有關(guān)等腰三角形、等邊三角形和直角三角形的常見壓軸題（解析版）-2022屆中考數(shù)學(xué)壓軸大題專項訓(xùn)練

專題1有關(guān)等腰三角形、等邊三角形和直角三角形的常見壓軸題

1.(2021?武漢一初慧泉中學(xué)九年級月考)問題背景

(1)如圖1,已知A48C,△/￡>￡均為等邊三角形，且點。在線段3c上，求證：AABD^AACE；

嘗試應(yīng)用

(2)如圖2,已知A42C中，AB=AC,ABAC=120。,P為線段2C上一點，以AP為邊作等邊三角形5P0,

連接C。，M為線段C。的中點，連接［跖AP.求證：AP=2AM；

拓展創(chuàng)新

(3)已知A48C中，AB=AC,N8/C=120。，G為平面內(nèi)一點，若乙4G8=90。，ABGC=150°,請直接寫

出的值.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)也或空.

63

【解題思路分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得==根據(jù)N6/C=D4￡可得

ABAD=NCAE,進(jìn)而根據(jù)SAS即可證明LABD這4ACE；

(2)將△NAP繞A點旋轉(zhuǎn)120。，得到ANDC，連接。”,。。，則旋轉(zhuǎn)角/尸120。，進(jìn)而證明四邊形

C。。尸是平行四邊形，由點M是。。的中點，可得M是平行四邊形對角線的交點，則=進(jìn)而根

據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得R/A4WP，進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可得證；

(3)將A/GC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120。，得到△NSB,旋轉(zhuǎn)角/G/S=120。,分情況討論，①當(dāng)G點在三角

形A/BC內(nèi)部時，②當(dāng)G點在三角形A/5C外部時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得N/SG=N/GS,設(shè)

AG=a,則/S=4G=a,進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得BG,進(jìn)而求得”的值.

【解析】(1),:AABC,AADE均為等邊三角形,

/ABD=ZADE=ABAC=NDAE=60°,AB=AC,AD=AE

/BAD+ADAC=ZDAC+/CAE

/BAD=ZCAE

，△ABD注LACE(SAS)；

(2)如圖，將△45。繞A點旋轉(zhuǎn)120。，得到A/QC,連接。則旋轉(zhuǎn)角43=120。

/./\ABP^/\ADC,

:.BP=DC,AP=AD,

???ZBAC=120°,AB=AC,

.?"ABC=NACB=30。,

vZPAD=nO°,AP=AD,

ZAPD=ZADP=；(180。—120。)=30°,

ZDCP=ZACD+NACB=60°,

???△8尸。是等邊三角形，

PQ=BP,AQPB=60°,

/.PQ=DC,ZDCB=ZQPB,

/.PQ//DC,

???四邊形C。。。是平行四邊形，

???點M是。。的中點，

???點M是平行四邊形尸對角線的交點,

:.PM=DM,

?「AP=AD,

AMVPD,

M’A4WP中

???ZAPD=30°f

AP=2AM

(3)①當(dāng)G點在三角形A4BC內(nèi)部時，如圖，將A4GC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120。，得至

則△ZSB&ZXZGC,

/.AS=AG,ZGAS=120%

ZASG=ZAGS=1(180°-120°)=30°,

???ZASB=ZAGC=360°-ZAGB-ZBGC=120°,

ZGSB=ZASB-ZASG=90°,

ZSGB=/ABG-ZAGS=90°-30°=60°,

ZS5G=30°,

如圖，過點A作/TLSG,

設(shè)ZG=a,貝lj4S=4G=〃，

在放△AST中，

???/4SG=30。，

:.AT=-SA,

2

ST=TG=y]SA2-AT2=—a,

2

SG=嗎,

在中

??,/S8G=30。，

BG=2SG=26a,

.AG_a

BG2y/3a6

(3)①當(dāng)G點在三角形A/5C外部時，如圖，將A4GC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120。，得到△4S3,

則AASB經(jīng)AAGC,

/.AS=AG,ZGAS=120°,

ZASG=ZAGS=30°f

???ZASB=ZAGC=/AGB-NBGC=150°-90°=60°,

ZGSB=ZASB-ZASG=30°,

NSGB=/ABG-/AGS=90°-30°=60°,

ZSBG=90°,

S

G

設(shè)/G=a,則/S=4G=〃,

由①可知SG=Ga

R/A在R/ZXSBG中

???ZBSG=30°,

貝ij2G」SG="a,

22

AGa273

而一互一亍，

綜上所述，熱勺值為4或9

2.(2021?湖北新洲?九年級月考)己知關(guān)于x的一元二次方程(6+C)X2-2G-S-C)=0有兩個相等的

實數(shù)根，且〃、b、c分別是A48c中乙4、D8、NC的對邊.

(1)求證：ZU8C直角三角形;

(2)若。=人設(shè)點尸為N2邊上任一點，PELBC于E,〃為HP的中點，過A作8C的平行線，

交此平行線于D.當(dāng)點P在線段上運動的時候，求舞的值.

2ME

【答案】(1)見解析；(2)野=：.

