中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：瓜豆原理（含答案解析）

瓜豆原理一一主從動(dòng)點(diǎn)問題

初中數(shù)學(xué)有一類動(dòng)態(tài)問題叫做主從聯(lián)動(dòng)，有的老師叫他瓜豆原理，也有的老師叫他旋轉(zhuǎn)相

似這類問題在解答的時(shí)候需要有軌跡思想，就是先要明確主動(dòng)點(diǎn)的軌跡，然后要搞清楚主

動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，進(jìn)而確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡來(lái)解決問題.

瓜豆原理：一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)從動(dòng)點(diǎn)（根據(jù)某種約束條件，跟著主動(dòng)點(diǎn)動(dòng)），當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)

動(dòng)時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)的軌跡相同.（古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線,

謂之“瓜豆原理”.）

滿足條件：

1.兩動(dòng)一定；

2.動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線夾角是定角；

3.動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比值是定值.

結(jié)論：若點(diǎn)。為定點(diǎn)，NPOQ為定角a,為定值k,則點(diǎn)Q與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑相同.

方法：第一步：找主動(dòng)點(diǎn)的軌跡；

第二步：找從動(dòng)點(diǎn)與主動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系；

第三步：找主動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)；

第四步：通過相似確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡，

第五步：根據(jù)軌跡確定點(diǎn)線、點(diǎn)圓最值.

“瓜豆原理”其實(shí)質(zhì)就/構(gòu)造旋轉(zhuǎn)、相似.

涉及/知識(shí)和方法：

知識(shí)：①相似；②三角形的兩邊之和大于第三邊；③點(diǎn)到直線之間的距離垂線段最短；④

點(diǎn)到圓上點(diǎn)共線有最值.

位似型（主從一線）

①點(diǎn)0為定點(diǎn)，點(diǎn)P在定直線1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q為線段0P的中點(diǎn)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡

②點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)P在定圓00上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q為線段AP的中點(diǎn)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡

p

Q

旋轉(zhuǎn)型（。。在OP繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a的方向）

③點(diǎn)0為定點(diǎn)，/P0Q=a且，點(diǎn)P在定直線1（定圓。M）上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡

模型一：位似型

例1：

1.如圖,，，點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，則線段的取值范圍為.

【答案】242-1<AM<2y/2+1

【解析】

【分析】連接，取的中點(diǎn)，連接，先根據(jù)三角形中位線定理可得，再根據(jù)勾股定理、

直角三角形的性質(zhì)可得，然后分三種情況，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系、線段的和差即可

得.

【詳解】解：如圖1,連接，取的中點(diǎn)，連接,

B

圖1

點(diǎn)為線段中點(diǎn)，

是的中位線，

:.MN=-BC=-x2^\,

22

QZBAD=90°,AB^AD=4,

BD=y/AB2+AD2=472，

又點(diǎn)為的中點(diǎn)，

.-.AN=-BD=242,

2

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)不共線時(shí)，

由三角形的三邊關(guān)系得：，

即2y[2-l<AM<2>/2+1;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)共線，且點(diǎn)位于點(diǎn)中間時(shí),

則AM=A7V+M/V=2V^+1;

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)共線，且點(diǎn)位于點(diǎn)中間時(shí),

B

則=—M2V=20—1;

綜上，線段的取值范圍為,

故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線、勾股定理等知

識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，利用到三角形中位線定理是解題關(guān)鍵.

變式1一1:

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，半徑為2,P為上任意一點(diǎn)，E是PC的中點(diǎn)，則

0E的最小值是

D.72

【答案】B

【解析】

【分析】如圖，連接AC,取AC的中點(diǎn)H,連接EH,OH利用三角形的中位線定理

可得EH=1,推出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以H為圓心半徑為1的圓.

【詳解】解：如圖，連接AC,取AC的中點(diǎn)H,連接EH,OH.

?/CE=EP,CH=AH,

EH=-PA=1,

2

點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以H為圓心半徑為1的圓，

?.?C（0,4）,A（3,0）,

.-.H（1.5,2）,

.-.OH=A/22+1.52=2.5?

的最小值，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，正確尋找點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考選

擇題中的壓軸題.

