中考數(shù)學(xué)專項突破：單、多角平分線模型（含答案及解析）

大招單、多角平分線模型

模型介紹

模型一、角平分線垂兩邊

模型三'角平分線+平行線構(gòu)造等腰三角形

模型四、利用角平分線作對稱模型五、內(nèi)外模型

例題精講

考點一：角平分線垂兩邊模型

【例1].如圖，已知在四邊形ABC。中，NBCD=90°,3。平分/ABC,AB=6,BC=9,

CD=4,則四邊形ABC。的面積是.

A變式訓(xùn)練

【變式17].如圖，已知：ZB=ZC=90°,M是8C的中點，3M平分/AOC.

求證：(1)AM平分ND4B；

(2)AD=AB+CD.

【變式1-2].已知：如圖所示，點P為/A08的平分線上一點，PCLOA于C,ZOAP+

ZOBP=180",求證：OA+OB=2OC.

0B

考點二：角平分線垂中間模型

【例2】.如圖，3。是AABC的角平分線,AELBD,垂足為F.若/ABC=35°,ZC=50°

則/CDE的度數(shù)為.

A變式訓(xùn)練

【變式2-1].如圖，已知，ZBAC=90°,AB=AC,2。是/ABC的平分線，且CE_LBD

交2。的延長線于點E.求證：BD=2CE.

【變式2-2].如圖，在△ABC中，NABC=3NC,平分NBAC,BE1ADE,求證:

考點三：角平分線+平行線構(gòu)造等腰三角形

【例3].如圖，在Rt^ABC中，CM平分/ACB交于點過點M作MN〃BC交AC

于點N,且MN平分/AMC,若AN=l,則8c的長為.

M

BC

A變式訓(xùn)練

【變式3-1].如圖，在△ABC中，/ABC和/ACB的平分線交于點E,過點E作MN〃BC

交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,則線段MN的長為.

【變式3-2].(1)如圖△ABC中，BD、CD分別平分NA3C,ZACB,過點。作￡/〃2c

交AB、AC于點￡、F,試說明BE+CF=EP的理由.

(2)如圖，△ABC中，BD、C￡)分別平分NABC,ZACG,過。作EfWBC交AB、AC

于點E、F,則BE、CF、所有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明你的理由.

4

CG

考點四：利用角平分線作對稱

【例4].如圖，在△ABC中，NB=2NC,ZBAC的角平分線交BC于D.

求證：AB+BD=AC.

A

CDB

A變式訓(xùn)練

【變式4-1].如圖，在△ABC中，ZABC=60°,AD.CE分別平分N3AC、ZACB,求證:

AC=AE+CD.

【變式4-2]如圖，已知△A3C中，AB=AC,ZA=100°,5。平分NABC,求證：BC=

BD+AD.

RC

【變式4-3].如圖，ZkABC中，是NBAC的平分線，E、F分別為45、AC上的點，連

接。E、DF,ZEDF+ABAC=\^°.求證：DE=DF.

實戰(zhàn)演練

1.已知NAOB=80°,/B0C=5Q°,0。是/AOB的角平分線，?！晔荖20C的角平分

線，貝IJ/QOE

2.(1)如圖①在△ABC,NC=90°,AD平分/CAB,BC=6cm,BD=4cm,那么點。到

AB的距離是cm

(2)如圖②，已知/1=/2,Z3=Z4,求證：A尸平分N8AC.

A

3.如圖，已知在△ABC中，BE、分別是/ABC、/ACB的平分線，BE、CD相交于點

I,MBD+CE=BC.求乙4的度數(shù).

4.如圖，在△ABC中，BD,分另ij平分/ABC和/AC8,DE//AB,DF//AC.若BC=6,

則△。瓦'的周長為

BEC

5.如圖，已知AO〃BC,NB43的平分線與NQM的平分線相交于E,CE的連線交A尸于

6.如圖，在RtzXABC中，ZABC=90°,CD平分NACB交A3于點O,QE_LAC于點E,

7.如圖，已知等腰直角三角形A3C中，ZA=90°,AB=AC,5。平分NABC,CELBD

于點E,若△BCD的面積為16,則BD的長為（）

A.16B.8C.6D.4

8.如圖，在AABC中，AD是/BAC的外角平分線，尸是上異于點A的任一點，試比

較P8+PC與4B+AC的大小，并說明理由.