2ME2

【解題思路分析［(1)根據(jù)已知條件得出A=0,將等式變形，利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可;

(2)過M作GF12C,交4。于尸，交8C于G,由題意得出A42C是等腰直角三角形，4BEP、44松為直角

DMMF

三角形，證出〃>=42,得出△DMF'sZXME'G,得出對應(yīng)邊成比例——=—

MEEG

,設(shè)BE=x,則EC=a-x,尸/=逝0-0》=逝(a-x),得出NM、MF、EG,即可得出答案

【解析】(1)?.?關(guān)于x的一元二次方程(6+c)x2_2ax+c-6=0有兩個相等實數(shù)根,

-.A=(-2a)2-4(Z7+c)(c-Z))=0,整理，得力+尸二。？，

:.A48C是直角三角形.

(2)HM^GFIBC,交4D于R交5c于G,如圖所示：

,:a=b,

二A48C是等腰直角三角形,

-ADUBC,

；/B=^MAF=45。,

[.△BEP、ZL4FA/為直角三角形，

在此△DMF和放△MEG中，3FM=MGE=90。,

.?.zr）+zl=90o,z2+zl=90°,

.,.zJ）=z2,

??.△QA/Fs△陞G,

DMMF

,?ME—茄’

設(shè)則EC=a-x,PA=6a-也x=母（tz-x）,

???MG是梯形P￡C4的中位線，

.?/A/=gp%=3（。_,MF=AM*sin450=---,EG=』EC=g（a-x）,

22222

DMMF5（”工）1

.____=____=_±i_____=]

I/、

"MEEG5（"x）'

3MD3

"2ME~2

3.（2021?武漢市卓刀泉中學(xué)九年級月考）如圖1,點尸為等腰心△NBC斜邊48下側(cè)一個動點，連4P、BP

,且ZJP8=45。，過C作CEL4P于點E,48=12.

(1)若乙4CE=15。,求A4AP的面積；

(2)求笠CF的值；

AP

(3)如圖2,當(dāng)41PC為等腰三角形時，則其面積為.

【答案】(1)18+18^/3；(2)――=—；(3)18或36+18A/J

AJr2.

【解題思路分析［(1)過點B作BHJ/P于H,證明乙8/由30。，然后求出28,AH,尸/f即可解決問題;

(2)過點、B作BKLCE于F,先證明四邊形瓦石”是矩形，得至"EF=BH=PH,BF=EH,再證明△/CEwZkCBb

,得至"CE=BF=EH,AE=CF,即可推出/尸=4七+尸7升瓦＞2C￡；

(3)分當(dāng)尸4=尸。時，當(dāng)4P=4。時，兩種情況根據(jù)(1)(2)的結(jié)論進(jìn)行求解即可.

【解析】解：(1)如圖所示，過點5作于〃，

??.CBHA=(BHP=9G°

???A4BC是等腰直角三角形，且45是斜邊，

：.AC=BC,々CB=90。,

.-.^CAB=/.CBA=45°,

,：CEL4P,

???乙4EC=90。，

?.?ZL4CE=15°,

??ZC4E=9O。-乙4CE=75。,

???乙BAH=^CAE-乙CAB=30。,

r.BH=—AB=6,

2

???AH=VAB2—BH2=6A/3，

?“尸5=45。，

；7BP=HPB=45。

；.BH=PH=6,

???4尸=4〃+//P=6+65

.??%43P=；ZP5H=；x6x(6+6g=18+185

(2)如圖，過點B作BFLCE于F,

?；BF1CE,CELAP,BHL4P,

；ZBFE=CFEH=^BHE=9O。,

???四邊形是矩形,

：.EF=BH=PH,BF=EH,

?:44CE+乙BCE=^4cB=90。,乙BCE+乙CBF=90°,

：.Z-ACE=/LCBF,

又,:AC=BC,

：?AACESCBF(AAS)

???CE=BF=EH,AE=CF,

-AE+PH=AE+EF=CF+EF=CE,

：.AP=AE+PH+EH=2CE,

(3)如圖所示，當(dāng)尸4=尸。時,

?:PA=PC,AP=2CE,

：.PC=2CE,Z.PAC=/,PCA

???CELAP,

.-.ZCEP=9O°,

；ZCPE=3O。,

.-.ZPCE=6O°,ZPAC=ZPCA=^(lSO°-ZCPA)=15°,

：2CE=15。,

???由(1)可知4P=6+66，

：.CE=、AP=3+3人,

2

...S△瞪c=g么尸.CE=g(6+6百)(3+36)=36+184.

如圖所示，當(dāng)/P=/C時，

■：CA=CB,乙4c8=90°,

???AC2+BC2=AB2BP2AC2=2BC2=144,

：■AC=BC=6^1，

：.PA=AC=6^2,

CE=-AP3y/2,

2

SBC=gAP.CE=6近x372=18,

???綜上所述，當(dāng)為等腰三角形時，則其面積為18或36+18。.

故答案為：18或36+18#.

