中考數(shù)學復習：最值問題（胡不歸）練習（解析版）

中考數(shù)學專題復習最值問題（胡不歸）練習

1.如圖，在44BC中，乙4=90。，ZB=60°,2B=2,若。是BC邊上的動點，則22。+DC的

最小值（）

A."2.y[3+6B.6C.+3D.4

【答案】B

【分析】

作點A關(guān)于BC的對稱點A',連接AA',A'D,過D作DELAC于E,易得2DE=CD,AD=A'D,從

而得出AD+DE=A'D+DE,當A',D,E在同一直線上時，AD+DE的最小值等于A'E的長是

3,進而求出2AD十CD的最小值.

【解析】

如圖所示，作點A關(guān)于BC的對稱點A',連接AA',A'D,過D作DELAC于E

ZBAC=90°,ZB=60。，AB=2

.*.BH=1,AH=V3,AA，=273，ZC=30。

ADE=|CD,即2DE=CD

VA與A'關(guān)于BC對稱

/.AD=A'D

AAD+DE=A'D+DE

.,.當A',D,E在同一直線上時

AD+DE的最小值等于A'E的長，

在RtaAA'E中：A'E=sin60°XAA，=^X2V3=3

...AD十DE的最小值為3

.,.2AD十CD的最小值為6

故選B

【點睛】

本題主要考察了三角形的動點最值問題，做完輔助線后先求出AD+DE的最小值是解題關(guān)鍵.

2.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)_7=爐-2為+。的圖象與x軸交于力、C兩點，與y

軸交于點方（0,-3）,若夕是x軸上一動點，點〃（0,1）在y軸上，連接被則正外+"

的最小值是（）

A.4B.2+2V2C.2V2D.|+|V2

【答案】A

【分析】

過點尸作PJIBC于J,過點〃作DH1BC于H.根據(jù)&P0+PC=V2(PD+孝PC)=&

(PD+PJ),求出DP+P/的最小值即可解決問題.

【解析】

解：過點尸作5呢于/過點、D悴DH1BC千H.

，.,二次函數(shù)產(chǎn)=x?-2x+c的圖象與p軸交于點￡(0,-3),

c--3,

二次函數(shù)的解析式為尸下-2x-3,令尸0,Xs-2x-3=0,

解得x=-1或3,

：.A(-1,0),B(3,0),

OB=OC=3,

,：ZBOC^90°,

：.ZOBC=ZOCB=^°,

,：D(0,1),

：.OD=\,BD=4,

■:DH上BC,

:"DHB=9G,

設(shè)DH=x,則BH=x,

\"DH2+BH2=BD2,

.".x2+x2=42,

.'.%=2V2>

:.DH=2四,

'JPJLCB,

：.^PJC=90°,

：.P]=^1PC,

回。+PC=&(P。+孚PC)=V2(PD+PJ)，

\'DP+PJ>DH,

：.DP+PJ>2y/2,

.?.以HY的最小值為2&,

.,?V^PD+PC的最小值為4.

故選：A.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解

題的關(guān)鍵是學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

3.如圖，正方形和5的邊長為4,點￡為邊力〃上一個動點，點夕在邊切上，且線段露=4,

點G為線段露的中點，連接加、CG,則應核曲的最小值為.

【分析】

因為的=手郎=2,所以G在以。為圓心，2為半徑圓上運動，取W=l,可證△0/s△5￡

從而得出然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得出的是其最小值

【解析】

：.DG=^EF=2,

...點G在以〃為圓心，2為半徑的圓上運動,

在切上截取。/=1,連接G/,

?DI_-G_l

**~DG~~CD~2,

：.ZGDI=ACDG,

:.XGDIs^cDG,

.IG__DI_1

**CG-DG-2)

：.IG=^CG,

：.BG*G=BG+IG》BI,

...當￡、G、/共線時，BG總CG最小=BL

在Rt△式7中，67=3,比=4,

.,.87=5,

故答案是：5.

