中考數(shù)學專項復習：圓（知識歸納+題型突破）（十一大題型176題）（解析版）

第二十四章圓（知識歸納+題型突破）

課標要求

基礎知識歸納

題型一垂徑定理及其應用

題型二圓心角、弦、

題型三圓周角定理及其應用

第二十四章圓

（知識歸納+題型突破）

題型五直線與圓的位置關系

重要題型題型六切線的性質和判定

題型七三角形的外心和外接圓

題勤I三角形的內心和內切圓

題型九正多邊形和圓

題型十扇形面枳和弧長計算

題型十一圓錐及其側面展開圉

課標要求

1.理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念;探索并掌握點與圓的位置關系.

2.探索并證明垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧.

3.探索圓周角與圓心角及其所對弧的關系，知道同弧（或等?。┧鶎Φ膱A周角相等。了解并證明圓周角定理

及其推論：圓周角等于它所對弧上的圓心角的一半；直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是

直徑；圓內接四邊形的對角互補.

4.了解三角形的內心與外心.

5.了解直線與圓的位置關系，掌握切線的概念（例75）.

6.能用尺規(guī)作圖:過不在同一直線上的三點作圓;作三角形的外接圓、內切圓;作圓的內接正方形和內接正六

邊形.

7.*能用尺規(guī)作圖:過圓外一點作圓的切線（例76）.

8.*探索并證明切線長定理:過圓外一點的兩條切線長相等.

9.會計算圓的弧長、扇形的面積.

10.了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關系.

基礎知識歸納

一、圓的基本性質

1.與圓有關的概念和性質

(1)圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成

的圖形.如圖所示的圓記做。0.

(2)弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過

圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內最長的弦.

(3)?。簣A上任意兩點間的部分叫做弧，小于半圓的

弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.

(4)圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.

(5)圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個

交點的角叫做圓周角.

(6)弦心距：圓心到弦的距離.

知識點二：垂徑定理及其推論

2.垂徑定理及其推論

定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論

(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；

(2)弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

延伸

根據(jù)圓的對稱性，如圖所示，在以下五條結論中：

①弧AC=?BC;②弧AD=MBD；③AE=BE;④AB，CD;⑤CD是直徑.

只要滿足其中兩個，另外三個結論一定成立，即推二知三

?關于垂徑定理的計算常與勾股定理相結合，解題時往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構造直

角三角形.

3.圓心角、弧、弦的關系

定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等.

推論

在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分

別相等.

4.圓周角定理及其推論

(1)定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

(2)推論:

①在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.直徑所對的圓周角是直角.圓內接四邊形的對角互補.

二、與圓有關的位置關系

1.點與圓的設點到圓心的距離為d.

氣點在。。內；(氣點在。。上；(>管點在。外.

位置關系(l)d<r2)d=13)d>iO

位置關系相離相切相交

圖形

2.直線和圓(

的位置關系

公共點個數(shù)0個1個2個

數(shù)量關系d>rd=rd<r

(1)與圓只有一個公共點的直線是圓的切線(定義法).

3.切線的判

(2)到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.

定

(3)經過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

(1)切線與圓只有一個公共點.

4.切線的性

(2)切線到圓心的距離等于圓的半徑.

質

(3)切線垂直于經過切點的半徑.

(1)定義：從圓外一點作圓的切線，這點與切點之間的線段長叫做這點到圓的切線長.

5.切線長(2)切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，兩切線長相等，圓心與這一點的連線平

分兩條切線的夾角.

圖形相關概念圓心的確內、外心的性質

定

△經過三角形各定點的三角形三到三角形的三個頂點的距離相等

6.三角形的圓叫做三角形的外接條垂直平

外接圓圓，外接圓的圓心叫做分線的交

三角形的外心，這個三點

角形叫做圓的內接三

角形

與三角形各邊都相切到三角形到三角形的三條邊的距離相等

的圓叫三角形的內切三條角平

7.三角形的圓，內切圓的圓心叫做分線的交

內切圓三角形的內心，這個三點

角形叫圓的外切三角

形

三、正多邊形和圓

1.正多邊形與圓

(1)正多邊形的有關概念：邊長(a)、中心(0)、中心角(NA0B)、半徑(R))、邊心距(r),如圖所示①.

(2)特殊正多邊形中各中心角、長度比:

中心角=120。中心角=90。中心角=60。，ABOC為等邊△

a:r:R=2:l:2a:r:R=2::2a:r:R=2:2

四、弧長和扇形面積的計算

1..弧長和扇形面積的計算

nnrimr11/

扇形的弧長1=180；扇形的面積S=360=5'

2.圓錐與側面展開圖

(1)圓錐側面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長.

