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文檔簡介
專題01直線與角重難點(diǎn)題型歸納
專題導(dǎo)航?
目錄
【典型例題】...................................................................................1
【題型一"線段---雙中點(diǎn)“模型】...............................
【題型二"角一一雙角平分線”模型】.......................................................3
【題型三線段中的動(dòng)點(diǎn)問題】...............................................................5
【題型四動(dòng)角問題】.......................................................................8
【專項(xiàng)綜合檢測】..............................................................................11
題型歸納?
【題型一“線段一一雙中點(diǎn)"模型】
【典型例題】
【例1】(2023上?七年級課時(shí)練習(xí))如圖,C,。是線段48上的兩點(diǎn),且=已知圖中所
有線段的長度之和為81,貝。CD的長為.
I__I__________I_______________I
ACDB
【例2】(2023上?七年級課時(shí)練習(xí))如圖,點(diǎn)C是線段4B上一點(diǎn),點(diǎn)M是力C的中點(diǎn),點(diǎn)N是BC的中點(diǎn),如
果MC比NC長2cm,則AC比8C長.
【例3】(2023上?山東濰坊?七年級校考階段練習(xí))如圖,已知點(diǎn)C在線段48上,并且4C=8cm,BC=6
cm,E、尸分別是AC、C8的中點(diǎn).
Ehrfijjl
(1)求線段EF的長度.
(2)在(1)中,如果力C=acm,BC=bcm,其他條件不變,你能求出EF的長度嗎?
(3)對于(1)題,如果把“點(diǎn)C在線段2B上”:改成“點(diǎn)C在直線上”,其他的語句都不變,結(jié)果會有變化
嗎?如果有,求出變化后的結(jié)果.
【強(qiáng)化訓(xùn)練】
1、(2023上?云南紅河?七年級統(tǒng)考期末)如圖,已知線段48=26,8c=18,點(diǎn)M是4C的中點(diǎn).
IIIIMl
薪蟾嬤
(1)求線段4M的長;
(2)在CB上取一點(diǎn)N,使得CN:NB=1:2,求線段MN的長.
2、(2023上?全國?七年級課堂例題)(1)如圖①,已知點(diǎn)C在線段2B上,線段/C=6cm,8C=4cm,M,N
分別是力GBC的中點(diǎn),求線段MN的長;
(2)如圖①,已知點(diǎn)C在線段4B上,線段4B=10cm,MN分別是力C,BC的中點(diǎn),求線段MN的長;
(3)如圖①,已知點(diǎn)C在線段上,線段A8=acm,M,N分別是的中點(diǎn),求線段MN的長;
(4)如圖②,已知點(diǎn)C在線段4B的延長線上,線段/8=acm,M,N分別是4&BC的中點(diǎn),則線段MN的長
為________________
3、(2023上?福建廈門?七年級廈門市湖濱中學(xué)??计谀?如圖已知線段力B、CD,
IIIIII
cMABND
(1)線段4B在線段CD上(點(diǎn)C、/在點(diǎn)8的左側(cè),點(diǎn)。在點(diǎn)C的右側(cè))
①若線段4B=6,CD=14,M、N分別為AC、BD的中點(diǎn),求MN的長.
②M、N分別為4C、BD的中點(diǎn),求證:MN=*AB+CD)
⑵線段CD在線段AB的延長線上,M、N分別為力C、BD的中點(diǎn),②中的結(jié)論是否成立?請畫出圖形,直接
寫出結(jié)論
【題型二”角一一雙角平分線"模型】
【典型例題】
【例4】(2023上?黑龍江大慶?七年級??茧A段練習(xí))如圖,。為直線上一點(diǎn),NCOE=50。,。。平分
N力。C,OF平分NBOE,求NDOF的度數(shù).
【例5】(2023上?七年級課時(shí)練習(xí))已知44。8=80。,0C是過點(diǎn)。的一條射線,OD,0E分別平分
Z.AOC,Z-BOC.
⑴如圖①,如果射線。C在40B的內(nèi)部,且4。。=30。,求NDOE的度數(shù);
(2)如圖②,如果射線。。在N40B的內(nèi)部繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn),NDOE的度數(shù)是多少?為什么?
【例6】(2022上?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校??奸_學(xué)考試)已知,0M平分
N力。C,ON平分NBOC.
(1)如圖1,若乙4。。=60。,ZBOC=78°,求NMON的度數(shù);
(2)如圖2,若NMON=146。,求乙40B度數(shù);
(3)如圖3,在(2)的條件下,。。為4CON內(nèi)部的一條射線,4AON—乙MOD=28°,若。E為平面內(nèi)一條射
線,zDOE=16°,求NBOE的度數(shù).