【點睛】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓的概念，求得點G的運動軌跡是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，歐中，/BAC=75°,/ACB=6G°,AC=4,則△力歐的面積為二點〃點￡,

點尸分別為陽AB,"'上的動點，連接應，EF,FD,則△比F的周長最小值為一

BDc

備用圖

【答案】6+2遮3V2+V6

【分析】

(1)過點力作力于〃根據(jù)/切片75°,N460°,即可得到

(2)過點￡作切上〃于/作點〃關(guān)于力￡的對稱點瓶點尸關(guān)于況1的對稱點兒連接做

BN,BJ,MN,MN交AB于F,交灰;于〃，此時△跳7D'的周長=威的長，然后證明△為W

是等腰直角三角形，砌的值最小時，腑的值最小，再根據(jù)垂線段最短可知，當BF與BJ童合

時，題的值最小，由此求解即可.

【解析】

解：①如圖，過點力作力此理于〃

：.AAHB=AAH(=^°,

,：ZBAC=7^>°,ZC=Q0°,

：.ZB=180°-ABAC-Z<7=45°,ZHAC=30°

:.B生AH,HC=|T1C=2

,,AH=、AC?—HC?~2

:.AH=BH=2W，

：.BC=BHVCH=2^2,

：.SAABC=^BC'AH=^(2V3+2).百=6+26.

②如圖，過點s作于/作點尸關(guān)于四的對稱點必點尸關(guān)于理的對稱點兒連接

BM,BN,BJ,MN,MN交AB于F,交BC于D,此時△殛7D'的周長=就的長.

'：BF=BM=BM,ZABM=AABJ,/CBJ=/CBN,

：.4MBN=2/ABC=90°,

△囪W是等腰直角三角形，

???砌的值最小時，可的值最小，

根據(jù)垂線段最短可知，當"與"重合時，砌的值最小，

2SAABC_12+4V3

.?."V的最小值為員7=3^^+V6>

???△西的周長的最小值為3金+份.

故答案為：6+2g,3V2+V6.

【點睛】

本題主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，

垂線段最短，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.

5.如圖，在邊長為4的正方形力M2內(nèi)有一動點A且BP=^.連接四將線段空繞點夕逆

時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段內(nèi)連接徵DQ,則9/修的最小值為

【答案】5

【分析】

連接必AQ,先證明△區(qū)W△力％得票;挈即四=2,在四上取力￡=1,證明△的0

WEQ=^QD,故2Ms=砌々》綏求出6F即可.

【解析】

解：如圖，連接44AQ,

?.?四邊形力￡切是正方形，氣繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段尸0,

：.ZACB=ZPCQ=^°,

AZBCP=AACQ,cos/ACB=^=絲,cosZPCQ=^=^,

ylc2QC2

/ACB=/PCO,

:.XBCPsXACQ,

?.?-A-Q=_y-[-2

BP2

"：BP=^Z，

：.AQ=2,

...0在以月為圓心，N0為半徑的圓上,

在49上取力￡=1,

,嚼=4—/QAE=/DAQ,

:.ZQAESXDAQ,

?嚼=抑國=加

：.^DQ^CQ=ENCgCE,

連接CE,

CE=7DE2+CD2=5,

孤？W的最小值為5.

故答案為：5.

【點睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)，解題的關(guān)

鍵在于能夠連接力乙AQ,證明兩對相似三角形求解.

6.如圖，皿BCD中，ZDAB=30°,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動點，則2PB+PD的最小

值等于.

AB

【答案】6

【分析】

過點P作PELAD交AD的延長線于點E,根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得至UAB//CD,推出

PE=|PD,由此得到當PB+PE最小時2PB+PD有最小值，此時P、B、E三點在同一條直線上，利

用NDAB=30°,ZAEP=90°,AB=6求出PB+PE的最小值=1AB=3,得到2PB+PD的最小值等于

6.

【解析】

過點P作PE±AD交AD的延長線于點E,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

，AB〃CD,

.\ZEDC=ZDAB=30°,

1

.,.PE=jPD,

V2PB+PD=2(PB+|PD)=2(PB+PE),

.?.當PB+PE最小時2PB+PD有最小值，此時P、B、E三點在同一條直線上，

VZDAB=30°,ZAEP=90°,AB=6,

APB+PE的最小值=|AB=3,

A2PB+PD的最小值等于6,

故答案為：6.