變式1-2:

3.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,D是以點(diǎn)A為圓心，4

為半徑的圓上一點(diǎn)，連接BD,M為BD的中點(diǎn)，則線段CM長(zhǎng)度的最大值..）

A.14B.7C.9D.6

【答案】B

【解析】

【分析】作AB的中點(diǎn)E,連接EM、CE、AD,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半以及三角形的中位線定理求得CE和EM的長(zhǎng)，然后在中根據(jù)三邊關(guān)系

即可求解.

【詳解】解：作AB的中點(diǎn)E,連接EM、CE、AD,

在直角中，

是直角斜邊AB上的中點(diǎn)，

/.CE=-AB=5,

2

,.?M是BD的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，

ME=-AD=2,

2

???在中，，即，

???最大值為7,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、三角形的中位線定理、勾股定理、直角三

角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識(shí)，熟練掌握綜合運(yùn)用各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)

鍵.

變式1—3:

4.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm,點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)D和點(diǎn)C出發(fā)，沿著射線

DA、射線CD運(yùn)動(dòng)，且DE=CF,直線AF、直線BE交于H點(diǎn).

5C

（1）當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)D向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中：

①求證：AF±BE；

②在圖中畫出點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)路徑并求出點(diǎn)“運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)；

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中：

①線段DH長(zhǎng)度的最小值為.

②線段DH長(zhǎng)度的最大值為.

【答案】（1）①見解析；②3冗；（2）①.②.

【解析】

【分析】（1）①證明4ABE絲ADAF,運(yùn)用互余原理證明即可；

②根據(jù)NAHB=90°,且AB是定長(zhǎng)，判定點(diǎn)H在以AB為直徑的圓上，且H可以與

M,B重合即運(yùn)動(dòng)路徑是一段優(yōu)弧，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可；

（2）①根據(jù)圓的性質(zhì)，當(dāng)0,H,D共線，且H在0,D之間時(shí)最短，根據(jù)勾股定理

計(jì)算即可.

②根據(jù)圓的性質(zhì)，當(dāng)0,H,D共線，且H在0,D之外時(shí)最長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理計(jì)算

即可.

【詳解】（1）①???四邊形ABCD是正方形，

/.AB=DA=CD,ZBAE=ZADF=90°,

VDE=CF,

.,.AE=DF,

工AABE^ADAF,

二NABE=NDAF,

VZABE+ZAEB=90°,

.,.ZDAF+ZAEB=90°,

/.ZAHE=90°,

：.AF±BE；

②點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)路徑畫圖如下，

VZAHB=90o,且AB是定長(zhǎng)，

...點(diǎn)H在以AB為直徑的圓上，且H可以與M,B重合即運(yùn)動(dòng)路徑是一段優(yōu)弧，

設(shè)AB的中點(diǎn)為點(diǎn)0,連接BD,設(shè)BD的中點(diǎn)為點(diǎn)M,連接0M

ZB0M=90°,

VAB=4,

???圓的半徑為2,

...弧長(zhǎng)為衛(wèi)嗡*

=3兀;

（2）①根據(jù)圓的性質(zhì)，當(dāng)0,H,D共線，且H在0,D之間時(shí)最短，當(dāng)H與點(diǎn)G重

合時(shí)，最短，

VAD=4,A0=2,

:，DO=JAO+AD?=A/22+42=2亞；

，DH=D0-0G=,

故答案為：.

②根據(jù)圓的性質(zhì)，當(dāng)0,H,D共線，且H在0,D之外時(shí)最大，當(dāng)H與點(diǎn)Q重合時(shí),

最大，

VAD=4,A0=2,

?*-DO=y/ACP+AD2=A/22+42=2??；

/.DH=D0+0Q=,

故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，圓的基本性質(zhì)，圓的定義，三角形的

全等判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用正方形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用弧長(zhǎng)公式和圓的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

變式1-4:

5.如圖，在直角坐標(biāo)系中，。人的半徑為2,圓心坐標(biāo)為（4,0）,y軸上有點(diǎn)B

（0,3）,點(diǎn)C是。A上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，則OP的范圍是.

37

【答案】-<OP<-

22

【解析】

【分析】如圖，在y軸上取一點(diǎn)，連接，，由勾股定理求出=5,由三角形中位線定理

求=2OP,當(dāng)C在線段上時(shí)，的長(zhǎng)度最小值=5-2-3,當(dāng)C在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，的長(zhǎng)度最

大值=5+2=7,即可求解.

