北師版八年級數(shù)學上冊期末復習考點 清單05 二元一次方程組（12個考點梳理+題型解讀+提升訓練）

清單05二元一次方程組（12個考點梳理+題型解讀+提升訓練）

【清單01】二元一次方程（組）定義1.二元一次方程組定義含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程，叫做二元一次方程．2.二元一次方程組定義方程組中含有兩個未知數(shù)，含有每個未知數(shù)的項得次數(shù)都是1，并且一共有兩個方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組．如：把x+y=2和x-y=0合在一起寫成，3.二元一次方程（組）的解（1）使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．（2）二元一次方程組中兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.【清單02】解二元一次方程組（1）消元思想二元一次方程組中有兩個未知數(shù)，如果消去其中一個未知數(shù)，那么就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，我們可以先求出一個未知數(shù)，然后再求另一個未知數(shù)．像這種將未知數(shù)的個數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想．（2）代入消元法把二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解．這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法．（3）加減消元法當二元一次方程組的兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程．這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.【清單03】二元一次方程（組）應用的一．解題步驟步驟1．審題：透徹理解題意，弄清問題中的已知量和未知量，找出問題給出和涉及的相等關系；2．設元（未知數(shù)）：根據(jù)題意，可以直接設未知數(shù)，也可以間接設未知數(shù)；3．列代數(shù)式和方程組：用含所設未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù)，根據(jù)題中給出的等量關系列出方程組，一般情況下，未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)是相同的；4．解方程組；5．檢驗：檢驗方程的根是否符合題意；6．作答：檢驗后作出符合題目要求的答案．二、基本公式單價×數(shù)量=總價利潤=實際售價-成本實際售價=標價（原價）×折扣利潤率=×100【清單04】一次函數(shù)與二元一次方程一次函數(shù)y=kx+b的圖像上任意一點的坐標都是二元一次方程kx-y+b=0的解；以二元一次方程kx-y+b=0的解為坐標的點都在一次函數(shù)y=kx+b的圖像上.【清單05】一次函數(shù)與二元一次方程組在同一直角坐標系中，兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標就是相應的二元一次方程組的解.反過來，以二元一次方程組的解為坐標的點一定是相應的兩個一次函數(shù)的圖象的交點.如一次函數(shù)與圖象的交點為(3，－2)，則就是二元一次方程組的解.用一次函數(shù)的圖像求二元一次方程組的解的方法稱為二元一次方程組的圖像解法.注意：1.當二元一次方程組無解時，相應的兩個一次函數(shù)在直角坐標系中的直線就沒有交點，則兩個一次函數(shù)的直線就平行.反過來，當兩個一次函數(shù)直線平行時，相應的二元一次方程組就無解.如二元一次方程組無解，則一次函數(shù)與的圖象就平行，反之也成立.2.當二元一次方程組有無數(shù)解時，則相應的兩個一次函數(shù)在直角坐標系中的直線重合，反之也成立.【清單06】方程組解的幾何意義1．方程組的解的幾何意義：方程組的解對應兩個函數(shù)的圖象的交點坐標．2．根據(jù)坐標系中兩個函數(shù)圖象的位置關系，可以看出對應的方程組的解的情況：根據(jù)交點的個數(shù)，看出方程組的解的個數(shù)；根據(jù)交點的坐標，求出（或近似估計出）方程組的解．3.對于一個復雜方程組，特別是變化不定的方程組，用圖象法可以很容易觀察出它的解的個數(shù)．【考點題型1】二元一次方程（組）的概念

【典例1-1】方程2xm+1+3y2n?1=7是關于x，

【典例1-2】下列方程組中，是二元一次方程組的是（

）A．1x+y=4x?y=1C．x+y=4x?y=1 D．【變式1-1】下列方程中，是二元一次方程的是（

）A．2x2=y B．2x=3y C．2x+1=5【變式1-2】下列方程組是二元一次方程組的是（

）A．x?y=3y+z=4 B．C．xy=33x?y=4 D．【變式1-3】已知方程m+1x?3ym=0是關于x，y【考點題型2】二元一次方程（組）的解

【典例2-1】二元一次方程3x?y=1的解可以為（

）A．x=0y=1 B．x=1y=2 C．x=?1y=?2【典例2-2】下列二元一次方程組的解為x=1y=2A．x?y=13x+y=5 B．x?2y=?33x+y=5 C．x?y=?13x+y=?5【變式2-1】已知x=2y=1是方程kx+y=3的一個解，那么k的值是【變式2-2】關于x，y的二元一次方程3x+y=7的正整數(shù)解的組數(shù)有（）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【變式2-3】已知x=2y=1是二元一次方程組mx+y=?3x?2y=2n的解，則m+n=【考點題型3】解二元一次方程組

【典例3】（1）用代入法解方程組x?2y=?1①（2）用加減法解方程組2x+3y=3①【變式3-1】解下列方程組：(1)2x?y=?812x+2y=【變式3-2】解方程組：(1)3x?2y=9x+2y=?1；(2)2x?5y=?21【變式3-3】解方程．(1)x+y=32x?y=0；(2)2x+y=3【考點題型4】二元一次方程組-同解型

【典例4】已知方程組2x+3y=10ax+by=9與方程組bx?ay=8(1)求相同的解(2)求a,b的值．【變式4-1】方程組x=4ax+by=5的解與方程組y=3bx+ay=2的解相同，則a、b的值是（A．a(chǎn)=2b=1 B．a(chǎn)=2b=?1 C．a(chǎn)=?2b=1【變式4-2】已知方程組2x+y=?2ax+by=?4和方程組3x?y=12bx+ay=?8的解相同，求【變式4-3】閱讀下列文字，請仔細體會其中的數(shù)學思想：(1)解方程組3x?2y=23x+2y=4，我們利用加減消元法，很快可以求得此方程組的解為(2)如何解方程組3m+5?2n+3=23m+5+2n+3=4呢，我們可以把m+5，n+3分別看成一個整體，設m由此請你解決下列問題：(3)若關于m，n的方程組am+bn=152m?bn=?2與3m+n=5am?bn=?1有相同的解，求a，【考點題型5】二元一次方程組-錯解型

【典例5】甲、乙兩人解方程組ax+by=2cx?7y=8，甲正確地解得x=3y=?2，乙因為把c看錯，誤認為d，解得x=?2y=2，求a、b、c【變式5-1】甲、乙兩人同解方程組ax?4y=?6①5x=by+10②時，甲看錯了方程①中的a，解得x=3y=1，乙看錯②中的(1)求正確的a，b的值；(2)求原方程組的正確解．【變式5-2】在解方程組ax+y=52x?by=13時，由于粗心，甲看錯了方程組中的a，得解為x=72y=?2，乙看錯了方程組中的(1)原方程組中的a和b各是多少？(2)求原方程組的解．【變式5-3】甲、乙兩人解關于x、y的方程組3x?by=?1①ax+by=?5②時，甲因看錯a得到方程組的解為x=1y=2，乙將方程②中的(1)求a、b的值；(2)求原方程組的解．【考點題型6】二元一次方程組應用幾何問題

【典例6】如圖，在大長方形ABCD中，放入8個小長方形，(1)每個小長方形的長和寬分別是多少厘米？(2)圖中陰影部分面積為多少平方厘米？8【變式6-1】如圖是由截面為同一種長方形的墻磚粘貼的部分墻面，其中三塊橫放的墻磚比一塊豎放的墻磚高10cm，兩塊橫放的墻磚比兩塊豎放的墻磚低40cm，則每塊墻磚的截面面積是（A．600cm2 B．1200cm2 C．【變式6-2】一副三角扳按如圖方式擺放，且∠1的度數(shù)比∠2的度數(shù)大50°，若設∠1＝x°∠2＝y(tǒng)°，則可得到方程組為

A． B． C． D．【變式6-3】學校為了提高綠化品位，美化環(huán)境，準備將一塊周長為76m的長方形草地，設計分成長和寬分別相等的9塊小長方形，（放置位置如圖所示），種上各種花卉．經(jīng)市場預測，綠化每平方米造價約為108元．（1）求出每一個小長方形的長和寬．（2）請計算完成這項綠化工程預計投入資金多少元？【考點題型7】二元一次方程組應用經(jīng)濟問題

