中考數學專項突破：托勒密定理（含答案及解析）

L托勒密定理：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面

積與另一組對邊所包矩形的面積之和.

翻譯：在四邊形A8CD中，若A、B、C、。四點共圓，則=+

證明：在線段8D上取點E,使得N54E=/CA。，

易證.??一=一，即

ACCD

當N8AE=NCA。時，可得：/BAC=/EAD,

易證△ABCs△AE。，,BPACDE=ADBC,

ACCB

：.ACBE+ACDE=ABCD+ADBC,

：.ACBD=ABCD+ADBC.

2.（托勒密不等式）:對于任意凸四邊形ABC。，ACBD<ABCD+ADBC

證明：如圖1,在平面中取點E使得/BAE=/CA。，ZABE=ZACD,

易證△ABEs△Ac。，/.一=一,gpAC-BE=ABCD?,

ACCD

連接DE,如圖2,

..ABAE?ABAC

'~AC~~AD'*'AE-AD，

又/BAC=/BAE+ZCAE=ZDAC+ZCAE=ZDAE,

：.AABC^^AED,,即ACDE=AD.3C②，

ACBC

將①+②得：ACBE+ACDE=ABCD+ADBC,

：.AC-BD<AC(BE+DE)=AB-CD+AD-BC

即當且僅當A、B、C、。共圓時取到等號.

3.托勒密定理在中考題中的應用

(1)當△A3C是等邊三角形時，

如圖1,當點。在弧AC上時，根據托勒密定理有：DBAC^ADBC+ABCD,

又等邊AABC有AB=AC=BC,故有結論：DB=DA+DC.

圖1

證明：在上取點E使得。

易證△AEBS^AQC,AAED^AABC,利用對應邊成比例，可得：DB^DA+DC.

如圖2,當點。在弧3c上時，結論：DA=DB+DC.

圖2

【小結】雖然看似不同，但根據等邊的旋轉對稱性，圖1和圖2并無區(qū)別.

(2)當△ABC是等腰直角三角形，

如圖3,當點。在弧BC上時，根據托勒密定理：ADBC=ABCD+ACBD,

又AB:AC:3C=1:1:夜，代入可得結論：41AD=BD+CD.

如圖4,當點。在弧AC上時，根據托勒密定理：ADBC=ABCD+ACBD,

又A5:AC:3c=1:1:及，代入可得結論：BD=-j2AD+CD.

圖4

(3)當△ABC是一般三角形時，若記BC：AC：AB=a：b：c,

根據托勒密定理可得：a-AD=bBD+cCD

例題精講

【例如圖，正五邊形ABCDE內接于。。，AB=2,則對角線3。的長為

E

A變式訓練

【變式1-1].先閱讀理解：托勒密（尸加加;烈古希臘天文學家）定理指出：圓內接凸四邊形

兩組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.即：如果四邊形ABCD內接于O。，則有AB-

CD+AD'BC^AC-BD.再請完成：

圖1圖2

（1）如圖1,四邊形ABCD內接于O。，8c是。。的直徑，如果AB=AC=J^,CD=

1,求的長.

（2）在（1）的條件下，如圖2,設對邊84、CD的延長線的交點為P,求B4、尸。的長.

【變式1-2].如圖1,已知。。內接四邊形A8CD,

求證：AC'BD=AB'CD+AD'BC.

證明：如圖1,在8。上取一點P,連接CP,使/PCB=/OCA,即使/l=/2.

:在。。中，/3與N4所對的弧都是面，

.?.Z3=Z4.

...AACDs^BCP.

.AC=AD

"BCBP"

：.AC'BP=AD'BC.①

又?；N2=/1,

.\Z2+Z7=Z1+Z7.

即ZACB=ZDCP.

:在O。中，/5與N6所對的弧都是黃,

?*.Z5=Z6.

...AACBs^DCP.

(1)任務一：請你將“托勒密定理”的證明過程補充完整；

(2)任務二：如圖2,已知Rt^ABC內接于O。，ZACB=90°,AC=6,BC=8,CD

平分NACB交O。于點D,求CO的長.

圖1圖2

【例2］托勒密定理：圓的內接四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.

已知：如圖1,四邊形ABCD內接于。。.

求證：AB，DC+AD，BC=ACBD.

證明：如圖2,作/BAE=/CA。，交BD于點E,

.LABEsAACD,

.AB?DC=AC,BE,

.△ABCsAAED,

.AD-BC=AC-ED,

.AB-DC+AD-BC=AC-BE+AC-ED=AC(BE+ED)=AC-BD.