匕

【點睛】

此題考查平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形含30°角的問題，動點問題，將線段2PB+PD轉(zhuǎn)化為

三點共線的形式是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在平面直角坐標系中，直線/分別交x、p軸于反。兩點，點4C的坐標分別為

(3,0)、(0,-3),且/次方=60°,點夕是直線,上一動點，連接仍叫4P+苧PC的最小

值是

【分析】

作NOC滬120°,過點尸作尸6工。于點G,利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理

求得陷爭C當爾P、G在同一直線時，陰苧除陰陷力G的值最小，再利用含30度角的

直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解.

【解析】

解：,點4C的坐標分別為(3,0)、(0,-3),

：.OA=3,0(=3,

作N06層120°,

?：/OCB=60°,

典\/0CB=//FCS,

過點尸作PG：四于點G,如圖：

c(^-PC,由勾股定理得陷務C,

，2

：.AP^POA^PG,

2

當力、P、G在同一直線時，力上陷力G的值最小,

延長4G交y軸于點F,

'：ZFCG=&0°,ZCG/^9Q°,

：.ZCFG=3Q°,

:.C百2CG,GP^CF,

2

在欣△處尸中，ZA0^9Q°,N如4=30°,

:.A斤20A=6,01^^30A=3V3?

：.O^OI^O(=3y/3-3,

：.G唱(3V3-3)=|-竽，

：.AG=A/^FG=6_23V323V3,

2+2=2+2

即仍爭仁的最小值為I+竽.

故答案為：汽漁.

【點睛】

本題考查了坐標與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，作出合適的輔助線，

得到當爾P、。在同一直線時，加喑陷ARP能加的值最小是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，直線尸x-3分別交x軸、y軸于反力兩點，點C(0,1)在y軸上，點尸在x軸

上運動，則遮夕什必的最小值為一.

【答案】4

思路引領(lǐng)：過尸作如，惑于〃依據(jù)△力如是等腰直角三角形，可得N胡行N力及=45°=

ZBPD,進而得到△薇0是等腰直角三角形，故如二當陽，當C,P,〃在同一直線上時，

CD1AB,心功的最小值等于垂線段切的長，求得切的長，即可得出結(jié)論.

答案解析：如圖所示，過戶作于〃

,直線尸￡-3分別交x軸、y軸于82兩點，

令x=0,貝Uy=-3；令y=0,則x=3,

：.A(0,-3),B(3,0),

:?AO=BO=3,

又?.?//如=90°,

△力必是等腰直角三角形，

：.ZBAO=ZABO=45°=4BPD,

：.△應W是等腰直角三角形，

：.^2.PaPB=^2.（"+當心）=V2QPC+PD）,

當GP,〃在同一直線上，即々a力￡時，通功的值最小，最小值等于垂線段切的長,

此時，△25是等腰直角三角形，

即爪49的最小值為2魚，

，魚尸田刃的最小值為魚x272=4,

故答案為：4.

9.如圖，矩形眼切中力6=3,BC=陋,￡為線段相上一動點，連接陽則“￡+"的最小

【答案】3

思路引領(lǐng)在射線四的下方作N例6=30°,過點￡作￡7,加于T,過點。作皿加于H.易

證￡7=*￡，推出/加歐=儂￡72幽求出紡即可解決問題.

答案解析：???四邊形力時是矩形，

：.ZB=90°,

：.tanZCAB=—=^-,

AB3

：.ZCAB=3Q°,

：.AC=2BC=2^3,

在射線49的下方作/例6=30°,過點￡作￡7工力〃于T,過點。作幽L4/于H.

,：ETVAM,N￡4T=3O°,

D

T'、、

9：ZCAH=60°,N或=90。,AC=2小

：.CH=AC-si^°=2V3x^=3,

^AE+EC=CE+ET^CH,

：.^AE+EC^3,

.,?9*歐的最小值為3,

故答案為3.

10.如圖，四邊形2版是菱形，AB=8,且N［優(yōu)'=60°,〃為對角線加（不含方點）上任意

【分析】

如圖，過點力作力7T6C于7,過點、M作MHLBC千H,根據(jù)菱形的性質(zhì)和30°角的直角三角形

的性質(zhì)可得肥/=也我于是可得4冊3我的最小值即為NT的長，再利用解直角三角形的知識求

解即可.