【典例7】學校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品．已知購買3個A獎品和2個B獎品共需120元；購買5個A獎品和4個B獎品共需210元．(1)求A，B兩種獎品的單價；(2)學校準備購買A，B兩種獎品共30個，且A獎品的數(shù)量不少于10個，請用學過的函數(shù)知識說明怎樣購買最省錢？按此方案購買獎品共需多少錢？【變式7-1】2023年的中秋節(jié)和國慶節(jié)恰逢同一周，為更好地滿足本地市民和外地游客的消費需求，青島市某商場在雙節(jié)黃金周前投入13800元資金購進甲、乙兩種水果共500箱，這兩種水果的成本價和標價如下表所示：類別/單價成本價標價（元/箱）甲24乙3348(1)該商場購進甲、乙兩種水果各多少箱？(2)為了促銷，該商場將甲種水果按成本價提高50%【變式7-2】春節(jié)前夕，某商場從廠家購進了甲、乙兩種商品共50件，所用資金恰好為4400元．這兩種商品的進價如表：商品名稱甲種乙種進價（元/件）80100(1)該商場購進甲、乙兩種商品各多少件?（列方程組解）(2)在銷售時，甲種商品的每件售價為100元，要使得這50件商品所獲總利潤率為20%，每件乙商品的售價為多少元?（列方程解）【變式7-3】某禮品店為迎接農(nóng)歷新年的到來，準備購進一批適合學生的禮品.已知購進4件A禮品和12件B禮品共需360元，購進8件A禮品和6件B禮品共需270元.(1)（列二元一次方程組）求A，B兩種禮品每件的進價.(2)該店計劃將5000元全部用于購進A，B這兩種禮品，設購進A禮品m件，B禮品n件.①求n與m之間的關系式；②該店進貨時，廠家要求A禮品的購進數(shù)量不少于100件.已知A禮品每件售價為20元，B禮品每件售價為35元.設該店全部售出這兩種禮品可獲利W元，求W與m之間的關系式和該店所獲利潤的最大值.【考點題型8】二元一次方程組應用方案問題

【典例8】隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某4S店用120萬元購進A，B兩種新能源汽車進行銷售，這兩種汽車的進價和售價如下表所示，全部銷售后可獲毛利潤16萬元．[毛利潤=（售價?進價）×銷售量]AB進價/（萬元/輛）1512售價/（萬元/輛）16.514(1)該4S店購進A，B兩種新能源汽車各多少輛？(2)由于銷售狀況特別好，該4S店決定再用240萬元同時購進A，B兩種新能源汽車（240萬元資金剛好用完且兩種汽車均購買），有哪幾種購買方案？【變式8-1】隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們的新寵．某汽車4S店計劃購進一批新能源汽車進行銷售．據(jù)了解，購進3輛A型新能源汽車、2輛B型新能源汽車共需95萬元；購進4輛A型新能源汽車、1輛B型新能源汽車共需110萬元．(1)問A、B兩種型號的新能源汽車每輛進價分別為多少？(2)若銷售1輛A型汽車可獲利1.2萬元，銷售1輛B型汽車可獲利0.8萬元，該4S店正好用250萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），假如這些新能源汽車全部售出，問共有哪幾種購買方案？其中最大利潤是多少？【變式8-2】為了響應“綠色環(huán)保，節(jié)能減排”的號召，小華家準備購買A，B兩種型號的節(jié)能燈，已知購買1盞A型和2盞B型節(jié)能燈共需要40元，購買2盞A型和3盞B型節(jié)能燈共需要70元．(1)A，B兩種型號節(jié)能燈的單價分別是多少元？(2)若要求這兩種節(jié)能燈都買，且恰好用了50元，則有哪幾種購買方案？【變式8-3】某物流公司運送捐贈物資，已知用3輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運貨9噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運貨8噸；若現(xiàn)有物資19噸，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿物資．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)1輛A型車和1輛B型車都載滿物資一次可分別運送多少噸？(2)求該物流公司的所有租車方案；(3)若1輛A型車需租金90元/次，1輛B型車需租金120元/次．請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費．【考點題型9】二元一次方程組應用分配問題

【典例9】列方程或方程組解應用題福林制衣廠現(xiàn)有24名制作服裝的工人，每天都制作某種品牌的襯衫和褲子，每人每天可制作這種襯衫3件或褲子5條．已知制作一件襯衫可獲得利潤30元，制作一條褲子可獲得利潤16元，若該廠要求每天獲得利潤2100元，則需要安排多少名工人制作襯衫？多少名工人制作褲子？【變式9-1】張氏包裝廠承接了一批紙盒加工任務，用如圖①所示的長方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成如圖②所示的豎式與橫式兩種上面無蓋的長方體紙盒（加工時接縫材料不計）．(1)做1個豎式紙盒和2個橫式紙盒，需正方形紙板___________張（直接填空），需長方形紙板___________張（直接填空）．(2)若該廠購進正方形紙板162張，長方形紙板338張，問豎式紙盒、橫式紙盒各加工多少個，恰好能將購進的紙板全部用完？（要求列二元一次方程組解決此問題）【變式9-2】某學?，F(xiàn)有若干間學生宿舍，準備安排給若干名學生住宿．原計劃每間住8人，則有10間宿舍無人居住．由于疫情防控需要，每間宿舍只能住5人，則有10人無法入住．問該?，F(xiàn)有多少間學生宿舍？有多少名學生？【變式9-3】用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制作24個盒身，或制作32個盒底，一個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒，現(xiàn)有40張白鐵皮請用二元一次方程組的知識解答下列問題．（1）問用多少張制作盒身，多少張制作盒底可以使盒身與盒底正好配套？（2）已知一張白鐵皮的成本為120元，每張制作盒底的加工費為30元/張，而制作盒身的加工方式有橫切和縱切兩種，橫切的加工費為20元/張，縱切的加工費為25元/張，問在（1）的結(jié)論下，若想要總費用控制在5900元，應安排多少張橫切，多少張縱切？【考點題型10】二元一次方程組應用古代問題

【典例10】被歷代數(shù)學家尊為“算經(jīng)之首”的《九章算術(shù)》是中國古代算法的扛鼎之作．《九章算術(shù)》中記載：“今有五雀、六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕．一雀一燕交而處，衡適平．并燕、雀重一斤．問燕、雀一枚各重幾何？”譯文：“今有5只雀、6只燕，分別聚集而且用衡器稱之，聚在一起的雀重，燕輕．將一只雀、一只燕交換位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量為1斤．問雀、燕每1只各重多少斤？”請列方程組解答上面的問題．【變式10-1】我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊三，直金十二兩．問牛、羊各直金幾何？”題目大意是：5頭牛、2只羊共19兩銀子；2頭牛、3只羊共12兩銀子，求那時候每頭牛、每只羊各多少兩銀子？【變式10-2】《九章算術(shù)》中的算籌圖是豎排的，為看圖方便，我們把它改為橫排，如圖1，圖2所示，圖中各行從左到右列出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應的常數(shù)項．把圖1表示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組形式表述出來，就是3x+2y=19x+4y=23(1)類似地，圖2所示的算籌圖我們可以表述為：________．(2)解由圖2列出的方程組．【變式10-3】我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有一道題：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五，屈繩量之，不足一尺，問木長幾何？”大致意思是：“用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺，將繩子對折再量木條，木條剩余1尺，問木條長多少尺？”請你用二元一次方程組的方法求出繩子、木條各多少尺．【考點題型11】兩直線的交點與二元一次方程組的解

【典例11】如圖，已知函數(shù)y=x+1和y=ax+3圖象交于點P，點P的橫坐標為1，則關于x，y的方程組x?y=?1ax?y=?3的解是（

A．x=1y=2 B．&x=2y=1 C．x=1【變式11-1】如圖，已知直線y=ax+b和直線y=kx交于點P，則關于x，y的二元一次方程組y=kxy=ax+b的解是