10.如圖，BD、CD分別平分/ABC、ZACB,過點。作直線分別交AB、AC于點E、F,

AE=AF,BE=4,CF=2,回答下列問題：

(1)證明：ED=FD-,

(2)試找出NBOC與NA的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)求政的長.

11.感知：如圖1,平分/BAC.ZB+ZC=180°,ZB=90°,易知：DB=DC.

探究：如圖2,AD平分/BAGZABD+ZACD=180°,ZABD<90°,求證：DB=DC.

應(yīng)用：如圖3,四邊形ABC。中，/B=45°,NC=135°,DB=DC=a,貝l|AB-AC

=（用含a的代數(shù)式表示）

探究:

12.如圖，已知AABC的三個內(nèi)角的平分線交于點O,點。在CA的延長線上，且AO=AO,

CB=CD,連接8D.

(1)求證：NOBD=NODB；

(2)若/8AC=80°,求/ACB的長度.

D

13.(1)如圖①，在RtZXABC中，NC=90°,NB=45°,平分NBAC,交BC于點D如

果作輔助線。E_LAB于點E,則可以得到AC、CD、AB三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為一^

=AC+CD；

(2)如圖，△ABC中，NC=2/B,平分N8AC,交BC于點D.(1)中的結(jié)論是否

仍然成立？若不成立，試說明理由；若成立，請證明.

14.如圖①，AB=AC,8。平分/ABC,CD平分/ACB.

（1）①圖中有哪幾個等腰三角形？如圖②，若過。作EfWBC交AB于點E,交AC于

點F,則圖②比圖①增加了幾個等腰三角形？

（2）如圖③，若ABWACHBC,其他條件不變，則該圖中有哪幾個等腰三角形？請直接

寫出線段ERBE,CF之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖④，若乙42c的平分線3。與△ABC的外角NACG的平分線C。相交于點0,

過點。作。石〃BC,交AB于點E,交AC于點R這時圖中有哪幾個等腰三角形？請寫

出線段ERBE,CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

A4AA

大招單、多角平分線模型

模型介紹

模型一、角平分線垂兩邊

模型三'角平分線+平行線構(gòu)造等腰三角形

模型四、利用角平分線作對稱模型五、內(nèi)外模型

例題精講

考點一：角平分線垂兩邊模型

【例1].如圖，己知在四邊形ABC。中，/BCD=90°,2。平分/ABC,AB=6,BC=9,

CD=4,則四邊形ABC。的面積是30.

解：過點。作。ELBA的延長線于點E,如圖所示.

：80平分/ABC,

：.DE=DC=4,

S四邊形ABCD=SAABD+SABCD,

=XAB'DE+—BC-CD,

22

=Ax6X4+ix9X4,

22

=30.

故答案為：30.

A變式訓(xùn)練

【變式17].如圖，已知：ZB=ZC=90°,M是BC的中點，0M平分NADC.

求證：(1)AM平分NZM&(2)AD=AB+CD.

(1)證明：過點M作ME_L4￡)于E,

VZB=ZC=90°,

：.MB1AB,MCLCD,

平分NADC,MEVAD,MCLCD,

：.ME=MC,

??,”是5c的中點，

：.MC=MB,

：.MB=ME,

MBLAB,MEI.AD.

JAM平分ND43.

(2)

VME±AD,MC.LCD,

：.ZC=ZDEM=90°,

在RtADCM和RtADEM中，

JDM=DM?

1EM二CM,

RtADCM^RtADEM(HL),

：.CD=DE,

R]SAE=AB,

\'AE+DE=AD,

；?CD+AB=AD.

AR

【變式1-2],已知：如圖所示，點P為NAOB的平分線上一點，PCLOA于C,ZOAP+

證明：作尸￡>_1_。2于。.