(2)計算公式：

圓錐S側==7trl,S=?rr(1+r)

注：易與勾股定理聯(lián)系，先求母線長，再求面積

重要題型

題型一垂徑定理及其應用

【例1】(2023?北京西城?北師大實驗中學?？既?如圖，AB,CD(非直徑)為。。的兩條弦，A3與

交于點M,請從①AB為。。直徑；②M為8中點；③B為C。中點；中選擇兩個作為題設，余下的一

個作為結論組成一個真命題，并完成證明.

【答案】見解析

【分析】分三種情況分別進行推理論證即可.

【詳解】（1）知①，②推③：如圖，連接。C、OD,

?.?oc=a>,M為。中點，

OMLCD,

.：AB為C。中垂線，

；AB為。。直徑，

BC=BD,

所以8為弧C￡）中點，

（2）知①③推②：如圖，連接OC、OD、BC、BD,

,.,8為CO中點,

/.BC=BD,

又丁OC=OD,

.〔OB為8的中垂線，

.1M為8中點

（3）知②③推①：如圖，連接OC、OD、BC、BD,

：8為CZ）中點,

?*-BC=BD,

BC=BD,

為CD中點，

AB1CD,

為CD中垂線，

即A8為圓。直徑.

【點睛】此題考查了垂徑定理及其推論，等腰三角形的判定和性質、線段垂直平分線的判定和性質等知識，

熟練掌握相關判定和性質是解題的關鍵.

【例2】（2023?全國?九年級專題練習）如圖，某隧道的截面是一個半徑為3.4米的半圓形，一輛寬3.2米的

廂式卡車（截面是長方形）恰好能通過該隧道，則這輛卡車的高為多少米？

【分析】過。作于E,根據(jù)垂徑定理求出BE,根據(jù)勾股定理求出OE即可.

【詳解】解：過。作于E,

貝UNOEB=90。，AB=DC=3.2米，

由垂徑定理得：AE=B￡=1x3.2=1.6（米）,

在RtABEO中，NBEO=90°,3E=1.6米，OB=3.4米，

由勾股定理得：OE=^OB2-BE1=V3.42-1.62=3（米），

即這輛卡車的高為3米.

【點睛】本題考查的是垂徑定理的應用，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵.

鞏固訓練：

1.（2023秋?河北張家口?九年級統(tǒng)考期末）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了（如圖），其中四塊碎片如圖

所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應該是（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】C

【分析】由三角形有一個外接圓可得答案.

【詳解】解：???要恢復圓形鏡子，則碎片中必須有一段完整的弧，才能確定這條弧所在的圓的圓心和半徑,

只有③符合題意，

故選C

【點睛】本題考查的是根據(jù)殘弧確定殘弧所在圓的圓心與半徑，理解題意是解本題的關鍵.

2.（2023秋?河南新鄉(xiāng)?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在。。中，尺規(guī)作圖的部分作法如下：

（1）分別以弦A2的端點為圓心，適當?shù)拈L為半徑畫弧，使兩弧相交于點

（2）作直線交A3于點N.

若OB=5,ON=3,則AB的長等于（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】c

【分析】OMLON,則AN=3N,在Rt^OBN中，勾股定理求得N3,進而即可求解.

【詳解】解：根據(jù)作圖可得OA/LON,則4V=BN,

在RtZXOBN中，NB=yjOEP-ON-=A/52-32=4

AB=2NB=8,

故選：C.

【點睛】本題考查了作垂線，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握基本作圖是解題的關鍵.

3.（2023年陜西省中考數(shù)學試卷（A卷））陜西飲食文化源遠流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一.圖

②是從正面看到的一個“老碗”（圖①）的形狀示意圖.是。。的一部分，。是AB的中點，連接0。，

與弦A8交于點C,連接0B.已知AB=24cm,碗深CD=8cm,則。。的半徑為（）

.，十0

圖①圖②

A.13cmB.16cmC.17cmD.26cm

【答案】A

【分析】首先利用垂徑定理的推論得出8,AB，AC=BC=-AB=12cm,再設。。的半徑Q4為Rem,

2

則OC=（R-8）cm.在R^OAC中根據(jù)勾股定理列出方程R2=122+（尺-8匕求出R即可.

【詳解】解：；A8是。。的一部分，￡＞是AB的中點，A3=24cm,

:.OD±AB,AC=BC=-AB=Ucm.

2

設O。的半徑04為Rem,則OC-OD-CD=（7?-8）cm.

在RSOAC中，-.-ZOCA=90°,

.-.OA2=AC2+OC2,

R2=122+（R-8）2,

:.R=13,

即的半徑為13cm.

故選：A.

【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理的應用，設。。的半徑。4為Rem,列出關于R的方程是解題的

關鍵.