【變式11-2】如圖，直線y=ax和y=kx+b相交于點A(2，4)，則關于x,y的方程組y=axy=kx+b的解為【變式11-3】如圖，直線y=kx+bk≠0與y=mx+nm≠0相交于點?3,?1，則關于x，y的方程組&&y?kx?b=0【考點題型12】二元一次方程與一次函數(shù)的綜合【典例12】如圖，直線l1與直線l2:y=4?x相交于一點，其坐標為(1,3)，直線l(1)求直線l1(2)求直線l1，l2與【變式12-1】如圖，一次函數(shù)的圖像與正比例函數(shù)y=?23x的圖像交于點C?6,a，與x軸的負半軸交于點A，與y軸的負半軸交于點B(1)求點C的坐標及一次函數(shù)的表達式；(2)求△AOC的面積；(3)H點為直線AB上一點，若△OBH面積為△AOC面積的一半，求H點坐標．【變式12-2】如圖，在平面直角坐標系中，點A3,0，點B0,4，∠OAB的平分線交y軸于點(1)求直線AM的函數(shù)解析式．(2)在直線AM上是否存在一點P，且在x軸上存在一點Q，使以A、B、P、Q為頂點的四邊形，是以AB為邊的平行四邊形?若存在，請寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式12-3】如圖，在平面直角坐標系中，直線，l1:y=?x+5與x軸、y軸分別交于點A、B，直線l2:y=mx?m+4m≠?1與x軸、y軸分別交于點C、D(1)直線l2:y=mx?m+4______定點(2)若點B、O關于點D對稱，求此時直線l2(3)若直線l2將△AOB的面積分為1:4兩部分，請求出m

清單05二元一次方程組（12個考點梳理+題型解讀+提升訓練）

【清單01】二元一次方程（組）定義1.二元一次方程組定義含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程，叫做二元一次方程．2.二元一次方程組定義方程組中含有兩個未知數(shù)，含有每個未知數(shù)的項得次數(shù)都是1，并且一共有兩個方程，像這樣的方程組叫做二元一次方程組．如：把x+y=2和x-y=0合在一起寫成，3.二元一次方程（組）的解（1）使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．（2）二元一次方程組中兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.【清單02】解二元一次方程組（1）消元思想二元一次方程組中有兩個未知數(shù)，如果消去其中一個未知數(shù)，那么就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，我們可以先求出一個未知數(shù)，然后再求另一個未知數(shù)．像這種將未知數(shù)的個數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想．（2）代入消元法把二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解．這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法．（3）加減消元法當二元一次方程組的兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程．這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.【清單03】二元一次方程（組）應用的一．解題步驟步驟1．審題：透徹理解題意，弄清問題中的已知量和未知量，找出問題給出和涉及的相等關系；2．設元（未知數(shù)）：根據(jù)題意，可以直接設未知數(shù)，也可以間接設未知數(shù)；3．列代數(shù)式和方程組：用含所設未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù)，根據(jù)題中給出的等量關系列出方程組，一般情況下，未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)是相同的；4．解方程組；5．檢驗：檢驗方程的根是否符合題意；6．作答：檢驗后作出符合題目要求的答案．二、基本公式單價×數(shù)量=總價利潤=實際售價-成本實際售價=標價（原價）×折扣利潤率=×100【清單04】一次函數(shù)與二元一次方程一次函數(shù)y=kx+b的圖像上任意一點的坐標都是二元一次方程kx-y+b=0的解；以二元一次方程kx-y+b=0的解為坐標的點都在一次函數(shù)y=kx+b的圖像上.【清單05】一次函數(shù)與二元一次方程組在同一直角坐標系中，兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標就是相應的二元一次方程組的解.反過來，以二元一次方程組的解為坐標的點一定是相應的兩個一次函數(shù)的圖象的交點.如一次函數(shù)與圖象的交點為(3，－2)，則就是二元一次方程組的解.用一次函數(shù)的圖像求二元一次方程組的解的方法稱為二元一次方程組的圖像解法.注意：1.當二元一次方程組無解時，相應的兩個一次函數(shù)在直角坐標系中的直線就沒有交點，則兩個一次函數(shù)的直線就平行.反過來，當兩個一次函數(shù)直線平行時，相應的二元一次方程組就無解.如二元一次方程組無解，則一次函數(shù)與的圖象就平行，反之也成立.2.當二元一次方程組有無數(shù)解時，則相應的兩個一次函數(shù)在直角坐標系中的直線重合，反之也成立.【清單06】方程組解的幾何意義1．方程組的解的幾何意義：方程組的解對應兩個函數(shù)的圖象的交點坐標．2．根據(jù)坐標系中兩個函數(shù)圖象的位置關系，可以看出對應的方程組的解的情況：根據(jù)交點的個數(shù)，看出方程組的解的個數(shù)；根據(jù)交點的坐標，求出（或近似估計出）方程組的解．3.對于一個復雜方程組，特別是變化不定的方程組，用圖象法可以很容易觀察出它的解的個數(shù)．【考點題型1】二元一次方程（組）的概念

【典例1-1】方程2xm+1+3y2n?1=7是關于x，【答案】?2【分析】本題主要考查了二元一次方程的定義，代數(shù)式求值，只含有兩個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的次數(shù)為1的整式方程叫做二元一次方程，據(jù)此可得m+1=1，2n?1=1，則【詳解】解：∵方程2xm+1+3y2n?1∴m+1=1，∴m=0，∴m?2n=0?2×1=?2，故答案為：?2．

【典例1-2】下列方程組中，是二元一次方程組的是（

）A．1x+y=4x?y=1C．x+y=4x?y=1 D．【答案】C【分析】本題考查了二元一次方程組的定義，熟練掌握含有兩個未知數(shù)，且含有的未知數(shù)的項的次數(shù)為1的方程是解題的關鍵．根據(jù)二元一次方程組的定義，含有兩個未知數(shù)，且含有的未知數(shù)的項的次數(shù)為1，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、方程組1x+y=4x?y=1B、方程組2x+y=4x+z=1C、方程組x+y=4x?y=1中含有兩個未知數(shù)，每個未知數(shù)的次數(shù)為1D、方程組x+y=5x2+y2故選：C．【變式1-1】下列方程中，是二元一次方程的是（

）A．2x2=y B．2x=3y C．2x+1=5【答案】B【分析】本題主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點：含有2個未知數(shù)，未知數(shù)的項的次數(shù)是1的整式方程．二元一次方程滿足的條件：含有2個未知數(shù)，未知數(shù)的項的次數(shù)是1的整式方程．【詳解】解：A、2xB、2x=3y是二元一次方程，故B符合題意；C、2x+1=5是一元一次方程，不是二元一次方程，故C不符合題意；D、xy=4是二元二次方程，不是二元一次方程，故D不符合題意；故選：B．【變式1-2】下列方程組是二元一次方程組的是（

）A．x?y=3y+z=4 B．C．xy=33x?y=4 D．【答案】D【分析】本題考查了二元一次方程組的定義；如果方程組中含有兩個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是一次，那么這樣的整式方程組叫做二元一次方程組，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A、含有3個未知數(shù)，不是二元一次方程組；B、第一個方程不是整式方程，不是二元一次方程組；C、第一個方程不是二元一次方程，不是二元一次方程組；D、符合二元一次方程組的定義，是二元一次方程組；故選：D．【變式1-3】已知方程m+1x?3ym=0是關于x，y【答案】1【分析】本題考查了二元一次方程的定義，二元一次方程指只含有兩個未知數(shù)、且含未知數(shù)的項的次數(shù)都為1的方程，根據(jù)二元一次方程的定義得出m+1≠0，m=1【詳解】解：由題意得：m+1≠0，m=1解得：m=1，故答案為：1．【考點題型2】二元一次方程（組）的解