AZPDO=90°.

'：P為ZAOB的平分線OP上一點，PC±OA

：.PC=PD.ZPCA=90°.

：.ZPCA=ZPDO.

在RtAPCO和RtAPDO中，

[POPO

1PC=PD

.".RtAPCO^RtAPDO(HL),

：.OC=OD.

'：Z0BP+ZDBP=18Q°,且N0AP+N02P=180°,

：.NOAP=NDBP.

在△ACP和△2。尸中，

，ZPCA=ZPD0

<Z0AP=ZDBP,

PC=PD

.?.△ACP空ABDP(AAS),

：.AC=BD.

\'AO+BO=AC+CO+BO,

：.AO+BO=BD+BO+CO,

：.AO+BO=DO+CO,

：.AO+BO^2CO,

考點二：角平分線垂中間模型

【例2].如圖，8。是△ABC的角平分線，AE_L8。，垂足為凡若/ABC=35°,/C=50°,

則/CUE的度數(shù)為45°.

A

解：是△ABC的角平分線,

AZABF^ZEBF=—ZABC^17.5°,

2

又；AELBD,

ZAFB=ZEFB=90°,

：.ZBAF=ZBEF=90°-17.5°=72.5°,

VZABC=35°,ZC=50°,

AZBAC=180°-35°-50°=95°,

AZAZ)B=180°-95°-17.5°=67.5°,

由于3。是△8DE的對稱軸，由對稱性可知，NADB=/EDB=67.5°,

AZCDE=180°-67.5°-67.5°=45°,

故答案為：45°.

A變式訓(xùn)練

【變式27].如圖，已知，ZBAC=90°,AB=AC,8。是/ABC的平分線，且CE_L8O

交加)的延長線于點￡.求證：BD=2CE.

B7-------------

證明：如圖,延長CE與BA的延長線相交于點F,

,：ZEBF+ZF=90°,ZACF+ZF=90°,

NEBF=ZACF,

在△AB。和△ACB中,

ZEBF=ZACF

AB=AC

ZBAC=ZCAF

/.AABD^AACF(ASA),

：.BD=CF,

：8。是/ABC的平分線，

ZEBC=ZEBF.

在△BCE和△BFE中，

,ZEBC=ZEBF

-BE=BE,

ZCEB=ZFEB

AABCE^ABFE(ASA),

CE=EF,

：.CF=2CE,

:.BD=CF=2CE.

【變式2-2].如圖，在△ABC中，/ABC=3/C,A。平分NBAC,BE±ADE,求證:

BE=L(AC-AB).(提示：延長BE交AC于點廠).

2

'：BF±AD,

：.ZAEB=NAEF.

'：AD平分入BAC,

：.ZBAE=ZFAE

在△ABE和△ABE中，

，ZAEB=ZAEF

-AE=AE,

ZBAE=ZFAE

:./XABEHAFE(ASA)

：.ZABF=ZAFB,AB=AF,BE=EF.

'：ZC+ZCBF=ZAFB=NABF,

ZABF+ZCBF=ZABC=3ZC,

：.ZC+2ZCBF=3ZC,

：.ZCBF=ZC.

：.BF=CF,

：.BE=^BF=^-CF.

22

CF=AC-AF=AC-AB,

考點三：角平分線+平行線構(gòu)造等腰三角形

【例3].如圖，在RtZxABC中，CM平分NAC8交AB于點過點M作MN〃BC交AC

于點N,且MN平分/AMC,若AN=\,則BC的長為6.

解：在RtAABC中，CM平分NACB交AB于點M,過點M作MN//BC交AC于點N,

且MN平分NAMC,

ZAMN^ZNMC=ZB,NNCM=NBCM=NNMC,

：.ZACB=2ZB,NM=NC,

.?./B=30°,

\'AN=1,

:.MN=2,

:.AC=AN+NC=3,

:.BC=6,

故答案為6.

A變式訓(xùn)練

【變式3-1].如圖，在△ABC中，/ABC和/ACB的平分線交于點E,過點E作"N〃BC

交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,則線段跖V的長為9.