4.（2022秋?山東濟寧?九年級濟寧學院附屬中學校考期末）如圖，一個底部呈球形的燒瓶，球的半徑為5cm,

瓶內液體的最大深度CD=1cm.則截面圓中弦A3的長為（）cm

【分析】由垂徑定理和勾股定理分別求出A8的長，即可得出答案.

由題意得：OA=OD=5cm,ODLAB,

AC=BC,

CD=1cm,

：.OC=OD-CD=5—1=4（cm）,

在RJACO中，根據(jù)勾股定理得，

AC=A/0A2-0C2=A/52-42=3（cm），

/.AB=2AC=6（cm）,

即截面圓中弦A3的長為6cm,

故選：B.

【點睛】本題考查了垂經定理，勾股定理，解題的關鍵是掌握這些知識點.

5.（2023秋?陜西安康?九年級統(tǒng)考期末）如圖，8為。。的一條弦，直徑A3,CD于點E,連接OC、BC,

若/OCD=30。，CD=4也,則8c的長為（）

A

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】先由垂徑定理求得CE=2若，再由/。8=30。，得出O￡=goc,然后根據(jù)勾股定理求出0C=4,

最后證明△03C是等邊三角形，得出BC=0C=4.

【詳解】解：：直徑于點E,

/.ZOEC=90°,CE=-X4A/3=273,

2

NOCD=30。，

.?.NCOE=60。，OE=-OC,

2

由勾股定理，得O（J2=OE2+CE2,即oc2=[：oc]+（2A/3）2,

OC=4,

OC=OB,

△03C是等邊三角形，

BC=OC=4.

故選：B.

【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，直角三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，熟練掌握垂徑定

理、勾股定理、直角三角形的性質和等邊三角形的判定與性質是解題的關鍵.

6.（2022秋?湖北十堰?九年級十堰市實驗中學校考期中）如圖，當寬為3cm的刻度尺的一邊與圓相切時，

另一邊與圓的兩個交點處的讀圖如圖所示（單位：cm）,那么該圓的半徑為（）

o.

力'IB

01區(qū)過5溺Qo3

c

2525

A.—cmB.——cmC.5cmD.4cm

63

【答案】A

【分析】連接。4，過點。作ODJ_AB于點￡>,由垂徑定理可知，AD=gAB=1（9-1）=4,設。4=廠,

貝UOD=r-3,在RtAOAD中利用勾股定理求出/■的值即可.

【詳解】解：連接。4,過點。作于點

"?OD1.AB,

AD=gAB=~（9—1）=4,

設OA=r,貝ljOD=r-3,

在RbOAD中，

OA2-ODr^AD1,即/一（r一3）。=4?,

解得r=孑25.

6

故選：A.

【點睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵.

7.（2023春?廣東廣州?九年級統(tǒng)考開學考試）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代

勞動人民的智慧，如圖1,點M表示筒車的一個盛水桶.如圖2,當筒車工作時，盛水桶的運行路徑是以

軸心。為圓心.5米為半徑的圓，且圓心在水面上方，若圓被水面截得的弦48長為8米，則筒車工作時,

盛水桶在水面以下的最大深度為（）

圖1圖2

A.2米3米C.4米D.5米

【答案】A

【分析】作8,48于點C,確定盛水桶在水面以下的最大深度即為。的長度，進而結合垂徑定理以及

勾股定理進行計算即可.

作鉆于點C,盛水桶在水面以下的最大深度即為8的長度,

AB=8,

上根據(jù)垂徑定理，AC=BC=4,

"：OA=OD=5,

RSAOC中，OC=J0—AC?=3,

/.CD=OD-OC=2,

，盛水桶在水面以下的最大深度為2米，

故選：A.

【點睛】本題考查垂徑定理的實際應用，理解圓的基本性質，熟練運用垂徑定理是解題關鍵.

8.（2022秋?山東濟寧?九年級濟寧學院附屬中學?？计谀┤鐖D，將半徑為rem的。。折疊，弧A3恰好經

過與A3垂直的半徑0C的中點。，已知弦的長為4vBem,則廠=cm.

c

【答案】8

【分析】延長CO交A3于E點，交。。于點尸，連接。8,由OC與A3垂直，根據(jù)垂徑定理得到￡為A8的

中點，然后利用。是OC的中點和對稱即可求出ORCD、DE的長，從而求出OE,然后由05,OE的長，

根據(jù)勾股定理求出BE的長，進而得出半徑的長.

【詳解】解：延長CO交A3于E點，交。。于點E連接QB,

CE1AB,

；.E為AB的中點,

,/AB=4V15,

/.BE=gA8=2后,

?.?。是0c的中點，OC=r,

CD=OD=—r,OB=r,CF=2OC=2r,

2

根據(jù)對稱的性質可得：

DE=-DF=-\2r--r\=-r,

22（2J4

311

OE=DE-OD=-r——r=-r,

424

在RtZ\OEB中，根據(jù)勾股定理可得：OB=SE2+BE?即r=j+（2V15）2

Ar=8（負值舍去）

故答案為：8.