(1)請幫這位同學寫出已知和求證，并完成證明過程；

(2)如圖3,已知正五邊形內接于O。，AB=1,求對角線3。的長.

A變式訓練

【變式2-1].已知：如圖1,四邊形A8CZ)內接于。。.

求證：AB，CD+BUAD=AC，BD

下面是該結論的證明過程：

證明：如圖2,作交BD于點E.

VAD=AD,ZABE=ZACD,

：.AABE^/XACD,AB_=BE,：.AB'CD=AC-BE；

ACCD

:窟=窟，（依據1）,

,//BAE=ACAD,：./BAC=ZEAD,

.?.△ABCSA4ED(依據2),池，：.AD'BC=AC'ED；

ACCB

：.AB-CD+AD'BC=AC<BE+ED),即AB-CD+BC'AD=AC'BD.

(1)上述證明過程中的“依據1”是指—；“依據2”是指—.

(2)當圓內接四邊形是矩形時，托勒密定理就是我們熟知的一定理.

(3)如圖3,四邊形A8CD內接于OO,AB=3,AD=5,/54。=60°,點C是面的

中點，求AC的長.

【變式2-2].圓的內接四邊形的兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積的和.即：如圖1,若

四邊形ABC。內接于O。，則有.

任務：(1)材料中劃橫線部分應填寫的內容為—.

(2)已知，如圖2,四邊形ABC。內接于。。，8。平分/ABC,ZCO￡>=120°,求證：

BD=AB+BC.

D

圖1

0

實戰(zhàn)演練

1.如圖，以RtAABC的斜邊BC為一邊在△ABC的同側作正方形BCEF,對角線交于點0,

連接A。，如果A8=4,A0=4加,那么AC的長等于（）

C.473D.8我

2.如圖，在。。的內接四邊形ABCD中，AB=3,AO=5,ZBAD=60°,點C為弧

的中點，則AC的長是.

3.如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=4,8C=6,點。在底邊8c上，且/D4C=/ACZ）,

將△AC。沿著AD所在直線翻折，使得點C落到點E處，聯結BE,那么BE的長為.

4.如圖，P是正方形A3。內一點，CP=CD,APLBP,則空的值為

PD

5.如圖，正方形4BC。的邊長是6,對角線的交點為。，點E在邊上且CE=2,CF±

BE,連接。尸，則:

(1)ZOFB°；

6.如圖，在RtaABC中，ZBAC=90°,。為BC的中點，過點。作DE_L￡>F,交54的

延長線于點E,交AC的延長線于點F.若CF=LAC=4,AB=2.則AE=.

2-

E

7.設△ABC是正三角形，點P在△ABC外，且與點A在直線BC異側，/BPC=120°,

求證：PA^PB+PC.

8.。。半徑為2,AB,DE為兩條直線.作DCLA8于C,且C為A。中點，P為圓上一個

動點.求2PC+PE的最小值.

9.如圖，點尸為等邊AABC外接圓，劣弧為8c上的一點.

(1)求NBPC的度數；

(2)求證：PA=PB+PC.

10.如圖，。。的直徑A3的長為10,弦2。的長為6,點C為AB上的一點，過點8的切

線斯，連接AD,CD,CB-,

(1)求證：ZCDB=ZCBF；

(2)若點。為品的中點，求CD的長.

11.閱讀下列材料，并完成相應的任務.

托勒密定理：

托勒密(Ptolemy)(公元90年?公元168年)，希臘著名的天文學家，他的要著作《天

文學大成》被后人稱為“偉大的數學書”，托勒密有時把它叫作《數學文集》，托勒密從

書中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理.

圖1圖2圖3

托勒密定理：

圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和.

已知：如圖1,四邊形A8C。內接于

求證：AB?CD+BUAD=AC?BD

下面是該結論的證明過程：

證明：如圖2,作交BD于點E.

'：AD=AD

/ABE=ZACD

：.AABEs—CD

.ABBE

??----=-----

ACCD

J.AB'CD^AC'BE

'：AB=AB

ZACB=ZADE（依據1）

'：ZBAE=ZCAD

：.ZBAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC

即/BAC=ZEAD

：.△ABCsAAED（依據2）

：.AD-BC=AC-ED

：.AB-CD+AD-BC=AC<BE+ED）

：.AB-CD+AD'BC=AC-BD

任務：（1）上述證明過程中的“依據1”、“依據2”分別是指什么？

（2）當圓內接四邊形ABCD是矩形時，托勒密定理就是我們非常熟知的一個定

理：.