【詳解】如圖，在y軸上取一點(diǎn)，連接,，

VB(0,3),,A(4,0),

二妙=532+42=5,

二?點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，

：.BP=PC,

?，，

...B'C=2OP,

當(dāng)C在線段上時(shí)，的長(zhǎng)度最小值為：5-2=3,

當(dāng)C在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，的長(zhǎng)度最大值為：5+2=7,

故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，三角形中位線定理,勾股定理等知識(shí),

添加恰當(dāng)?shù)妮o助線是解答本題的關(guān)鍵.

變式1-5:

6.如圖，點(diǎn)P(3,4),6P半徑為PA(2.8,0),B(5.6,0),點(diǎn)M是。P上的

動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是MB的中點(diǎn)，則AC的最小值是.

3

【答案】-##1.5

2

【解析】

【分析】

【詳解】如圖，連接OP交。P于M',連接OM.

?點(diǎn)P(3,4),A(2.8,0),B(5.6,0),

.*.0P=A0=2.8,0B=5.6,

，AB=5.6-2.8=2.8,

.\OA=AB,

又：CM=CB,

，AC=OM,

.?.當(dāng)OM最小時(shí),AC最小，

.?.當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到M'時(shí),OM最小，

此時(shí)AC的最小值=0M'=(OP-PM,)=.

考點(diǎn)：1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；2.坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；3.三角形中位線定理

變式1—6:

7.如圖，在等腰Rt4ABC中，AC=BC=,點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M

為PC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn).沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為

【答案】兀

【解析】

【分析】取AB中點(diǎn)O,連接OP,OC,取OC中點(diǎn)D,連接MD,由勾股定理可得的

長(zhǎng)度，由三角形中位線定理可知，可以推出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的半

圓.

如圖所示，取AB中點(diǎn)0,連接OP,0C,取0C中點(diǎn)D,連接MD,

?.?為等腰直角三角形，

AB=^AC~+BC~==4，

:.OP=-AB=2,

2

:.MD=-OP=1,

2

由題意可知，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)D為圓心，以1為半徑的半圓，

點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)，

故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡、點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)所形成的的圓形為點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡、等

腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理、圓的周長(zhǎng)的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，

解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，正確尋找點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.

變式1-7:

8.如圖，AB為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，其中AB=8,ZAOC=120°,P為。

0上的動(dòng)點(diǎn)，連AP,取AP中點(diǎn)Q,連CQ,則線段CQ的最大值為.

【答案】2a+2

【解析】

【分析】連接作于H,得到點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AO為直徑的，連接CK,當(dāng)點(diǎn)Q在

CK的延長(zhǎng)線上時(shí),CQ取得最大值，

在中，

在中，即可求出線段CQ的最大值.

【詳解】連接OQ,作于H,

4。=尸。,得到。。，4h

二NAQO=90。,點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AO為直徑的?K，連接CK,

當(dāng)點(diǎn)Q在CK的延長(zhǎng)線上時(shí)，CQ取得最大值，

在中，

在中，

線段CQ的最大值為：

【點(diǎn)睛】考查垂徑定理，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，難度較大，得到點(diǎn)Q

的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AO為直徑的是解題的關(guān)鍵.

模型二:全等旋轉(zhuǎn)型

例2：

9.如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知A(4,0)，點(diǎn)B為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AB,

以AB為一邊向下做等邊△ABC,連接OC,則OC的最小值為.

【答案】2

【解析】

【分析】以O(shè)A為對(duì)稱軸，構(gòu)造等邊三角形ADF,作直線DC,交x軸于點(diǎn)E,先確

定點(diǎn)C在直線DE上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短計(jì)算即可.

【詳解】如圖，以O(shè)A為對(duì)稱軸，構(gòu)造等邊三角形ADF,作直線DC,交x軸于點(diǎn)E,

「△ABC,4ADF都是等邊三角形，

，AB=AC,AF=AD,ZFAC+ZBAF=ZFAC+ZCAD=60°,

/.AB=AC,AF=AD,ZBAF=ZCAD,

/.△BAF^ACAD,

ZBFA=ZCDA-120°,

.*.Z0DE=Z0DA=60o,

...N0ED=30°,

.\0E=0A=4,

???點(diǎn)C在直線DE上運(yùn)動(dòng)，

...當(dāng)OCJ_DE時(shí)，OC最小,

此時(shí)OC=OE=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判斷，三角形的全等判定和性質(zhì)，垂線段

最短，熟練掌握三角形全等和垂線段最短原理是解題的關(guān)鍵.