【點睛】此題考查了垂徑定理，折疊的性質以及勾股定理，在遇到直徑與弦垂直時，常常利用垂徑定理得

出直徑平分弦，進而由圓的半徑，弦心距及弦的一半構造直角三角形來解決問題，故延長CO并連接。8作

輔助線是本題的突破點.

9.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，AB.AC,2C都是。。的弦，OM±AB,ON1AC,垂足分別

為M、N,若MN=1,則BC的長為.

c

【分析】根據(jù)垂直定理得出AN=C7V,AM=BM,根據(jù)三角形的中位線性質得出MN,再求出BC

2

即可.

【詳解】解：ONLAC,垂足分別為/、N、過圓心。，ON過圓心。，

\AN=CN,AM=BM,

:.MN=-BC,

2

MN=1,

BC=2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查了三角形的中位線和垂直定理，能根據(jù)垂徑定理求出AN=QV和=B揚是解題的關

鍵.

10.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）如圖所示，小區(qū)內有個圓形花壇。，點C在弦上，AC=11,BC=21,

【答案】20

【分析】通過作弦心距，構造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理進行計算即可.

【詳解】解：如圖，連接。4,過點。作垂足為。，

；AB是弦，OD±AB,AC=11,BC=21,

：.AD=BD=^（AC+BC）=16,

：.CD=AD-AC=5,

OD=yjoc2-CD2=7132-52=12，

二OA=y/OD^+AEr=,12?+16?=20-

故答案為：20.

【點睛】本題考查垂徑定理的應用，掌握垂徑定理和勾股定理是解決問題的前提，構造直角三角形是正確

解答的關鍵.

H.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）如圖，在。O中，已知是直徑，尸為A8上一點（戶不與A、3兩點重

合），弦MV過尸點，ZNPB=45°.

（1）若AP=2,BP=6,則初V的長為_；

PM2■+-PN2

（2）當尸點在A8上運動時（保持ZWPB=45。不變），則=.

AB2~

【答案】2/!

【分析】（1）作陽，朧于得到=由AP=2,BP=6,得到圓的半徑長，由APOH是等

腰直角三角形，得到OH的長，由勾股定理求出NH的長，即可得到的長.

(2)由PM=MH—PH=NH-OH,PN=NH+PH=NH+OH,得到

PM-+PN1={NH-OH)2+(NH+OH)2=2(NH2+OH2),因止匕O"?十=次。=,得到

PM2+PN2=2OA2,即可解決問題.

【詳解】解：（1）作彼±MN千H,

N

:.HN=MH,

\AP=2,BP=6,

:.AB=AP+PB=^,

:.ON=4,PO=OA-AP=4-2=2f

?.?ZNPB=45。,

「.△POH是等腰直角三角形，

:.OH=—PO=y[i,

2

NH=y/ON2-OH2=714,

MN=2NH=2A/14.

故答案為：2J值.

(2)由(1)知MH=NH,OH=PH,

:.PM=MH—PH=NH—OH,PN=NH+PH=NH+OH,

PM2+PN2=(NH-OH)2+(NH+OH)2=2(NH2+OH2),

OH2+NH2=ON2=Q42,

PM2+PN~=2OA2,

?/BA2=(204)2=4OA2,

,PM2+PN21

"-AB^―2-

故答案為：g.

【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，完全平方公式，關鍵是作輔助線構造直角三角形，應用垂徑定理，

勾股定理來解決問題.

12.(2022秋.安徽淮南.九年級校聯(lián)考階段練習)如圖，過。。內的一點尸畫弦A8,使P是AB中點.(保

留作圖痕跡，不寫畫法)

【答案】見解析

【分析】先作過尸點的半徑，然后過尸點作。尸的垂線交O。于A、B,則A3滿足條件.

【詳解】解：如圖，42為所作.

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基

本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了垂徑定理.

13.（2023秋?河北邢臺?九年級校聯(lián)考期末）“筒車”是一種以水流作動力，取水灌田的工具.如圖，“筒車”

盛水筒的運行軌跡是以軸心。為圓心的圓，已知圓心。始終在水面上方.且當圓被水面截得的弦為6

米時，水面下盛水筒的最大深度為1米（即水面下方部分圓上一點距離水面的最大距離）.

（1）求該圓的半徑；

（2）若水面上漲導致圓被水面截得的弦AB從原來的6米變?yōu)?米時，則水面下盛水筒的最大深度為多少米?

【答案】⑴5米

⑵2米

【分析】（1）作鉆于點E，交。。于點由垂徑定理可得AE=；A2=3,DE=1,再由勾股定理

即可求出圓的半徑;

(2)當AB=8米時，AE=；AB=4米.在Rt^AOE中，由勾股定理可得，AE2+OE2=OA^,則OE=3

米，即可求出DE的長.