【解析】

解：如圖，過點力作”，理于。過點〃作的吐和于〃

?四邊形力反力是菱形，/ABC=60°,

AADBC=^AABC=3Qa,

,：MHVBC,:./BHMS,

1

：.A^BM=AM^MH,

'：ATVBC,:./ATB=9Q°,

.\AT=AB,sir\QQ°=4g,

'：AT,

:.AM^M44W，

1

，血介那24班，

冊例的最小值為4遮，

故答案為：4百.

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)、30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短以及解直角三角形等知識,

屬于?？碱}型，熟練掌握上述知識、明確解答的方法是解題關(guān)鍵.

11.ZAOB=30°,OM=2,〃為加上動點，求他+［勿的最小值.

【答案】V3

思路引領(lǐng)：作/BON=/AOB=30°,過點〃作此工加于點C,交加于點〃'，當此工加時,

（此時點）即為點切掰9+義勿=帆。的值最小，最小值是?/的長，

答案解析：如圖，

作/B0N=/A0B=3G°,過點〃作必L卯于點C,交加于點〃，

所以當航工加時，（此時點）即為點切

物+1勿=帆切的值最小，最小值是的長，

...在班△(%￥中，Z0MC=3Q°,0M=2

：.CM=V3.

答：切的最小值為VI.

12.如圖，在平面直角坐標系中，直線L：尸爭十板和直線4：y=-gx+S相交于y軸上

的點B,且分別交X軸于點A和點C.

(1)求△力優(yōu)1的面積；

(2)點￡坐標為(5,0),點尸為直線,上一個動點，點夕為y軸上一個動點，求當露+6F

最小時，點〃的坐標，并求出此時用十孝。的最小值.

【答案】(1)SAAB(=2^3-,(2)點尸坐標為(1,竽)；/+孝利的最小值為呼+乎.

【分析】

(1)根據(jù)乙的解析式可得從￡坐標，把點￡坐標代入尸-gx+b可求出6值，進而可得

出點。坐標，即可求出力C、陽的長，利用三角形面積公式即可得答案；

(2)如圖，作點。關(guān)于直線,的對稱點C',連接E,交,于尸，根據(jù)"B、。坐標可得

△力比'是直角三角形，可得點C在直線人上，根據(jù)兩點間距離公式可得出C坐標，可得

C￡為露+6F的最小值，利用待定系數(shù)法可得出直線￡的解析式，聯(lián)立直線?！昱c《解

析式即可得出得尸的坐標；作二、四象限對角線4過點尸作尸于G交y軸于己可得

NG0M5°,可得陷*OP,可得產(chǎn)。為所+當8的最小值，過點尸作軸，交心于0,

可得△々的為等腰直角三角形，可得陷烏叔，由人的解析式為尸-x及點6的坐標可得點。坐

標，進而可得附的長，即可得咫的長，可得答案.

【解析】

(1),:L：y=￥x+V^，

當A=0時，y=V3>當尸0時，A=-3,

：.A(-3,0),B(0,V3))

，.,點1直線L-y=-gx+b上,

*'?b=y[3,

，直線/2的解析式為尸-Wx+W，

當7=0時，A=l,

(1,0),

：.A(=4,0代痘,

：.SAAB(^AC-OB=|x4xV3=2V3.

(2)如圖，作點。關(guān)于直線4的對稱點0,連接0E,交乙于修

'：A(-3,0),B(0,y/3),C(1,0),

：.Aff=(-3)-+(V3)2=12,BC=Y-+(V3)2=4,A^=4'-=16,

'：AC-=Aff+BC-,

...△N歐是直角三角形，

.?.點C在直線人上，

..?點。與點C'關(guān)于直線4的對稱，

CC=204,

設(shè)點C(勿，-V3?+V3-)

)2+(-V3?+V3)2=42,

解得：0/7=-1,勿,=3,

???點0在第二象限，

J7F-1,

-V3?+V3=2V3

?:FC=FC；

上EF+FC',

...當C、F、￡三點共線時)+少的值最小，

設(shè)直線C￡的解析式為尸Ax+4

-f—k+b=2V3

?'I5k+b=0'

k=—叵

解得:匕=遙，

3

直線￡的解析式為y=—爭+竽,

y=-受+竽

聯(lián)立直線0￡與乙解析式得

y=亨％+V3

'x=1

解得:

y葉

AF（L公）.