（請寫出）

(3)如圖3,四邊形ABC。內接于O。，AB=3,AD=5,ZBAD=6Q°,點C為面的

中點，求AC的長.

12.在學習了《圓》和《相似》的知識后，小明自學了一個著名定理“托勒密定理：圓內接

四邊形對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和.”

(1)下面是小明對托勒密定理的證明和應用過程，請補充完整.已知：四邊形A8CL)內

接于O。.

求證：AC-BD=AB-CD+AD-BC.證明：作交AC于點E,

中，Nl=/2,

AABD^AECD().

.DADBAB

"DF"DC"EC'

DA_DE

DB"DC'

又,：/BDA+N3=/CDE+/3,

即/ADE=/BDC,

△DAEs匕DBC

?.?-D-A--A-E-?

DBBC

J.AD'BC^BD'AE?.

：.AB-CD+AD'BC=AC-BD.

(2)利用托勒密定理解決問題：是否存在一個圓內接四邊形，它的兩條對角線長為5和

6,一組對邊長為1和3,另一組對邊的和為4.若存在，求出未知的兩邊；若不存在，

說明理由.

13.閱讀下列相關材料，并完成相應的任務.

布拉美吉塔比理

婆羅摩笈多是古印度著名的數學家、天文學家，他編著了《婆羅摩修正體系》，他曾經提

出了“婆羅摩笈多定理”，也稱“布拉美古塔定理”.定理的內容是：若圓內接四邊形的

對角線互相垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線平分對邊.

某數學興趣小組的同學寫出了這個定理的已知和求證.

己知：如圖，在圓內接四邊形ABC。中，對角線ACLBD,垂足為P,過點P作的垂

線分別交A2,DC于點H,M.

求證：M是C￡＞的中點

任務：

(1)請你完成這個定理的證明過程.

(2)該數學興趣小組的同學在該定理的基礎上寫出了另外一個命題：若圓內接四邊形的

對角線互相垂直，則一邊中點與對角線交點的連線垂直于對邊請判斷此命題是—命

題.(填“真”或“假”)

(3)若尸￡)=2,HP=M，BP=3,求的長.

A

14.已知△ABC內接于OO,NA4c的平分線交。。于點。，連接。3,DC.

(1)如圖①，當NBAC=120°時，請直接寫出線段42,AC,AD之間滿足的等量關系

式：;

(2)如圖②，當N8AC=90°時，試探究線段AB,AC,AD之間滿足的等量關系，并證

明你的結論；

(3)如圖③，若8C=5,BD=4,求皿的值.

AB+AC

15.問題探究：

（1）已知：如圖①，△ABC中請你用尺規(guī)在2C邊上找一點。，使得點A到點的距

離最短.

（2）托勒密（Ptolemy）定理指出，圓的內接四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線

的乘積.如圖②，P是正AABC外接圓的劣弧BC上任一點（不與8、C重合），請你根

據托勒密（Ptolemy）定理證明：PA—PB+PC.

問題解決：

（3）如圖③，某學校有一塊兩直角邊長分別為30機、60機的直角三角形的草坪，現準備

在草坪內放置一對石凳及垃圾箱在點P處，使尸到A、B、C三點的距離之和最小，那么

是否存在符合條件的點P?若存在，請作出點P的位置，并求出這個最短距離（結果保

留根號）；若不存在，請說明理由.

16.(1)方法選擇

如圖①，四邊形ABCD是。。的內接四邊形，連接AC,BD,A2=BC=AC.求證：BD

^AD+CD.

小穎認為可用截長法證明：在。B上截取。M=AD,連接AM…

小軍認為可用補短法證明：延長C。至點N,使得。N=A。…

請你選擇一種方法證明.

(2)類比探究

【探究11

如圖②，四邊形A8CO是。。的內接四邊形，連接AC,BD,是。。的直徑，AB=

AC.試用等式表示線段4D,BD,之間的數量關系，并證明你的結論.

【探究2】

如圖③，四邊形ABC。是。。的內接四邊形，連接AC,BD.若2C是。。的直徑，Z

ABC=30°,則線段A￡),BD,CD之間的等量關系式是.

(3)拓展猜想

如圖④，四邊形4BC。是。。的內接四邊形，連接AC,BD.若8c是。。的直徑，BC-.

AC：AB=a：b：c,則線段AD,BD,CD之間的等量關系式是.