解：：NA2C、/4CB的平分線相交于點E,

；?NMBE=NEBC,NECN=NECB,

■:MN〃BC,

：.ZEBC=ZMEB,ZNEC=ZECB9

：.ZMBE=ZMEB,NNEC=/ECN,

：.BM=ME,EN=CN,

:?MN=ME+EN,

即MN=BM+CN.

?：BM+CN=9

:.MN=9,

故答案為：9.

【變式3-2].(1)如圖AABC中，BD、CD分別平分NA3C,ZACB,過點。作EF〃3C

交AB、AC于點E、F,試說明3耳。尸=■的理由.

(2)如圖，△A3C中，BD、CD分別平分NABC,Z.ACG,過。作EF〃3。交A3、AC

于點E、F,則5及CF、取有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明你的理由.

A

解：(1)???3。平分NA5C,

NABD=/CBD,

,:EFIIBC,

：?/EDB=NDBC,

：.NABD=NEDB,

：?BE=ED,

同理。尸=C尸，

：.BE+CF=EF；

(2)BE-CF=EF,

由(1)知

VEF//BC,:?NEDC=/DCG=/ACD,

CF=DF,

又,：ED-DF=EF,

：.BE-CF=EF.

考點四：利用角平分線作對稱

【例4].如圖，在△ABC中，ZB=2ZC,的角平分線交于。.

求證：AB+BD^AC.

證明：在AC取一點E使A8=AE,

在△AB。和中，

，AB=AD

<ZBAD=ZEAD,

AD=AD

AABD^AA￡￡),

ZB=ZAED,BD=DE,

又,：/B=2/C,

：.ZAED=2ZC,

'：ZAED是△EOC的外角,

：.ZEDC=ZC,

：.ED=EC,

：.BD=EC,

：.AB+BD=AE+EC=AC.

【變式4-1].如圖，在△ABC中，ZABC=6Q°,AD,CE分別平分NBAC、ZACB,求證:

AC^AE+CD.

證明：在AC上取A/=AE,連接。尸,

平分/2AC、

：.ZEAO=ZFAO,

在△AEO與△AFO中，

'AE=AF

<ZEAO=ZFAO

AO=AO

A/\AEO^/\AFO(SAS),

ZAOE=ZAOF；

\"AD,CE分別平分/R4C、ZACB,

：.ZECA+ZDAC^^ZACB+^ZBAC^^-(ZACB+ZBAC)=』(180°-ZB)=60°

2222

則/AOC=180°-ZECA-ZDAC=120°；

AZAOC=ZDOE=120°,ZAOE=ZCOD=ZAOF=60°,

則/CO尸=60°,

：.ZCOD=ZCOF,

'/COD=/COF

...在△POC與△OOC中，，COHO,

ZFCO=ZDCO

.?.△FOC^ADOC(ASA),

：.DC^FC,

,：AC=AF+FC,

：.AC^AE+CD.

【變式4-2].如圖，已知△ABC中，AB=AC,ZA=100°,8。平分/ABC,求證：BC=

BD+AD.

證明：如圖，在2C上截取延長2D到尸使2尸=BC,連接。E、CF.

又；N1=N2,BD是公共邊,BE=BA,

：.AABD絲AEBD

：.ZDEB=ZA=10Q°,則得NDEC=80°

'：AB^AC,BD平分NABC,

：.ZABC=Z3=^：0°-100°=40°,

2

.?./1=/2=/虹?=20°,Z3=40°

2

,:BC=BF,Z2=20°,

.,.ZF=ZFCB=A(180°-Z2)=80°則NP=NZ)EC

2

AZ4=80°-Z3=40°,

；./3=N4,NF=/DEC,

又,：DC=DC,

：.ADCE^ADCFCAAS)

：.DF=DE=AD

：.BC=BF=BD+DF=BD+AD

【變式4-3].如圖，△ABC中，A。是/BAC的平分線，E、E分別為A3、AC上的點，連

接DE、DF,Z￡DF+ZBAC=180°.求證：DE=DF.