【典例2-1】二元一次方程3x?y=1的解可以為（

）A．x=0y=1 B．x=1y=2 C．x=?1y=?2【答案】B【分析】將各組數(shù)代入二元一次方程3x?y=1的等號左邊，看其值是否等于1即可得．本題考查了二元一次方程的解，掌握解二元一次方程的步驟是關鍵．【詳解】解：A．3×0?1=?1≠1，∴x=0y=1不是二元一次方程3x?y=1B．3×1?2=1，∴x=1y=2是二元一次方程3x?y=1C．3×?1∴x=?1y=?2不是二元一次方程3x?y=1D．3×0?2=?2≠1，∴x=0y=2不是二元一次方程3x?y=1故選：B．【典例2-2】下列二元一次方程組的解為x=1y=2A．x?y=13x+y=5 B．x?2y=?33x+y=5 C．x?y=?13x+y=?5【答案】B【分析】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．分別求出各項中方程組的解，即可作出判斷．【詳解】解：A、x?y=1①①+②得：4x=6，即x=1.5，把x=1.5代入①得：y=0.5，不合題意；B、x?2y=?3①①+②×2得：7x=7，即x=1，把x=1代入①得：y=2，符合題意；C、x?y=?1①①+②得：4x=?6，即x=?1.5，把x=?1.5代入①得：y=?0.5，不合題意；D、x?y=3①②?①得：2x=?2，即x=?1，把x=?1代入①得：y=?4，不合題意，故選：B．【變式2-1】已知x=2y=1是方程kx+y=3的一個解，那么k的值是【答案】1【分析】本題考查二元一次方程的解，把x=2y=1【詳解】解：把x=2y=1代入kx+y=3，得：2k+1=3∴k=1；故答案為：1．14．已知二元一次方程2x?3y=4，用含x的代數(shù)式表示y=．【答案】2【分析】本題考查二元一次方程及等式的性質(zhì)，掌握等式的基本性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)等式的性質(zhì)表示即可．【詳解】解：∵2x?3y=4，根據(jù)等式的性質(zhì)可得3y=2x?4，∴y=2故答案為：2

【變式2-2】關于x，y的二元一次方程3x+y=7的正整數(shù)解的組數(shù)有（）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【答案】B【分析】本題是求不定方程的整數(shù)解．先把其中一個未知數(shù)用另一個未知數(shù)表示，然后分析它的解的情況．【詳解】解：先將方程3x+y=7變形，得y=7?3x．要使x，y都是正整數(shù)，根據(jù)以上條件得：x取1，2時，相應的y取4，1．∴有二組，分別為x=1y=4，x=2故選：B．【變式2-3】已知x=2y=1是二元一次方程組mx+y=?3x?2y=2n的解，則m+n=【答案】?2【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解及其解法，解題的關鍵是正確求解方程組．利用二元一次方程組的解先求出m，n的值，再求m+n的值．【詳解】解：把x=2y=1代入mx+y=?3x?2y=2n，得解得m=?2n=0所以m+n=?2+0=?2，故答案為?2．【考點題型3】解二元一次方程組

【典例3】（1）用代入法解方程組x?2y=?1①（2）用加減法解方程組2x+3y=3①【答案】（1）x=1y=1；（2）x=3【分析】本題主要考查了解二元一次方程組：（1）利用代入消元法解方程組即可；（2）利用加減消元法解方程組即可．【詳解】解：（1）x?2y=?1由①，可得：x=2y?1③把③代入②得：42y?1+3y=7，解得把y=1代入①得：x=2×1?1=1，∴原方程組的解是x=1y=1（2）2x+3y=3由①+②，可得：4x=12，解得把x=3代入①得：2×3+3y=3，解得y=?1，∴原方程組的解是x=3y=?1【變式3-1】解下列方程組：(1)2x?y=?812x+2y=【答案】(1)x=?3(2)x=?3【分析】本題考查了二元一次方程組的求解，掌握消元法是解題關鍵．（1）①+②×12解得x=?3；把（2）原方程組可化為{?4x+3y=5①2x?3y=1②，①+②解得【詳解】（1）解：{①+②×12，得9把x=?3代入①，得?6?y=?8，解得y=2，所以原方程組的解為{x=?3（2）解：原方程組可化為{①+②得?2x=6，解得x=?3把x=?3代入①得y=?則原方程組的解為{【變式3-2】解方程組：(1)3x?2y=9x+2y=?1；(2)2x?5y=?21【答案】(1)x=2(2)x=2【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，熟練掌握代入消元法和加減消元法是解題的關鍵．應用加減消元法，求出兩個方程組的解即可．【詳解】（1）解：3x?2y=9①①+②，得：4x=8，解得：x=2，把x=2代入①，得：6?2y=9，解得：y=?3∴方程組的解為x=2y=?（2）2x?5y=?21①①×2，得：4x?10y=?42③，②?③，得：13y=65，解得：y=5，把y=5代入①，得：2x?25=?21，解得：x=2，∴方程組的解為x=2y=5【變式3-3】解方程．(1)x+y=32x?y=0；(2)2x+y=3【答案】(1)x=1(2)x=3【分析】本題考查的是解方程組，根據(jù)方程組的特點選擇合適的方法解方程組．（1）兩式相加得：3x=3，然后利用加減消元法解方程組即可；（2）將第一個方程變形為y=3?2x，然后利用代入消元法解方程組即可．【詳解】（1）解：x+y=32x?y=0兩式相加得：3x=3，解得：x=1，把x=1代入x+y=3得y=2，所以方程組的解為x=1y=2（2）2x+y=34x+3y=3由2x+y=3得y=3?2x，把y=3?2x代入4x+3y=3得：4x+33?2x解得：x=3．把x=3代入y=3?2x得y=?3，所以方程組的解為x=3y=?3【考點題型4】二元一次方程組-同解型

【典例4】已知方程組2x+3y=10ax+by=9與方程組bx?ay=8(1)求相同的解(2)求a,b的值．【答案】(1)x=2(2)a=【分析】（1）根據(jù)題意，聯(lián)立2x+3y=104x?3y=2，解關于x,y（2）將（1）中x,y的值代入原方程組，聯(lián)立2a+2b=92b?2a=8，解關于a,b【詳解】（1）解：方程組2x+3y=10ax+by=9與方程組bx?ay=8∴2x+3y=104x?3y=2，解得：x=2∴相同的解是x=2y=2（2）解：將x=2y=2聯(lián)立得2a+2b=92b?2a=8，解得：a=∴a的值14，b的值17【點睛】本題主要考查解二元一次方程組，掌握解加減消元法解二元一次方程組是解題的關鍵．【變式4-1】方程組x=4ax+by=5的解與方程組y=3bx+ay=2的解相同，則a、b的值是（A．a(chǎn)=2b=1 B．a(chǎn)=2b=?1 C．a(chǎn)=?2b=1【答案】B【分析】由于兩個方程組的解相同，所以這個相同的解是x=4y=3，把x=4y=3代入方程中其余兩個方程，得關于a、【詳解】解：由于兩個方程組的解相同，所以這個相同的解是x=4y=3把x=4y=3代入方程中其余兩個方程得4a+3b=5解得，a=2b=?1故選：B．【點睛】題考查了對方程組解的理解，另外此題還有一巧辦法，把兩個方程相加得7a+7b=7．