B

圖①圖②圖③圖④

17.數學課上，張老師出示了問題：如圖1,AC,8。是四邊形ABC。的對角線，若NACB

=ZACD=ZABD=ZADB=60°,則線段8C,CD,AC三者之間有何等量關系？

經過思考，小明展示了一種正確的思路：如圖2,延長到E,使連接AE,

證得△ABE絲AADC,從而容易證明AACE是等邊三角形，故AC=CE,所以AC=8C+CD

小亮展示了另一種正確的思路：如圖3,將△ABC繞著點A逆時針旋轉60°,使4B與

AD重合，從而容易證明△ACP是等邊三角形，故AC=CR所以AC=BC+CD

在此基礎上，同學們作了進一步的研究：

(1)小穎提出：如圖4,如果把“/AC8=NACO=/A8Q=NA￡)B=60°”改為“/

ACB^ZACD=ZABD^ZADB^45°",其它條件不變，那么線段3C,CD,AC三者之

間有何等量關系？針對小穎提出的問題，請你寫出結論，并給出證明.

(2)小華提出：如圖5,如果把"/AC8=NACr>=NABD=NA￡)B=60°”改為“/

ACB=ZACD=ZABD=ZADB=a)>,其它條件不變，那么線段BC,CD,AC三者之間

有何等量關系？針對小華提出的問題，請你寫出結論，不用證明.

18.問題背景：

如圖①，在四邊形AO2C中，ZACB^ZADB=90°,AD=BD,探究線段AC,BC,CD

之間的數量關系.

小吳同學探究此問題的思路是：將△BCD繞點。，逆時針旋轉90°至！JA4ED處，點、B,

C分別落在點A,E處（如圖②），易證點C,A,E在同一條直線上，并且△口）￡是等

腰直角三角形，所以CE=?CD,從而得出結論：AC+BC^^2CD.

簡單應用：

（1）在圖①中，若4。=加，BC=2?,則8=.

（2）如圖③，A8是OO的直徑，點C、。在。上，俞=而，若AB=13,BC=12,求

CD的長.

拓展規(guī)律：

（3）如圖④，ZACB^ZADB^90°,AD=BD,若AC=〃z,BC=n（m<n）,求CD的

長（用含相，”的代數式表示）

（4）如圖⑤，ZACB=9Q°,AC=BC,點尸為A8的中點，若點E滿足AE=1AC,

3

CE=CA,點。為AE的中點，則線段PQ與AC的數量關系是-

或.

L托勒密定理：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面

積與另一組對邊所包矩形的面積之和.

翻譯：在四邊形A8CD中，若A、B、C、。四點共圓，則=+

證明：在線段8D上取點E,使得N54E=/CA。，

易證.??一=一，即

ACCD

當N8AE=NCA。時，可得：/BAC=/EAD,

易證△ABCs△AE。，,BPACDE=ADBC,

ACCB

：.ACBE+ACDE=ABCD+ADBC,

：.ACBD=ABCD+ADBC.

2.（托勒密不等式）:對于任意凸四邊形ABC。，ACBD<ABCD+ADBC

證明：如圖1,在平面中取點E使得/BAE=/CA。，ZABE=ZACD,

易證△ABEs△Ac。，/.一=一,gpAC-BE=ABCD?,

ACCD

連接DE,如圖2,

..ABAE?ABAC

'~AC~~AD'*'AE-AD，

又/BAC=/BAE+ZCAE=ZDAC+ZCAE=ZDAE,

：.AABC^^AED,,即ACDE=AD.3C②，

ACBC

將①+②得：ACBE+ACDE=ABCD+ADBC,

：.AC-BD<AC(BE+DE)=AB-CD+AD-BC

即當且僅當A、B、C、。共圓時取到等號.

3.托勒密定理在中考題中的應用

(1)當△A3C是等邊三角形時，

如圖1,當點。在弧AC上時，根據托勒密定理有：DBAC^ADBC+ABCD,

又等邊AABC有AB=AC=BC,故有結論：DB=DA+DC.

圖1

證明：在上取點E使得。

易證△AEBS^AQC,AAED^AABC,利用對應邊成比例，可得：DB^DA+DC.

如圖2,當點。在弧3c上時，結論：DA=DB+DC.

圖2

【小結】雖然看似不同，但根據等邊的旋轉對稱性，圖1和圖2并無區(qū)別.

