北師版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)考點(diǎn) 清單05 一元一次方程（18個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

清單05一元一次方程（18個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

【清單01】一元一次方程1.概念：只含一個(gè)未知數(shù)（元）且未知數(shù)的次數(shù)都是1的方程；標(biāo)準(zhǔn)式：ax+b=0（x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，且a≠0）；方程的解：使方程等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值

知識(shí)點(diǎn)2含參一元一次方程1、次數(shù)含參：主要考察一元一次方程定義2、常數(shù)項(xiàng)含參：求解一個(gè)常數(shù)項(xiàng)含參的一元一次方程，依然采用常規(guī)的五步法解題3、解已知或可求：將解代入?yún)?shù)方程，求出參數(shù)【清單02】等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等；如果a=b，那么a±c=b±c;等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等；如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，c0，那么；【清單03】解一元一次方程解一元一次方程的步驟：去分母兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母2.去括號(hào)（1）先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)（2）乘法分配律應(yīng)滿足分配到每一項(xiàng)注意：特別是去掉括號(hào)，符合變化3.移項(xiàng)（1）定義：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的一邊，不含有未知數(shù)的項(xiàng)移到另一邊；（2）注意：①移項(xiàng)要變符號(hào)；②一般把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到左邊，其余項(xiàng)移到右邊．4.合并同類項(xiàng)（1）定義：把方程中的同類項(xiàng)分別合并，化成“axb”的形式（a0）；（2）注意：合并同類項(xiàng)時(shí)，把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母不變．5.系數(shù)化為1（1）定義：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)a，得；（2）注意：分子、分母不能顛倒

【清單04】一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用1.距離=速度·時(shí)間2.工作量=工效×工時(shí)工程問(wèn)題常用等量關(guān)系：先做的+后做的=完成量3.順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度；順?biāo)嫠畣?wèn)題常用等量關(guān)系：順?biāo)烦?逆水路程4.售價(jià)=定價(jià)；利潤(rùn)問(wèn)題常用等量關(guān)系：售價(jià)-進(jìn)價(jià)=利潤(rùn)【考點(diǎn)題型一】識(shí)別方程和一元一次方程

【典例1】下列各式中，屬于方程的是（

）A．?12x?3 B．3x+1=4 C．x+1>1【變式1-1】下列方程中，是一元一次方程的是（）A．x=0 B．1C．x+2y=3 D．x【變式1-2】下列各式中，是一元一次方程是（

）．A．x?1 B．2y=x+1 C．x=1 D．x【變式1-3】下列四個(gè)式子中，是方程的是（

）A．3+2=5 B．a(chǎn)+b C．x+1=2 D．2x?1<0

【考點(diǎn)題型二】根據(jù)一元一次方程的定義求參數(shù)

【典例2】已知關(guān)于x的方程(m?1)x|m|?2=3m是一元一次方程，則實(shí)數(shù)mA．1 B．?1 C．1或?1 D．0【變式2-1】已知關(guān)于x的方程k?2xk?1+5=3k是一元一次方程，則A．±2 B．2 C．?2 D．±1【變式2-2】若(m?2)x|m|?1?2=5是關(guān)于x的一元一次方程，則m【變式2-3】若m?3xm?2=5是關(guān)于x

【考點(diǎn)題型三】方程的解

【典例3】若x=1是關(guān)于x的方程2x?a=?1的解，則a的值是（

）A．?3 B．?2 C．2 D．3【變式3-1】已知x=a是關(guān)于x的方程3x?2=12x+3的解，則aA．?2 B．2 C．25 D．【變式3-2】已知x=?3是方程kx+4?2k?x=5的解，則k的值是（A．?2 B．2 C．3 D．5【變式3-3】關(guān)于x的方程5x?m=9的解為x=1，則m的值是．【考點(diǎn)題型四】等式的性質(zhì)

【典例4】如果ma=mb，那么下列等式中不一定成立的是（

）A．ma+1=mb+1B．ma?3=mb?3 C．?12ma=?【變式4-1】將方程3x+y=6寫成用含x的代數(shù)式表示y為（

）A．y=6?3x B．y=3x?6 C．x=y3?2【變式4-2】如圖，從一個(gè)平衡的天平兩邊分別加上一個(gè)砝碼，天平仍平衡，下面與這一事實(shí)相符的是（）A．如果a=b，那么a+c=b+c B．如果a=b，那么a?c=b?cC．如果a=b，那么ac=bc D．如果a=b，那么a【變式4-3】下列選項(xiàng)中，利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，不一定正確的是（）A．若2a=6，則a=3 B．若a?3=b?3，則a=bC．若a=b，則?2a=?2b D．若a=b，則a

【考點(diǎn)題型五】解一元一次方程

【典例5】解方程：(1)2x?1=?3x+8；(2)【變式5-1】解方程(1)8x=2(x+4)；(2)3x?12【變式5-2】解方程：(1)4?x2?2x+13=4【變式5-3】解方程．(1)5x?23?2x=?3【考點(diǎn)題型六】一元一次方程的同解問(wèn)題

【典例6】關(guān)于x的方程?2x+a=1的解與方程2x=6的解相同，則a的值是（）A．7 B．5 C．4 D．3【變式6-1】已知關(guān)于x的一元一次方程4x+2m=3x+1和3x+2m=6x+1的解相同，則m的值為（

）A．12 B．1 C．?12【變式6-2】已知關(guān)于x的方程3x?7=2x+a的解與方程4x+2=7?x的解相同，則a的值為．

【考點(diǎn)題型七】一元一次方程的錯(cuò)解問(wèn)題

【典例7】小玲在解方程2x?13=a?x2?1

【變式7-1】某同學(xué)解方程3x?6=()x時(shí)，把（

）處的數(shù)字看錯(cuò)，得錯(cuò)解x=?1A．3 B．6 C．9 D．12【變式7-2】小明是七（2）班的學(xué)生，他在對(duì)方程x+23=x?a2?1去分母時(shí)由于粗心，方程右邊的?1【變式7-3】小明是七年級(jí)（2）班的學(xué)生，他在對(duì)方程2x?13=x+a2?1去分母時(shí)由于粗心，方程右邊的?1沒有乘6而得到錯(cuò)解【考點(diǎn)題型八】根據(jù)一元一次方程的關(guān)系解方程

【典例8】當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的方程34+8x=7k+6x的解比關(guān)于x的方程【變式8-1】若關(guān)于x的方程2x3?3x6=1的解是關(guān)于x的方程x+【變式8-2】當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的方程7k+6x=2的解比關(guān)于x的方程2x?8【變式8-3】已知關(guān)于x的方程5x?2m=4x?1+1的解比關(guān)于x的方程2x+1?m=x?2m?2【考點(diǎn)題型九】一元一次方程應(yīng)用-工程問(wèn)題

【典例9】涑水河，黃河中游支流，流域位于山西省南部的運(yùn)城市境內(nèi)，發(fā)源于絳縣中條山區(qū)陳村峪，向西南流經(jīng)聞喜縣、夏縣、運(yùn)城市鹽湖區(qū)、臨猗縣、永濟(jì)市，于永濟(jì)市韓陽(yáng)鎮(zhèn)長(zhǎng)旺村匯入黃河，為把涑水河打造成集人文自然、創(chuàng)意休閑、文化傳承于一體的沿河旅游風(fēng)景區(qū)，現(xiàn)將一段長(zhǎng)為225米的河道綜合整治任務(wù)交由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)先后接力完成，甲工程隊(duì)每天整治15米，乙工程隊(duì)每天整治10米，共用時(shí)20天，甲、乙兩工程隊(duì)分別整治河道多少米？【變式9=-1】甲、乙兩工程隊(duì)承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程隊(duì)每天的挖掘長(zhǎng)度是乙工程隊(duì)每天挖掘長(zhǎng)度的1.5倍，若甲、乙兩工程隊(duì)一起挖掘200米長(zhǎng)度的隧道時(shí)，共用時(shí)間4天．(1)求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天分別可挖掘隧道多少米？(2)已知該段隧道挖掘工程為600米，甲工程隊(duì)每天的挖掘費(fèi)用為6萬(wàn)元，乙工程隊(duì)每天的挖掘費(fèi)用為3萬(wàn)元．若安排甲工程隊(duì)先單獨(dú)挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程隊(duì)單獨(dú)完成，總費(fèi)用剛好102萬(wàn)元，求甲工程隊(duì)?wèi)?yīng)先單獨(dú)挖掘多少天？【變式9-2】列方程解應(yīng)用題：甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同承包了一項(xiàng)總長(zhǎng)度為5400米的修路工程，原計(jì)劃由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別從兩端同時(shí)開始施工，恰好9天完成整個(gè)工程，已知乙隊(duì)平均每天比甲隊(duì)多施工120米．(1)求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)原計(jì)劃平均每天分別施工多少米？(2)若甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同施工6天后，因另有緊急任務(wù)，乙工程隊(duì)被調(diào)離該工程，剩余部分由甲工程隊(duì)單獨(dú)完成．為盡量減少延誤工期，甲工程隊(duì)提高工作效率后繼續(xù)施工，結(jié)果比原計(jì)劃延遲2天完成整個(gè)工程．求甲工程隊(duì)提高工作效率后平均每天施工多少米？【變式9-3】整理一批圖書，由一個(gè)人做要40小時(shí)完成，現(xiàn)在計(jì)劃由一部分人先做4小時(shí)，再增加2人和他們一起做8小時(shí)，完成這項(xiàng)工作，假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應(yīng)先安排多少人工作4小時(shí)？【考點(diǎn)題型十】一元一次方程應(yīng)用-行程問(wèn)題

