。20.設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個質(zhì)點從原點出發(fā)，沿x軸跳動，每次向正方向或負(fù)方向跳1個單位，經(jīng)過5次跳動質(zhì)點落在點（1，0）（允許重復(fù)過此點）處，則質(zhì)點不同的運動方法共有_______種（用數(shù)字作答）。21.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，則實數(shù)a的取值范圍是__________。22.設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則＝__________。五、解答題（共35分，請寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）23.（本小題11分）設(shè)，不等式的解集記為集合P。（Ⅰ）若，求m的值；（Ⅱ）當(dāng)時，求集合P；（Ⅲ）若，求m的取值范圍。24.（本小題12分）已知是遞增的等差數(shù)列，為的前n項和，且成等差數(shù)列。（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求…的值；（Ⅲ）若集合中有且僅有2個元素，求實數(shù)的取值范圍。25.（本小題12分）有限數(shù)列…，同時滿足下列兩個條件：①對于任意的；②對于任意的三個數(shù)中至少有一個數(shù)是數(shù)列中的項。（Ⅰ）若，且，求a的值；（Ⅱ）證明：2，3，5不可能都是數(shù)列中的項；（Ⅲ）求n的最大值。

【試題答案】一、選擇題（每小題4分，共32分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）12345678DCBBCDAC二、填空題（每小題5分，共30分）9.12 10.9 11.5412. 13. 14.①③④三、解答題（共38分，請寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.解：（Ⅰ）由余弦定理及題設(shè)，得。由正弦定理，得。（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠A＋∠B＝，因為0＜∠A＜，所以當(dāng)∠A＝，取得最大值1。16.解：（Ⅰ），，由，解得。（Ⅱ）設(shè)A，B兩個型號被測試手機的待機時間的方差依次為，則。（Ⅲ）設(shè)A型號手機為；B型號手機為，“至少有1臺的待機時間超過122小時”為事件C。從被測試的手機中隨機抽取A，B型號手機各1臺，不同的抽取方法有25種。抽取的兩臺手機待機時間都不超過122小時的選法有：（A1，B1），（A1，B4），（A3，B1），（A3，B4），共4種。因此，所以，所以至少有1臺的待機時間超過122小時的概率是。17.解：（Ⅰ）由已知，M為BC中點，且AB＝AC，所以AM⊥BC，又因為∥，且⊥底面ABC，所以⊥底面ABC。因為AM底面ABC，所以⊥，又∩BC＝B，所以AM⊥平面。又因為平面APM，所以平面APM⊥平面。（Ⅱ）取中點D，連結(jié)由于D，M分別為的中點，所以DM∥，且，則四邊形為平行四邊形，所以∥AM。又平面APM，平面APM，所以∥平面APM。由于D，N分別為的中點，所以DN∥。又P，M分別為的中點，所以MP∥B1C。則DN∥MP，又平面APM，平面APM，所以DN∥平面APM。由于∩DN＝D，所以平面∥平面APM，由于平面，所以∥平面APM。（Ⅲ）假設(shè)BC1與平面APM垂直，由平面APM，則BC1⊥PM。設(shè)，當(dāng)⊥PM時，∠BPM＝∠，所以Rt△PBM∽Rt△∠，所以。由已知，所以，得，由于，因此直線與平面APM不能垂直。四、填空題（每小題3分，共15分，請將答案填在題中的橫線上）18.3 19.10/3 20.10種 21.22.2解析：因為，所以，可構(gòu)造，則的最大值為M－1，最小值為。又因為是奇函數(shù)，所以，即。五、解答題（共35分，請寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）23.解：（Ⅰ）因為，所以方程的兩根為－1和2。將代入上述方程，得，解得。（Ⅱ）不等式可化為，當(dāng)時，方程的兩根為和2。①當(dāng)，即時，解得，②當(dāng)，即時，解得或，③當(dāng)，即時，解得或。綜上，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，。（Ⅲ）依題意，當(dāng)時，不等式恒成立。當(dāng)時，原不等式化為，即，適合題意。當(dāng)時，由（Ⅱ）可得時，適合題意。當(dāng)時，因為，所以。此時必有成立，解得。綜上，若，則m的取值范圍是。24.解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d。由，可得，由成等比數(shù)列，可得，所以解得（舍）或所以數(shù)列的通項公式為。（Ⅱ）解可得，所以數(shù)列中，其余各項均大于零，所以…＝…。（Ⅲ）設(shè)，，令，得，所以…又由，知，其余各項均大于零。在中，，且…計算得，所以，的取值范圍是。25.解：（Ⅰ）由①，得，由②，當(dāng)時，，12中至少有一個是數(shù)列1，2，a，6中的項，但，故，解得a。經(jīng)檢驗，當(dāng)時，符合題意。（Ⅱ）假設(shè)2，3，5是數(shù)列中的項，由②可知：6，10，15中至少有一個是數(shù)列中的項，則有限數(shù)列的最后一項，且。由①，，對于數(shù)，由②可知：；對于數(shù)，由②可知：。所以，這與①矛盾，所以2，3，5不可能是數(shù)列中的項。