3

如圖，作二、四象限對角線人，過點歹作用工人于G,交y軸于修過點6作園，x軸，交，

于Q,

直線的解析式為尸-右/GO六45°,

.?.△aw是等腰直角三角形，

：.PG^HOP,

2

:.G、P、6三點共線時，陽+孝。的值最小，最小值為用的長,

■：/G0六45°,N尸修90°,

，N成份45°,

.?.N閥345°,

.?.△我笫是等腰直角三角形，

:.F代FQ,

2

VFCL竽)，直線人的解析式為產(chǎn)，，

.?.0(1,-1),

：.FQ=^H-(-1)

33

陷幻0返X(±^+1)=亞+正，

22332

本題考查一次函數(shù)的綜合、軸對稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線,

熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及軸對稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

13.如圖，矩形O4BC的頂點2、C分別在％、y軸的正半軸上，點B的坐標為(2①4),一次函數(shù)

y=一爭+5的圖象與邊。C、AB、X軸分別交于點。、E、F,2。/。=30。,并且滿足。D=BE,

點M是線段DF上的一個動點.

(1)求匕的值；

(2)連接。M,若/ODM的面積與四邊形。2EM的面積之比為1:3,求點M的坐標；

(3)求。M+^MF的最小值.

【答案】(1)b=3；(2)(3)|

【分析】

(1)利用矩形的性質(zhì)，用b表示點E的坐標，再利用待定系數(shù)法即可求解；

(2)首先求出四邊形(MED的面積，再根據(jù)條件求出aODM的面積，即可解決問題；

(3)過點M作MN_L%軸交于點N,則。M+2MF=OM+MN,即可轉(zhuǎn)化為求。M+MN的最小

值，作點。關(guān)于一次函數(shù)的對稱點O,過點。，作X軸的垂線交%軸于點M,交一次函數(shù)于點M,

即。M+MN的最小值為。W，，算出長度即可.

【解析】

(1)在)/=一冷％+b中，令％=0,則y=b,

???點D的坐標為(0力),

OD=BE,B(2V3,4)-

.-?EQMA-b),

把E(2低4-b)代入y=—凈%+b中得：4-b=-^x2V3+&-

解得：b=3；

(2)由⑴得一次函數(shù)為y=一爭+3,￡)(0,3),￡,(273,1)，

??.0D=3,AE=1,0A=2^3，

???S四邊形OADE-次。。+也.。2="X(3+1)x=4存

???/ODM的面積與四邊形。2EM的面積之比為1:3,

???/ODM的面積與四邊形O4DE的面積之比為1:4,

S&ODM~四邊形0ADE—V3>

設(shè)點M的橫坐標為a,則"3。=后

解得：。=竽，

把％=竽代入、=一當為+3中得：y=

???時(竽,9;

如圖所示，過點M作MN1%軸交于點N,

???Z.DFO=30°,

MN/MF,

1

OM+^MFOM+MN,

作點。關(guān)于一次函數(shù)的對稱點。,且〃。'與直線）7交于。點，過點O作久軸的垂線交%軸于點

N',

OM-O'M,

OM+=OM+MN=O'M+MN,

當O、M、N在同一直線時OM+MN最小，

即。M+2MF=0M+MN=O'M+MN的最小值為。

???乙DFO=30°,

ZODF=60°,^DOQ=30°,NO'OM=90°—30°=60°,

在RtaOOQ中，0Q=。。-sin60°=3x苧=竽，

00'—20Q-3遙，

在Rt△ONO中.O'N'=。。6也60°=3ax立=J

22

...OM+aMF的最小值為，

【點睛】

本題考查幾何圖形與函數(shù)的綜合題，包括一次函數(shù)、矩形的性質(zhì)、四邊形的面積，解直角三角

形以及胡不歸問題，屬于中考壓軸題.

14.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+"+c的圖象經(jīng)過點力（-1,0）,B（0,

-V3）＞C（2,0）,其對稱軸與x軸交于點〃

（1）求二次函數(shù)的表達式及其頂點坐標；

（2）點〃為拋物線的對稱軸上的一個動點，若平面內(nèi)存在點兒使得以4B,M,"為頂點的

四邊形為菱形，求點〃的坐標；

（3）若夕為y軸上的一個動點，連接加，求處的最小值.