【變式4-2】已知方程組2x+y=?2ax+by=?4和方程組3x?y=12bx+ay=?8的解相同，求【答案】100【分析】由題意可得方程組3x?y=122x+y=?2，則有可求出方程組的解，然后再代入進行求解a、b【詳解】解：由題意得：3x?y=122x+y=?2解得：x=2y=?6∴2a?6b=?42b?6a=?8，化簡得：a?3b=?2解得：a=7∴5a+b2【點睛】本題主要考查同解方程組的問題，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關鍵．【變式4-3】閱讀下列文字，請仔細體會其中的數(shù)學思想：(1)解方程組3x?2y=23x+2y=4，我們利用加減消元法，很快可以求得此方程組的解為(2)如何解方程組3m+5?2n+3=23m+5+2n+3=4呢，我們可以把m+5，n+3分別看成一個整體，設m由此請你解決下列問題：(3)若關于m，n的方程組am+bn=152m?bn=?2與3m+n=5am?bn=?1有相同的解，求a，【答案】(1)x=1(2)m=?4(3)a=【分析】（1）利用加減消元法解二元一次方程組即可得；（2）直接根據(jù)（1）的結(jié)論可得m+5=1n+3=（3）根據(jù)兩個方程組有相同的解求出am=7,bn=8的值，繼而求出a,b的值即可得．【詳解】（1）解：3x?2y=2①由①+②得：6x=6，解得x=1，由②?①得：4y=2，解得y=1則方程組的解為x=1y=故答案為：x=1y=（2）解：由（1）得：m+5=1n+3=解得m=?4n=?即原方程組的解為m=?4n=?故答案為：m=?4n=?（3）解：∵關于m,n的方程組am+bn=152m?bn=?2與3m+n=5∴am+bn=15解得am=7bn=8將bn=8代入方程2m?bn=?2得：2m?8=?2，解得m=3，將m=3代入方程3m+n=5得：9+n=5，解得n=?4，則3a=7,?4b=8，解得a=7【點睛】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法，理解同解方程組的意義，并利用整體思想解題是關鍵．

【考點題型5】二元一次方程組-錯解型

【典例5】甲、乙兩人解方程組ax+by=2cx?7y=8，甲正確地解得x=3y=?2，乙因為把c看錯，誤認為d，解得x=?2y=2，求a、b、c【答案】a、b、c、d的值是：4，5，?2，?11．【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解．本題需先根據(jù)二元一次方程組的解得方法和已知條件分別把x=3y=?2與x=?2y=2的值代入原方程組，即可求出a、b、c、【詳解】解：把x=3y=?2代入ax+by=23a?2b=23c+14=8∴c=?2，再根據(jù)乙把C看錯，誤認為d，解得x=?2y=2代入ax+by=2?2a+2b=2?2d?14=8∴d=?11，∴a=4，b=5∴a、b、c、d的值是：4，5，?2，?11．【變式5-1】甲、乙兩人同解方程組ax?4y=?6①5x=by+10②時，甲看錯了方程①中的a，解得x=3y=1，乙看錯②中的(1)求正確的a，b的值；(2)求原方程組的正確解．【答案】(1)a=?2，b=5(2)x=【分析】本題考查二元一次方程組的錯解復原問題：（1）把x=3y=1代入②，把x=?1y=2代入①，可求出a和（2）把a和b的值代入原方程組，利用加減消元法求解即可．【詳解】（1）解：把x=3y=1代入②，得5×3=b+10解得b=5，把x=?1y=2代入①，得?a?4×2=?6解得a=?2；（2）解：將a=?2，b=5代入原方程組，得?2x?4y=?65x=5y+10整理得x+2y=3③③?④得：解得：y=1將y=13代入④，得：解得：x=7因此原方程組的正確解為x=7【變式5-2】在解方程組ax+y=52x?by=13時，由于粗心，甲看錯了方程組中的a，得解為x=72y=?2，乙看錯了方程組中的(1)原方程組中的a和b各是多少？(2)求原方程組的解．【答案】(1)b=3，a=4；(2)x=2【分析】此題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組等知識．（1）分別將兩組解代入方程組，求出a與b的值，即可；（2）將a與b的值代入方程組，確定出方程組，求出解即可．【詳解】（1）解：∵甲看錯了方程組中的a，得解為x=7∴2×72+2b=13∵乙看錯了方程組中的b，得解為x=3y=?7∴3a?7=5，解得：a=4；（2）解：由（1）得：原方程組為4x+y=5①由①?②×2解得：y=?3，把y=?3代入①，得：4x?3=5，解得：x=2，∴原方程組的解為x=2y=?3【變式5-3】甲、乙兩人解關于x、y的方程組3x?by=?1①ax+by=?5②時，甲因看錯a得到方程組的解為x=1y=2，乙將方程②中的(1)求a、b的值；(2)求原方程組的解．【答案】(1)a=7，b=2(2)x=?【分析】（1）將x=1y=2代入3x?by=?1①ax+by=?5②算出b，將x=?1y=?1（2）將ab的值代入二元一次方程組中，解出即可．【詳解】（1）解：甲看錯方程組中的3x?by=?1①ax+by=?5②的a∴將x=1y=2代入①得：3?2b=?1∴b=2∵乙把方程②中的b看成了它的相反數(shù)，得到方程組的解x=?1y=?1∴將x=?1y=?1代入ax?by=?5得：a=7；（2）解：將a=7b=2代入3x?by=?1①ax+by=?5解得x=?3【點睛】本題考查了解二元一次方程組、二元一次方程組的解，熟知方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值，掌握二元一次方程組的解是解題的關鍵．【考點題型6】二元一次方程組應用幾何問題

【典例6】如圖，在大長方形ABCD中，放入8個小長方形，(1)每個小長方形的長和寬分別是多少厘米？(2)圖中陰影部分面積為多少平方厘米？【答案】(1)7厘米和2厘米(2)53平方厘米【分析】（1）設小長方形寬為x厘米，長為y厘米，由圖象列二元一次方程組，代入消元法求解即可．（2）陰影面積為大長方形ABCD面積減去8個小長方形面積．【詳解】（1）設小長方形寬為x厘米，長為y厘米，則有BC=4x+y=15，CD=2x+y，AB=9+x∵AB=CD∴2x+y=9+x即x+y=9故有二元一次方程組{將y=9-x代入4x+y=15有4x+9-x=15解得x=2將x=2代入y=9-x解得y=7故小長方形的長和寬分別是7厘米和2厘米．（2）由（1）問可知大長方形長ABCD為15cm，寬為11cm，則長方形面積為15×11=165cm2小長方形的面積為2×7=14cm2由題干知長方形中有8個小長方形故S即S【點睛】本題考查了列二元一次方程組，列二元一次方程組解應用題的一般步驟，審：審題，明確各數(shù)量之間的關系，設：設未知數(shù)（一般求什么，就設什么），找：找出應用題中的相等關系，列：根據(jù)相等關系列出兩個方程，組成方程組，解：解方程組，求出未知數(shù)的值，答：檢驗方程組的解是否符合題意，寫出答案．8【變式6-1】如圖是由截面為同一種長方形的墻磚粘貼的部分墻面，其中三塊橫放的墻磚比一塊豎放的墻磚高10cm，兩塊橫放的墻磚比兩塊豎放的墻磚低40cm，則每塊墻磚的截面面積是（A．600cm2 B．1200cm2 C．【答案】C【分析】本題考查二元一次方程組的應用，設每塊墻磚的長為xcm，寬為ycm，根據(jù)圖形找到兩個等量關系【詳解】解：設每塊墻磚的長為xcm，寬為y根據(jù)題意得：3y?x=102x?2y=40解得：x=35∴每塊墻磚的截面面積：35×15=525cm故選：C【變式6-2】一副三角扳按如圖方式擺放，且∠1的度數(shù)比∠2的度數(shù)大50°，若設∠1＝x°∠2＝y(tǒng)°，則可得到方程組為

A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)平角和直角定義，得方程x+y=90；根據(jù)∠1比∠2的度數(shù)大50°，得方程x=y+50．可列方程組為x=y+50，x+y=90

．故選D．【變式6-3】學校為了提高綠化品位，美化環(huán)境，準備將一塊周長為76m的長方形草地，設計分成長和寬分別相等的9塊小長方形，（放置位置如圖所示），種上各種花卉．經(jīng)市場預測，綠化每平方米造價約為108元．（1）求出每一個小長方形的長和寬．（2）請計算完成這項綠化工程預計投入資金多少元？【答案】（1）每個小長方形的長和寬分別是10米、4米；（2）完成這塊綠化工程預計投入資金為38880元．【分析】（1）弄清題意，找出等量關系：2[5個小長方形的寬+（一個小長方形的長+兩個小長方形的寬）]=周長和5個長方形的寬等于2個長方形的長，列二元一次方程組解答．（2）直接求出每個小長方形的面積，然后求出答案即可．【詳解】解：（1）設小長方形的寬為x米，長為y米．則2(y+2x+5x)=765x=2y解得：x=4y=10答：每個小長方形的長和寬分別是10米、4米；（2）10×4×9×108=38880（元），答：完成這塊綠化工程預計投入資金為38880元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用．解題關鍵是弄清題意，合適的等量關系，列出方程組．要弄清小長方形長、寬和大長方形周長之間的關系．【考點題型7】二元一次方程組應用經(jīng)濟問題