（Ⅲ）n的最大值為9，證明如下：（1）令，則符合①、②。（2）設(shè)…符合①、②，則：（i）中至多有三項，其絕對值大于1，假設(shè)中至少有四項，其絕對值大于1，不妨設(shè)是中絕對值最大的四項，其中。則對有，故均不是數(shù)列中的項，即是數(shù)列中的項。同理：也是數(shù)列中的項。但，所以，所以，這與①矛盾。（ii）中至多有三項，其絕對值大于0且小于1，假設(shè)中至少有四項，其絕對值大于0且小于1，類似（i）得出矛盾。（iii）中至多有兩項絕對值等于1。（iv）中至多有一項等于0。綜合（i），（ii），（iii），（iv）可知中至多有9項。由（1），（2）可得，n的最大值為9。2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末試卷及答案（三）一．選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確（每小題5分，共60分）．1．若數(shù)列的前4項分別是，則此數(shù)列的一個通項公式為（）A． B． C． D．2．下列命題中，正確的是（）A．若a＞b，則ac2＞bc2 B．﹣2＜a＜3，1＜b＜2，則﹣3＜a﹣b＜1C．若a＞b＞0，m＞0，則 D．若a＞b，c＞d，則ac＞bd3．已知集合P={0，m}，Q={x|2x2﹣5x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠?，則m等于（）A．2 B．1 C．1或2 D．1或4．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，則△ABC的形狀為（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定5．在等差數(shù)列{an}中，若a3+a5+2a10=4，則此數(shù)列的前13項的和等于（）A．8 B．13 C．16 D．266．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，則角B的值為（）A． B． C．或 D．或7．若ax2+x+a＜0的解集為?，則實數(shù)a取值范圍（）A．a(chǎn)≥ B．a(chǎn)＜ C．﹣≤a≤ D．a(chǎn)≤﹣或a≥8．設(shè){an}（n∈N*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．d＜0 B．a(chǎn)7=0C．S9＞S5 D．S6與S7均為Sn的最大值9．在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且A=30°，a=1．現(xiàn)在給出下列四個條件：①B=45°；②b=2sinB；③c=；④2c﹣b=0；若從中選擇一個條件就可以確定唯一△ABC，則可以選擇的條件是（）A．①或② B．②或③ C．③或④ D．④或①10．已知圓的半徑為4，a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc=16，則三角形的面積為（）A．2 B．8 C． D．11．各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比q≠1，且a2，，a1成等差數(shù)列，則的值為（）A． B． C． D．或12．設(shè)a，b∈R，定義運算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正數(shù)a、b、c、d滿足ab≥4，c+d≤4，則（）A．a(chǎn)∧b≥2，c∧d≤2 B．a(chǎn)∧b≥2，c∨d≥2 C．a(chǎn)∨b≥2，c∧d≤2 D．a(chǎn)∨b≥2，c∨d≥2二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13．已知數(shù)列{an}的通項公式為an=，則其前n項的和Sn=______．14．下面是一道選擇題的兩種解法，兩種解法看似都對，可結(jié)果并不一致，問題出在哪兒？[題]在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若△ABC有兩解，則x的取值范圍是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C.D.[解法1]△ABC有兩解，asinB＜b＜a，xsin45°＜2＜x，即，故選C．[解法2]，．△ABC有兩解，bsinA＜a＜b，，即0＜x＜2，故選B．你認(rèn)為______是正確的（填“解法1”或“解法2”）15．已知f（x）=，則f（）+f（）+…f（）+f（1）+f（2）+…+f對正整數(shù)m的3次冪進(jìn)行如下方式的“分裂”：仿此規(guī)律，若m3的“分裂”中最小的數(shù)是211，則m的值是______．三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或或演算步驟）17．設(shè)函數(shù)f（x）=mx2﹣mx﹣1（1）若對一切實數(shù)x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范圍．（2）若對一切實數(shù)m∈[﹣2，2]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求x的取值范圍．18．在等差數(shù)列{an}中，已知第10項等于17，前10項的和等于80．從該數(shù)列中依次取出第3項、第32項…第3n項，并按原來的順序組成一個新數(shù)列{bn}．