(2)當△ABC是等腰直角三角形，

如圖3,當點。在弧BC上時，根據托勒密定理：ADBC=ABCD+ACBD,

又AB:AC:8c=1:1:夜，代入可得結論：41AD=BD+CD.

如圖4,當點。在弧AC上時，根據托勒密定理：ADBC=ABCD+ACBD,

又A5:AC:3c=1:1:及，代入可得結論：BD=-j2AD+CD.

(3)當△ABC是一般三角形時，若記BC：AC：AB=a：b；c,

根據托勒密定理可得：a-AD=bBD+cCD

【例如圖，正五邊形A8CDE內接于。。，AB=2,則對角線的長為1+芯

E

解：如圖，連接A。、AC.

,：五邊形ABCDE是正五邊形，

AABC^ADCB部△AE。(SAS'),

.,.設2￡>=AC=AO=尤.

在圓內接四邊形A8CD中，由托勒密定理可得：AB'CD+AD-BC=AC'BD,

即2X2+x?2=f,

解得：xi=l+V5>X2=l-泥(舍去).

對角線8。的長為1+V5.

故答案為：i+Vs-

卮

D

B

A變式訓練

【變式17].先閱讀理解：托勒密(尸加加加丫古希臘天文學家)定理指出：圓內接凸四邊形

兩組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.即：如果四邊形ABCD內接于O。，則有AB-

CD+AD'BC^AC'BD.再請完成：

圖1圖2

(1)如圖1,四邊形ABC。內接于OO,8C是。。的直徑，如果A8=AC=J^,CD=

1,求的長.

(2)在(1)的條件下，如圖2,設對邊BA、C￡>的延長線的交點為尸，求抬、尸。的長.

解：(1)「BC是。。的直徑，

：.ZBAC=ZBDC=90°,

：AB=AC=遍，

AABC是等腰直角三角形，

-,.BC=V2AB=V10>

22

:，BD=VBC-CD=V(VIo)2-l2=3'

:圓內接凸四邊形兩組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，

即：如果四邊形A8CD內接于。。，貝I]有4B?CJD+4D?BC=AC?B￡),

即找X1+ADX百5=返X3,

解得：AD=M；

(2)'：ZPAD=ZPCB,ZP=ZP,

：./\PAD^/\PCB,

?PA=PD=AD

"PCPBBC"

設PA=x,PD=y,

則告=4=湃，

y+iV5+xVio

解得：x=^~,y=旦，:.PA=^~,PD=^-.

2.222

【變式1-2].如圖1,已知O。內接四邊形ABC。，

求證：AC'BD=AB'CD+AD'BC.

證明：如圖1,在2。上取一點P,連接CP,使NPCB=/r)CA,即使N1=N2.

?..在。。中，N3與N4所對的弧都是向，

?,.Z3=Z4.

△ACDs^BCP.

.AC=AD

,"BCBP-

：.AC'BP=AD-BC.①

又：/2=Nl,

.\Z2+Z7=Z1+Z7.

即ZACB=ZDCP.

;在。。中，N5與N6所對的弧都是前，

/.Z5=Z6.

AACBsADCP.

(1)任務一：請你將“托勒密定理”的證明過程補充完整；

(2)任務二：如圖2,已知Rt^ABC內接于。。，ZACB=90°,AC=6,BC=8,CD

平分NAC8交。。于點。，求C。的長.

圖1圖2

解：(1)補全證明：.?.期?至，

DPDC

：.AC-DP=AB'DC?,

.?.①+②得：AC-BP+AC'DP=AD'BC+AB'DC,

：.AC<BP+DP)=AD-BC+AB-DC,

即AC，BD=AD?BC+AB。DC,

(2)VZACB=90a,AC=6,BC=8,

ZADB=90°,AB=^AC2+BC2=IO,

VCD平分/ACB交O。于點D,

ZBCD=ZACD,

：.BD=AD,

VZADB^90°,

/.ZABD=45°,

.".BD—AD—AB'sin4S0=5V^，

,/四邊形ABCD內接于OO,

：.AB'CD^AC'BD+AD-BC,即10CD=6X5^2+8X572>

.,.CD=7A/2.

【例2】.托勒密定理：圓的內接四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.

已知：如圖1,四邊形ABCD內接于G)。.

求證：AB-DC+AD-BC=ACBD.

證明：如圖2,作/BAE=NCA。，交BD于點E,

：.ZXABE^AACD,

：.AB-DC^AC-BE,

：.AABC^AAED,

：.AD-BC=AC-ED,

：.AB-DC+AD'BC=AC-BE+AC'ED=AC(BE+ED)=AUBD.