變式2—1:

10.如圖，正方形ABCD中，AB=2,O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)

點(diǎn)，OE=2,連接DE,將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DF,連接AE、

CF.則線段OF長(zhǎng)的最小值為.

【答案】.

【解析】

【分析】連接DO,將線段DO繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DM,連接OF,FM,OM,

證明△￡口()名△FDM,可得FM=OE=2,由條件可得OM=5,根據(jù)OF+MF2OM,

即可得出OF的最小值.

【詳解】解：如圖，連接DO,將線段DO繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DM,連接OF,

FM,OM,

VZEDF=Z0DM=90°,

.".ZED0=ZFDM,

VDE=DF,DO=DM,

/.△EDO^AFDM(SAS),

.,.FM=0E=2,

?.?正方形ABCD中，AB=2,0是BC邊的中點(diǎn)，

，0C=,

.*.0D==5,

.*.0M==5,

VOF+MF^OM,

...OFN,

..?線段OF長(zhǎng)的最小值為.

故答案為：.

BOC

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系，

熟練掌握并準(zhǔn)確應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

變式2—2:

H.如圖，。。的半徑為1,點(diǎn)P是。O上的一點(diǎn)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)A(—4,0)逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)Q,則點(diǎn)P在。。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之運(yùn)動(dòng)，連接OQ.求當(dāng)點(diǎn)

P在。O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求OQ的最小值.

【答案】3

【解析】

【分析】將AO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AB,易證△ABO是等邊三角形，將AP

繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AQ,易證AAPQ是等邊三角形，易證^APO絲4AQR,

得到QB=PO=1,點(diǎn)Q滿足了到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)，從而確定點(diǎn)Q的軌跡是以B

為圓心，以1為半徑的圓，根據(jù)圓的基本性質(zhì)可以確定OQ的最小值.

【詳解】?.?點(diǎn)A(-4,0),

/.0A=4,

如圖，將A0繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AB,

；AB=AO,Z0AB=60°,

/.△ABO是等邊三角形，

.*.0A=0B=4,

將AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AQ,

,.,AP=AQ,ZPAQ=60°,

/.△APQ是等邊三角形，

AZ0AP+ZPAB=ZQAB+ZPAB=60°,

ZOAP=ZQAB,

工AAPO^AAQB,

，QB=PO=1,

...點(diǎn)Q滿足了到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)，

.?.點(diǎn)Q的軌跡是以B為圓心，以1為半徑的圓，

根據(jù)圓的基本性質(zhì)，得當(dāng)B,Q,0三點(diǎn)一線時(shí)，0Q取得最小值，

此時(shí)0Q=0B-BC=4-l=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，圓的定

義和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用圓的定義和

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式2—3:

12.如圖，A是。B上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在。B外，已知AB=2,BC=4,4ACD是

等邊三角形，則的面積的最大值為?.)

A.4+4B.4C.4+8D.6

【答案】A

【解析】

【分析】以BC為邊向上作等邊三角形BCM,連接DM,證明得到，分析出點(diǎn)D的

運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)M為圓心,DM長(zhǎng)為半徑的圓，在求出點(diǎn)D到BC的最大距離，即可

求出面積最大值.

【詳解】解：如圖，以BC為邊向上作等邊三角形BCM,連接DM,

■:ZDCA=ZMCB=60°,

工，即

在和中，

DC=AC

<ZDCM=ZACB,

MC=BC

：.ADCM=AACB（5AS）,

：.DM^AB=2,

???點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，DM長(zhǎng)為半徑的圓,

要使面積最大，則求出點(diǎn)D到線段BC的最大距離，

???是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，

...點(diǎn)M到BC的距離是，

.?.點(diǎn)D到BC的最大距離是，

???的面積最大值是.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓的問題，解題的關(guān)鍵是利用構(gòu)造全等三角形找到動(dòng)

點(diǎn)D的軌跡圓，再求出圓上一點(diǎn)到定線段距離的最大值.

變式2—4:

13.如圖，正方形ABCD中，AB=3cm,以B為圓心，1cm長(zhǎng)為半徑畫。B,點(diǎn)P

在。B上移動(dòng)，連接AP,并將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AP，,連接

BP'.在點(diǎn)P移動(dòng)的過程中，BP'長(zhǎng)度的最小值為cm.