【詳解】(1)解：如圖，作于點E,交。。于點D

貝|AE=；A8=3米，OE=1米.

設圓的半徑為廠米，在RtZXAOE中，AE2+OE2=OA^,

：.32+(r-l)2=r2,

解得r=5,

該圓的半徑為5米；

(2)解：當AB=8米時，AE=JA2=4米.

2

在RtAAOE中，AE2+OE2=OA2,

/.42+OE2=52,

：.OE=3米，

Z.DE=5-3=2(米).

答：水面下盛水筒的最大深度為2米.

【點睛】本題考查垂徑定理，熟練掌握垂徑定理的定義并運用是解題的關鍵.

14.(2022秋?山東臨沂?九年級臨沂第九中學?？计谥?筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科

學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1筒車盛水桶的運行軌道是以軸心。為

圓心的圓，如圖2,已知圓心。在水面上方，且。。被水面截得的弦A8為6米，。。半徑長為4米.若

點C為運行軌道的最低點，求點C到弦A3所在直線的距離.

圖1圖2

【答案】點C到弦A8所在直線的距離為（4-b）米.

【分析】連接OC交4B于。，連接。4,根據(jù)垂徑定理得到=根據(jù)勾股定理求出OD,結合圖

形計算，得到答案.

【詳解】解：如圖2,連接OC交A8于。，連接。4,

,?,點C為運行軌道的最低點,

:.OCLAB,43=6米,

AD=^AB=3（:米）,

在RtaOAD中，OD=7OA2-AD2=A/42-32=77（米），

.??點C到弦A3所在直線的距離。。=0（7-0。=（4-近）米,

.,.點C到弦A3所在直線的距離為（4-g）米.

【點睛】本題考查的是垂徑定理的應用，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解

題的關鍵.

15.（2022秋.廣東汕頭.九年級汕頭市龍湖實驗中學校考期中）如圖所示，一裝有部分油的圓柱形油罐的橫

油的最大深度為20cm,

（1）用尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不用證明），找出圓心。；

(2)求該油罐橫截面的半徑.

【答案】(1)見解析

(2)該油罐橫截面的半徑為50cm.

【分析】(1)在橫截面上取一點C,連接AC,作A3、AC的垂直平分線，它們的交點即為圓心。；

(2)如圖，連接。4,O產，AB交A8于E,設該油罐橫截面的半徑為r,求出OE=(r-20)cm,然后在

氐△OAE中，利用勾股定理構建方程，求解即可.

【詳解】(1)解：圓心。的位置如圖所示：

(2)解：如圖，連接Q4,。尸，交A8于E,設該油罐橫截面的半徑為廠，

*.*AB=80cm,

/.AE=—AB=40cm,

2

由題意得：EF=20cm,

OE=(r-20)cm,

在RtZXOAE中，AE2+OE2=O^,

J4()2+(—20)2=/,

解得：r=50,

即該油罐橫截面的半徑為50cm.

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟知垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是

解題的關鍵.

16.(2023?江蘇?九年級假期作業(yè))平面直角坐標系中，點A(2,9)、8(2,3)、。(3,2)、。(9,2)在?P上.

⑴在圖中清晰標出點P的位置；

（2）點P的坐標是，0P的半徑是

【答案】（1）見解析

⑵（6,6）；5

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可知，點尸的坐標是弦A3,8的垂直平分線的交點;

（2）根據(jù)兩點間距離公式求出圓的半徑即可.

【詳解】（1）解：：弦的垂直平分線是V=6,弦8的垂直平分線是x=6,

y=6與x=6的交點即為圓心尸，如圖所示:

（2）解：根據(jù)解析（1）可知，點P的坐標為（6,6）,

0P的半徑為：PA=^（6-2）2+（6-9）2=5,

故答案為：（6,6）；5.

【點睛】本題主要考查了點和圓的位置關系，掌握垂徑定理及其推論，是解決本題的關鍵.

17.（2023?浙江金華?統(tǒng)考中考真題）如圖，點A在第一象限內，04與x軸相切于點與，軸相交于點

C,D.連接AB,過點A作A"J_CD于點H.

(1)求證：四邊形ASM為矩形.

(2)已知。4的半徑為4,08=4，求弦C。的長.

【答案】(1)見解析

⑵6

【分析】(1)根據(jù)切線的性質及有三個角是直角的四邊形是矩形判定即可.

(2)根據(jù)矩形的性質、垂徑定理及圓的性質計算即可.

【詳解】(1)證明：與x軸相切于點8,

ABlx^.

；AHLCD,HOLOB,

：.ZAHO=ZHOB=NOBA=90°,

.,.四邊形AHC將是矩形.