【典例10】甲地到乙地的高鐵開通后，運(yùn)行時(shí)間由原來(lái)的3.5h縮短至1h，運(yùn)行里程比原來(lái)縮短了40km【變式10-1】一艘快艇從A碼頭到B碼頭順流行駛，同時(shí)一艘游船從B碼頭出發(fā)順流而下．已知，A、B兩碼頭相距140千米，快艇在靜水中的平均速度為67千米/小時(shí)，游船在靜水中的平均速度為27千米/小時(shí)，水流速度為3千米/小時(shí)．(1)請(qǐng)計(jì)算兩船出發(fā)航行30分鐘時(shí)相距多少千米？(2)如果快艇到達(dá)B碼頭后立即返回，試求兩船在航行過(guò)程中需航行多少時(shí)間恰好相距100千米？【變式10-2】隨著人們生活水平的提高，人工智能掃地機(jī)器人成為上班族或現(xiàn)代家庭的常用家電用品．為了測(cè)試兩款機(jī)器人的清掃速度，現(xiàn)安排甲、乙兩個(gè)不同的掃地機(jī)器人從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，沿同一條路線相向勻速行駛清掃（路途中沒有障礙物遮擋），已知出發(fā)后經(jīng)3分鐘兩個(gè)機(jī)器人相遇，相遇后再經(jīng)2分鐘乙到達(dá)A地，A，B相距45米．(1)甲、乙兩個(gè)機(jī)器人的速度分別是多少？(2)從A，B兩地同時(shí)出發(fā)后，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后兩個(gè)機(jī)器人相距6米？【變式10-3】元旦假期小李去歌樂(lè)山爬山，上山每小時(shí)走4km，下山時(shí)按原路返回，下山每小時(shí)走5km，結(jié)果上山比下山多花16小時(shí)，設(shè)下山所用時(shí)間為xA．4x?16=5x B．4x+1【考點(diǎn)題型十一】一元一次方程應(yīng)用-比賽積分問(wèn)題

【典例11】某次籃球聯(lián)賽部分積分如下：根據(jù)表格提供的信息解答下列問(wèn)題：隊(duì)名比賽場(chǎng)次勝場(chǎng)負(fù)場(chǎng)積分A1410424B147721C1441018(1)求出勝一場(chǎng)、負(fù)一場(chǎng)各積多少分？(2)某隊(duì)的勝場(chǎng)總積分能等于負(fù)場(chǎng)總積分嗎？若能，試求出勝場(chǎng)數(shù)和負(fù)場(chǎng)數(shù)：若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【變式11-1】第十九屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式于2023年9月23日晚在浙江省杭州市隆重舉行．某球賽的比賽記分方法為：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，一支球隊(duì)一共進(jìn)行了9場(chǎng)比賽，輸了3場(chǎng)，得16分．設(shè)該球隊(duì)勝了x場(chǎng)，則下列所列方程正確的是（

）A．3x+9?x=16 C．x+39?x=16 【變式11-2】某中學(xué)組織足球比賽，比賽規(guī)定：勝一場(chǎng)得2分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分．勇士隊(duì)共參加8場(chǎng)比賽，在保持不敗的情況下，共得13分．問(wèn)此次比賽中勇士隊(duì)勝了幾場(chǎng)？【變式11-3】2023年5月，貴州省榕江縣足球超級(jí)聯(lián)賽在該縣城北新區(qū)體育館開幕，現(xiàn)場(chǎng)觀眾最多時(shí)達(dá)到5萬(wàn)人，平均每場(chǎng)比賽超5000萬(wàn)人次在線圍觀，全網(wǎng)流量突破300億次……．這場(chǎng)“村超”的火爆“出圈”提升了貴州鄉(xiāng)村人民對(duì)自己文化、生活的自豪和自信．下表呈現(xiàn)的是各村足球隊(duì)中部分參賽隊(duì)根據(jù)積分規(guī)則得到的不完整積分表．參賽隊(duì)局次勝和負(fù)積分朗洞鎮(zhèn)平地村962120小瑞村952217三江四格隊(duì)90090平永村隊(duì)9114觀察表格，解決下列問(wèn)題：(1)本次比賽：“勝”一局得______分，“和”一局得______分，“負(fù)”一局得_____分；(2)請(qǐng)?jiān)诒砀裰袑ⅰ捌接来尻?duì)”的積分補(bǔ)充完整；(3)在積分規(guī)則不變的前提下，若此系列賽每個(gè)隊(duì)共對(duì)弈21局，“美鄉(xiāng)村隊(duì)”最終勝的局?jǐn)?shù)是負(fù)的局?jǐn)?shù)的2倍，你認(rèn)為“美鄉(xiāng)村隊(duì)”的最終得分可以是40分嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)題型十二】一元一次方程應(yīng)用-經(jīng)濟(jì)問(wèn)題

【典例12】某社區(qū)超市用520元錢從批發(fā)商處購(gòu)進(jìn)了甲、乙兩種商品共100千克，已知甲、乙商品的批發(fā)價(jià)與零售價(jià)如下表所示：商品名甲乙批發(fā)價(jià)（元/千克）46零售價(jià)（元/千克）1012(1)該社區(qū)超市這天批發(fā)甲商品和乙商品各多少千克；(2)甲商品和乙商品按零售價(jià)售出相同的重量后，剩下的商品都按零售價(jià)打八折售出，最終當(dāng)天甲乙商品全部賣完，共獲得464元利潤(rùn)，求打折后賣出的甲、乙商品的重量分別為多少？【變式12-1】（1）小明騎自行車從家到學(xué)校，若每小時(shí)行駛10千米，則晚到4分鐘；若每小時(shí)行駛15千米，則早到4分鐘．求小明家到學(xué)校的路程．（2）某水果店第一次用795元從水果批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種不同品種的蘋果，其中甲種蘋果的質(zhì)量比乙種蘋果質(zhì)量的2倍多15千克，甲、乙兩種蘋果的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：甲乙進(jìn)價(jià)（元/千克）58售價(jià)（元/千克）1015（ⅰ）該水果店第一次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種蘋果各多少千克？（ⅱ）該水果店第二次又購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種蘋果，其中甲種蘋果的質(zhì)量不變，且按原價(jià)銷售；乙種蘋果的質(zhì)量是第一次的3倍，并打折銷售．第二次甲、乙兩種蘋果都售完后獲得的總利潤(rùn)為595元，則第二次乙種蘋果按原價(jià)打幾折銷售？【變式12-2】小王自主創(chuàng)業(yè)開了一家服裝店，經(jīng)營(yíng)一段時(shí)間后，小王發(fā)現(xiàn)每件進(jìn)價(jià)為200元的A種服裝，按標(biāo)價(jià)的八折出售時(shí)的利潤(rùn)率為20%(1)求A種服裝的標(biāo)價(jià)為多少元？(2)已知B種服裝的進(jìn)價(jià)為300元，小王售完兩種服裝后，又以原來(lái)的價(jià)格購(gòu)進(jìn)A，B兩種服裝共110件，所用資金為28000元．①求購(gòu)進(jìn)的A，B兩種服裝各多少件？②由于小王對(duì)市場(chǎng)需求了解不清楚，換季時(shí)，A種服裝雖已全部售出，但B種服裝按標(biāo)價(jià)400元只售出了10件，為了盡快回籠資金，小王決定對(duì)剩余的B種服裝打折處理，在B種服裝恰好保本的情況下，剩余的B種服裝打幾折處理？【變式12-3】2023年12月第六屆遵義羊肉粉美食文化旅游節(jié)在遵義鳳凰山文化廣場(chǎng)舉行，某袋裝羊肉銷售鋪從廠家購(gòu)進(jìn)了甲、乙兩種袋裝羊肉，甲種袋裝羊肉的每袋進(jìn)價(jià)比乙種袋裝羊肉的每件進(jìn)價(jià)少15元．若購(gòu)進(jìn)甲種袋裝羊肉7袋，乙種袋裝羊肉5袋，需要795元．(1)求甲、乙兩種袋裝羊肉的每袋進(jìn)價(jià)分別是多少元？(2)該袋裝羊肉銷售鋪從廠家購(gòu)進(jìn)了甲、乙兩種袋裝羊肉各45袋．在銷售時(shí)，甲種袋裝羊肉的每袋售價(jià)為75元，乙種袋裝羊肉的每袋售價(jià)為100元，在實(shí)際銷售過(guò)程中，商店按售價(jià)將購(gòu)進(jìn)的全部甲種袋裝羊肉和部分乙種袋裝羊肉售出后，決定將剩下的乙種袋裝羊肉打九折銷售，兩種袋裝羊肉全部銷售完后，共獲利1580元，求乙種袋裝羊肉打折之前銷售了多少袋？