；AZ)是/BAC的平分線，

：.Z1=Z2,

，AG=AF

在△A￡?G與中，，Z1=Z2,

AD=AD

/\AGD^/\AFD(SAS)

ZAGD=ZAFD,DG=DF

又???NAEO+NEOF+N￡>M+NE4E=360°,ZEDF+ZBAC=1SO°.

??,NAEO+NA尸0=180°,

又N4+NAGZ)=180°,

???N4=N3,

:?DE=DG,

：.DE=DF.

成j實戰(zhàn)演練

1.已知乙4。8=80°,ZBOC=50°,。。是/A0B的角平分線，?！晔荖BOC的角平分

線，則/。。￡=65°或15°.

解：：/AOB=80°,N2OC=50°,且。￡>,0E分另I］為/A02,/B0C的角平分線，

.,./BOD=』NAOB=40°,/EOB=L/BOC=25。,

22

①當(dāng)0c在/A0B內(nèi)時，如圖1,

圖1

AZDOE=ZDOB-ZEOB=40a-25°=15°.

②當(dāng)OC在NAO8外時，如圖2,

圖2

NDOE=NDOB+NEOB=400+25°=65°.

綜上所述，NDOE的度數(shù)為65°或15°.

故答案是：65°或15°?

2.(1)如圖①在△ABC,ZC=90°，平分/CAB,BC=6cm,BD=4cm,那么點。到

AB的距離是2cm

(2)如圖②，己知/1=N2,N3=/4,求證：AP平分NBAC.

圖①圖②

解：(1)如圖①，作。ELLAB于E,

BC—6cm,BD—4cm,

CD=2cm,

平分NC4B,/C=90°,DELAB,

：.DE=CD=2cm,即點D到AB的距離是2cm,

故答案為：2；

(2)證明：如圖②，作PO_LAB于。，PELBC于E,PF±ACF,

VZ1=Z2,PDLAB,PELBC,

：.PD=PE,

同理，PF=PE,

:.PD=PF,又PFLAC,

：.AP平分NA4C.

圖①圖②

3.如圖，已知在△A8C中，BE、分別是/ABC、/ACB的平分線，BE、CD相交于點

I,MBD+CE=BC.求NA的度數(shù).

'：BD+CE=BC,

：.CF=CE,

:BE、CD分別是NABC、NACB的平分線，

；./1=/2,NECI=NFCI,

'BD=BF

在△3。/與△BF/中，，Z1=Z2,

BI=BI

；.ABDI%ABFI(SAS),

ZBFI=ZBDI,

同理，ZCFI=ZCEI,

VZBFZ+ZCFZ=180°,

；.NBDI+NCEI=180°,

：.ZAD/+ZA￡Z=180°,

AZA+ZDZE=180°,

；/￡)/E=NB/C=180°-/2-Z7C尸=180°-A(ZABC+ZACB)=180°-工(180°

22

-ZA)=180°-ZA,

AZA=60°.

4.如圖，在△ABC中，BD,CD分另U平分NA5C和NAC5,DE//AB,DF//AC.若BC=6,

則的周長為6.

/.NABD=NEBD,

9：ED//AB,

：.ZBDE=ZABD=NEBD,

：.BE=ED.

同理可得DF=FC,

：.DE+EF+DF=BE+EF+FC=BC=6.

故答案為：6.

5.如圖，已知AO〃BC,NB48的平分線與NQ5A的平分線相交于E,CE的連線交AP于

證明：如圖，延長BE交A尸于點R

'：AD//BC,

：./AFE=NCBE,

VZPAB的平分線與NCSA的平分線相交于E,

：.ZFAE=ZBAE,NCBE=NABE,

：.ZAFE=NABE,

在△AFE和△ABE中,

，ZAFE=ZABE

<ZFAE=ZBAE,

AE=AE

:.ZxAFEdABE(AAS),

：.FE=BE,AF=AB,

在△QEb和ACEB中，

,ZDFE=ZCBE

-FE=BE,

ZFED=ZBEC

:.△DE04CEB(ASA),

：.DF=BC,

：.AD+BC^AD+DF^AF^AB.