4.(2021?重慶十八中兩江實驗中學(xué)九年級月考)已知：在A48C中，UBC=90°,點。為直線8C上一點

,連接/。并延長，過點C作ZC的垂線交4D的延長線于點E.

(1)如圖1,若UAC=60。,CE=^AC,48=1,求線段/E的長度；

(2)如圖2,若/C=EC,點尸是線段A4延長線上一點，連接即與8C交于點氏S.^BAD=^ACF,求證：AF

=2BH；

(3)如圖3,AB=2,BC=6,點反為4E中點，連接8跖CM,當(dāng)最大時，直接寫出△BMC的面積.

【答案】(1)至；(2)見解析；(3)24

【解題思路分析】(1)根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得4C,根據(jù)已知條件求得CE,根據(jù)勾股定理

即可求得/E；

(2)作EQL2C,證明入45cg△CQE，進(jìn)而可得/2=CQ，2C=Q￡，由已知可得A/CE是等腰直角三

角形，進(jìn)而證明NFC8=/BPC=45。，&BH出雙EQH,即可證明/b=28”

(3)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得|。/-用田=|血1/-8屈歸/8,當(dāng)4M,8三點

共線時，取得最大值為42的長，進(jìn)而勾股定理求得/C,根據(jù)三角形的面積公式可得

AE=MEC,在放中，勾股定理求得EC,進(jìn)而求得根據(jù)三角形面積公式求解即可求得42

3

MC的面積.

【解析】(1)???ZABC=9O。，z.BAC=6Q°,AB=1,

:.ZACB=30°,

:.AC=2,

-??CE=；4C,

CE=1,

MA45c中，AE=^EC2+AC2=A/12+22=75；

(2)如圖，作

?/EQ1BC.AC1ECf

ZEQC=ZACE=90°,

?/ZQEC+ZQCE=90°,ZQCE+ZQCA=90°,

/.ZQEC=ZQCA,

-ZABC=90°,

ZABC=ZCQE,

在\ABC和△C。"中，

/ABC=/CQE

<ZBCA=ZQEC

AC=CE

??\ABC-△CQE，

AB=CQ,BC=QE,

-AC=CE,ACICE,

A4CE是等腰直角三角形，

ZCAE=ACEA=45°,

???/BAD+ZCAE+ZACB+/ABD=180°,

/./BAD+/4CB=45。,

??,/BAD=ZACF,

ZACF+ZACB=45°,

即/尸CB=45。，

NFCB=NBFC=45°,

BC=BF,

???CQ=AB,BC=EQ=BF,

/.BQ=AF,

在\FBH與AEQH中

ZBHF=ZQHE

<ZFBH=ZEQH=90°

BF=EQ

AFBH義AEQH,

:.BH=QH=^BQ=^AFf

AF=2BH；

(3)???/ZCE=90。，〃為ZC的中點，

AM=CM,

\CM-BM\=\AM-BM\<AB,

當(dāng)4M,8三點共線時，|CM-取得最大值為45的長，如圖,

在用A45C中，

AC=^AB2+BC2=A/22+62=2710，

■■-S^CE^-AC-CE^-AEBC,

2廂義EC=6AE,

:.AE=—EC,

3

在小中

AC2+EC2=AE2,

」.(2而了+EC?=］半EC,

解得EC=6而，

AE=叵義6M=20,

3

:.BM=-AE-AB=10-2=S,

2

/\niviv2BC=-2x8x6=24.

5.(2021?吉林省第二實驗學(xué)校九年級月考)如圖，在A/BC中，44c3=90。，48=10,BC=6,動

點尸從點”出發(fā)，沿NC以每秒5個單位長度的速度向終點C勻速運動，設(shè)點尸的運動時間為t秒a>0),過

點尸作AB的垂線交AB于點

(1)AC=.

(2)求4/的長，(用含有f的代數(shù)式表示)

(3)若將點尸繞點"逆時針旋轉(zhuǎn)90。于點N.

①求瓦V的長(用含珀勺代數(shù)式表示)

②在點尸運動的同時，作點2關(guān)于點N的對稱點。，連結(jié)P0.當(dāng)A/Q尸為等腰三角形時，直接寫出f的值.

【答案】(1)8；(2)PM=3t；(3)①當(dāng)0</當(dāng)時,BN=10-11；當(dāng)詈/：時，BN=7M0；②片

8f10

一或"一

879

【解題思路分析】(1)利用勾股定理求出答案；

(2)證明ZUMPsA4c8,即可求出答案；

(3)①利用勾股定理求出結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出8N的長；

②根據(jù)等腰三角形兩邊相等分三種情況，構(gòu)建線段的方程解答.