【考點(diǎn)題型十三】一元一次方程應(yīng)用-方案問(wèn)題

【典例13】中國(guó)移動(dòng)全球通有兩種通話計(jì)費(fèi)方法（接聽全免，接聽時(shí)間不計(jì)入通話時(shí)間）：計(jì)費(fèi)方法A是每月收月租費(fèi)48元，通話時(shí)間不超過(guò)50分鐘的部分免費(fèi)，超過(guò)50分鐘的按每分鐘0.25元加收通話費(fèi)；計(jì)費(fèi)方法B是每月收取月租費(fèi)88元，通話時(shí)間不超過(guò)200分鐘的部分免費(fèi)，超過(guò)200分鐘的按每分鐘0.19元加收通話費(fèi)．(1)某使用計(jì)費(fèi)方法A的用戶一個(gè)月通話時(shí)間為100分鐘，應(yīng)付費(fèi)用多少元？(2)用計(jì)費(fèi)方法B的用戶某個(gè)月累計(jì)費(fèi)用107元，通話時(shí)間是多少分鐘？(3)用計(jì)費(fèi)方法B的用戶某個(gè)月累計(jì)費(fèi)用126元，若改用計(jì)費(fèi)方法A的方式，費(fèi)用是增加還是減少？相差多少？【變式13-1】某校為紀(jì)念“一二·九運(yùn)動(dòng)”八十七周年，豐富校園文化生活，增強(qiáng)學(xué)生的身體素質(zhì)，培養(yǎng)同學(xué)們的集體榮譽(yù)感和團(tuán)結(jié)協(xié)作精神，特舉辦一場(chǎng)文體活動(dòng)，全校各班都積極參與本次活動(dòng)，為表彰在本次活動(dòng)中表現(xiàn)出色的班級(jí)，學(xué)校將購(gòu)買一些乒乓球和乒乓球拍作為活動(dòng)獎(jiǎng)勵(lì)，經(jīng)向兩家商店進(jìn)行價(jià)格咨詢，了解情況如下：若該校需購(gòu)買乒乓球拍10副，乒乓球若干盒（不小于10盒）(1)當(dāng)購(gòu)買乒乓球多少盒時(shí)，甲、乙兩家商店收費(fèi)金額一樣多？(2)當(dāng)購(gòu)買30盒乒乓球時(shí)，從節(jié)約角度考慮，學(xué)校應(yīng)該去哪家商店購(gòu)買？為什么？【變式13-2】2023年9月23日－10月8日，第十九屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)在中國(guó)杭州舉行，其吉祥物“宸宸、琮琮和蓮蓮”倍受廣大群眾喜愛．新年將至，學(xué)校計(jì)劃訂購(gòu)一批吉祥物的掛件和徽章．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，同一款式的掛件和徽章在甲、乙兩家商店標(biāo)價(jià)均相同，其中掛件每個(gè)標(biāo)價(jià)40元，徽章每個(gè)標(biāo)價(jià)20元．同時(shí)，兩家商店分別開展不同的新年促銷活動(dòng)優(yōu)惠方式如下：甲商店：買一個(gè)掛件送一個(gè)徽章；乙商店：掛件和徽章都按8折（標(biāo)價(jià)的80％）出售．如果學(xué)校計(jì)劃訂購(gòu)掛件30個(gè)，徽章若干（多于30個(gè)），(1)當(dāng)訂購(gòu)35個(gè)徽章時(shí)，如果在甲商店訂購(gòu)，費(fèi)用需__________元；(2)當(dāng)訂購(gòu)多少個(gè)徽章時(shí)，在甲、乙兩家商店分別訂購(gòu)的費(fèi)用相同；(3)當(dāng)訂購(gòu)100個(gè)徽章時(shí)，如果甲、乙兩家商店可以自由選擇，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種最省錢的訂購(gòu)方案，并說(shuō)明理由．【變式13-3】某市兩超市在元旦節(jié)期間分別推出如下促銷方式：甲超市：全場(chǎng)均按八八折優(yōu)惠；乙超市：購(gòu)物不超過(guò)200元，不給予優(yōu)惠；超過(guò)了200元而不超過(guò)500元一律打九折；超過(guò)500元時(shí)，其中的500元優(yōu)惠10%，超過(guò)500元的部分打八折；已知兩家超市相同商品的標(biāo)價(jià)都一樣．(1)當(dāng)一次性購(gòu)物總額是400元時(shí)，甲、乙兩家超市實(shí)付款分別是多少？(2)當(dāng)購(gòu)物總額是多少時(shí)，甲、乙兩家超市實(shí)付款相同？(3)若某顧客購(gòu)物總額相同，其在乙超市實(shí)付款482元，問(wèn)其在甲超市需實(shí)付款多少元？

【考點(diǎn)題型十四】一元一次方程應(yīng)用-數(shù)字問(wèn)題

【典例14】有兩個(gè)數(shù)，第一個(gè)數(shù)比第二個(gè)數(shù)的2倍多1，第二個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)的3倍少4，問(wèn)這兩個(gè)數(shù)是多少？設(shè)第二個(gè)數(shù)為x，根據(jù)題意可列方程（

）A．2(3x?4)+1=x B．3(2x+1)?4=xC．13x?4=1【變式14-1】將1?9這9個(gè)數(shù)填入3×3的方格中，使其任意一行、任意一列及兩條對(duì)角線上的數(shù)之和都相等，這樣便構(gòu)成了一個(gè)“九宮格”，它源于我國(guó)古代的“洛書”（如圖①），是世界上最早的幻方，僅可以看到部分?jǐn)?shù)值的“九宮格”（如圖②），其中x=．【變式14-2】無(wú)限循環(huán)小數(shù)可化成分?jǐn)?shù)，如設(shè)0.7=x，由0.7=0.7777…可知，10x=7.7777…=7+0.7，所以10x=7+x，解得x=79【變式14-3】觀察下表三行數(shù)的規(guī)律，回答下列問(wèn)題：第1列第2列第3列第4列第5列第6列…第1行?24?8a?3264…第2行06?618?3066…第3行?12?48?16b…(1)a=________，b=________．(2)第1行某一列的數(shù)為c，則第2行與它同一列的數(shù)為________．(3)已知第n列的三個(gè)數(shù)的和為642，若設(shè)第1行第n列的數(shù)為x，試求x的值．

【考點(diǎn)題型十五】一元一次方程應(yīng)用-日歷問(wèn)題

【典例15】將從1到900的正整數(shù)按一定規(guī)律排列如下表：對(duì)如圖十字形框中的5個(gè)數(shù)進(jìn)行探究：(1)設(shè)這5個(gè)數(shù)中間的數(shù)為a，則最小的數(shù)為，最大的數(shù)為；(2)若這5個(gè)數(shù)的和是240，求出這5個(gè)數(shù)中間的數(shù)：(3)這5個(gè)數(shù)的和可能是2025嗎，若能，求出這5個(gè)數(shù)中間的數(shù)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．(4)若在（1）中十字形框中框住的五個(gè)數(shù)的和記為“S”，則S的最大值與最小值的差等于