【答案】372-1

【解析】

【分析】通過畫圖發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)路線為以D為圓心，以1為半徑的圓，可知:

當(dāng)P'在對(duì)角線BD上時(shí)，BP，最小，先證明APAB四△P，AD,則P，D=PB=1,再

利用勾股定理求對(duì)角線BD的長(zhǎng)，則得出BP，的長(zhǎng).

【詳解】如圖，

當(dāng)P'在對(duì)角線BD上時(shí)，BP'最小，

連接BP,

由旋轉(zhuǎn)得：AP=AP',NPAP'=90°,

...NPAB+NBAP'=90°,

?.?四邊形ABCD為正方形，

，AB=AD,NBAD=90°,

.?./BAP'+ZDAPZ=90°,

...NPAB=NDAP',

??.△PAB^AP7AD,

/.P,D=PB=1,

在RtZiABD中，VAB=AD=3,

由勾股定理得：BD=,

.?.BP'=BD-P'D=3T,

即BP'長(zhǎng)度的最小值為（3-1）cm.

故答案為（3-1）.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和最小值問題，尋找點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)

軌跡是本題的關(guān)鍵，通過證明兩三角形全等求出BP，長(zhǎng)度的最小值最小值.

變式2—5:

14.如圖，正方形ABCD中，AB=2,0是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)

點(diǎn)，0E=2,連接DE,將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DF,連接AE、

CF.則線段OF長(zhǎng)的最小值為.

【答案】.

【解析】

【分析】連接DO,將線段DO繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DM,連接OF,FM,OM,

證明△￡口€）之△FDM,可得FM=OE=2,由條件可得OM=5,根據(jù)OF+MF2OM,

即可得出OF的最小值.

【詳解】解：如圖，連接DO,將線段DO繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DM,連接OF,

FM,OM,

VZEDF=Z0DM=90°,

.,.ZED0=ZFDM,

VDE=DF,DO=DM,

.,.△EDO^AFDM（SAS）,

/.FM=0E=2,

二?正方形ABCD中，AB=2,0是BC邊的中點(diǎn)，

.,.oc=,

0D==5,

0M==5,

VOF+MF^OM,

...0F2,

線段OF長(zhǎng)的最小值為.

故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系，

熟練掌握并準(zhǔn)確應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

模型三:相似型旋轉(zhuǎn)

例3

15.在平面直角坐標(biāo)系中,，過點(diǎn)B作直線BC〃x軸，點(diǎn)P是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

以AP為邊在AP右側(cè)作，使，且，連結(jié)AB.BQ,則周長(zhǎng)的最小值為.

【答案】2+2而

【解析】

【分析】先證明△AOBs/\APQ,得到，由△OAP5BAQ,得至BQ=2OP,進(jìn)而得到.

作O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)O',連接,PO',則OP=OP,AO二根據(jù)兩邊之和大于第三邊

即可得到，從而得到答案.

【詳解】如圖所示.連接OP

在中，.

AP:PQ=1:y/3

:.AQ^2AP

又在中,

.OA_PA

一而一而

又ZAOB=ZAPQ=90°

:.^AOB~^APQ

,ZOAB=ZPAQ,

ZOAP=ZBAQ

:.^OAP~ABAQ

,BQ^AQ=2

"OP~AP~1

BQ=2OP.

V0A=l.0B=,/.AB=

-CAABQ=AB+AQ+BQ=2+2AP+20P=2+2(AP+OP)

又P為直線上的動(dòng)點(diǎn).

...作0關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)O',

.--0(0,2^),

連接,P0'.

.\OP=O'P,A0'=,

：.AP+OP=AP+PO'>AO=V13

(CABg)min=2+2y/13

即的最小值為.

故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是把AABQ周長(zhǎng)的最小

值轉(zhuǎn)化為求AP+OP的最小值.

變式3—1:

16.如圖，矩形ABCD中，AB=4.B.=3.E為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為邊向右作正

方形DEFG,連接CF,則CF的最小值為.

【答案】5&

【解析】

【分析】方法一：因?yàn)辄c(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)瓜豆原理可知從動(dòng)點(diǎn)F在一條

直線上運(yùn)動(dòng)，找出這條直線根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短即可求出CF的最小值.