【解析】解：(1)在AABC中，4cB=90。,AB=10,BC=6,

■■AC=y/AB2-BC2=sJlO2-62=8,

故答案為：8；

(2)由題意得/P=53

,?,尸M.AB,

：,ZAMP=ZACB=90°,

：&MP?AACB,

PM_AP

?,正—IP

PMSt

=，

610

：?PM=3t；

(3)①???點尸繞點〃逆時針旋轉(zhuǎn)90。于點N,AAMP=90°,

???點N在射線45上，

-ZAMP=90°,AP=5t,PM=3t,

AM=ylAP2-PM2=J(5%)2-⑶?二4八

?.AN=AM+MN=AM+MP=4t+3t=lt,

???當(dāng)0</W竺時，BN=AB-AN=10-7%

7

[08

當(dāng)一<t4一時，BN=AN-AB=1t-\Q-,

75

②能，分三種情況：

當(dāng)/。=尸0時，

■：PQ=AQ=AB-2BN==,QM=2^-SAf=2(10-7z)-(10-4z)=10-10Z,

X-.-ZPMQ=90°,PQ2=PM2+QM2,

(14/-10)2=(302+(10-10/)2,

o

解得片0(舍去)或片方；

當(dāng)ZP=/0時，

...AQ=AP=5t,=252V=2(10-70=20-14/,AQ+BQ=AB=W,

.?5+(20-14。=10,

解得人與;

當(dāng)4尸=尸0時，

vBQ=2BN=2(71-10)=14r-20,AQ=2AM=St,AB+BQ=AQ,

*,?10+14/-20=8/,

解得f=g,

58

35

???舍去；

Q1A

綜上，當(dāng)ZUQ尸為等腰三角形時，片點或'=1?

6.（2021?西安市鐵一中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖1.在ZU5c中，乙4=120。，AB=4C,點。、E分別在

邊AB、/C上，AD=AE,連接BE,點、M、N、P分別為。￡、BE、2c的中點，連接2W、NP.

圖1圖2

（1）圖1中，線段NM、AP的數(shù)量關(guān)系是,3vp的度數(shù)為:

（2）將AIDE繞點/順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置.連接皿尸.你認(rèn)為是什么特殊三角形，請寫出

你的猜想并證明你的結(jié)論；

(3)把AIDE繞點/在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，若4D=3,AB=5,請寫出面積的最大值.

【答案】(1)MN=NP,60°；(2)等邊三角形，證明見解析；(3)473

【解題思路分析】(1)根據(jù)/8=/C,AD=AE,得BD=CE,再根據(jù)三角形中位線定理可知AD,PN=

三CE,MNZAB,PNWAC,利用平行線的性質(zhì)可證得N〃NP=60。；

(2)先通過S/S證明zMBD三A4CE,得BD=CE,^ABD=AACE,再由(1)同理可證；

(3)由三角形三邊關(guān)系可知：BD<8,由(2)知：△必西是等邊三角形，MN=；BD,則MV最大值為4,

即可求得&WA?的最大面積.

【解析】(1)"B=AC,AD=AE,

'-BD=CE,

?:點、M、N、尸分別為DE、BE、8c的中點，

：.MN=^BD,PN=^CE,MmAB,PN\\AC,

：.MN=PN,乙ENM=￡EBA,乙ENP=UEB,

:.A4NE+乙ENP=&BE+UEB,

■：Z-ABE+ZAEB=\8O°-ZS/E=6O°,

.■.AMNP=60°,

故答案為：MN=NP,/-MNP=6Q°.

(2)△MVP是等邊三角形，理由如下：

由旋轉(zhuǎn)得：/-BAD=Z.CAE,

又一:AB=AC,AD=AE,

???△ABDmAACE(SAS),

：.BD=CE,UBD=UCE,

?:點、M、N、尸分別為DE、BE、8c的中點，

:.MN=；BD,PN=；CE,MmBD,PNZCE,

■■■MN=PN,乙ENM=AEBD,1cBpN=LBCE,

:.乙ENP=LNBP+可PB=￡NBP+AECB,

??2EBD=LABD+乙ABE=^ACE+Z.ABE,

:.5NP=AMNE+乙ENP=UCE+UBE+乙EBC+乙EBC-乙ECB=180°-乙BAC=60°,

??.△MVP是等邊三角形；

(3)由三角形三邊關(guān)系可知：BD<AB+AD,

即肛8,

??.AD的最大值為8,

由(2)知：AAWP是等邊三角形，MN=^BD

..MN=4^,S^MNP最大,

S.MNP=*XU=4出■

7.(2021?沙坪壩?重慶八中九年級月考)已知，在等腰直角三角形48C中，4c8=90。，AC=BC,

點。在邊/C上運動，連接8。，過C作GW7/4B交AD的延長線于點

(1)如圖1,點。為/C邊上的中點，BD=45,求CM的長;

(2)如圖2,過點4作/于點E,交CM于點、F,連接。尸，求證：BD=AF+DF；

(3)如圖3,過點N作/EL5Z)交AD的延長線于點E,P為BE的中點，AB=2出,請直接寫出CP的最小

值.

【答案】(1)CM=2亞；(2)見解析；(3)與L

【解題思路分析】(1)證明NMnC二八RD4(4%)，得到CA/=/8,RtABCD中，利用勾股定理解得8c

的長，再在放A4BC中，利用勾股定理解題即可;

(2)延長4尸交BC的延長線于T,證明△BCD2△/CT(/S4),ADCF”ATCF〈SAS),再根據(jù)全等三角形

對應(yīng)邊相等的性質(zhì)、線段的和差性質(zhì)解題；

(3)取48中點0,取8。中點G,連接尸0,PG,CG,過點G作Gb，3C于點“，解得N0,8G的長，當(dāng)C、

P、G在同一條直線上時，C尸有最小值，再利用勾股定理解得8G的長，繼而解得3〃的長，再運用勾股定理

求解.