【強(qiáng)化訓(xùn)練】
1、(2023上?重慶沙坪壩?七年級重慶一中??计谀┤鐖D1,已知乙4OC=160。,0B是N40C內(nèi)的射線
乙AOB=%BOC,射線。。、0E將NAOC分害IJ,使得NAOD:NBOD:NCOE=1:2:3,
圖1圖2
⑴求NDOE.
(2)如圖2,作NB。。,NEOC的平分線。M,ON,求/MON的值
2、(2022上?河南鄭州?七年級鄭州外國語中學(xué)校考期中)如圖,點(diǎn)/,O,3在同一條直線上,
^AOC=^BOD,OM,ON分另1J是NAOC,NB。。的平分線.
(1)若NC。。=80°,求NMON的度數(shù);
⑵比較ADOM和NCON的大小,并說明理由.
3、(2022上?福建福州?七年級校考期末)已知乙10B=120。,OC,是過點(diǎn)。的射線,射線。河、ON分
別平分N/OC和/D02.
(1)如圖①,若OC、是NNO8的三等分線,則NMON=°
(2)如圖②,若NCOD=40。,乙AOC豐乙DOB,貝iJ/MON=0
(3)如圖③,在N/O8內(nèi),若/。。。=醺0。<戊<60。),則NM0N=°
⑷將(3)中的/C。。繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的外部(0<乙4。。<180。,0<zBOD<180°),求
此時(shí)/MON的度數(shù).
【題型三線段中的動(dòng)點(diǎn)問題】
【典型例題】
【例7】(2023上?黑龍江大慶?六年級統(tǒng)考開學(xué)考試)如圖,P是線段4B上一點(diǎn),AB=12cm,C、。兩點(diǎn)
分別從P、8出發(fā)以
lcm/s、2cm/s的速度沿直線2B向左運(yùn)動(dòng)(C在線段AP上,。在線段BP上),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t.
---------□
(1)當(dāng)1=2時(shí),PD=2AC,請求出4P的長;
(2)若C、。運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí),總有PD=22C,請求出4P的長;
(3)在(2)的條件下,。是直線上一點(diǎn),且AQ—BQ=PQ,求尸。的長.
【例8】(2022上?湖北武漢?七年級湖北省水果湖第一中學(xué)校聯(lián)考期中)如圖線段N8和線段CD都在數(shù)軸
上,已知N2=2(單位長度),CD=4(單位長度),點(diǎn)/在數(shù)軸上表示的數(shù)是°,點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)
b.
BAOCDO
-1-161~~6
圖i圖2
(1)若|a+8|與(b—16)2互為相反數(shù),求此時(shí)點(diǎn)4與點(diǎn)C之間相距多少單位長度?
(2)在(1)條件下線段42以6個(gè)單位長度/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)線段8以2個(gè)單位長度/秒的速
度向左勻速運(yùn)動(dòng).從開始算起,運(yùn)動(dòng)時(shí)間用/表示(單位:秒)
①數(shù)軸上/表示的數(shù)是」C表示的數(shù)是一(用含f的代數(shù)式表示),若點(diǎn)/與點(diǎn)C相距8個(gè)單位長度,求
f的值;
②已知點(diǎn)。是2c的中點(diǎn),點(diǎn)P是4D的中點(diǎn),在運(yùn)動(dòng)過程中,線段尸。長是不變化的,請說明理由,并指
出尸。的運(yùn)動(dòng)方向和速度.
【例9】(2023上?遼寧撫順?七年級統(tǒng)考期末)如圖,P是線段4B上一點(diǎn),48=18cm,C,。兩動(dòng)點(diǎn)分別
從點(diǎn)P,B同時(shí)出發(fā)沿射線82向左運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)/處即停止運(yùn)動(dòng).
A1CPDB
(1)若點(diǎn)C,D的速度分別是lcm/s,2cm/s-
①若2cm<AP<14cm,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C,。運(yùn)動(dòng)了2s時(shí),求4C+PD的值;
②若點(diǎn)C到達(dá)4P中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)。也剛好到達(dá)BP的中點(diǎn),求力P:PB;
(2)若動(dòng)點(diǎn)C,。的速度分別是lcm/s,3cm/s,點(diǎn)C,。在運(yùn)動(dòng)時(shí),總有PD=34C,求4P的長度.
【強(qiáng)化訓(xùn)練】
1、(2022上?陜西西安?七年級統(tǒng)考期末)如圖,在數(shù)軸上,點(diǎn)N表示的數(shù)為-6,點(diǎn)8表示的數(shù)為8,動(dòng)
點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā),以2個(gè)單位每秒的速度沿射線4B的方向向右運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).
----A1-----1-------B1-----A
-608
(1)線段4B=;點(diǎn)P表示的數(shù)為;
⑵若點(diǎn)P在線段48上,則線段BP=(用含/的代數(shù)式表示);
⑶求經(jīng)過多長時(shí)間,使得4B、P三點(diǎn)中有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)?