方法二：依題意，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，以為邊作正方形；同理當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，作正

方形；故點(diǎn)在與間運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，可得最??；

【詳解】方法一：解：如圖，在BA延長(zhǎng)線上取點(diǎn)M,使AM=AD,

?.?在矩形ABCD中，，

?.?在正方形DEFG中，，

AZEDF=ZMDA,,

AEDA~&FDM

：.ZFAdD=ZEAD=90°,

，點(diǎn)F在過M點(diǎn)垂直DM的直線MN上，

故CF的最小值為點(diǎn)C到直線MN的距離；

過點(diǎn)C作，MN,過D點(diǎn)作DHL,

...四邊形是矩形，

HF'=DM=拒AD=3直，

?，，

ZHDA=ZHDC=45°,

???是等腰直角三角形，

CD=叵HC，

HC=—CD=—x4=2近,

22

/.CF'=HC+HF'=2^2+3^2=542

故答案為.

方法二：如圖：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，以為邊作正方形；同理當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，作正方

形；

過點(diǎn)作，

,又；

又為矩形，；

/.NDBC=NRBH

在AF[HB和ABCD中

ZDBC=NF&H

<NBCD=NF[HB=90°

BF[=BD

AF[HBsABCD

CD=RH=4,y.AD=BC=3

CF}=JB//2+（耳H+AD）2=J72+32=辰.

同理可得。耳=而；，"片=研=4；耳6=40；

當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的最大范圍，又依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，點(diǎn)在與間運(yùn)動(dòng),

且當(dāng)時(shí)，可得最小;

工CF==5A/2；

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查正方形及直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在尋找等量關(guān)系及其最小值的

位置.

變式3—2:

17.如圖，在AABC中，AB=AC=5,BC=.,D為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（B點(diǎn)除外），

以CD為一邊作正方形CDEF,連接BE,則線段BE的取值范圍為

【答案】6A/2<BE<3A/10

【解析】

【分析】以BC為斜邊向BC下方作等腰直角三角形BPC,連接EC.PD,由正方形的

性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)易得△BCEs/\PCD,則有，則把問題轉(zhuǎn)化為求PD的

取值范圍，過點(diǎn)P作PGLBE于點(diǎn)G,連接AP交BC于點(diǎn)H,進(jìn)而易得，則有，最后

問題可求解.

【詳解】解：以BC為斜邊向BC下方作等腰直角三角形BPC,連接EC、PD,如

圖所示：

/.NBCP=45°,BC=叵PC,

?.?四邊形DCFE是正方形，

，/DCE=NBCP=45°,,

/.△BCE^APCD,

BE=y[2PD，

則把問題轉(zhuǎn)化為求PD的取值范圍，過點(diǎn)P作PGJ_BE于點(diǎn)G,連接AP交BC于點(diǎn)H,

'：AB=AC=5,BP=PC,

，AP垂直平分BC,

VBC=,

:.BH=CH=PH=25

AH7AB2—BH?=也,

/.AP=3石,sinZGAP=—=—=疲

APAB5

???PG=^-AP=6,

5

?；D為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（B點(diǎn)除外），

/.6<PD<3A/5,

/.6A/2<BE<3M；

故答案為.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)及正方形的性質(zhì)，熟練

掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式3—3:

18.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1.E為邊BC上動(dòng)點(diǎn)，將AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得

到線段EF,M為DE的中點(diǎn)，連接MF,則MF的最小值為

【答案】上

10

【解析】

【分析】方法一：應(yīng)用瓜豆原理得到F點(diǎn)的軌跡，利用三垂直模型可得F點(diǎn)在射線

CF上，ZFCB=135°,構(gòu)造RtZiMPF求PF長(zhǎng)即可解答.

方法二：將AE繞E點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得線段EF,因?yàn)镋是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，故

F是一條線段的動(dòng)點(diǎn)，利用三垂直模型可得F點(diǎn)在射線CF上，ZFCB=135°,構(gòu)造

RtAMPF求PF長(zhǎng)即可解答.

方法三：構(gòu)造一線三直角模型，建立直角坐標(biāo)系，運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式，用二次

函數(shù)思想確定最小值即可.

【詳解】方法一：連接AC,AF,CF,A點(diǎn)是定點(diǎn),E,F動(dòng)點(diǎn)，

"：AE=EF,AE±EF,

.*.ZEAF=45O,,

在正方形ABCD中，NBAC=45°,,

ZBAE=ZBAC-ZEAC,NCAF=/EAF-NEAC,

???ZBAE=