【解析】解：(1)如圖,

圖1

在等腰直角三角形A8C中，ZACB=90°,AC=BC,

■■■CMI/AB

AMCD=ABAD=45°,AMDC=ABDA

???點。為/C邊上的中點，

AMDC=ABDA(ASA)

MC=AB

設(shè)。C=x,C8=/C=2x

RtABCD中，

DC2+BC2=BD2

：.上+(2x)2=(/)2

5x2=5

，x=l或x=-l(舍去)

CB=AC=2

在中，

AB=V22+22=2V2

CM=AB=2V2；

(2)證明：如圖，延長/f交BC的延長線于7,

M

D

CB

圖2

VAELBM,AC1BCf

??./BCD=ZAED=90°,

?；/BDC=/ADE,

.?.ZAED=/BCD=90°,

；"CBD=/CAT,

vZBCD=ZACT=90°,CB=CA,

ABCD義△ACTQSA),

：,CD=CT,BD=AT,

?「A45c是等腰直角三角形

.-.ZACM=ABAC=45°,

/.ZDCF=ZTCF=45°,

?；CF=CF,

；./\DCF^/\TCF{SAS),

FD=FT,

AT=AF+FT=AF+FD,AT=BD,

'.BD=AF+FD.

(3)耽45中點。，取5。中點G,連接尸0,PG,CG,過點G作于點H,

圖3

AQ=BQ=-AB=-X245=^5,BG=QG=-BG=-X45=—

22222

???尸為5E的中點，0為48的中點，

???尸。為的中位線，

PQ//AE

vAE1BD

PQ1BD

ABPQ=90°

???G是5。的中點，

PG=^BQ=^~

???當(dāng)C、P、G三點在同一條直線上時，CP有最小值，

-GH1BC,ZCBA=45°

/BGH=/CBA=45。

BH=GH

設(shè)BH=GH=x

BG=^BH2+GH2=yjx2+x2=岳

/.y[2x=

2

VTo

x=-----

4

在等腰直角三角形N8C中，ZACB=90°,AC=BC,AB=2指,

AC2+BC2=AB2

23c2=(2⑹2

BC=y/lO

“H=BC一BH5要一呼

在RtACGH中，CG=yJCH2+GH2=+（乎＞=|

5-V5

:.CP=CG-PG=--—=

222

8.（2021?諸暨市開放雙語實驗學(xué)校九年級期中）（1）問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,力酸和△■DCE均為等邊三角形，點，，D,￡在同一直線上，連接8E.

填空：①乙4￡8的度數(shù)為；

②線段8E之間的數(shù)量關(guān)系為.

（2）拓展探究

如圖2,A4cB和△DCE均為等腰直角三角形，UCB=5CE=90°,點AD,E在同一直線上，CM為4DC

￡中DE邊上的高，連接8E,請判斷乙4E8的度數(shù)及線段CM,AE,之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）解決問題

如圖3,在正方形4BCD中,CD=也,若點尸滿足9=1,且乙89=90。，請直接寫出點”到AP的距離.

V3+1

2

【解題思路分析】（1）由條件易證△/4CO三△5CE,從而得到：AD=BE,/-ADC=/.BEC.由點4,D,E在

同一直線上可求出ZADC,從而可以求出乙4班的度數(shù).

（2）仿照（1）中的解法可求出々防的度數(shù)，證出ND=3E；由△￡＞（7￡為等腰直角三角形及CW為△OCE中

DE邊上的高可得CM=DM=ME,從而證到/￡=2C〃+8E.

（3）由尸。=1可得：點尸在以點。為圓心，1為半徑的圓上；由此產(chǎn)。=90?？傻茫狐c尸在以2D為直徑的圓上.

顯然，點尸是這兩個圓的交點，由于兩圓有兩個交點，接下來需對兩個位置分別進(jìn)行討論.然后，添加適

當(dāng)?shù)妮o助線，借助于（2）中的結(jié)論即可解決問題.

【解析】解：（1）①如圖1.4cB和△OCE均為等邊三角形，

：.CA=CB,CD=CE,乙4cB=3CE=60°,

：.Z.ACD=LBCE.

在CD和△BCE中，

AC=BC

?.?<ZACD=ZBCE,

CD=CE

-.AACD=ABCE(SAS),

；.，4DC=LBEC.

???△OCE為等邊三角形，

.'.ACDE=ACED=60°.

???點4,D,E在同一直線上，

山。C=120。，

??/BEC=120。,

山EB=^BEC-乙CED=600.

故答案為：60°.

②??&CD三ABCE,

:,AD=BE.

故答案為：AD=BE.

理由：如圖2.???A4CB和△OCE均為等腰直角三角形,

：,CA=CB,CD=CE,/.ACB=^DCE=9Q0,

,??乙ACD=LBCE.