【答案】（1）T魚-92-竽，-竽）；（2）（i,孕或（1,—￥）或（1,-V3+

2，8N8，2N2N

巫）或（，一取一叵）或（/一隹）；（3）巫

2/2Z64

思路引領(lǐng)：（1）將從B、。三點的坐標代入尸a/+6x+c,利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)

的表達式，進而得到其頂點坐標；

（2）當以4B,M,"為頂點的四邊形為菱形時，分三種情況：①以力為圓心26為半徑畫弧

與對稱軸有兩個交點，此時4/=48②以方為圓心為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，此時

BM=AB；③線段力方的垂直平分線與對稱軸有一個交點，此時4/=幽分別列出方程，求解即

可；

（3）連接力￡,作DH1AB于H,交如于尸，此時白濟外最小.最小值就是線段應，求出血

即可.

a—b+c=0

答案解析：（1）由題意c=-V3,解得

4。+2b+c=0

???拋物線解析式為y=爭二爭—W，

,:y=』—叵xf=叵（X，）2—"

22v228

...頂點坐標（，一竽）；

（2）設(shè)點〃的坐標為弓，y）.

,：A（-1,0）,B（0,-V3）-

，冊=]+3=4.

①以力為圓心力￡為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，此時AM=AB,

則4+1）2+尸=4,解得尸土?，

即此時點〃的坐標為4，g）或《，一寫）；

②以方為圓心力笈為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，此時BM=AB,

則0）2+（y+V3）2=4,解得_7=—再+半或曠=一百一半

即此時點〃的坐標為（，一班+華）或（］一板—字）；

③線段4方的垂直平分線與對稱軸有一個交點，此時AM=BM,

則弓+1）2+必=（1）2+（y+V3）2,解得y=—洛

N/6

即此時點〃的坐標為"，一半）.

乙6

綜上所述，滿足條件的點〃的坐標為號約或弓，一馬或（1,—6+字）或

乙N乙N乙N乙

—四一字）或（1,一號）；

LN6

（3）如圖，連接陽作朗，居于〃交0B于P,止匕時也濟外最小.

1

：.PH=^PB,

：.^PB^PD=PH^PD=DH,

，此時全濟電（最短（垂線段最短）.

在中，?：/AHD=90°,AD=§/物〃=60°,

?,「八。DH

..sin60=—）

：.DH=旭,

4

.?.切外物的最小值為乎.

15.在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)y=a%2（a>o）的圖象向右平移1個單位，再向下平移2

個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與%軸交于點4B（點4在點B的左側(cè)），。4=1,

經(jīng)過點4的一次函數(shù)y-kx+b（k豐0）的圖象與y軸正半軸交于點C,且與拋物線的另一個交點

為D,44BD的面積為5.

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；

(2)拋物線上的動點E在一次函數(shù)的圖象下方，求44CE面積的最大值，并求出此時點E的坐標

(3)若點P為久軸上任意一點，在⑵的結(jié)論下，求PE+/2的最小值.

【答案】⑴y=#T—|；y=1x+|；(2)/"E的面積最大值是此時E點坐標為G，—同；

(3)PE+|PZ的最小值是3.

【分析】

(1)先寫出平移后的拋物線解析式，再把點4(-1,0)代入可求得a的值，由的面積為5可

求出點。的縱坐標，代入拋物線解析式可求出橫坐標，由4。的坐標可利用待定系數(shù)法求出一

次函數(shù)解析式；

⑵作EM||y軸交2D于M,如圖，利用三角形面積公式，由=S/ME—S^CME構(gòu)建關(guān)于￡

點橫坐標的二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；

(3)作E關(guān)于%軸的對稱點F,過點F作于點”，交%軸于點P,貝【」

乙BAE=LHAP=LHFE,利用銳角三角函數(shù)的定義可得出EP+|aP=FP+HP,此時FH最小,

求出最小值即可.

【解析】

解：(1)將二次函數(shù)y=a/(a>0)的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到的拋

物線解析式為y=a(x—l)2-2,

'：OA=I,...點z的坐標為(一1,0),

代入拋物線的解析式得，4a-2=0,/.a=i

???拋物線的解析式為y=|(%一1尸一2,即y=1%2—x-1.