【變式15-1】如圖，是2024年1月的月歷，任意選取“十”字型中的五個(gè)數(shù)（比如圖中陰影部分），若移動(dòng)“十”字型后所得五個(gè)數(shù)之和為115，那么該“十”字型中正中間的號(hào)數(shù)為（

）A．20 B．21 C．22 D．23【變式15-2】在如圖的月歷表中，任意框出表中豎列上三個(gè)相鄰的數(shù)，這三個(gè)數(shù)的和可能是（）A．54 B．62 C．65 D．75【變式15-3】如圖，表中給出的是某月的日歷，任意選取“Z”型框中的7個(gè)數(shù)（如陰影部分所示），請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)研究，發(fā)現(xiàn)此月這7個(gè)數(shù)的和可能的是（

）A．49 B．60 C．84 D．105【考點(diǎn)題型十六】一元一次方程應(yīng)用-古代問(wèn)題

【典例16】《孫子算經(jīng)》中記載：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問(wèn)人與車各幾何？該題意思是：今有若干人乘車，每3人乘一車，最終剩余2輛車，若每2人共乘一車，最終剩余9個(gè)人無(wú)車可乘，問(wèn)有多少人，多少輛車？若設(shè)有x輛車，則可列方程（）A．3x+2=2x?9 C．x3+2=x?9【變式16-1】程大位《算法統(tǒng)宗》：一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無(wú)爭(zhēng)，小僧三人分一個(gè)，大小和尚得幾?。馑际牵河?00個(gè)和尚分100個(gè)饅頭，如果大和尚1人分3個(gè)，小和尚3人分一個(gè)，正好分完．試問(wèn)大、小和尚各多少人？設(shè)大和尚有x人，依題意列方程得（）A．3x?100?x3=100C．3x+100?x3=100【變式16-2】《九章算術(shù)》記載了這樣一道題：“以繩測(cè)井，若將繩三折測(cè)之，繩多四尺；若將繩四折測(cè)之，繩多一尺，問(wèn)繩長(zhǎng)井深各幾何？”題意是：用繩子測(cè)量水井深度，如果將繩子折成三等份，那么每等份井外余繩四尺：如果將繩子折成四等份，那么每等份井外余繩一尺．問(wèn)繩長(zhǎng)和井深各多少尺？假設(shè)井深為x尺，則符合題意的方程應(yīng)為（

）A．13x?4=1C．13x+4=1【變式16-3】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，問(wèn)清、醑酒各幾何？意思是：現(xiàn)在一斗清酒價(jià)值10斗谷子，一斗醑酒價(jià)值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問(wèn)清、醑酒各幾斗？如果設(shè)清酒x斗，那么可列方程為（）A．10x+35?x=30 C．x10+30?x

【考點(diǎn)題型十七】一元一次方程應(yīng)用-幾何問(wèn)題

【典例17】生活處處有數(shù)學(xué)，就看你是否有數(shù)學(xué)的眼光．同學(xué)們都見過(guò)機(jī)械手表吧，讓我們一起去探索其中隱含的數(shù)學(xué)知識(shí)．一塊手表如圖①所示，把它抽象成數(shù)學(xué)模型，如圖②，表帶的兩端用點(diǎn)A和點(diǎn)D表示，表盤與線段AD交于點(diǎn)B，C，O為表盤圓心．(1)若BC為3cm，CD:AB=2:1，B是AC的中點(diǎn)，則手表全長(zhǎng)AD=cm(2)表盤上的點(diǎn)B對(duì)應(yīng)數(shù)字“12”，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)數(shù)字“6”，OE為時(shí)針，ON為分針，8:30時(shí)表盤指針狀態(tài)如圖③所示，分針ON與OC重合．①∠EON=°；②作射線OF，使∠EOF=20°，求此時(shí)∠BOF的度數(shù)．(3)如圖④，自8:30之后，OM始終是∠EON的平分線（分針還是ON），在一小時(shí)內(nèi)，經(jīng)過(guò)________分鐘，∠EOM的度數(shù)是25°．【變式17-1】如圖，是由8個(gè)形狀、大小都相同的小長(zhǎng)方形無(wú)縫拼接而成的大長(zhǎng)方形，如果大長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是20，那么每個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是．

【變式17-2】已知點(diǎn)A在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為a，點(diǎn)B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為b，且|a+3|+(b?4)2=0，點(diǎn)C(1)請(qǐng)根據(jù)題意將圖形補(bǔ)充完整，直接寫出線段AB是線段OC的倍數(shù)；(2)動(dòng)點(diǎn)M、P、Q在線段AB上，點(diǎn)M從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒4個(gè)單位的速度沿O?B?O運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O停止；點(diǎn)P從OB的中點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿CA向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)停止．點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BO向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O停止．已知點(diǎn)M、P、Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(t≥0)．①是否存在t值，使得AP=127PQ②在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)M可能落在線段PQ上的總時(shí)長(zhǎng)．【變式17-3】好朋友給小亮過(guò)生日，如圖，現(xiàn)有底面直徑為16cm，高為30cm的圓柱形容器，里面裝滿了果汁，小亮要把果汁分裝到底面直徑為8cm【考點(diǎn)題型十八】一元一次方程應(yīng)用-水費(fèi)和電費(fèi)問(wèn)題

【典例18】某地天然氣收費(fèi)方案如下：階梯年用氣量?jī)r(jià)格補(bǔ)充說(shuō)明第一階梯0～400m3元/m當(dāng)家庭人口超過(guò)3人時(shí)，每增加1人，第一、二階梯年用氣量上限將分別增加100m第二階梯400～800m4元/m第三階梯800m5元/m(1)某家庭當(dāng)年用氣量為500m(2)甲戶家庭人口為3人，乙戶家庭人口為4人．某年甲、乙兩戶年用氣量之和為1000m(3)某公司共有22名員工，員工宿舍有3人間和4人間兩種類型的房間可供選擇，且員工所選擇的房間必須住滿．結(jié)算天然氣費(fèi)用時(shí)，將每間宿舍視作一戶家庭，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)按上表進(jìn)行收費(fèi)．假定每位員工的年用氣量為250m【變式18-1】為促進(jìn)節(jié)約用水，某地按月實(shí)行階梯水價(jià)，價(jià)目如下表（m3階梯月用水量（m3單價(jià)（元/m第一階梯不超過(guò)22的部分3第二階梯超過(guò)22但不超過(guò)30的部分5第三階梯超過(guò)30的部分7(1)若A居民家4月份共用水15m(2)若B居民家5月份共交水費(fèi)86元，則該居民家5月用水量為多少m3(3)若C居民家5、6月用水量共50m3（5月份用水量小于6月份用水量），這兩個(gè)月共交水費(fèi)174元，則C居民家5、6月用水量分別為多少【變式18-2】某市居民的燃?xì)馐召M(fèi)，按戶為基礎(chǔ)、年為周期進(jìn)行階梯收費(fèi)，具體如表所示，請(qǐng)根據(jù)表中信息解答下列問(wèn)題：階梯年用氣量x收費(fèi)單價(jià)第一階梯0≤x≤400的部分2.67元/第二階梯400<x≤1200的部分3.15元/第三階梯1200m3.63元/備注：若家庭人口超過(guò)四人，每增加一人，第一、二階梯年用氣量的上限分別增加100(1)一戶3人家庭，若年用氣量為200m3，則該年此戶需繳納燃?xì)赓M(fèi)用為______元；若年用氣量為(2)一戶不超過(guò)4人的家庭，年用氣量超過(guò)了1200m3，設(shè)該年此戶需繳納燃?xì)赓M(fèi)用為y元，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示(3)甲戶家庭人口為3人，乙戶家庭人口為5人，2023年甲乙兩戶繳納的燃?xì)赓M(fèi)用均為3855元，請(qǐng)判斷甲乙兩戶年用氣量分別達(dá)到哪個(gè)階梯？并求出2023年甲乙兩戶年用氣量分別是多少立方米（結(jié)果精確到1m【變式18-3】某市電力部門對(duì)居民生活用電實(shí)行“峰谷電價(jià)”和“非峰谷電價(jià)”，可由每戶居民預(yù)先自主選擇．具體電價(jià)如下：電價(jià)分類時(shí)段電價(jià)（元千瓦時(shí)）非峰谷電價(jià)全天24小時(shí)0.538峰谷電價(jià)高峰時(shí)段上午8：00～0.568低谷時(shí)段晚上22：00～0.288現(xiàn)某居民戶10月份用電100千瓦時(shí)．(1)若該居民戶選擇“峰谷電價(jià)”，其中低谷時(shí)段用電x千瓦時(shí)，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示該居民戶這個(gè)月應(yīng)繳納的電費(fèi)．(2)若該居民戶選擇“峰谷電價(jià)”比“非峰谷電價(jià)”少繳電費(fèi)13.8元，問(wèn)該居民戶高峰時(shí)段用電多少千瓦時(shí)？