2、(2023下?河南新鄉(xiāng)?七年級校考階段練習(xí))如圖,在數(shù)軸上有/、3兩點(diǎn),點(diǎn)。是數(shù)軸原點(diǎn),點(diǎn)C是線
段4B的中點(diǎn),AB=6,0/1=4.
__|____________________|_____|_____________
4COB
⑴求點(diǎn)C所表示的數(shù);
(2)動(dòng)點(diǎn)P、0分別從/、8同時(shí)出發(fā),沿著數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P、。的運(yùn)動(dòng)速度分別是每秒3個(gè)單位
長度和每秒2個(gè)單位長度(當(dāng)P與0相遇,運(yùn)動(dòng)停止),點(diǎn)M是線段的中點(diǎn),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.
①請用含t的式子表示CM的長;
②當(dāng)2cM=5PC時(shí),求動(dòng)點(diǎn)尸在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)字.(參考:在數(shù)軸上,點(diǎn)/對應(yīng)的有理數(shù)為0,點(diǎn)8對
應(yīng)的有理數(shù)為6,則以/、8為端點(diǎn)線段的中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為竽)
3、(2023上?江蘇宿遷?七年級統(tǒng)考期末)如圖,C是線段4B上一點(diǎn),4C=5cm,點(diǎn)M從點(diǎn)力出發(fā),沿以
3cm/s的速度勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā),沿CB以lcm/s的速度勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),結(jié)果
點(diǎn)M比點(diǎn)N先到3s.設(shè)點(diǎn)M出發(fā)時(shí)間為t(s).
I,------aM、I------?NI,
ACB
(1)求線段力B的長.
(2)是否存在某個(gè)時(shí)刻,點(diǎn)C恰好是線段MN的中點(diǎn)?如果存在,請求出t的值.若不存在,請說明理由.
(3)求點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)(未到達(dá)點(diǎn)B),t的值;
(4)直接寫出點(diǎn)M與點(diǎn)N相距2cm時(shí),t的值.
【題型四動(dòng)角問題】
【典型例題】
【例10】(2023上?江蘇常州?七年級統(tǒng)考期末)已知:AAOC=^BOD=a(0°<a<180°).
R
----------cZ__________
OOCIS)
陽l陽2
⑴如圖1,若a=90。.
①寫出圖中一組相等的角(除直角外),
理由是.
②那么NC。。+/.AOB=°.
(2)如圖2,乙40c與NB。。重合,若a=60。,將NB。。繞點(diǎn)。以5度/秒的速度作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/
(0<Z<24)秒.
①當(dāng)仁秒時(shí),OB^^AOC,
②試說明:當(dāng)f為何值時(shí),乙AOB='COD?
【例11】(2023上?七年級課時(shí)練習(xí))把直角三角形MON的直角頂點(diǎn)。放在直線48上,射線OC平分
乙AON.
圖I圖2
(1)如圖1,若NMOC=25。,求NBON的度數(shù);
(2)若NMOC=zn。,貝IJNBON的度數(shù)為;
⑶由(1)和(2),我們發(fā)現(xiàn)NM0C和4BON之間的數(shù)量關(guān)系是;
(4)若將三角形M0N繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置,試問NM0C和NBON之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?
請說明理由.
【例12】(2023下?江西南昌?七年級南昌市第二十八中學(xué)校聯(lián)考期中)若40、8三點(diǎn)共線,
48。。=40。,將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處(注:NDOE=90。,Z£DO=30°).
D
C
E
E
AODB
圖1圖2備用圖
(1)如圖1,使三角板的長直角邊。。在射線08上,則“?!?_。;
⑵將圖1中的三角板。0E繞點(diǎn)。以每秒5。的速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,
①若旋轉(zhuǎn)到到圖2位置,此時(shí)乙乙4。號求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值;
②經(jīng)過t秒后,直線。C恰好成為ND0E的三等分線,直接寫出t的值.
【強(qiáng)化訓(xùn)練】
1、(2023上?河北唐山?七年級統(tǒng)考期末)如圖,點(diǎn)。為直線2B上一點(diǎn),將斜邊為CD的直角三角板的直角頂
圖1
(1)如圖1,若乙4。。=30。,求NDOE的度數(shù);
(2)將直角三角板繞頂點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置,其他條件不變,探究N40C和NDOE度數(shù)之間的關(guān)系,
寫出你的結(jié)論,并說明理由;
(3)在圖1中,AAOC=30°,OP與。。的起始位置重合,再將三角板COD繞點(diǎn)。按每秒10。的速度沿順時(shí)針方
向旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過程中,第t秒時(shí),射線。。恰好是銳角NBOP的三等分線,貝1的值為秒
(直接寫出結(jié)果).