【典例7】學校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品．已知購買3個A獎品和2個B獎品共需120元；購買5個A獎品和4個B獎品共需210元．(1)求A，B兩種獎品的單價；(2)學校準備購買A，B兩種獎品共30個，且A獎品的數(shù)量不少于10個，請用學過的函數(shù)知識說明怎樣購買最省錢？按此方案購買獎品共需多少錢？【答案】(1)A，B兩種獎品的單價分別為30元、15元(2)購買10個A獎品，20個B獎品時最省錢，此方案購買獎品共需600元【分析】本題考查了方程組的應用，一次函數(shù)的應用．（1）設A，B兩種獎品的單價分別為x元、y元，列出方程組解答即可．（2）設購買A，B兩種獎品共需W元，購買A獎品的數(shù)量為m個，則購買B獎品的數(shù)量為30?m元，則W=30m+1530?m即W=15m+450【詳解】（1）設A，B兩種獎品的單價分別為x元、y元，由題意得：3x+2y=120解得：x=30y=15答：A，B兩種獎品的單價分別為30元、15元．（2）設購買A，B兩種獎品共需W元，購買A獎品的數(shù)量為m個，則購買B獎品的數(shù)量為30?m元，則W=30m+1530?m即W=15m+450因為15>0，所以W隨著m的增大而增大，又m取值不小于10個，故當m=10時，W最小，最小值為W=15×10+450=600．此時30?m=20．所以，購買10個A獎品，20個B獎品時最省錢，此方案購買獎品共需600元．【變式7-1】2023年的中秋節(jié)和國慶節(jié)恰逢同一周，為更好地滿足本地市民和外地游客的消費需求，青島市某商場在雙節(jié)黃金周前投入13800元資金購進甲、乙兩種水果共500箱，這兩種水果的成本價和標價如下表所示：類別/單價成本價標價（元/箱）甲24乙3348(1)該商場購進甲、乙兩種水果各多少箱？(2)為了促銷，該商場將甲種水果按成本價提高50%【答案】(1)該商場購進甲種水果300箱，乙種水果200箱(2)該商場可獲得利潤2400元【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，列式計算．（1）設該商場購進甲種水果x箱，乙種水果y箱，利用進貨總價=進貨單價×進貨數(shù)量，結(jié)合該商家用13800元購進甲、乙兩種水果共500箱，可列出關于x，（2）利用總利潤=每箱甲種水果的銷售利潤×銷售數(shù)量（購進數(shù)量）+每箱乙種水果的銷售利潤×銷售數(shù)量（購進數(shù)量），即可求出結(jié)論．【詳解】（1）解：設該商場購進甲種水果x箱，乙種水果y箱，根據(jù)題意得：x+y=50024x+33y=13800解得：x=300y=200答：該商場購進甲種水果300箱，乙種水果200箱；（2）解：根據(jù)題意得：24×===1.2×300+10.2×200=2400（元）．答：該商場可獲得利潤2400元．【變式7-2】春節(jié)前夕，某商場從廠家購進了甲、乙兩種商品共50件，所用資金恰好為4400元．這兩種商品的進價如表：商品名稱甲種乙種進價（元/件）80100(1)該商場購進甲、乙兩種商品各多少件?（列方程組解）(2)在銷售時，甲種商品的每件售價為100元，要使得這50件商品所獲總利潤率為20%，每件乙商品的售價為多少元?（列方程解）【答案】(1)購進甲種商品30件，乙種商品20件；(2)每件乙商品的售價為114元．【分析】本題主要考查二元一次方程組的實際應用，找出題中的等量關系列出方程組是解題的關鍵．（1）設購進甲種商品x件，乙種商品y件，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可；（2）設每件乙商品的售價為m元，根據(jù)題意列出方程即可．【詳解】（1）解：設購進甲種商品x件，乙種商品y件，由題意可得，x+y=5080x+100y=4400解得x=30y=20答：購進甲種商品30件，乙種商品20件；（2）解：設每件乙商品的售價為m元，由題意得，100?80×30+解得m=114，答：每件乙商品的售價為114元．【變式7-3】某禮品店為迎接農(nóng)歷新年的到來，準備購進一批適合學生的禮品.已知購進4件A禮品和12件B禮品共需360元，購進8件A禮品和6件B禮品共需270元.(1)（列二元一次方程組）求A，B兩種禮品每件的進價.(2)該店計劃將5000元全部用于購進A，B這兩種禮品，設購進A禮品m件，B禮品n件.①求n與m之間的關系式；②該店進貨時，廠家要求A禮品的購進數(shù)量不少于100件.已知A禮品每件售價為20元，B禮品每件售價為35元.設該店全部售出這兩種禮品可獲利W元，求W與m之間的關系式和該店所獲利潤的最大值.【答案】(1)A禮品每個的進價是15元，B禮品每個的進價是25元(2)①n=200?35m【分析】(1)設A、B兩種禮品的進價分別是x元、y元，根據(jù)購進4件A禮品和12件B禮品共需360元，購進8件A禮品和6件B禮品共需270元，列出方程組，解方程組即可；(2)①該店計劃用5000元全部購進A，B兩種禮品，購進A種禮品m個，B種禮品n個，結(jié)合（1）中求出的進價，得到購進A種禮品需要15m元，B種禮品需要25n元，列出二元一次方程，整理可得n關于m的關系式；②根據(jù)兩種禮品的進價和售價列出W與m的關系式，根據(jù)W隨m的變化情況及m的取值范圍求最大利潤即可．本題主要考查了一次函數(shù)和二元一次方程組的應用，解決問題的關鍵是熟練掌握總價與單價和數(shù)量的關系，列出二元一次方程或方程組，一次函數(shù)關系式，并根據(jù)函數(shù)值的增減性和自變量的取值范圍求出函數(shù)最值．【詳解】（1）設A禮品每個的進價是x元，B禮品每個的進價是y元，依題意得，4x+12y=3608x+6y=270解得x=15y=25故A禮品每個的進價是15元，B禮品每個的進價是25元；．（2）(2)①依題意得，15m+25n=5000，∴n=200?3②∵W表示所獲得的利潤，∴W=20?15∵?1<0，∴W隨m的增大而減小，∵m≥100，∴當m=100時，W取得最大值．即A禮品進貨100件時，該店獲利最大，最大利潤為，?100+2000=1900(元)．【考點題型8】二元一次方程組應用方案問題