(2)如圖，連接AC.

四邊形AHO3是矩形，

.-.AH=OB=幣.

在RtzMHC中，CH2=AC1-AH-,

:.CH=&-（療了=3.

???點A為圓心，AH1CD,

:.CD=2CH=6.

【點睛】本題考查了矩形的判定，垂徑定理，圓的性質，熟練掌握矩形的判定和垂徑定理是解題的關鍵.

題型二圓心角、弦、弧

【例3】（2023?全國?九年級專題練習）如圖，點A、B、C、。是。。上的點，AD為直徑，AB//OC.

（1）求證：點C平分2￡）.

（2）利用無刻度的直尺和圓規(guī)做出的中點P（保留作圖痕跡）.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【分析】（1）連接OB,因為AB〃OC,得到NOOC=NQ4B,ZCOB=ZOBA,又因為半徑相等，則

NOAB=NOBA,即可證明點C平分8。；

（2）分別以A、2為圓心，大于為半徑，畫弧交于一點，連接該點與圓心交于一點即為A8的中

點尸.

【詳解】（1）證明：如圖，連接。3,

OC//AB,

：.ZDOC=ZOABf/COB=/OBA,

*/OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,

：.ZDOC=ZCOBf

???點。平分BO；

(2)解：如圖所示：點尸為所求：

DC

B

A

【點睛】本題主要考查圓的基本性質以及基本作圖等知識內容，正確掌握基本作圖的方法是解題的關鍵.

鞏固訓練

1.（2022秋?遼寧葫蘆島?九年級校聯(lián)考期中）下列說法正確的是（）

A.相等的圓心角所對的弧相等B.在同圓中，等弧所對的圓心角相等

C.弦相等，圓心到弦的距離相等D.圓心到弦的距離相等，則弦相等

【答案】B

【分析】圓心角、弧、弦、圓心到弦的距離的關系的前提“在同圓和等圓中“，據(jù)此逐項判定即可.

【詳解】解：A、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故此選項不符合題意；

B、在同圓中，等弧所對的圓心角相等，故此選項符合題意；

C、在同圓和等圓中，弦相等，圓心到弦的距離相等，故此選項不符合題意；

D、在同圓和等圓中，圓心到弦的距離相等，則弦相等，故此選項不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦、圓心到弦的距離的關系，解題關鍵是熟練掌握在同圓或等圓中，圓

心角、圓心角所對弧、圓心角所對弦、圓心到弦的距離中有一組量相等，則其余各組量也相等.

2.（2023?陜西西安?西安市慶安初級中學校聯(lián)考模擬預測）如圖，是。。的直徑，點C,。在。。上，

AC^AD,NA8=70。，則/BCO的度數(shù)是（）

A.30°B.35°C.40°D.55°

【答案】B

【分析】首先由AC=AD，/40。=70。可得/40。=/48=70。，再由=可得出

ZOBC=ZOCB=-ZAOC=35°.

2

【詳解】解：:在。。中，AC=AD,ZAOD=JO°

：.ZAOC=ZAOD=70。，

'：OB=OC,

：.NOBC=ZOCB=-ZAOC=35°,

2

故選：B.

【點睛】此題考查了弧與圓心角的關系、等腰三角形的性質及三角形外角的性質，掌握數(shù)形結合思想的應

用是解題的關鍵.

3.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，48是。。的直徑，CD、8E是。。的兩條弦，交A3于點G,

點C是BE的中點，點2是CZ）的中點，若AB=10,BG=2,則BE的長為（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】先根據(jù)垂徑定理的推論得到ABLCD,CD=2CG,再利用勾股定理求出CG=4,進而得到

CD=2CG=8,再證明BE=CO，貝lj3E=CD=8.

【詳解】解：如圖所示，連接OC,

:點3是CO的中點，AB是。。的直徑，

ABA.CD,BC=BD，

：.CD=2CG,

,?AB=10,

/.OC=OB=-AB=5,

2

*/BG=2,

：.OG=3,

在RtACOG中，由勾股定理得CG=Joe?-心=4,

CD=2CG=8,

,點C是BE的中點，

一BC=EC，

??BC=EC=BD，

BE=CD，

：.BE=CD=8,

故選D.

【點睛】本題主要考查了垂徑定理的推論，勾股定理，弧與弦之間的關系，正確作出輔助線構造直角三角

形是解題的關鍵.

4.（2023?河北?統(tǒng)考中考真題）如圖，點心是。。的八等分點.若△陽3四邊形鳥心《鳥的周長分別

為a,b,則下列正確的是（）

P5

A.a<bB.a=bC.a>bD.a,6大小無法比較

【答案】A

［分析］連接AEE，依題意得々鳥=巴鳥=鳥舄=［與，鳥［=片鳥，/明的周長為a=P^+PlP1+P3P1,

四邊形ABIA的周長為6=舄舄+舄累+62+乙2,故6-。=<心+2月一耳A，根據(jù)心鳥的三邊關系即

可得解.