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求Tn．19．某機床廠今年年初用98萬元購進(jìn)一臺數(shù)控機床，并立即投入生產(chǎn)使用，計劃第一年維修、保養(yǎng)費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費用比上一年增加4萬元，該機床使用后，每年的總收入為50萬元，設(shè)使用x年后數(shù)控機床的盈利額為y萬元．（Ⅰ）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）從第幾年開始，該機床開始盈利（盈利額為正值）．20．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且acosC+c=b．（1）求角A的大??；（2）若a=1，求△ABC的周長l的取值范圍．21．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn+an=2﹣（）n﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）令bn=2nan，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；（Ⅱ）令cn=an，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．22．如圖，在等腰直角三角形△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，點M在線段PQ上．（1）若OM=，求PM的長；（2）若點N在線段MQ上，且∠MON=30°，問：當(dāng)∠POM取何值時，△OMN的面積最??？并求出面積的最小值．

參考答案與試題解析一．選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確（每小題5分，共60分）．1．若數(shù)列的前4項分別是，則此數(shù)列的一個通項公式為（）A． B． C． D．【考點】數(shù)列的概念及簡單表示法．【分析】由數(shù)列的前4項分別是，可知：第n項的符號為（﹣1）n+1，其絕對值為．即可得出．【解答】解：由數(shù)列的前4項分別是，可知：第n項的符號為（﹣1）n+1，其絕對值為．因此此數(shù)列的一個通項公式為an=．故選：C．2．下列命題中，正確的是（）A．若a＞b，則ac2＞bc2 B．﹣2＜a＜3，1＜b＜2，則﹣3＜a﹣b＜1C．若a＞b＞0，m＞0，則 D．若a＞b，c＞d，則ac＞bd【考點】不等關(guān)系與不等式；命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】A．舉出反例：取c=0時不成立；B．由1＜b＜2，可知﹣2＜﹣b＜﹣1，進(jìn)而可求出a﹣b的范圍；C．由不等式的性質(zhì)可知正確；D．舉出反例5＞2，﹣1＞﹣2，可否定之．【解答】解：A．取c=0時，雖然a＞b，但是ac2=bc2；B．∵1＜b＜2，∴﹣2＜﹣b＜﹣1，又﹣2＜a＜3，∴﹣4＜a﹣b＜2，故B不正確；C．∵a＞b＞0，∴，又∵m＞0，∴；D．雖然5＞2，﹣1＞﹣2，但是﹣5＜﹣4，故D不正確．綜上可知：正確答案為C．故選C．3．已知集合P={0，m}，Q={x|2x2﹣5x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠?，則m等于（）A．2 B．1 C．1或2 D．1或【考點】集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題．【分析】先求出集合P，然后根據(jù)P∩Q≠?，則集合P中含有集合Q的元素，從而求出m的取值．【解答】解：Q={x|2x2﹣5x＜0，x∈Z}={x|0＜x，x∈Z}={1，2}集合P={0，m}，P∩Q≠?，集合P中含有集合Q的元素，∴m=1或2故選C4．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，則△ABC的形狀為（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【考點】三角形的形狀判斷．【分析】根據(jù)正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，利用兩角和公式化簡求得sinA的值進(jìn)而求得A，判斷出三角形的形狀．【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，A=，故三角形為直角三角形，故選：A．5．在等差數(shù)列{an}中，若a3+a5+2a10=4，則此數(shù)列的前13項的和等于（）A．8 B．13 C．16 D．26【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得a7=1，再由等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)可得S13=13a7，代值計算可得．【解答】解：∵在等差數(shù)列{an}中a3+a5+2a10=4，∴2a4+2a10=4，∴a4+a10=2，∴2a7=2，解得a7=1，∴數(shù)列的前13項的和S13===13a7=13×1=13，故選：B．6．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，則角B的值為（）A． B． C．或 D．或【考點】余弦定理的應(yīng)用．