令y=0,解得％i=—1,無2=3,AB(3,0),

：.AB=OA+OB=4,

?.?/ZBD的面積為5,：.SAABD=^AB-yD^S,：.yD=1,

代入拋物線解析式得，|=解得巧=—2,久2=4,...D(4,|),

設(shè)直線的解析式為y=kx+b,

4k+b=l,解得:

—k+b=0

**?直線力D的解析式為y=暴+,

(2)過點E作EM||y軸交2D于M,如圖，設(shè)E(a[a2—a—|),則M(a[a+9，

111c31o3

.\EM=-a+---a2+Q+萬=--a2+-a+2,

???S/ZCE=S/ZME-='|xEM?l='|(—!a2+|a+2)xl=一3小—3a—4),=—[

(a」)?+得

\2/16

.?.當a=|時，/ZCE的面積有最大值，最大值是此時E點坐標為同.

(3)作E關(guān)于%軸的對稱點尸，連接EF交%軸于點G,過點F作FH12E于點H,交X軸于點P,

?.?￡1(1，一豹，071=1,

9O

：2LAGE=^AHP=909

PHEG,：.PH=^AP

/.sinz.EAG=

APAE

：E、F關(guān)于％軸對稱，：.PE=PF,

：.PE+"P=FP+HP=FH,此時FH最小,

,乙AEG=LHEF,

AGFH4

sin^AEG=sinzHEF=—=—=7

AEEF5

.”后+至4的最小值是3.

主要考查了二次函數(shù)的平移和待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判

定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的有關(guān)計算和利用對稱的性質(zhì)求最值問題.解(1)題的關(guān)鍵是熟練

掌握待定系數(shù)法和相關(guān)點的坐標的求解；解(2)題的關(guān)鍵是靈活應用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；

解(3)題的關(guān)鍵是作E關(guān)于％軸的對稱點F,靈活應用對稱的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的知識，學

會利用數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想把求PE+/M的最小值轉(zhuǎn)化為求的長度.

16.已知拋物線y=a/+c(aA0)過點4(1,0),B⑶0)兩點，與p軸交于點C,OC

=3.

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

⑵過點力作垂足為例求證：四邊形4W為正方形；

(3)點刀為拋物線在直線歐下方圖形上的一動點，當/PBC面積最大時，求點夕的坐標；

⑷若點。為線段%上的一動點，問：ZQ+^QC是否存在最小值？若存在，求出這個最小值;

若不存在，請說明理由.

【答案】(1)拋物線的表達式為：y=x2-4x+3,頂點。(2,—1)；⑵證明見解析；⑶點P(|

,-J);(4)存在，ZQ+^QC的最小值為苧.

【分析】

(1)設(shè)交點式丫=a(x—l)(x-3),利用待定系數(shù)法進行求解即可；

(2)先證明四邊形ADBM為菱形，再根據(jù)有一個角是直角的菱形是正方形即可得證；

(3)先求出直線BC的解析式，過點P作y軸的平行線交BC于點N,設(shè)點P(x,x2—4x+3),則點

N(x,-x+3),根據(jù)5寸1^=》咽*013可得關(guān)于*的二次函數(shù)，繼而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行求

解即可；

(4)存在，如圖，過點C作與y軸夾角為30°的直線CF交x軸于點F,過點A作AH1CF,垂足

為H,交y軸于點Q,此時HQ=g,則AQ+如最小值=AQ+HQ=AH,求出直線HC、AH的解析

式即可求得H點坐標，進行求得AH的長即可得答案.

【解析】

解:(1)函數(shù)的表達式為:y=a(x—l)(x—3)=a(x2—4x+3),

即：3a=3,解得:a=l,

故拋物線的表達式為：y=x2—4X+3,

則頂點D(2,-1)；

(2)0B=0C=3,ZOBC=ZOCB=45°,

VA(1,O),B(3,0),/.0B=3,OA=L

：.AB=2,

...AM=MB=ABsin45°=丘,

又..力(2,-1),

AD=BD=7(2-1)2+(-1-0)2=VL

.\AM=MB=AD=BD,

四邊形ADBM為菱形，

又?."AMB=90°,

???菱形ADBM為正方形；

(3)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n,

將點B、C的坐標代入得：°，

解得：｛彳量A

所以直線BC的表達式為：y=-x+3,

過點P作y軸的平行線交BC于點N,

設(shè)點P(x,x2—4x+3),則點N(x,—x+3)>

則SAPBC=gPNxOB=|-(—x+3—x2+4x-3)=—1(x2—3x),

故SAPBC有最大值,此時x=5,

故點P(|,_6；

(4)存在，理由:

如圖，過點C作與y軸夾角為30°的直線CF交x軸于點F,過點A作AH1CF,垂足為H,交y

軸于點Q,

此時HQ=3CQ，

貝I)AQ+|QC最小值=AQ+HQ=AH,

在RtACOF中，ZC0F=90°,ZF0C=30°,0C=3,tanZFC0=1^,

???0F=?