【典例8】隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某4S店用120萬元購進A，B兩種新能源汽車進行銷售，這兩種汽車的進價和售價如下表所示，全部銷售后可獲毛利潤16萬元．[毛利潤=（售價?進價）×銷售量]AB進價/（萬元/輛）1512售價/（萬元/輛）16.514(1)該4S店購進A，B兩種新能源汽車各多少輛？(2)由于銷售狀況特別好，該4S店決定再用240萬元同時購進A，B兩種新能源汽車（240萬元資金剛好用完且兩種汽車均購買），有哪幾種購買方案？【答案】(1)購進A型號的汽車4輛，B型號的汽車每5輛(2)共有三種購買方案：購買A型號的汽車12輛，B種型號的汽車5輛；購買A型號的汽車8輛，B種型號的汽車10輛；購買A型號的汽車4輛，B種型號的汽車15輛【分析】本題考查二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出二元一次方程（組）．（1）設購買A型號的汽車a輛，B種型號的汽車b輛，根據(jù)題意列二元一次方程組，即可求解；（2）設購買A型號的汽車m輛，B種型號的汽車n輛，根據(jù)總價為240萬元列出二元一次方程，進而分析得出購買方案．【詳解】（1）解：設A種型號的汽車每輛進價為a萬元，B種型號的汽車每輛進價為b萬元，由題意可得16.5?15a+解得a=4b=5答：購進A型號的汽車4輛，B型號的汽車每5輛；（2）解：設購買A型號的汽車m輛，B種型號的汽車n輛，由題意可得15m+12n=240，∴m=80?4n∵m>0，n>0，m和n均為整數(shù)，∴m=12n=5或m=8n=10或答：共有三種購買方案：購買A型號的汽車12輛，B種型號的汽車5輛；購買A型號的汽車8輛，B種型號的汽車10輛；購買A型號的汽車4輛，B種型號的汽車15輛．【變式8-1】隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們的新寵．某汽車4S店計劃購進一批新能源汽車進行銷售．據(jù)了解，購進3輛A型新能源汽車、2輛B型新能源汽車共需95萬元；購進4輛A型新能源汽車、1輛B型新能源汽車共需110萬元．(1)問A、B兩種型號的新能源汽車每輛進價分別為多少？(2)若銷售1輛A型汽車可獲利1.2萬元，銷售1輛B型汽車可獲利0.8萬元，該4S店正好用250萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），假如這些新能源汽車全部售出，問共有哪幾種購買方案？其中最大利潤是多少？【答案】(1)A、B兩種型號的汽車每輛進價分別為25萬元、10萬元(2)共有四種購買方案，分別為購買A型號的汽車2輛，B種型號的汽車20輛；購買A型號的汽車4輛，B種型號的汽車15輛；購買A型號的汽車6輛，B種型號的汽車10輛；購買A型號的汽車8輛，B種型號的汽車5輛；其中最大利潤為18.4萬元【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵；（1）設A種型號的汽車每輛進價為x萬元，B種型號的汽車每輛進價為y萬元，根據(jù)題意建立一元二次方程組，求解即可；（2）設購買A型號的汽車m輛，B種型號的汽車n輛，利用總價=單價×數(shù)量，可得出二元一次方程，結(jié)合m，n為正整數(shù)，即可得出該公司的四種購買方案，比較方案利潤即可求解．【詳解】（1）設A種型號的汽車每輛進價為x萬元，B種型號的汽車每輛進價為y萬元，由題意可得：3x+2y=954x+y=110解得：x=25y=10答：A、B兩種型號的汽車每輛進價分別為25萬元、10萬元（2）設購買A型號的汽車m輛，B種型號的汽車n輛，由題意可得25m+10n=250，且m，n為正整數(shù)，解得：m=2n=20或m=4n=15或m=6n=10當m=2，n=20時，獲得的利潤為：1.2×2+0.8×20=18.4（萬元），當m=4，n=15時，獲得的利潤為：1.2×4+0.8×15=16.8（萬元），當m=6，n=10時，獲得的利潤為：1.2×6+0.8×10=15.2（萬元），當m=8，n=5時，獲得的利潤為：1.2×8+0.8×5=13.6（萬元），由上可得，最大利潤為18.4萬元．【變式8-2】為了響應“綠色環(huán)保，節(jié)能減排”的號召，小華家準備購買A，B兩種型號的節(jié)能燈，已知購買1盞A型和2盞B型節(jié)能燈共需要40元，購買2盞A型和3盞B型節(jié)能燈共需要70元．(1)A，B兩種型號節(jié)能燈的單價分別是多少元？(2)若要求這兩種節(jié)能燈都買，且恰好用了50元，則有哪幾種購買方案？【答案】(1)A種型號節(jié)能燈的單價為20元，B種型號節(jié)能燈的單價為10元；(2)方案①：購買A種型號節(jié)能燈1盞，B種型號節(jié)能燈3盞；方案②：購買A種型號節(jié)能燈2盞，B種型號節(jié)能燈1盞【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，二元一次方程的實際應用：（1）設A種型號節(jié)能燈的單價為x元，B種型號節(jié)能燈的單價為y元，根據(jù)購買1盞A型和2盞B型節(jié)能燈共需要40元，購買2盞A型和3盞B型節(jié)能燈共需要70元列出方程組求解即可；（2）設購買A種型號節(jié)能燈m盞，B種型號節(jié)能燈n盞，根據(jù)恰好用了50列出方程求解即可．【詳解】（1）解：設A種型號節(jié)能燈的單價為x元，B種型號節(jié)能燈的單價為y元，由題意得，x+2y=402x+3y=70解得x=20y=10答：A種型號節(jié)能燈的單價為20元，B種型號節(jié)能燈的單價為10元；（2）解：設購買A種型號節(jié)能燈m盞，B種型號節(jié)能燈n盞，∴20m+10n=50，即2m+n=5，∵m、n均為正整數(shù)，∴m=1n=3或m=2∴共有兩種購買方案，分別是：方案①：購買A種型號節(jié)能燈1盞，B種型號節(jié)能燈3盞；方案②：購買A種型號節(jié)能燈2盞，B種型號節(jié)能燈1盞；【變式8-3】某物流公司運送捐贈物資，已知用3輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運貨9噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運貨8噸；若現(xiàn)有物資19噸，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿物資．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)1輛A型車和1輛B型車都載滿物資一次可分別運送多少噸？(2)求該物流公司的所有租車方案；(3)若1輛A型車需租金90元/次，1輛B型車需租金120元/次．請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費．【答案】(1)1輛A型車載滿貨物一次可運送2噸，1輛B型車載滿貨物一次可運送3噸(2)共有3種租車方案，方案1：租用A型車8輛，B型車1輛；方案2：租用A型車5輛，B型車3輛；方案3：租用A型車2輛，B型車5輛(3)選出租車方案3最省錢，最少租車費為780元【分析】此題考查了一次不等式組的應用，二元一次方程的應用，以及二元一次方程組的應用，弄清題意是解本題的關鍵．（1）設1輛A型車載滿貨物一次可運送x噸，1輛B型車載滿貨物一次可運送y噸，根據(jù)題意列出方程組，求出方程組的解得到x與y的值，即可確定出所求；（2）根據(jù)某物流公司現(xiàn)有19噸貨物，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，列出方程，確定出a的范圍，根據(jù)a為整數(shù)，確定出a的值即可確定出具體租車方案．（3）根據(jù)幾個租車方案得出租車費即可．【詳解】（1）解：設1輛A型車載滿貨物一次可運送x噸，1輛B型車載滿貨物一次可運送y噸，依題意，得3x+y=9x+2y=8解得x=2y=3答：1輛A型車載滿貨物一次可運送2噸，1輛B型車載滿貨物一次可運送3噸；（2）解：依題意得：2a+3b=19，∴a=19?3b又∵a，b均為正整數(shù)，∴a=8b=1或a=5b=3或∴共有3種租車方案，方案1：租用A型車8輛，B型車1輛；方案2：租用A型車5輛，B型車3輛；方案3：租用A型車2輛，B型車5輛；（3）解：選用方案1所需租車費為90×8+120×1=840（元）；選用方案2所需租車費為90×5+120×3=810（元）；選用方案3所需租車費為90×2+120×5=780（元）．∵840>810>780，∴選出租車方案3最省錢，最少租車費為780元．【考點題型9】二元一次方程組應用分配問題