清單05一元一次方程（18個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

【清單01】一元一次方程1.概念：只含一個(gè)未知數(shù)（元）且未知數(shù)的次數(shù)都是1的方程；標(biāo)準(zhǔn)式：ax+b=0（x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，且a≠0）；方程的解：使方程等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值

知識(shí)點(diǎn)2含參一元一次方程1、次數(shù)含參：主要考察一元一次方程定義2、常數(shù)項(xiàng)含參：求解一個(gè)常數(shù)項(xiàng)含參的一元一次方程，依然采用常規(guī)的五步法解題3、解已知或可求：將解代入?yún)?shù)方程，求出參數(shù)【清單02】等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等；如果a=b，那么a±c=b±c;等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等；如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，c0，那么；【清單03】解一元一次方程解一元一次方程的步驟：去分母兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母2.去括號(hào)（1）先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)（2）乘法分配律應(yīng)滿足分配到每一項(xiàng)注意：特別是去掉括號(hào)，符合變化3.移項(xiàng)（1）定義：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的一邊，不含有未知數(shù)的項(xiàng)移到另一邊；（2）注意：①移項(xiàng)要變符號(hào)；②一般把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到左邊，其余項(xiàng)移到右邊．4.合并同類項(xiàng)（1）定義：把方程中的同類項(xiàng)分別合并，化成“axb”的形式（a0）；（2）注意：合并同類項(xiàng)時(shí)，把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母不變．5.系數(shù)化為1（1）定義：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)a，得；（2）注意：分子、分母不能顛倒

【清單04】一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用1.距離=速度·時(shí)間2.工作量=工效×工時(shí)工程問(wèn)題常用等量關(guān)系：先做的+后做的=完成量3.順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度；順?biāo)嫠畣?wèn)題常用等量關(guān)系：順?biāo)烦?逆水路程4.售價(jià)=定價(jià)；利潤(rùn)問(wèn)題常用等量關(guān)系：售價(jià)-進(jìn)價(jià)=利潤(rùn)【考點(diǎn)題型一】識(shí)別方程和一元一次方程

【典例1】下列各式中，屬于方程的是（

）A．?12x?3 B．3x+1=4 C．x+1>1【答案】B【分析】本題考查了方程的定義，解題的關(guān)鍵是依據(jù)方程的定義，含有未知數(shù)的等式叫做方程．方程有兩個(gè)特征：（1）方程是等式；（2）方程中必須含有字母（未知數(shù)）．【詳解】解：A、?1B、3x+1=4是方程，符合題意；C、x+1>1不是等式，故不是方程，不符合題意；D、?2+5=3不含有未知數(shù)，故不是方程，不符合題意．故選：B．【變式1-1】下列方程中，是一元一次方程的是（）A．x=0 B．1C．x+2y=3 D．x【答案】A【分析】此題主要考查了一元一次方程的識(shí)別，解題的關(guān)鍵是熟知一元一次方程的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是一次的方程．根據(jù)一元一次方程的定義即可判斷．【詳解】解：A、x=0是一元一次方程，符合題意；B、方程1x?1C、方程x+2y=3中含有兩個(gè)未知數(shù)，故不是一元一次方程，不符合題意；D、方程x2故選：A．【變式1-2】下列各式中，是一元一次方程是（

）．A．x?1 B．2y=x+1 C．x=1 D．x【答案】C【分析】本題考查了一元一次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)、并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1次的整式方程叫做一元一次方程，熟知概念是關(guān)鍵．根據(jù)一元一次方程的概念逐項(xiàng)判斷即得答案．【詳解】解：A、x?1不是等式，故不是一元一次方程，不符合題意；B、2y=x+1含有兩個(gè)未知數(shù)，故不是一元一次方程，不符合題意；C、x=1是一元一次方程，符合題意；D、x2故選：C．【變式1-3】下列四個(gè)式子中，是方程的是（

）A．3+2=5 B．a(chǎn)+b C．x+1=2 D．2x?1<0【答案】C【分析】根據(jù)含有未知數(shù)的等式叫做方程，判斷即可．本題考查了方程的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)含有未知數(shù)的等式叫做方程，判斷是x+1=2方程，其余不是，故選：C．

【考點(diǎn)題型二】根據(jù)一元一次方程的定義求參數(shù)

【典例2】已知關(guān)于x的方程(m?1)x|m|?2=3m是一元一次方程，則實(shí)數(shù)mA．1 B．?1 C．1或?1 D．0【答案】B【分析】本題考查了一元一次方程的定義，根據(jù)含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程，據(jù)此即可作答．熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程(m?1)x∴m?1≠0由①得m≠1，由②得m=±1，綜上，m=?1．故選：B．【變式2-1】已知關(guān)于x的方程k?2xk?1+5=3k是一元一次方程，則A．±2 B．2 C．?2 D．±1【答案】C【分析】本題考查一元一次方程的定義，根據(jù)等式兩邊只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高指數(shù)為1的方程是一元一次方程列式求解即可得到答案．【詳解】解：∵方程k?2x∴k?1=1，k?2≠0解得：k=?2，故選：C．【變式2-2】若(m?2)x|m|?1?2=5是關(guān)于x的一元一次方程，則m【答案】?2【分析】本題考查一元一次方程的定義，根據(jù)一元一次方程的定義可得m?1=1，m?2≠0【詳解】由題意得：m?1=1，解得：∵m?2≠0，即m≠2∴m=?2故答案為：?2．【變式2-3】若m?3xm?2=5是關(guān)于x【答案】?3【分析】本題考查一元一次方程的一般形式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)是1的整式方程是一元一次方程．根據(jù)一元一次方程的定義求解即可．【詳解】∵m?3xm?2∴m?3≠0，m∴m=?3．故答案為：?3．

【考點(diǎn)題型三】方程的解

【典例3】若x=1是關(guān)于x的方程2x?a=?1的解，則a的值是（

）A．?3 B．?2 C．2 D．3【答案】D【分析】本題考查了方程的解的定義，能使方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解，理解方程解的定義是關(guān)鍵．直接利用方程的解的定義代入求解即可．【詳解】解：∵x=1是關(guān)于x的方程2x?a=?1的解，∴2×1?a=?1，∴a=3，故選：D．【變式3-1】已知x=a是關(guān)于x的方程3x?2=12x+3的解，則aA．?2 B．2 C．25 D．【答案】B【分析】本題考查了一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次方程的解，以及解一元一次方程．將x=a代入3x?2=12x+3【詳解】解：將x=a代入3x?2=13a?2=13a?152a=2，故選：B．【變式3-2】已知x=?3是方程kx+4?2k?x=5的解，則k的值是（A．?2 B．2 C．3 D．5【答案】A【分析】本題考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元一次方程的解．將x=?3代入方程即可求解．【詳解】解：由題意得：x=?3代入方程kx+4k?2k+3=5，解得：k=?2故選：A【變式3-3】關(guān)于x的方程5x?m=9的解為x=1，則m的值是．【答案】?4【分析】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．把x=1代入方程計(jì)算即可求出m的值．【詳解】解：把x=1代入方程得：5?m=9，解得：m=?4，故答案為：?4．

【考點(diǎn)題型四】等式的性質(zhì)