2、(2023上?江西贛州?七年級統(tǒng)考期末)將一副三角板的其中兩個(gè)頂點(diǎn)重合于一點(diǎn)。,含45。角的三角板
保持不動(dòng),含60。的三角板繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn),0B始終在NC。。內(nèi)部,請回答問題:
⑴如圖1放置,將含有60。角的一邊與45。角的一邊重合時(shí),求N4OD的度數(shù).
(2)繞著點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)三角板40B,當(dāng)。B恰好平分時(shí),求乙4OD的度數(shù).
(3)三角板40B在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中NAOC的度數(shù)恰好等于NB。。度數(shù)的3倍,求的度數(shù).
3、(2023上?河南漠河?七年級統(tǒng)考期末)如圖,ZAOB=90°,ZCOD=60°.
⑴若OC平分乙18,求NBOC的度數(shù);
(2)^ZBOC=^ZAOD,求N4OD的度數(shù);
(3)若射線OP從射線OB的位置開始,繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向以每秒12。的速度旋轉(zhuǎn),同時(shí)射線。。從射線04的
位置開始,繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向以每秒9。的速度旋轉(zhuǎn),射線。P旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t(單位:秒),且
0</<7.5,求當(dāng)“OP=R1OP時(shí)t的值.
專項(xiàng)綜合檢測二
1.(2023下?山東泰安?七年級校考階段練習(xí))如圖,AC=^AB,BD=^AB,AE=CD,貝|CE=()
AB.
D
2.(2023上?河北邢臺?七年級校聯(lián)考期末)如圖,C是4B的中點(diǎn),。是BC的中點(diǎn),則下列等式:①
CD=AD—BD;②CD=AD-BC;③2CD=2AD—AB;@CD=^AB,其中正確的有()
IIII
ACDB
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
3.(2023上?七年級課時(shí)練習(xí))如圖,點(diǎn)。是直線4B上一點(diǎn),OC平分〃OE/DOE=90。,則以下結(jié)論:①
々OD與NBOE互為余角;?AAOD=^COE;③乙BOE=24COD;④若NBOE=58°,貝UNCOE=61°.其
中正確的是()
A.只有①④B.只有①③④
C.只有③④D.①②③④
4.(2023上?河南駐馬店?七年級統(tǒng)考期末)如圖,已知乙4OB=130。,以點(diǎn)。為頂點(diǎn)作直角NCQ8,以點(diǎn)。
為端點(diǎn)作一條射線。D.通過折疊的方法,使0D與。C重合,點(diǎn)B落在點(diǎn)方處,0E所在的直線為折痕,若
NCOE=15。,貝1|乙2。夕=().
A.30°B.25°C.20°D.15°
5.(2023上?河南駐馬店?七年級??计谀┤鐖D,ZXOC=Z500=90°,0E是乙40B的平分線,且
/COE=75°,貝
6.(2023上?福建福州?七年級統(tǒng)考期末)如圖,已知射線。C在N40B內(nèi)部,。。平分N40C,0E平分
/8。。,。/平分44。8,以下四個(gè)結(jié)論:①ND0E=(N40B;?2ADOF=AAOF-ACOF;③
乙AOD=LBOC;④NEOF=*NCOF+NBOF).其中正確的結(jié)論有(填序號).
7.(2023上?黑龍江雙鴨山?七年級校聯(lián)考開學(xué)考試)如圖,數(shù)軸上O,/兩點(diǎn)的距離為4,一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)
/出發(fā),按以下規(guī)律跳動(dòng):第1次跳動(dòng)到的中點(diǎn)①處,第2次從4點(diǎn)跳動(dòng)到乙。的中點(diǎn)4處,第3次
從4點(diǎn)跳動(dòng)到4。的中點(diǎn)公處,按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)心,人5,A6,4n處,那么線段44的長
度為.
8.(2023上?河北邢臺?七年級??计谀┤鐖D1,線段OP表示一條拉直的繩子,A,B兩點(diǎn)在線段。P上,
OP=a,0A4P=3:7,B為。力的中點(diǎn).固定點(diǎn)4將。力折向4P,使得。力重疊在4P上(如圖2所示).
...................W圖]
I
也〃一—2”,/圖2
X
(1)若a=10.
①繩子折疊前,A8的長為;
②繩子折疊后,0P的長為;
(2)若從如圖2所示的點(diǎn)8及與點(diǎn)8重疊處一起剪開,使得繩子分成三段,三段繩子由小到大的長度比
為.
9.(2023上?河南鄭州?七年級校聯(lián)考階段練習(xí))如圖,己知數(shù)軸上點(diǎn)/表示的數(shù)為8,3是數(shù)軸上一點(diǎn),
且AB=14.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)N出發(fā),以每秒5個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)
秒.
BA
----1--------------11----
08
(1)寫出數(shù)軸上點(diǎn)8
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