在△4CZ)和△8CE中，

CA=CB

<NACD=/BCE,

CD=CE

.'.AACD=ABCE⑶S），

:.AD=BE,Z-ADC=Z-BEC.

???△OCE為等腰直角三角形，

:.乙CDE=^CED=450.

???點4,D,E在同一直線上，

???乙4。。=135。，

；ZBEC=135。,

：.Z.AEB=Z.BEC-乙CED=900.

?：CD=CE,CM1.DE,

??.DM=ME.

vzDCE=90°,

:,DM=ME=CM,

；?AE=AD+DE=BE+2cM.

(3)點4到5尸的距離為且二1或正1.理由如下：

22

???尸。=1,

???點尸在以點。為圓心，1為半徑的圓上.

“BPD=9。。,

???點尸在以5。為直徑的圓上，

???點尸是這兩圓的交點.

①當(dāng)點尸在如圖3①所示位置時，連接尸。、PB、PA,作4H1BP,垂足為“，過點N作NEl/尸，交AP于點E

,如圖3①.

???四邊形/8CO是正方形，

；.UDB=45°.AB=AD=DC=BC=O,ABAD=90°,

'-BD=2.

??,DP=1,

'*BP=-\[^.

,:乙BPD=乙BAD=90。,

???4、P、D、B在以5。為直徑的圓上，

；?UPB=UDB=45。,

???△尸/E是等腰直角三角形.

又是等腰直角三角形，點5、E、尸共線，AHLBP,

??.由(2)中的結(jié)論可得：BP=2AH+PD,

.■.yf3=2AH+1,

2

②當(dāng)點尸在如圖3②所示位置時，連接尸D、PB、PA,作A/LLBP,垂足為H過點/作NEL4P,交融的延長

線于點E,如圖3②.

同理可得：BP=2AH-PD,

.-.y/3=2AH-1,

.../〃=在±1.

2

綜上所述：點/到2P的距離為叵[或1土1.

22

9.（2021?重慶字水中學(xué)九年級三模）如圖，在等邊“5C中，4D是8c邊上的高，點E為線段4D上一點

,連EB、EC.

（1）如圖1,將線段班繞點￡順時針旋轉(zhuǎn)至斯，使點為客在創(chuàng)的延長線上.

①求NCE尸的度數(shù)；

②求證：AB=AF+43AE；

（2）如圖2,若48=4,將線段以繞點E旋轉(zhuǎn)過程中與邊/C交于點〃，當(dāng)/E=S時，請直接寫出

2H+CE的最小值.

【解題思路分析［（1）①延長BE到gC于X,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得到/。是8C的垂直平分線，

^BAD=^CAD=30°,^ABC=60°,即可得至lkE3C=NEC8,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到8E=￡F,AF=^ABH,再根

據(jù)乙FEH=4F+4FBH=24FBH,乙CEH=KEBC+乙ECB=2^EBC即可求解；

②在A4上截取8G=NE,過點E作EM/2于連接EG,由等腰三角形的性質(zhì)可以得到/M=GM,再利用含

30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AM=y/AE2-ME2=^-AE,即可求解；

2

（2）將48繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)90。到/T,連接所，證明△5//C三得到BH=ET,即可得到跳r+CE=AE+

ET,要想8/7+CE的值最小，即3￡+￡7的值最小，當(dāng)8、E、T三點共線時，3E+ET的值最小，由此求解即可.

【解析】解：（1）①延長8E到/皮4c于

???三角形A8C是等邊三角形，AD是8C邊上的高，

以。是8C的垂直平分線，4BAD=KCAD=30。,ZJBC=60°,

；.BE=CE,

:.乙EBC=LECB,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：BE=EF,

；，F(xiàn)=UBH,

?:乙FEH=4F+乙FBH=2乙FBH,乙CEH=^EBC+乙ECB=2乙EBC,

:.乙CEF=4CEH+$EF=24FBH+2乙EBC=2UBC=12Q°；

圖1

②如圖，在8/上截取3G=/￡,過點E作EMU8于連接EG,

?；BE=FE,

又?:AF=BG,

；?AM=GM,

-Z-EAM=30°,

：.AE=2ME,

■■AM=>JAE2-ME2=—AE,

2

■■AG=AM+MG=2AM=島￡,

-：AB=BG+AG,

■■AB=AF+^AE-.

(2)如圖，將繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)90。到/T,連接斯,

:.乙TAE=NBCH=60°,AT=AB=BC,Z.BAT=9G°

■：AE=CH,

：ABHCmATEA(SAS),

：.BH=ET,

■：BE=CE,

：.BH+CE=BE+ET,

?.?要想以升CE的值最小，即BE+ET的值最小，

.?.當(dāng)氏E、7三點共線時，8E+E7的值最小，

此時△N87為等腰直角三角形，

BT=y]AB2+AT2=472，

.?.5//+CE的最小值為4VL

圖2

10.(2021?吉林省第二實驗學(xué)校九年級月考)已知RtA48c中，NC48=90。，4B=4,AC=3,點尸從點

B處出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿8-/-C,運動時間為f秒，以N尸為斜邊作等腰直角三角形

尸。/，點。始終在點N的右上方，

(1)用f表示線段工尸的長.