【典例4】如果ma=mb，那么下列等式中不一定成立的是（

）A．ma+1=mb+1B．ma?3=mb?3 C．?12ma=?【答案】D【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，理解并掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等式的性質(zhì)：等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)整式，等式仍然成立；等式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0的整式，等式仍然成立；等式兩邊同時(shí)乘方或開方，等式依然成立；等式具有傳遞性，即可求解．【詳解】解：∵ma=mb，∴根據(jù)等式的性質(zhì)可得，A、ma+1=mb+1，成立，不符合題意；B、ma?3=mb?3，成立，不符合題意；C、?1D、當(dāng)m=0時(shí)，ma=mab成立，但得不到a=b，原選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：D．【變式4-1】將方程3x+y=6寫成用含x的代數(shù)式表示y為（

）A．y=6?3x B．y=3x?6 C．x=y3?2【答案】A【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，等式兩邊同時(shí)減去3x即可求解，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵3x+y=6，∴3x+y?3x=6?3x即y=6?3x，故選：A．【變式4-2】如圖，從一個(gè)平衡的天平兩邊分別加上一個(gè)砝碼，天平仍平衡，下面與這一事實(shí)相符的是（）A．如果a=b，那么a+c=b+c B．如果a=b，那么a?c=b?cC．如果a=b，那么ac=bc D．如果a=b，那么a【答案】A【分析】此題主要考查了等式的性質(zhì)和應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）等式兩邊加同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍得等式．（2）等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．從一個(gè)平衡的天平兩邊分別加上一個(gè)砝碼，天平仍平衡，根據(jù)等式兩邊加同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍得等式，可得：如果a=b，那么a+c=b+c．【詳解】解：從一個(gè)平衡的天平兩邊分別加上一個(gè)砝碼，天平仍平衡，那么a+c=b+c．故選：A．【變式4-3】下列選項(xiàng)中，利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，不一定正確的是（）A．若2a=6，則a=3 B．若a?3=b?3，則a=bC．若a=b，則?2a=?2b D．若a=b，則a【答案】D【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)計(jì)算判斷即可．【詳解】A.如果2a=6，那么a=3，正確，不符合題意；B.如果a?3=b?3，那么a=b，正確，不符合題意；C.如果a=b，那么?2a=?2b，正確，不符合題意；

D.如果a=b，當(dāng)c≠0時(shí)，那么ac故選D．

【考點(diǎn)題型五】解一元一次方程

【典例5】解方程：(1)2x?1(2)x+x?1【答案】(1)x=2(2)x=1【分析】本題考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）按照去括號(hào)，按照移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟解方程即可．（2）按照去分母，去括號(hào)，按照移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟解方程即可．【詳解】（1）解：去括號(hào)，得2x?2=?3x+8，移項(xiàng)，得2x+3x=8+2，合并同類項(xiàng)，得5x=10，系數(shù)化為1，得x=2；（2）解：去分母，得6x+3x?1去括號(hào)，得6x+3x?3=4x+2，移項(xiàng)，得6x+3x?4x=2+3，合并同類項(xiàng)，得5x=5，系數(shù)化為1，得x=1．【變式5-1】解方程(1)8x=2(x+4)；(2)3x?12【答案】(1)x=(2)x=11【分析】本題主要考查解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1．（1）依次去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1可得；（2）依次去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1．【詳解】（1）解：8x=2(x+4)，8x=2x+8，8x?2x=8，6x=8，x=4（2）解：3x?13(3x?1)=2(5x?7)，9x?3=10x?14，9x?10x=3?14，?x=?11，x=11．【變式5-2】解方程：(1)4?x2(2)32【答案】(1)x=?2(2)x=【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．（1）按照解一元一次方程的步驟：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）按照解一元一次方程的步驟：去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）解：4?x2去分母，得3(4?x)?2(2x+1)=24，去括號(hào)，得12?3x?4x?2=24，移項(xiàng)，得?3x?4x=24+2?12，合并同類項(xiàng)，得?7x=14，兩邊同除以?7，得x=?2；（2）解：32去小括號(hào)，得32整理，得32去括號(hào)，得32移項(xiàng)，得32合并同類項(xiàng)，得32兩邊同除以32，得x=【變式5-3】解方程．(1)5x?2(2)x?3【答案】(1)x=(2)x=?2【分析】本題考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）按照去括號(hào)，按照移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟解方程即可．（2）按照去分母，去括號(hào)，按照移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟解方程即可．【詳解】（1）解：去括號(hào)，得5x?6+4x=?3移項(xiàng)，得9x=?3+6合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，得x=（2）解：去分母，得3去括號(hào)，得3x?9?5x+20=15移項(xiàng)，得?2x=15+9?20合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，得x=?2

【考點(diǎn)題型六】一元一次方程的同解問(wèn)題

【典例6】關(guān)于x的方程?2x+a=1的解與方程2x=6的解相同，則a的值是（）A．7 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】本題考查同解方程，先求出方程的解，再將方程的解代入?2x+a=1，求出a的值即可．【詳解】解：∵2x=6，∴x=3，把x=3代入?2x+a=1，得：?2×3+a=1，∴a=7；故選A．【變式6-1】已知關(guān)于x的一元一次方程4x+2m=3x+1和3x+2m=6x+1的解相同，則m的值為（

）A．12 B．1 C．?12【答案】A【分析】本題考查了解一元一次方程的知識(shí)．分別求出兩方程的解，使它們相等，求m的值．【詳解】解：解方程4x+2m=3x+1，得：x=1?2m，解方程3x+2m=6x+1，得：x=2m?1則1?2m=2m?1解得：m=1故選：A．【變式6-2】已知關(guān)于x的方程3x?7=2x+a的解與方程4x+2=7?x的解相同，則a的值為．【答案】?6【分析】本題考查了同解方程和解一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是得出關(guān)于a的方程．求出第二個(gè)方程的解，把x的值代入第一個(gè)方程，求出方程的解即可．【詳解】解：4x+2=7?x，5x=5，解得x=1，∵關(guān)于x的方程3x?7=2x+a的解與方程4x+2=7?x的解相同，∴把x=1代入方程3x?7=2x+a得：3?7=2+a,解得：a=?6．故答案為：?6．

【考點(diǎn)題型七】一元一次方程的錯(cuò)解問(wèn)題

【典例7】小玲在解方程2x?13=a?x2?1【答案】x=【分析】本題主要考查了解一元一次方程，按照小玲的解方程過(guò)程，去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)的步驟解得x=3a+17，由小玲解得x=1，可求得【詳解】解：小玲的解方程過(guò)程如下：2x?1去分母得：22x?1去括號(hào)得：4x?2=3a?3x?1，移項(xiàng)得：4x+3x=3a?1+2，合并同類項(xiàng)得：7x=3a+1，系數(shù)化1得，x=3a+1∵小玲解得x=1，∴3a+17∴a=2；正確解法如下：2x?1去分母得：22x?1去括號(hào)得：4x?2=6?3x?6，移項(xiàng)得：4x+3x=6?6+2，合并同類項(xiàng)得：x=2

【變式7-1】某同學(xué)解方程3x?6=()x時(shí)，把（

）處的數(shù)字看錯(cuò)，得錯(cuò)解x=?1A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】本題考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先設(shè)（

）處為a，則原式為3x?6=ax，把x=?1【詳解】解：依題意，先設(shè)（

）處為a，則原式為3x?6=ax，把x=?解得a=9，故選：C【變式7-2】小明是七（2）班的學(xué)生，他在對(duì)方程x+23=x?a2?1去分母時(shí)由于粗心，方程右邊的?1【答案】a=1，x=13．【分析】本題考查了一元一次方程的解，根據(jù)題意把x=8代入方程2x+2=3x?a?1，得出2×8+2【詳解】解：∵小明是七（2）班的學(xué)生，他在對(duì)方程x+23=x?a2?1∴把x=8代入方程2x+2=3x?a20=24?3a?1，3a=24?1?20，3a=3，a=1，方程為x+232x+22x+4=3x?3?6，2x?3x=?3?6?4，?x=?13，x=13，即a=1，方程的解是x=13．【變式7-3】小明是七年級(jí)（2）班的學(xué)生，他在對(duì)方程2x?13=x+a2?1去分母時(shí)由于粗心，方程右邊的?1沒有乘6而得到錯(cuò)解【答案】a=1，x=?1【分析】先把錯(cuò)誤的解法得到的x的值代入方程求出a的值，然后根據(jù)一元一次方程的解法，先去分母，再去括號(hào)，最后移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，從而得到方程的解．【詳解】解：∵方程右邊的?1忘記乘6，求出的解為x=4，∴22×4?1解得a=1，則原方程為：2x?13=去分母，得4x?2=3x+3?6，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得x=?1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程錯(cuò)解問(wèn)題以及解一元一次方程，根據(jù)錯(cuò)誤的解法得到a的值是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型八】根據(jù)一元一次方程的關(guān)系解方程