【分析】通過余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形內(nèi)，進(jìn)而求出B．【解答】解：由∴，即∴，又在△中所以B為或故選D7．若ax2+x+a＜0的解集為?，則實數(shù)a取值范圍（）A．a(chǎn)≥ B．a(chǎn)＜ C．﹣≤a≤ D．a(chǎn)≤﹣或a≥【考點】一元二次不等式的解法．【分析】理解題意，即該不等式無實解．【解答】解：∵ax2+x+a＜0的解集為?，∴8．設(shè){an}（n∈N*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．d＜0 B．a(chǎn)7=0C．S9＞S5 D．S6與S7均為Sn的最大值【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】利用結(jié)論：n≥2時，an=sn﹣sn﹣1，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各選項，排除錯誤答案．【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，故B正確；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d=a7﹣a6＜0，故A正確；而C選項S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由結(jié)論a7=0，a8＜0，顯然C選項是錯誤的．∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6與S7均為Sn的最大值，故D正確；故選C．9．在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且A=30°，a=1．現(xiàn)在給出下列四個條件：①B=45°；②b=2sinB；③c=；④2c﹣b=0；若從中選擇一個條件就可以確定唯一△ABC，則可以選擇的條件是（）A．①或② B．②或③ C．③或④ D．④或①【考點】正弦定理．【分析】對于①，由正弦定理可得b，利用三角形內(nèi)角和定理可求C，滿足條件的三角形有1個；對于②，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知當(dāng)時，B有兩解，滿足條件的三角形有2個；對于③，由正弦定理可得sinC，結(jié)合范圍可求C的值有兩解，故不正確；對于④，利用余弦定理即可整理解得唯一確定的c，b，滿足條件的三角形有1個．【解答】解：∵A=，a=1．對于：①B=，由正弦定理可得：b==，C=π﹣A﹣B=，滿足條件的三角形有1個，故正確；對于：②b=2sinB，B∈（0，），由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知當(dāng)時，即，1＜b＜2時，B有兩解，滿足條件的三角形有2個，故不正確；對于：③c=，由正弦定理可得：sinC==，由C∈（0，），可得：C=或，滿足條件的三角形有2個，故不正確；對于：④2c﹣b=0，可得：b=，由余弦定理可得：1=（）2+c2﹣××c，整理解得：c=，b=2，滿足條件的三角形有1個，故正確；故選：D．10．已知圓的半徑為4，a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc=16，則三角形的面積為（）A．2 B．8 C． D．【考點】正弦定理．【分析】先根據(jù)正弦定理求得sinC=代入三角形面積公式根據(jù)abc的值求得答案．【解答】解：∵=2R=8，∴sinC=，∴S△ABC=absinC=abc=×16=．故選C11．各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比q≠1，且a2，，a1成等差數(shù)列，則的值為（）A． B． C． D．或【考點】等差數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的通項公式．【分析】設(shè){an}的公比為q（q＞0且q≠1），由已知可解得q，而=，代入即可．【解答】解：設(shè){an}的公比為q（q＞0且q≠1），由a3=a2+a1，得q2﹣q﹣1=0，解得q=，而===故選B12．設(shè)a，b∈R，定義運算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正數(shù)a、b、c、d滿足ab≥4，c+d≤4，則（）A．a(chǎn)∧b≥2，c∧d≤2 B．a(chǎn)∧b≥2，c∨d≥2 C．a(chǎn)∨b≥2，c∧d≤2 D．a(chǎn)∨b≥2，c∨d≥2【考點】函數(shù)的值．【分析】依題意，對a，b賦值，對四個選項逐個排除即可．【解答】解：∵a∧b=，a∨b=，正數(shù)a、b、c、d滿足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，b=4，則a∧b≥2錯誤，故可排除A，B；再令c=1，d=1，滿足條件c+d≤4，但不滿足c∨d≥2，故可排除D；故選C．二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13．已知數(shù)列{an}的通項公式為an=，則其前n項的和Sn=．【考點】數(shù)列的求和．【分析】利用裂項法可得an=2（﹣），從而可得其前n項的和Sn的值．【解答】解：∵an==2（﹣），∴Sn=a1+a2+…+an=2[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=2（﹣）=1﹣=．故答案為：．14．