【典例9】列方程或方程組解應用題福林制衣廠現(xiàn)有24名制作服裝的工人，每天都制作某種品牌的襯衫和褲子，每人每天可制作這種襯衫3件或褲子5條．已知制作一件襯衫可獲得利潤30元，制作一條褲子可獲得利潤16元，若該廠要求每天獲得利潤2100元，則需要安排多少名工人制作襯衫？多少名工人制作褲子？【答案】安排18名工人制作襯衫，6名工人制作褲子【分析】本題考查列二元一次方程組解決實際問題．設安排x名工人制作襯衫，y名工人制作褲子，根據(jù)“現(xiàn)有24名制作服裝的工人”和“要求每天獲得利潤2100元”列出二元一次方程組，求解即可．【詳解】解：設安排x名工人制作襯衫，y名工人制作褲子，根據(jù)題意，得x+y=2430×3x+16×5y=2100解得x=18y=6答：安排18名工人制作襯衫，6名工人制作褲子．【變式9-1】張氏包裝廠承接了一批紙盒加工任務，用如圖①所示的長方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成如圖②所示的豎式與橫式兩種上面無蓋的長方體紙盒（加工時接縫材料不計）．(1)做1個豎式紙盒和2個橫式紙盒，需正方形紙板___________張（直接填空），需長方形紙板___________張（直接填空）．(2)若該廠購進正方形紙板162張，長方形紙板338張，問豎式紙盒、橫式紙盒各加工多少個，恰好能將購進的紙板全部用完？（要求列二元一次方程組解決此問題）【答案】(1)5；10(2)制作豎式紙盒38個、橫式紙盒62個，恰好能將購進的紙板全部用完【分析】（1）根據(jù)1個豎式紙盒需要長方形紙板4張，正方形紙板1張，1個橫式紙盒需要長方形紙板3張，正方形紙板2張，求出做1個豎式紙盒和2個橫式紙盒需要的正方形紙板和長方形紙片的張數(shù)即可；（2）設制作豎式紙盒x個、橫式紙盒y個，根據(jù)制作豎式紙盒和橫式紙盒需要的正方形和長方形紙板數(shù)列出方程組，解方程即可．【詳解】（1）解：需正方形紙板：1+2×2=5（張），長方形紙板：4+3×2=10（張），故答案為：5；10．（2）解：設制作豎式紙盒x個、橫式紙盒y個，根據(jù)題意得：4x+3y=338x+2y=162解得：x=38y=62答：制作豎式紙盒38個、橫式紙盒62個，恰好能將購進的紙板全部用完．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是根據(jù)正方形和長方形張數(shù)列出方程組．【變式9-2】某學?，F(xiàn)有若干間學生宿舍，準備安排給若干名學生住宿．原計劃每間住8人，則有10間宿舍無人居?。捎谝咔榉揽匦枰?，每間宿舍只能住5人，則有10人無法入住．問該?，F(xiàn)有多少間學生宿舍？有多少名學生？【答案】有30間學生宿舍，有160名學生【分析】設該校現(xiàn)有x間學生宿舍，共安排y名學生住宿，根據(jù)“原計劃每間住8人，則有10間宿舍無人居?。捎谝咔榉揽匦枰块g宿舍只能住5人，則有10人無法入住”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設該?，F(xiàn)有x間學生宿舍，共安排y名學生住宿，依題意，得：8(x?10)＝解得：x＝答：該?，F(xiàn)有30間學生宿舍，有160名學生．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【變式9-3】用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制作24個盒身，或制作32個盒底，一個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒，現(xiàn)有40張白鐵皮請用二元一次方程組的知識解答下列問題．（1）問用多少張制作盒身，多少張制作盒底可以使盒身與盒底正好配套？（2）已知一張白鐵皮的成本為120元，每張制作盒底的加工費為30元/張，而制作盒身的加工方式有橫切和縱切兩種，橫切的加工費為20元/張，縱切的加工費為25元/張，問在（1）的結(jié)論下，若想要總費用控制在5900元，應安排多少張橫切，多少張縱切？【答案】（1）用16張制盒身，24張制盒底可以使盒身與盒底正好配套；（2）應安排4張橫切，12張縱切才能使總費用控制在5900元．【分析】（1）設用x張制盒身，y張制盒底可以使盒身與盒底正好配套，根據(jù)共有40張白鐵皮且制作的盒底總數(shù)是制作的盒身的2倍，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設安排m張橫切，則安排（16?m）張縱切，根據(jù)總費用＝40張白鐵皮的成本＋總加工費，列出關于m的方程，即可解決問題．【詳解】解：（1）設用x張制盒身，y張制盒底可以使盒身與盒底正好配套，依題意，得：x+y＝402×24x＝32y，解得：x＝16答：用16張制盒身，24張制盒底可以使盒身與盒底正好配套；（2）設安排m張橫切，則安排（16?m）張縱切，120×40＋30×24＋20m＋25（16?m）=5900解得：m=4，答：在（1）的結(jié)論下，應安排4張橫切，12張縱切才能使總費用控制在5900元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次方程的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出二元一次方程組或一元一次方程．【考點題型10】二元一次方程組應用古代問題

【典例10】被歷代數(shù)學家尊為“算經(jīng)之首”的《九章算術(shù)》是中國古代算法的扛鼎之作．《九章算術(shù)》中記載：“今有五雀、六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕．一雀一燕交而處，衡適平．并燕、雀重一斤．問燕、雀一枚各重幾何？”譯文：“今有5只雀、6只燕，分別聚集而且用衡器稱之，聚在一起的雀重，燕輕．將一只雀、一只燕交換位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量為1斤．問雀、燕每1只各重多少斤？”請列方程組解答上面的問題．【答案】雀、燕每一只各重219斤、3【分析】設雀、燕每1只各重x斤、y斤，根據(jù)等量關系：今有5只雀、6只燕，分別聚集而且用衡器稱之，聚在一起的雀重，燕輕．將一只雀、一只燕交換位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量為1斤，列出方程組求解即可．【詳解】解：設雀、燕每1只各重x斤、y斤．根據(jù)題意，得4x+y=5y+x整理，得3x?4y=0解得x=答：雀、燕每1只各重219斤、3【點睛】考查二元一次方程組得應用，解題的關鍵是分析題意，找出題中的等量關系．【變式10-1】我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊三，直金十二兩．問牛、羊各直金幾何？”題目大意是：5頭牛、2只羊共19兩銀子；2頭牛、3只羊共12兩銀子，求那時候每頭牛、每只羊各多少兩銀子？【答案】每頭牛3兩銀子，每頭羊為2兩銀子【分析】設每頭牛x兩銀子，每頭羊y兩銀子，然后根據(jù)5頭牛、2只羊共19兩銀子；2頭牛、3只羊共12兩銀子列出方程組求解即可．【詳解】解：設每頭牛x兩銀子，每頭羊y兩銀子，由題意得，5x+2y=192x+3y=12解得x=3答：每頭牛3兩銀子，每頭羊為2兩銀子．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，正確理解題意找到等量關系列出方程是解題的關鍵．【變式10-2】《九章算術(shù)》中的算籌圖是豎排的，為看圖方便，我們把它改為橫排，如圖1，圖2所示，圖中各行從左到右列出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應的常數(shù)項．把圖1表示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組形式表述出來，就是3x+2y=19x+4y=23(1)類似地，圖2所示的算籌圖我們可以表述為：________．(2)解由圖2列出的方程組．【答案】(1)2x+y=11(2)x=3【分析】（1）根據(jù)圖形，結(jié)合題目所給的運算法則即可列出方程組；（2）利用加減消元法求解即可．【詳解】（1）解：圖2所示的算籌圖我們可以表述為：2x+y=114x+3y=27故答案為：2x+y=114x+3y=27（2）解：2x+y=11①將①×2可得：4x+2y=22③，將②?③可得：y=5，將y=5代入①中可得：x=3，∴方程組的解為x=3y=5【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組以及解方程組，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列出方程組．【變式10-3】我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有一道題：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五，屈繩量之，不足一尺，問木長幾何？”大致意思是：“用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺，將繩子對折再量木條，木條剩余1尺，問木條長多少尺？”請你用二元一次方程組的方法求出繩子、木條各多少尺．【答案】繩子長11尺，木條長6.5尺．【分析】設繩子長x尺，木條長y尺，根據(jù)“用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺，將繩子對折再量木條，木條剩余1尺”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設繩子長x尺，木條長y尺，依題意得：{x?y=4.5解得：{x=11答：繩子長11尺，木條長6.5尺．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用以及數(shù)學常識，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【考點題型11】兩直線的交點與二元一次方程組的解

【典例11】如圖，已知函數(shù)y=x+1和y=ax+3圖象交于點P，點P的橫坐標為1，則關于x，y的方程組x?y=?1ax?y=?3的解是（

A．x=1y=2 B．&x=2y=1 C．x=1【答案】A【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖像與二元一次方程（組），掌握方程