(1)請幫這位同學寫出已知和求證，并完成證明過程；

(2)如圖3,已知正五邊形ABCDE內接于O。，42=1,求對角線3。的長.

(1)解：已知：如圖1,四邊形ABCD內接于。。，

求證：AB'DC+ADBC=AC'BD,

故答案為：四邊形ABC。內接于OO,AB'DC+AD-BC=AC-BD-,

證明：如圖2,作/54E=NC4。，交BD于點E,

VAD=AD,

ZABE=ZACD,

：.AABEs^ACD,

.AB=BE

"ACDC'

：.ABDC^ACBE.

'：AB=AB,

ZACB=ZADE.

'：ZBAE=ZCAD,

：.ZBAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC,

即/BAC=/EA。，

AABCSAAED,

?.?-A-D--E-D-,

ACBC

：.ADBC=ACED,

：.ABDC+ADBC

=ACBE+ACED

=AC(BE+ED)

=ACBD,

即AB-DC+AD'BC=AC-BD；

(2)解：在圖3中，連接A。、AC.

'：五邊形ABCDE是正五邊形，

△AB-ADCB經△AE。，

.?.設BO=AC=AO=x.

在圓內接四邊形A2CD中，

由托勒密定理可得：AB-CD+AD'BC^AC-BD,

即IX1+爐1=/,

解得上叵，上返（舍去），

1222

/.對角線BD的長為上近.

2

A變式訓練

【變式2-1].已知：如圖1,四邊形ABC。內接于OO.

圖1圖2圖3

求證：AB?CD+BUAD=AC?BD

下面是該結論的證明過程：

證明：如圖2,作NBAE=NCA。，交BD于點E.

?.場=俞，ZABE=ZACD,

：.AABE^AACD,.?.組：.AB-CD=AC-BE；

ACCD

:窟=窟，.?./AC2=/AOE（依據1）,

；NBAE=NCAD,：.ZBAC^ZEAD,

（依據2）,j.AD'BC^AC'ED-,

ACCB

Z.AB'CD+AD?BC^AC<BE+ED）,即AB'CD+BC'AD^AC'BD.

（1）上述證明過程中的“依據1”是指同弧所對的圓周角相等；“依據2”是指兩

角分別相等的兩個三角形相似.

（2）當圓內接四邊形A8CO是矩形時，托勒密定理就是我們熟知的勾股定理.

（3）如圖3,四邊形ABC。內接于O。，AB=3,AD=5,ZBAD^6Q°,點C是面的

中點，求AC的長.

解：（1）上述證明過程中的“依據1”是同弧所對的圓周角相等.

“依據2”是兩角分別相等的兩個三角形相似.

故答案為：同弧所對的圓周角相等；兩角分別相等的兩個三角形相似.

（2）當圓內接四邊形ABC。是矩形時，

貝1JAB=CDAD^BC,AC=BD,

\'AB'CD+AD-BC=AC'BD,

：.AB2+AD2=BD2,

托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理：勾股定理，

故答案為：勾股.

(3)連接作CE_L2D于E.

圖3

?.?四邊形4BCD是圓內接四邊形，

：.ZBAD+ZBCD=1SO°,

'：ZBAD=60°,

AZBC￡>=120°,

VDC=BC.

:*CD=CB,

：.ZCDB=30°,

在RtZXCDE中，cos30°=理，

CD

:.DE=^~CD,

2

:.BD=2DE=4^CD,

由托勒密定理：AC-BD=AD-BC+CD'AB,

:.AC*MCD=3CD+5CD,

：.AC=^^-,

3

答：AC的長為生應.

3

【變式2-2].圓的內接四邊形的兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積的和.即：如圖1,若

四邊形A8C。內接于O。，則有.

任務：(1)材料中劃橫線部分應填寫的內容為AC?B￡>=gCT>+2C?AZ).

(2)已知，如圖2,四邊形A8CZ)內接于。。，8。平分/ABC,ZCOD=120°,求證：

BD=AB+BC.