(2)點。落在線段BC上時，求f的值.

(3)點尸在線段N8上運動時，點4是點N關(guān)于直線0P的對稱點，當(dāng)點4與A4CB的頂點所連線段平行△/CB

的一條直角邊時，求△NBC與△///重疊部分的面積S的值.

(4)點E是線段NC中點，當(dāng)直線把AIBC的面積分為2：3兩部分時，直接寫出f的值.

【解題思路分析】(1)分當(dāng)尸在線段N8上時和當(dāng)尸在線段42上時兩種情況討論求解即可；

(2)先禾I」用NC=3,AB=4AC>AB,即NC>45。，則當(dāng)尸在/C上時，0不可能在8C上，過點過點。作0LL45

交AB于H,然后證明得到空=空，即可求解；

ACAB

(3)分①當(dāng)HC11/5時②當(dāng)H8IMC時兩種情況利用相似三角形進(jìn)行求解即可得到答案；

(4)以為x軸，以/C為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別討論當(dāng)尸在上和尸在/C上時兩種情形討論求

解即可.

【解析】：(1)當(dāng)尸在線段45上時，

由題意可得：AP=AB-BP,BP=2t,

■.AP=4-2t(0</<2)；

當(dāng)尸在線段上時,

7

AP=2t-4(2<t<-)；

2

4-2?(0<r<2)

：.AP=\

(2)??4。=3,AB=4

.-.zC>z5,

vzC>45°,

???當(dāng)尸在/C上時，。不可能在BC上，

??/只能在45上時，。才能在5c上，

過點。作?！癓45交46于“，

-CA1AB,QH1AB,

???C4||0〃，

SBQH?ABCA,

QHBH

???△40尸是等腰直角三角形，乙40尸=90。,

.-.QH=AH=HP=；40=2T,

:.BH=2+t

2—￡2+￡

??=,

34

2

解得f=于

(3)①當(dāng)HC||48時，設(shè)//與8c交于過點W作腔1/8于E

ZACA'=90°

???/'是4關(guān)于。尸的對稱點，

；.AP=A'P,^PQA=ZPQA'=90°,^QPA=ZQPA'

?"N0=45。，

；ZQPA=NQPH=45°,

山=90。,

???四邊形4CHP是正方形，尸WIZC,

；,AC=AP=3,

-MELAB,CALAB,

：.MEUC,AE=ME,

??.△BEM~BAC,△BPFFBAC,

MEBEPF_BP

??京-IP~AC~7B"

MEA-MEPF_1

??一，一，

3434

123

解得=PF=j

74

???△/8C與A44P重疊部分的面積S即為四邊形4WW的面積,

S=St.XADRlVML—S/A\DRrPr,=-cAB?McE--PB?PrF=—

225o

②當(dāng)H5||4。時，設(shè)/Z與BC交于過點M作于E,

12

同理可以求得=萬，

124

'.S=SMBM=-AB.ME=-

綜上所述，s的值為空或烏；

56/

3

(4)如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則4(0,0),5(4,0),C(0,3),E(0,-),直線于

BC交于G,

①當(dāng)尸在45上時，AP=4-2t,過0作。于

；.AH=QH=HT=2-t,

???0（2/2"）,

設(shè)直線E0的解析式為y=kxx+bif直線5c的解析式為y=kx+bf

L3

b1=一6=3

：12

0=4左+6'

2-1—ky（2-，）+b]

b=3

解得:

l-2tk=--

4

???直線E0的解析式為歹=%+T，直線8。的解析式為廣一%+3,

'\-2t3

V=----x+—/、

4—2，2解得x二作二)，

聯(lián)立

38-7才

y=——x+3

4

,直線石。把A4BC的面積分為2:3的兩部分

SAARC—~2AC?AB-6

]

」CEx6（2T）=6,或s=-CEx^—^-=6x-,

28—715328—7/5

■-13j=6x2或L，A=6X3,

—X—X

228—775228—775

②當(dāng)P在4c上時，AP=2t-4,過0作。于〃,

：.AH=QH=HT=t-1,

：.Q(Z-2,r-2),

設(shè)直線E。的解析式為V=&%+&，

A4

t_2=k2r_2)+優(yōu)

b2=-

22

解得

72t—7

k?=

22/-4

???直線￡。的解析式為y="2/-7x+=3,

2/—42

2Z-73

y=------xH—/、

2；42解得￥=膽為

聯(lián)立

3,27/-20

y=——x+3

4

同理可得136(2-0/2或136(2-0,3,

—X—x---------=6X——X—x-=6x―

227Z-205227—205

切,0130?70

解得，=而或"為;

綜上所述,,的值為"或方或端或詈

11.(2021?長春市第二實驗中學(xué)九年級月考)如圖，在放△yiBC中，NC=90。，8c=4cm,/C=8cm,

點尸從點”出發(fā)，沿/C方向以2cm/s的速度向終點C運動，PDLAC,尸。=尸/,點尸在射線/C上，F(xiàn)P=2PA,

以尸。、尸尸為鄰邊構(gòu)造矩形尸。斯，設(shè)點尸的運動時間為f(s).