【詳解】連接耳鳥,鳥鳥,

尸5

:點4~月是。。的八等分點，即邛￡=鳥鳥=￡尸4=心心=心月=心2=4尸8=44

；.牝=鳥鳥=2="，P,P6=P4P5+P5P6=PR+站=的

??BE=6月

又V“PF3Pl的周長為。=《月+々片+月片，

四邊形里詛罵的周長為6=△舄+舄M+4片+鳥片，

?*,b-a=（^3^4+B穌+月，+月舄）一（耳￡+44+4，）=（46+片，+6月+6月）一（4月+耳片+月，）

=62+a月-月月

在中有帆+鳥鳥>片鳥

.*.b—a=P[P2+P2P3—PR>0

故選A.

【點睛】本題考查等弧所對的弦相等，三角形的三邊關系等知識，利用作差比較法比較周長大小是解題的

關鍵.

5.（2023?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考二模）如圖，AB是。。的直徑BC=CZ）=r）E，若NCOD=35。,則/AOE的

度數(shù)是（）.

A.35°B.55°C.75°D.95°

【答案】C

【分析】根據(jù)同圓中等弧所對的圓心角相等得到NDOE=N3OC=NCOD=35。，再根據(jù)平角的定義求出

/AOE的度數(shù)即可.

【詳解】解：??.BC=CD=DE，NCOD=35°,

：.ZDOE=ZBOC=ZCOD=35°,

/AOE=180°-NDOE-ZBOC-ZCOD=75°,

故選C.

【點睛】本題主要考查了弧與圓心角的關系，熟知同圓中等弧所對的圓心角相等是解題的關鍵.

6.（2020秋?廣東廣州?九年級廣州市第十三中學?？计谥校┤鐖D，42、C、。是。O上的點，如果AB=CD,

ZAOB=70°,那么NCO￡>=_.

【答案】70。

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦三者的關系可解答.

【詳解】解：???鈿=€?,

Z.COD=ZAOB=1Q°,

故答案為：70°.

【點睛】本題主要考查圓心角、弧、弦三者的關系，解題的關鍵是掌握在同圓或等圓中，①圓心角相等,

②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等.

7.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）如圖，AB是。。的直徑,C是54延長線上一點，點D在。。上，且CD=OE,

8的延長線交。。于點E.若NC=25。，則NCEO度數(shù)為

【分析】根據(jù)CD=OD求出"OC=NC=25。，根據(jù)三角形的外角性質求出N￡DO=NC+NOOC=50。,

根據(jù)等腰三角形的性質求出ZE=ZEDO=50°.

【詳解】解：連接OD.

VCD=OE,OE=OD,

，CD=OD,

'：ZC=25°,

NDOC=NC=25。,

：.Z.EDO=ZC+NDOC=50°,

OD=OE,

ZE=ZEDO=50°.

故答案為：50.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，三角形的外角性質，圓的知識，能求出NODE

的度數(shù)是解此題的關鍵.

8.（2022?廣東湛江?一模）已知41PE,有一量角器如圖擺放，中心。在P4邊上，為0。刻度線，OB為

180?？潭染€，角的另一邊PE與量角器半圓交于C,￡＞兩點，點C,。對應的刻度分別為160。，68°,貝U/4PE

【答案】24

【分析】利用點C，。對應的刻度分別為160。，68°,求出/COD,/COP,再根據(jù)OC=OD求出/OCD,

利用外角的性質得至?。軿OCD=ZCOP+ZAPE,從而得解.

【詳解】解：如圖，連接0。，OC,

根據(jù)題意得，ZAOD=68°,NAOC=160。,

Z.COD=ZAOC-ZAOD=92°,NCOP=180°-ZAOC=20°,

OC=OD,

：.ZOCD=ZODC=|x(180°-ZCOD)=1x(180°-92°)=44°,

??Z.OCD=ZCOP+ZAPE,

ZAPE=ZOCD-ZCOP=24°,

故答案為：24.

【點睛】本題考查等邊對等角，三角形外角的定義與性質，圓心角等知識，根據(jù)刻度找出相應的圓心角并

計算其他角度是解題的關鍵.

9.(2023秋?河北邢臺?九年級校聯(lián)考期末)如圖，是的直徑，BC=CD，NCOD=50。，求N48的

度數(shù).

【分析】根據(jù)圓的性質進行計算即可得.

【詳解】解：在。。中，48是。。的直徑,

:.ZAOB=180°,

又：BC=CD，

：.ZBOC=NCOD=5。。,

ZAOD=180°-50°-50°=80°.