【典例8】當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的方程34+8x=7k+6x的解比關(guān)于x的方程【答案】51【分析】本題考查了一元一次方程的解的定義．定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．通過(guò)解關(guān)于x的方程34+8x=7k+6x、k(2+x)=x(k+2)，分別求得它們的解，然后依題意列出關(guān)于k的方程，求出【詳解】解方程34+8x=7k+6x的解是：方程k(2+x)=x(k+2)的解是：x=k，依題意，得28k?38解得，k=51【變式8-1】若關(guān)于x的方程2x3?3x6=1的解是關(guān)于x的方程x+【答案】x=【分析】此題考查了一元一次方程的求解，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次方程的求解步驟．分別求出兩個(gè)方程的解再根據(jù)方程2x3?3x6=1的解是關(guān)于x【詳解】解：方程2x3?3x合并同類項(xiàng)得x=6，方程x+3a2=7移項(xiàng)，得2x=14?3a系數(shù)化為1，得x=14?3a∵方程2x3?3x6=1∴6=2×14?3a解得：a=8將a=83代入方程?1解得：x=3【變式8-2】當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的方程7k+6x=2的解比關(guān)于x的方程2x?8【答案】k=?【分析】本題主要考查了一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是求出各個(gè)方程的解，再列出含k的方程求解．【詳解】解：解方程7k+6x=2，得x=2?7k解方程2x?8+5=1?x，得∵關(guān)于x的方程7k+6x=2的解比關(guān)于x的方程2x?8∴2?7k6解得：k=?58【變式8-3】已知關(guān)于x的方程5x?2m=4x?1+1的解比關(guān)于x的方程2x+1?m=x?2m?2【答案】3【分析】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．先求出方程5x?2m=4x?1+1的解，再求出方程2x+1【詳解】5x?2m=45x?2m=4x?4+15x?4x=?3+2mx=?3+2m22x+2?m=x?2m+4x=?m+2根據(jù)題意可知：?3+2m=?m+2+43m=9m=3

【考點(diǎn)題型九】一元一次方程應(yīng)用-工程問(wèn)題

【典例9】涑水河，黃河中游支流，流域位于山西省南部的運(yùn)城市境內(nèi)，發(fā)源于絳縣中條山區(qū)陳村峪，向西南流經(jīng)聞喜縣、夏縣、運(yùn)城市鹽湖區(qū)、臨猗縣、永濟(jì)市，于永濟(jì)市韓陽(yáng)鎮(zhèn)長(zhǎng)旺村匯入黃河，為把涑水河打造成集人文自然、創(chuàng)意休閑、文化傳承于一體的沿河旅游風(fēng)景區(qū)，現(xiàn)將一段長(zhǎng)為225米的河道綜合整治任務(wù)交由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)先后接力完成，甲工程隊(duì)每天整治15米，乙工程隊(duì)每天整治10米，共用時(shí)20天，甲、乙兩工程隊(duì)分別整治河道多少米？【答案】75米，150米【分析】本題一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，找出等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)甲工程隊(duì)整治河道x米，乙工程隊(duì)整治河道225?x米，根據(jù)七作時(shí)間等于工作量除以工作效率，以共用時(shí)20天為等量關(guān)系，列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)甲工程隊(duì)整治河道x米，乙工程隊(duì)整治河道225?x米，根據(jù)題意，得x解得：x=75，則225?x=225?75=150，答：甲、乙兩工程隊(duì)分別整治河道75米，150米．【變式9=-1】甲、乙兩工程隊(duì)承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程隊(duì)每天的挖掘長(zhǎng)度是乙工程隊(duì)每天挖掘長(zhǎng)度的1.5倍，若甲、乙兩工程隊(duì)一起挖掘200米長(zhǎng)度的隧道時(shí)，共用時(shí)間4天．(1)求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天分別可挖掘隧道多少米？(2)已知該段隧道挖掘工程為600米，甲工程隊(duì)每天的挖掘費(fèi)用為6萬(wàn)元，乙工程隊(duì)每天的挖掘費(fèi)用為3萬(wàn)元．若安排甲工程隊(duì)先單獨(dú)挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程隊(duì)單獨(dú)完成，總費(fèi)用剛好102萬(wàn)元，求甲工程隊(duì)?wèi)?yīng)先單獨(dú)挖掘多少天？【答案】(1)甲工程隊(duì)每天可挖掘隧道30米，乙工程隊(duì)每天可挖掘隧道20米(2)8天【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用．理解題意，找出等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天可挖掘隧道x米，則甲工程隊(duì)每天可挖掘隧道1.5x米，根據(jù)甲、乙兩工程隊(duì)一起挖掘200米長(zhǎng)度的隧道，共用時(shí)間4天，列方程求解即可；（2）設(shè)甲工程隊(duì)?wèi)?yīng)先單獨(dú)挖掘y天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)挖掘600?30y20【詳解】（1）解：設(shè)乙工程隊(duì)每天可挖掘隧道x米，則甲工程隊(duì)每天可挖掘隧道1.5x米，根據(jù)題意，得1.5x×4+4x=200解得：x=20∴1.5x=1.5×20=30答：甲工程隊(duì)每天可挖掘隧道30米，乙工程隊(duì)每天可挖掘隧道20米．（2）解：設(shè)甲工程隊(duì)?wèi)?yīng)先單獨(dú)挖掘y天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)挖掘600?30y206y+3×解得：y=8答：甲工程隊(duì)?wèi)?yīng)先單獨(dú)挖掘8天．【變式9-2】列方程解應(yīng)用題：甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同承包了一項(xiàng)總長(zhǎng)度為5400米的修路工程，原計(jì)劃由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別從兩端同時(shí)開始施工，恰好9天完成整個(gè)工程，已知乙隊(duì)平均每天比甲隊(duì)多施工120米．(1)求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)原計(jì)劃平均每天分別施工多少米？(2)若甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同施工6天后，因另有緊急任務(wù)，乙工程隊(duì)被調(diào)離該工程，剩余部分由甲工程隊(duì)單獨(dú)完成．為盡量減少延誤工期，甲工程隊(duì)提高工作效率后繼續(xù)施工，結(jié)果比原計(jì)劃延遲2天完成整個(gè)工程．求甲工程隊(duì)提高工作效率后平均每天施工多少米？【答案】(1)甲原計(jì)劃每天修240m，乙原計(jì)劃每天修(2)甲工程隊(duì)提高效率后平均每天施工360【分析】本題考查的是一元次方程的應(yīng)用，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)甲原計(jì)劃每天修x米．則乙為(x+120)米．利用“原計(jì)劃由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別從兩端同時(shí)開始施工，恰好9天完成整個(gè)工程”建立一元一次方程求解即可；（2）設(shè)甲提高后速度為y米/天，由各部分的工作量之和等于總工作量列方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)甲原計(jì)劃每天修x米．則乙為(x+120)米．9(x+x+120)=5400,解得：x=240,乙：240+120=360m答：甲原計(jì)劃每天修240m，乙原計(jì)劃每天修360（2）設(shè)甲提高后速度為y米/天(240+360)×6+5y=5400解得：y=360答：甲工程隊(duì)提高效率后平均每天施工360m【變式9-3】整理一批圖書，由一個(gè)人做要40小時(shí)完成，現(xiàn)在計(jì)劃由一部分人先做4小時(shí)，再增加2人和他們一起做8小時(shí)，完成這項(xiàng)工作，假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應(yīng)先安排多少人工作4小時(shí)？【答案】應(yīng)先安排2人工作4小時(shí)【分析】設(shè)應(yīng)先安排x人工作4小時(shí)，依題意列出一元一次方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)應(yīng)先安排x人工作4小時(shí)，依題意得，x×解得：x=2答：應(yīng)先安排2人工作4小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．