故答案為：AC9BD^AB9CD+BC-AD

(2)如圖，連接AC

VZCOZ)=120°,

：.ZCBD=ZCAD=60°

平分NA3C

???ZABD=ZCBD=60°

：.ZACD=60°,

???△AC。是等邊三角形

：.AC=AD=CD,

???四邊形ABCD是圓內接四邊形

：.AC9BD=AB*CD+BC*AD

：.BD=AB+BC

實戰(zhàn)演練

1.如圖，以RtAABC的斜邊BC為一邊在△ABC的同側作正方形BCEF,對角線交于點0,

連接A。，如果A8=4,A0=4加,那么AC的長等于（)

C.473D.873

解：在AC上截取CG=A2=4,連接0G,

??,四邊形3CEF是正方形，ZBAC=90°,

：.OB=OC,ZBAC=ZBOC=90°,

：.B.A、0、C四點共圓,

ZABO=ZACO,

在△84。和△CGO中

rBA=CG

<ZBAO=ZGCO,

OB=OC

.?.△BAO/△CGO(SAS),

；.0A=0G=4&,ZAOB^ZCOG,

VZBOC=ZCOG+ZBOG=9Q°,

AZAOG^ZAOB+ZBOG^90°,

即AAOG是等腰直角三角形，

由勾股定理得：

^G=^AQ24()G2=8,

即AC=AG+CG=8+4=12.

故選：A.

B

2.如圖，在。。的內接四邊形A3C0中，AB=3,AD=5,NA4O=60°,點。為弧

的中點，則AC的長是為巨.

—3―

解：解法一、：A、B、C、。四點共圓，ZBAD=60°,

AZBCD=180°-60°=120°,

VZBAD=60°,AC平分NBA。，

AZCAD=ZCAB=30°,

將△ACD繞點C逆時針旋轉120。得△C8E,

則/E=NCA￡>=30°,BE=AD=5,AC=CE,

：.ZABC+ZEBC=(180°-ZCAB-ZACB)+(180°-ZE-NBCE)=180°,

；.A、B、E三點共線，

過C作CMLAE于M,

'：AC=CE,

：.AM=EM=^X(5+3)=4,

2

在RtZXAMC中，AC=―端。-=~^=過

cos30V3_3

2

解法二、過C作CELAB于E,CFLAD于F,

則NE=NC尸￡>=/*=90°,

:點C為弧8。的中點，

BC=CD,

：.ZBAC=ZDAC,BC=CD,

VCELAB,CF±AD,

：.CE=CF,

VA>B、C、。四點共圓,

：.ZD=ZCBE,

在△CBE和△CD尸中

，ZCBE=ZD

<ZE=ZCFD

CE=CF

ACBE絲ACDF,

：.BE=DF,

在△AEC和△Af'C中

，ZE=ZAFC

-ZEAC=ZFAC

AC=AC

/\AEC^/\AFC,

：.AE=AF,

設BE=DF=x,

\'AB=3,AD=5,

'.AE—AF—x+3,

；.5=x+3+x,

解得：x=l,

即AE=4,

?AL杷-8愿

cos3003

故答案為：超巨.

3

3.如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=4,8C=6,點。在底邊8c上，且/D4C=/ACD,

將△AC。沿著AD所在直線翻折，使得點C落到點E處，聯結BE,那么BE的長為1.

ZABC=ZC,

ZDAC=Z.ACD,

：.NDAC=ZABC,

'：zc=zc,

.".△CAD^ACBA,

.CA=CD

"CBAC'

?.?-4-_C--D--,

64

:.CD="BD=BC-CD=坨,

33

：NDAM=ZDAC=ZDBA,ZADM^ZADB,

：.AADMsABDA,

8_

.AD=DM即丁_=也

"BDDA'獨名’

33

：.DM=—,MB=BD-DM=—,

155

,/ZABM=ZC=ZMED,

：.A,B、E、。四點共圓，

/ADB=ZBEM,NEBM=ZEAD=ZABD,

.MABDs/XMBE,（不用四點共圓，可以先證明推出△BMESAA?,

推出NBEM也可以！）

?AB=BD

"BMBE

?op-BM'DB_i

>.DtJj-------------------1

AB

故答案為：1.

DC

4.如圖，P是正方形ABC￡＞內一點，CP=CD,AP1BP,則出的值為

—2―

解：如圖，過點。作AP垂線交AP延長線于E,

(7

?.,四邊形ABC。是正方形，CP=CD,

：.BC=CP=CD,

：.ZPBC=ZBPC,ZDPC=ZPDC,

設ZPCD=x,則ZBPC=RO。-鏟。-X)=45。玲，/DPC=W.一、

：.ZBPD=450+90°=135°,

"：AP±BP,

：.ZAPD=360°-135°-90°=135°,

：.ZDPE=45°,

設DE=PE=y,

DP=VPE2+ED2=，

ZDAE+ZBAP=ZBAP+ZABP=9Q°,

ZDAE=ZABP,

在△ZME與AAB尸中,

,ZAPB=ZDEA

<ZDAE=ZABP,

AB=AD

：.AAPB^ADEA(A4S),

：.AP=DE=y,

.PA_y_V2

"PD7570

故答案為：亞.