下面是一道選擇題的兩種解法，兩種解法看似都對，可結(jié)果并不一致，問題出在哪兒？[題]在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若△ABC有兩解，則x的取值范圍是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C.D.[解法1]△ABC有兩解，asinB＜b＜a，xsin45°＜2＜x，即，故選C．[解法2]，．△ABC有兩解，bsinA＜a＜b，，即0＜x＜2，故選B．你認(rèn)為解法1是正確的（填“解法1”或“解法2”）【考點】進(jìn)行簡單的演繹推理．【分析】若a＜b，則A＜B，結(jié)合B=45°，可得△ABC只有一解，故可得結(jié)論．【解答】解：解法1正確∵若a＜b，則A＜B，∵B=45°，∴△ABC只有一解，故解法2不正確故答案為：解法115．已知f（x）=，則f（）+f（）+…f（）+f（1）+f（2）+…+f+f（）=2，從而求出答案．【解答】解：f（x）=，f（）==，∴f（x）+f（）=2，∴f（）+f（）+…f（）+f（1）+f（2）+…+f+f+f+f（2）]+f（1）=2×2015+1=4031，故答案為：4031．16．對正整數(shù)m的3次冪進(jìn)行如下方式的“分裂”：仿此規(guī)律，若m3的“分裂”中最小的數(shù)是211，則m的值是15．【考點】歸納推理．【分析】首先發(fā)現(xiàn)奇數(shù)的個數(shù)與前面的底數(shù)相同，再看出每一組分裂中的第一個數(shù)是底數(shù)×（底數(shù)﹣1）+1，問題得以解決．【解答】解：由23=3+5，分裂中的第一個數(shù)是：3=2×1+1，33=7+9+11，分裂中的第一個數(shù)是：7=3×2+1，43=13+15+17+19，分裂中的第一個數(shù)是：13=4×3+1，53=21+23+25+27+29，分裂中的第一個數(shù)是：21=5×4+1，…發(fā)現(xiàn)奇數(shù)的個數(shù)與前面的底數(shù)相同，每一組分裂中的第一個數(shù)是底數(shù)×（底數(shù)﹣1）+1，∴153，分裂中的第一個數(shù)是：31=15×14+1=211，∴若m3的“分裂”中最小的數(shù)是211，則m的值是15．故答案為：15．三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或或演算步驟）17．設(shè)函數(shù)f（x）=mx2﹣mx﹣1（1）若對一切實數(shù)x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范圍．（2）若對一切實數(shù)m∈[﹣2，2]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求x的取值范圍．【考點】函數(shù)恒成立問題．【分析】（1）當(dāng)m=0時，f（x）=mx2﹣mx﹣1=﹣1，對一切實數(shù)x，f（x）＜0恒成立；當(dāng)m≠0時，若對一切實數(shù)x，f（x）＜0恒成立，則有，由此能求出m的取值范圍．（2）由f（x）＜﹣m+5，知（x2﹣x+1）m﹣6＜0，由對一切實數(shù)m∈[﹣2，2]，f（x）＜﹣m+5恒成立，知只需2（x2﹣x+1）﹣6＜0，解得﹣1＜x＜2．由此能求出x的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)m=0時，f（x）=mx2﹣mx﹣1=﹣1，對一切實數(shù)x，f（x）＜0恒成立；當(dāng)m≠0時，若對一切實數(shù)x，f（x）＜0恒成立，則有，∴﹣4＜m＜0，綜上，m的取值范圍是（﹣4，0]．（2）∵f（x）＜﹣m+5，∴mx2﹣mx﹣1＜﹣m+5，∴（x2﹣x+1）m﹣6＜0，∵對一切實數(shù)m∈[﹣2，2]，f（x）＜﹣m+5恒成立，且x2﹣x+1＞0，∴只需2（x2﹣x+1）﹣6＜0，解得﹣1＜x＜2．∴x的取值范圍是（﹣1，2）．18．在等差數(shù)列{an}中，已知第10項等于17，前10項的和等于80．從該數(shù)列中依次取出第3項、第32項…第3n項，并按原來的順序組成一個新數(shù)列{bn}．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求Tn．【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（I）利用等差數(shù)列的通項公式及其求和公式即可得出．（Ⅱ），再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由已知，設(shè){an}公差為d，∵第10項等于17，前10項的和等于80，則，解得a1=﹣1，d=2，∴an=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3．（Ⅱ），∴Tn=b1+b2+…bn=2（3+32+…+3n）﹣3n==3n+1﹣3n﹣3．19．某機床廠今年年初用98萬元購進(jìn)一臺數(shù)控機床，并立即投入生產(chǎn)使用，計劃第一年維修、保養(yǎng)費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費用比上一年增加4萬元，該機床使用后，每年的總收入為50萬元，設(shè)使用x年后數(shù)控機床的盈利額為y萬元．（Ⅰ）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）從第幾年開始，該機床開始盈利（盈利額為正值）．【考點】數(shù)列與函數(shù)的綜合；函數(shù)模型的