P

Aa

6.如圖，在RtZXABC中，ZABC=90°,CO平分NACB交AB于點。，OE_LAC于點E,

BF〃DE交CD于點、F.求證：DE=BF.

B

證明：VCDWZACB,

/.Z1=Z2,

VZ1=Z2,DELAC,ZABC=90°

：.DE=BD,

VZ3=90°-Zl,Z4=90°-Z2,

.".Z3=Z4,

"."BF//DE,

：.Z4=Z5,

AZ3=Z5,

：.BD=BF,

:.DE=BF.

7.如圖，已知等腰直角三角形ABC中，/A=90°,AB=AC,8。平分NA3C,CE±BD

于點E,若4BCD的面積為16,則BD的長為（）

解：方法一：過。作。于R

平分/ABC,ZA=90°,

：.AD=DF,

VZA=90°,AB^AC,

：.ZABC=ZACB=45°,

/.ACDF是等腰直角三角形，

：.DF=CF,

設(shè)4D=Z)F=CF=x,

=22

CDVDF<F=Mx,

：.AB=AC=(1+V2)x,

在RtAABD與RtAFBD中,

[AD=DF,

(BD=BD'

RtAABD^RtAFBD(HL),

：.BF=AB=(1+V2)x,

:.BC=BF+CF=(2+V2)x，

,:ABCD的面積為16,

；.1.BC'DF=^X(2+V2)尤，x=16,

22

.,.?=16(2-&),

.\DF2=16(2-V2)>8產(chǎn)=16(&+2),

?'-B￡)=VBF2+DF2=8-

方法二：

延長延長CE和A4交于F,

VZA=90°,AB=AC,

：.ZCAF=90°,

???BD平分NABC,BELCF,

：.ZABD=ZCBD,ZBEC=90°,

■:/BDA=/CDE,

：.ZABD=ZACF,

：.^ABD^AACF(A4S),

:?BD=CF,

?：ABE=NCBE,BELCF,

:?CF=BD=2CE,

CE=X,貝1」5。=2九，

???△BCD的面積為16,

.??CE=工x2x?x=16,

22

??x=4,

:?BD=8,

故選：B.

8.如圖，在△ABC中，A。是/A4C的外角平分線，尸是A。上異于點A的任一點，試比

較PB+PC與ABMC的大小，并說明理由.

解：PB+POAB+AC.

如圖，在班的延長線上取一點E,使AE=AC,連接EP,

由4。是NBAC的外角平分線，可知/CAP=/E4P,

又AP是公共邊，AE=AC,

在△ACP與中，

fAE=AC

.ZEAP=ZCAP,

AP=AP

/.AACP^AAEP(SAS),

從而有PC=PE,在△BPE中，PB+PE>BE,

而BE—AB+AE=AB+AC,

故PB+PE>AB+AC,

所以PB+POAB+AC.

9.已知：如圖，在△ABC中，ZABC=3ZC,Z1=Z2,BE1AE.

求證：AC-AB=2BE.

證明：延長BE交AC于M

'：BE±AE,

：.ZAEB=ZAEM=90°

在/XABE中，

VZ1+Z3+ZAEB=18O°,

.".Z3=90°-Z1

同理，Z4=90°-Z2

VZ1=Z2,

???N3=N4,

：.AB=AM

9

：BE±AEf

：.BM=2BE,

：.AC-AB=AC-AM=CM,

???N4是的外角

Z4=Z5+ZC

VZABC=3ZC,：.ZABC=Z3+Z5=Z4+Z5

???3NC=N4+N5=2N5+NC

：.Z5=ZC

：.CM=BM

：.AC-AB=BM=2BE

A

10.如圖，BD、CO分別平分NABC、ZACB,過點0作直線分別交A3、AC于點E、F,

若AE=ARBE=4,CF=2,回答下列問題：

(1)證明：ED=FD；

(2)試找出N3DC與NA的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)求EF的長.