2

5.如圖，正方形ABC。的邊長是6,對角線的交點為。點E在邊CD上且CE=2,CF±

BE,連接。R貝！I：(1)ZOFB45°；(2)0F=區(qū)

―5-

解：（1）在BE上截取BG=CR

?.,在正方形ABCDAC_LB￡>,ZABC=ZBCD=90°,AC=BD,BO=^BD,CO=」AC,

22

AC、8。分別平分NABC、/BCD,

:.BO=CO,/BOC=90°,NO2C=/OCD=45°,

'JCFLBE,

；.NCFE=90°,

AZFEC+ZECF=90°,

:NEBC+/FEC=90°,

ZEBC=ZECF,

：.ZOBC-ZEBC=ZOCD-ZECF,

：.ZOBG=ZFCO,

；.AOBG必OCF(SAS),

；.NBOG=NFOC,OG=OF,

：.ZGOC+ZCOF=90°,

：.NOFG=NOGF=45°,

故答案為：45°；

(2)在RtZXBCE中，根據勾股定理，得BE=2F5，

.「吁BCXCEsVlO

BE5

在Rtz\FCE中，根據勾股定理，得EF=H,

5

GF=BE-BG-EF=

5

在RtZXFCE中，根據勾股定理，得。尸=生叵，

故答案為：豆叵.

5

6.如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,。為BC的中點，過點。作。E_L￡>R交54的

延長線于點E,交AC的延長線于點F.若CF=L,AC=4,AB=2.則AE=10

解：延長即至G,使GD=FD,連接BG,如圖所示:

；￡)為BC的中點，：.BD=CD,

'BD=CD

在△BZ)G和△CDF中，，/BDG=/CDF,

GD=FD

ABDG"△CDF(.SAS),

:.BG=CF=工,/G=/F,

2

J.BG//CF,

:.XBGHs叢AFH,

7_

?GH_BH_BG_2__7_

"FHAHAFQ正，

.?.DH=A,加耳心，

FD112211

VZBAC=90°,AF=AC+CF=^-,

2

居產+(招)2=有醇,

???DH=±FH=共遙,

1511

VZ)E±￡>F,

AZEDH=90°=ZBACf

：,/E+/EHD=/F+/EHD=90°,

:?/E=/F,

/.ADHEs叢AHF,

.2ffi=DHPn_11

"IffAH'75屈15

2211

解得：HE=^-,

11

J.AE^HE-AH=^--m=10；

1111

故答案為：10.

E

7.設△ABC是正三角形，點尸在△ABC外，且與點A在直線BC異側,ZBPC=120°,

求證：PA=PB+PC.

解：如圖，延長8P至E,使尸E=PC,連接CE,

VZBAC+ZBPC=180°,且/8AC=60°,

.\ZBPC=120°,

：.ZCPE^60°,又PE=PC,

.,.△CPE為等邊三角形,

:.CP=PE=CE,NPCE=60°,

AABC為等邊三角形，

：.AC=BC,ZBCA=60°,

ZACB=/PCE,

NACB+NBCP=ZPCE+ZBCP,

即：ZACP=ZBCE,

?.,在△ACP和△BCE中，

M=BC

-ZACP=ZBCE,

PC=PE

AAACP^ABCE(SAS),

?；BE=BP+PE,

：.PA=PB+PC.

4

F

8.O。半徑為2,AB,OE為兩條直線.作DCUAB于C,且C為AO中點，P為圓上一個

動點.求2PC+PE的最小值.

解：延長。4到K,使AK=A0=2.

F冬

：C是AO的中點，

OC=^OA=1,

2

.QC_0P_1

"OP"OK2'

又,：/COP=/POK,

:ACOPs/XPOK,

/.2PC+PE=PE+PKNEK.

作即，BC于點"

?.?在直角△COD中，COS/DOCMUL」,

OD2

：.ZDOC^6Q°,

:./EOH=NDOC=6Q°,

：.HE=OE-sin60°=2X*_=7§,

EK=^52+(73)2=2>/7-

即最小值是2曲.

故答案是：2。

9.如圖，點尸為等邊△ABC外接圓，劣弧為8C上的一點.

(1)求