.*.F(-V3,0),

利用待定系數(shù)法可求得直線HC的表達式為：y=V3x+3…①，

VZC0F=90°,ZF0C=30°,

r.ZCF0=90°-30°=60°,

VZAHF=90°,

.\ZFAH=90°-60°=30°,

.*.0Q=A0?tanZFAQ=^,

??.Q(0,爭，

利用待定系數(shù)法可求得直線AH的表達式為：y=一當x+亨…②,

聯(lián)立①②并解得：x=上衿，

故點H(1-泮3丁),而點A(l,0),

貝UAH=J12+6V?_3+e

42

即AQ+婭的最小值為AH=芍旦

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法，解直角三角形的應用，正方形的判定，最

值問題等，綜合性較強，有一定的難度，正確把握相關(guān)知識，會添加常用輔助線是解題的關(guān)鍵.

17.已知拋物線y=/-5%+。Qb,c為常數(shù)，b>0）經(jīng)過點4（一1,0）,點是%軸正半

軸上的動點.

（I）當匕=2時，求拋物線的頂點坐標；

（II）點。（"力）在拋物線上，當AM=2。，m=5時，求b的值；

（HI）點Q（b+另Q）在拋物線上，當岳1M+2QM的最小值為生/時，求5的值.

【答案】（I）（1,一4）；（II）b=3V2-l;（HI）b=4.

【分析】

（I）把b=2和點4（一1,0）代入拋物線的解析式，求出c的值，進行配方即可得出頂點坐標

（II）根據(jù)點4（一1,0）和）點。（麗⑦）在拋物線上和b>0得出點DS，—b—1）在第四象限，且

在拋物線對稱軸％=2的右側(cè).過點。作DEJ.%軸，垂足為E,則點E(b,O),再根據(jù)D、E兩點坐

標得出AADE為等腰直角三角形，得出例E,再根據(jù)已知條件AM=4),m=5,從而求

出b的值

(III)根據(jù)點QS+^Q)在拋物線上得出點Q(b+J—卜》在第四象限，且在直線％=匕的右

側(cè)；取點N(O,1),過點Q作直線4V的垂線，垂足為G,QG與%軸相交于點M,得出爭1M=GM,

此時"4M+2QM的值最小；過點Q作QH_Lx軸于點H,則點”(b+，)).再根據(jù)QH=MH得出

m與b的關(guān)系，然后根據(jù)兩點間的距離公式和

&AM+2QM的最小值為甲，列出關(guān)于b的方成即可

【解析】

解：(I),??拋物線y=7—力%+。經(jīng)過點4(—i,o),

1+b+c=0.即c=—b—1.

當匕=2時，y=/—2%—3=(%—I)2—4,

J拋物線的頂點坐標為(L—4).

(II)由(I)知，拋射線的解析式為y=/—bx—力―1.

???點0(/\)力)在拋物線y=x2—bx—b—1上，

2

/.yD=b—b-b—b—l=-b—1.

由b>0,得b>萬>0,—b—1<0,

.?.點D(b,—b—1)在第四象限，且在拋物線對稱軸％=g的右側(cè).

如圖，過點。作DE1%軸，垂足為E,則點E(b,0).

：.AE=b+l,DE=b+l.得AE=DE.

.?.在Rt/ZDE中，^ADE=^DAE=45°.

：.AD=yplAE.

由已知AM=AD,m=5,

.,?5-(-l)=V2(b+l).

:.b=3^2—1.

(III),點Q(b+抄Q)在拋物線y=x2—bx—b—1上,

"(2=(5+：)—b(b+1)-b-l=-1-1.

可知點Q(b+]—5—6在第四象限，且在直線％=b的右側(cè).

NN4

考慮到+2QM=2(爭4M+QM