【點睛】本題考查了圓的性質，解題的關鍵是掌握同弧所對的圓心角相等.

10.(2022秋?江蘇揚州?九年級儀征市第三中學校考階段練習)如圖，在。。中，弦A3與弦C￡＞相交于點E,

且AB=CD.求證：CE=BE.

【答案】見解析

【分析】由弧、弦、圓心角的關系進行證明，結合等角對等邊，即可得到結論成立.

【詳解】證明：?.?AB=CD,

AB=CD，

AB-BC=CD-BC，

即AC=BD，

,\ZB=ZC,

BE=CE；

【點睛】本題考查了弧、弦、圓心角的關系，解題的關鍵是掌握所學的知識進行證明.

11.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）如圖所示，AB.CD是。O的兩條弦，且AC=8D,則A8與8的大小

有什么關系？為什么？

【分析】連接4。，利用圓心角、弧、弦的關系解答即可.

【詳解】解：相等.

?*-AC=BD,BC=BC，

AB=CD，

：.AB=CD.

【點睛】此題考查圓心角、弧、弦的關系，關鍵是根據(jù)圓心角、弧、弦的關系解答.

12.（2023?湖北武漢?校考模擬預測）如圖A3為圓。的直徑，AE為圓。的弦，C為。上一點，AC=CE，

CD1AB,垂足為D

c

B

-----------------/E

(1)連接CO,判斷CO與AT?的位置關系，并證明；

⑵若AE=8,BD=2,求圓。的半徑；

【答案】(DCOLAE,證明見詳解

(2)5

【分析】(1)COVAE,理由如下：延長CO交AE于點G,連接OE,再根據(jù)圓的基本性質及等腰三角形

的性質即可；

(2)由(1)中結論，COLAE,AG=jAE=4,先證明AAGO也ACDO(AAS),再根據(jù)勾股定理即可.

【詳解】(1)解：COVAE,理由如下：

延長CO交AE于點G,連接。E,

AC=CE，

:.ZAOC=ZCOE,

ZAOG=180°-ZAOC,ZGOE=180°-ZEOC,

ZAOG=ZGOE,

■.■OA^OE,

:.CO±AE-,

(2)解：由(1)中結論，CO±AE,AG=-AE=4,

2

ZAGO=ZCDO=90°,ZAOG=ZCOD,AO=CO,

△AGO^ACDO(AAS),

AG=CD=4,

設。。的半徑為r,則。D=r—2,OC=r,

在RtACDO中，CD?+OD2=OC2，即4?+(r-2)2=r2,

解得：廠=5,即。。的半徑為5.

【點睛】本題考查圓的基本性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用數(shù)

形結合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型.

題型三圓周角定理及其應用

【例4】（1）（2023?江蘇連云港?校聯(lián)考三模）如圖，已知：四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，4

B、O是小正方形頂點，的半徑為1,尸是O。上的點，且位于右上方的小正方形內，則等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【分析】根據(jù)圓周角定理求解即可.

【詳解】ZAPB=-ZAOB=45°,

2

故選：B.

【點睛】本題考查圓周角定理，熟記同圓中一條弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半是解題的關鍵.

（2）（2023秋?山西大同?九年級統(tǒng)考期末）如圖，為。。的直徑，點在圓上且在直徑的兩側,

若/&1C=25。，則/O的度數(shù)為（）

A.40°B.45°C.65°D.75°

【答案】C

【分析】連接BC,由圓周角定理即可求出一。的度數(shù).

【詳解】解：連接BC,

/ACS=90。，

二ZCBA=90°-ZBAC=90°-25°=65°,

ZD=NCBA=65°.

故選：C.

【點睛】本題考查圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關鍵.

【例5】（2022秋?山西呂梁?九年級?？茧A段練習）如圖，48是。。的直徑，弦CE平分/ACB交。。于點

E.交于點。.連接AE、BE,ZBEC=60°,AC=6.

⑴求四邊形ACBE的面積；

（2）求CE的長.

【答案】⑴36+18由⑵3夜+3面

【分析】（1）四邊形ACBE的面積可以分為兩部分，分別求解兩部分三角形的面積，即可求解;

（2）作根據(jù)直角三角形的性質，分別求得CF,EF,即可求解.

【詳解】（1）解：是。。的直徑，

二ZACB=ZAEB=90°,

又：弦CE平分NACB,

ZACE=ZBCE=45°,

AE=BE,

AABE是等腰直角三角形，

ZBEC=60°,

：.ZBAC=60°,

：.ZABC=30°,

AB=2AC=12,

由勾股定理得3C=JAB2_3C2=66,

AE2+BE2=AB2，解得AE=aE=60，

S.fir=-ACxBC=18^/3,SARF=-AEXBE=36,