(1)證明：過。點分別作。G，5C,DKLAB,DHLAC,垂足分別為G,K,H,如圖,

；?NEKD=NFHD=90°,

?「BD平分NABC,CO平分NAC3,

:?DK=DG=DH,

在△EKD和中，

，ZDKE=ZDHF

?ZKED=ZHFD,

DK=DH

?：AE=AF

：.ZAEF=ZAFE,

:.叢EKD”叢FHD(A4S),

：.ED=FD；

(2)解：ZB￡?C=90°+AZA.

2

理由如下：

平分/ABC,CO平分/ACB,

：.ZDBC=-ZABC,ZDCB=^ZACB,

22

：.ZDBC+ZDCB=—(NABC+NACB),

2

:NBDC+NDBC+NDCB=180°,

AZBDC+A(ZABC+ZACB)=180。,

2

VZA+ZABC+ZACB=180°,

ZABC+ZACB=180°-NA,

ZBDC+—(180°-ZA)=180°,

2

：.ZBDC=9Q°+1NA；

2

(3)解：如圖，

:BD,CD分別平分/ABC,ZACB,

：.Zl=Z2,Z3=Z4,

VZ2+Z7+Z4=180°,Z5+Z6+Z7=180°,

.\Z2+Z4=Z5+Z6,即N1+N3=N5+N6,

??ZA￡F=ZAFE,

.\Z1+Z5=Z3+Z6,

；./5=/3,Z1=Z6,

：ABEDsACED,

:.ED：CF=BE：DF,

,:DE=DF,

則ED2=CFBE=2X4=S,

則ED=2>/2-

：.EF=2ED=4^2.

探究：如圖2,A。平分NBAC,ZABD+ZACZ)=180°,ZABD<90°,求證：DB=DC.

應(yīng)用：如圖3,四邊形ABC。中，ZB=45°,ZC=135°,DB=DC=a,貝!JAB-AC

=_V2?_(用含。的代數(shù)式表示)

圖①圖②圖③

探究：

證明：如圖②中，DE±ABE,DF±ACF,

：D4平分/BAC,DELAB,DFLAC,

：.DE=DF,

'：ZB+ZACD=180°,ZACD+ZFCD=ISO0,

/B=ZFCD,

在ADFC和ADEB中，

'NF=/DEB

-ZFCD=ZB,

DF=DE

:.叢DFC沿/\DEB(AAS),

：.DC=DB.

應(yīng)用：解：如圖③連接A。、DELABE,DF±ACF,

VZB+ZACD=180°,ZACD+ZFC￡>=180°,

ZB=NFCD,

在△。尸C和△￡>EB中,

2F=NDEB

-ZFCD=ZB

DC=DB

:.叢DFC絲叢DEB(AA5),

：.DF=DE,CF=BE,

在RtAADF和RtAADE中，

[AD=AD,

1DE=DF，

A/\ADF^/\ADE(H￡),

：.AF=AE,

：.AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)=2BE,

在RtZ\￡>EB中，VZDEB=90°,ZB=ZEDB=45°,BD=a,

：.BE=,^a,

2

.'.AB-AC=A/2<3.

故答案為迎a.

圖②

12.如圖，已知AABC的三個內(nèi)角的平分線交于點O,點。在CA的延長線上，且A￡)=A。,

CB=CD,連接BZ).

(1)求證：NOBD=NODB；

(2)若N8AC=80°,求NACB的長度.

證明：(1)：△ABC三個內(nèi)角的平分線交于點O,

ZACO^ZBCO,

在△(%)〃和△COB中，

rCD=CB

,ZOCD=ZOCB,

CO=CO

???△COD名△COB(SAS),

:?OD=OB,ZOBC=ZODC,

：.ZOBD=ZODB；

(2)VZBAC=80°,

：.ZBAD=100°,

AZBAO=40°,

：.ZDAO=140°,

*：AD=AO,

AZODA=20°,

：.ZCBO=20°,

AZABC=40°,

：.ZBCA=60°.

13.(1)如圖①，在RtZVIBC中，NC=90°,NB=45°,A。平分NBA。，交BC于點。.如

果作輔