(1)AF=—(用含f的代數(shù)式表示).

(2)當(dāng)點3落在?！晟蠒r，求f的值.

(3)連接BE尸是等腰三角形時，求t的值.

(4)當(dāng)點E在A48C的邊的垂直平分線上時，直接寫出t的值.

【解題思路分析】(1)由點尸的運動可知，AP=PD=2t,PF=2PA=4t,進(jìn)而可得/尸=6?；

(2)當(dāng)點3落在上，易得四邊形DPC5是矩形，則。尸=8C,可求出t的值；

(3)先分析放AIBC,可知，/8=4指cm；根據(jù)題意需要分類討論，AB=AF,BA=BF,三種情

況，再結(jié)合等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可求解;

(4)需要分類討論，當(dāng)點E分別在邊BC,AC,N3的垂直平分線時，畫出對應(yīng)圖形，可求出f的值.

【解析】解：(1)由點尸的運動可知，AP=2t,

：.PD=AP=2t,PF=2PA=4t,

.■■AF=AP+PF=6t.

故答案為：6t.

(2)當(dāng)點2落在。E上時，如圖1,

由題意可知，/-DPC=AD=ABCA=90°,

???四邊形OPC8是矩形，

:.DP=BC=4,即2f=4,

由勾股定理可得，AB=4遙.

若想8尸是等腰三角形，則需要分BA=BF,E4=F2三種情況:

①當(dāng)尸時，如圖2,

此時4F=6/=4遙,

②當(dāng)詡=8尸時，如圖3,

?：BCLAF,

.?.點C是//的中點，即NC=CF=8,

???4/=6/=16,

圖3

③當(dāng)冗4=7^時，如圖4,

此時點尸在42的垂直平分線上.

■.AM=MB=26，

山=乙4,UMN=UCB=90°,

■■AAMF-AACB,

：.AM：AC=AF：AB,即2遙：8=6/：4#）,

解得

6

綜上，當(dāng)A43尸是等腰三角形時，/的值為拽，■!或工

336

圖4

（4）當(dāng)點E在的邊的垂直平分線上時，需要分三種情況：點E在邊8C,AC,48的垂直平分線時,

①當(dāng)點E在線段3c的垂直平分線上時，如圖5,

由題意可得，4EFC=LC=4CQE=90°,

???四邊形EFC0是矩形，

:.PD=EF=CQ=gBC=2,即2f=2,

?,工=1;

B

②當(dāng)點E在線段4C的垂直平分線上時，如圖6,

此時點方是的中點，即//=8,

?6=8,

4

③當(dāng)點E在線段的垂直平分線上時，如圖7,

由（3）可知，AN-.AB=AM-.AC,

■■.AN：475=275：8,

：.AN=5,

???FN=AN-AF=5-6t,

又（ENF=UNM,/-EFN=Z-AMN=9QQ,

??△EFN~/\AMN,

；,EF：FN=AM：MN=AC：BC=2：1,

「2：（5-6z）=2：1,解得，=3；

7

4s

綜上,當(dāng)點E在M2C的邊的垂直平分線上時,'的值為：1,1或，.

B

12.（2021?南師附中樹人學(xué)校九年級月考）如圖1,若△。所的三個頂點D,E,尸分別在△^9。各邊上，

則稱△。所是A48C的內(nèi)接三角形.

（1）如圖2,點D,E,尸分別是等邊三角形4BC各邊上的點，且4D=BE=CF,貝必。跖是A43C的內(nèi)接—

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形或等邊三角形D.直角三角形

（2）如圖3,已知等邊三角形/8C,請作出A48C的邊長最小的內(nèi)接等邊三角形0M.（保留作圖痕跡，

不寫作法）

（3）問題：如圖4,A43C是不等邊三角形，點。在48邊上，是否存在AIBC的內(nèi)接等邊三角形。斯？如果

存在，如何作出這個等邊三角形？

①探究1：如圖5,要使△。斯是等邊三角形，只需血甲=60。，DE=DF.于是，我們以點。為角的頂點任

作乙￡。尸=60°,且DE交BC于點￡,DF交AC于點F

我們選定兩個特殊位置考慮：位置1（如圖6）中的點尸與點C重合，位置2（如圖7）中的點E與點C重合.

在點E由位置1中的位置運動到位置2中點C的過程中，DE逐漸變大而。尸逐漸變小后再變大，如果存在某個

時刻正好?！?。尸，那么這個等邊三角形。￡尸就存在（如圖8）.理由：是等邊三角形.

②探究2：在2c上任取點E,作等邊三角形。斯（如圖9）,并分別作出點E與點2、點C重合時的等邊三角

形DAP和DCF".連接尸尸，F(xiàn)F",證明：FF+FF"=BC.

③探究3：請根據(jù)以上的探究解決問題：如圖10,