【考點(diǎn)題型十】一元一次方程應(yīng)用-行程問(wèn)題

【典例10】甲地到乙地的高鐵開通后，運(yùn)行時(shí)間由原來(lái)的3.5h縮短至1h，運(yùn)行里程比原來(lái)縮短了40km【答案】動(dòng)車組列車的平均速度為296【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)高鐵的平均速度為xkm/h【詳解】設(shè)動(dòng)車組列車的平均速度為xkm/h，則普通列車的平均速度為x?200由題意，得x+40=3.5x?200解得x=296，答：動(dòng)車組列車的平均速度為296km/h【變式10-1】一艘快艇從A碼頭到B碼頭順流行駛，同時(shí)一艘游船從B碼頭出發(fā)順流而下．已知，A、B兩碼頭相距140千米，快艇在靜水中的平均速度為67千米/小時(shí)，游船在靜水中的平均速度為27千米/小時(shí)，水流速度為3千米/小時(shí)．(1)請(qǐng)計(jì)算兩船出發(fā)航行30分鐘時(shí)相距多少千米？(2)如果快艇到達(dá)B碼頭后立即返回，試求兩船在航行過(guò)程中需航行多少時(shí)間恰好相距100千米？【答案】(1)120千米(2)1小時(shí)和11447【分析】（1）利用游船在順?biāo)械乃俣葹殪o水速+水速，直接表示出兩船的實(shí)際水速，即可求出；（2）分兩種情況討論①兩船都在順流而下時(shí)②快艇到B碼頭返回后兩船相背而行時(shí)；得出兩個(gè)方程，解出即可．本題考查一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：140?(67+3)×1即在航行30分鐘時(shí)兩船相距120千米；（2）解：設(shè)在出發(fā)x小時(shí)后兩船相距100千米．第一種情況：兩船都在順流而下時(shí)，則140?(67+3)x+(27+3)x=100，理整得?40x=?40，解得x=1，即兩船都在順流而下時(shí)，在航行1小時(shí)時(shí)兩船相距100千米．第二種情況：快艇到B碼頭返回后兩船相背而行時(shí)．∵快艇從A碼頭到B碼頭需回時(shí)140÷(67＋3)=2小時(shí)．于是由題意有(67?3)×(x?2)＋(27＋3)x=100，整理得94x=228，解得x=114即兩船都在相背而行時(shí)，在航行11447綜上所述，兩船從出發(fā)在航行1個(gè)小時(shí)和11447【變式10-2】隨著人們生活水平的提高，人工智能掃地機(jī)器人成為上班族或現(xiàn)代家庭的常用家電用品．為了測(cè)試兩款機(jī)器人的清掃速度，現(xiàn)安排甲、乙兩個(gè)不同的掃地機(jī)器人從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，沿同一條路線相向勻速行駛清掃（路途中沒有障礙物遮擋），已知出發(fā)后經(jīng)3分鐘兩個(gè)機(jī)器人相遇，相遇后再經(jīng)2分鐘乙到達(dá)A地，A，B相距45米．(1)甲、乙兩個(gè)機(jī)器人的速度分別是多少？(2)從A，B兩地同時(shí)出發(fā)后，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后兩個(gè)機(jī)器人相距6米？【答案】(1)甲機(jī)器人速度：6米/分，乙機(jī)器人速度：9米/分(2)135分鐘或17【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用：正確列式是解題的關(guān)鍵．（1）先算出乙的速度，再設(shè)甲速度為x米/分，根據(jù)“出發(fā)后經(jīng)3分鐘兩個(gè)機(jī)器人相遇，A，B相距45米”，即可列式作答．（2）分類討論，第一種情況是相遇前相距6米；第二種情況是相遇后相距6米，分別列式計(jì)算，即可作答．【詳解】（1）解：∵出發(fā)后經(jīng)3分鐘兩個(gè)機(jī)器人相遇，相遇后再經(jīng)2分鐘乙到達(dá)A地，A，B相距45米．∴45÷2+3設(shè)甲速度為x米/分，則9+x解得x=6答：甲機(jī)器人速度：6米/分，乙機(jī)器人速度：9米/分；（2）解：設(shè)經(jīng)過(guò)t分鐘后兩個(gè)機(jī)器人相距6米，則相遇前相距6米，有45?6=解得t=13則相遇后相距6米，有45+6=解得t=17綜上：經(jīng)過(guò)135分鐘或17【變式10-3】元旦假期小李去歌樂(lè)山爬山，上山每小時(shí)走4km，下山時(shí)按原路返回，下山每小時(shí)走5km，結(jié)果上山比下山多花16小時(shí)，設(shè)下山所用時(shí)間為xA．4x?16=5x B．4x+1【答案】B【分析】本題考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一元一次方程，根據(jù)上山和下山的路程相等，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)下山所用時(shí)間為x小時(shí)，則上山的時(shí)間為x+14x+故選B．

【考點(diǎn)題型十一】一元一次方程應(yīng)用-比賽積分問(wèn)題

【典例11】某次籃球聯(lián)賽部分積分如下：根據(jù)表格提供的信息解答下列問(wèn)題：隊(duì)名比賽場(chǎng)次勝場(chǎng)負(fù)場(chǎng)積分A1410424B147721C1441018(1)求出勝一場(chǎng)、負(fù)一場(chǎng)各積多少分？(2)某隊(duì)的勝場(chǎng)總積分能等于負(fù)場(chǎng)總積分嗎？若能，試求出勝場(chǎng)數(shù)和負(fù)場(chǎng)數(shù)：若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)勝一場(chǎng)記2分，負(fù)一場(chǎng)記1分(2)不能，理由見解析【分析】本題主要考查一元一次方程的運(yùn)用，（1）設(shè)勝一場(chǎng)記x分，則負(fù)一場(chǎng)記24?10x4（2）設(shè)勝場(chǎng)數(shù)是a，負(fù)場(chǎng)數(shù)是14?a，根據(jù)題意算出a的值，結(jié)合實(shí)際情況即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)勝一場(chǎng)記x分，則負(fù)一場(chǎng)記24?10x4根據(jù)題意得：7x+7×24?10x解得x=2，∴24?10x答：勝一場(chǎng)記2分，負(fù)一場(chǎng)記1分；（2）解：勝場(chǎng)總積分不能等于負(fù)場(chǎng)總積分，理由如下：設(shè)勝場(chǎng)數(shù)是a，負(fù)場(chǎng)數(shù)是14?a，依題意得：2a=14?a，解得：a=42∵a為整數(shù)，∴a=42∴勝場(chǎng)總積分不能等于負(fù)場(chǎng)總積分．

【變式11-1】第十九屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式于2023年9月23日晚在浙江省杭州市隆重舉行．某球賽的比賽記分方法為：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，一支球隊(duì)一共進(jìn)行了9場(chǎng)比賽，輸了3場(chǎng)，得16分．設(shè)該球隊(duì)勝了x場(chǎng)，則下列所列方程正確的是（

）A．3x+9?x=16 C．x+39?x=16 【答案】B【分析】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，首先設(shè)該球隊(duì)勝了x場(chǎng)，則平了9?3?x場(chǎng)，根據(jù)題意得3x+6?x【詳解】解：設(shè)該球隊(duì)勝了x場(chǎng)，則平了9?3?x場(chǎng)，根據(jù)題意列方程為：3x+6?x故選：B．【變式11-2】某中學(xué)組織足球比賽，比賽規(guī)定：勝一場(chǎng)得2分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分．勇士隊(duì)共參加8場(chǎng)比賽，在保持不敗的情況下，共得13分．問(wèn)此次比賽中勇士隊(duì)勝了幾場(chǎng)？【答案】勝了5場(chǎng)【分析】本題考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程求解．設(shè)此次比賽中勇士隊(duì)勝了x場(chǎng)，則平了8?x場(chǎng)，根據(jù)勝一場(chǎng)得2分，平一場(chǎng)得1分，共得13分，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)此次比賽中勇士隊(duì)勝了x場(chǎng)，則平了8?x場(chǎng)，根據(jù)題意，得2x+解這個(gè)方程，得x=5．答：此次比賽中勇士隊(duì)勝了5場(chǎng)．【變式11-3】2023年5月，貴州省榕江縣足球超級(jí)聯(lián)賽在該縣城北新區(qū)體育館開幕，現(xiàn)場(chǎng)觀眾最多時(shí)達(dá)到5萬(wàn)人，平均每場(chǎng)比賽超5000萬(wàn)人次在線圍觀，全網(wǎng)流量突破300億次……．這場(chǎng)“村超”的火爆“出圈”提升了貴州鄉(xiāng)村人民對(duì)自己文化、生活的自豪和自信．下表呈現(xiàn)的是各村足球隊(duì)中部分參賽隊(duì)根據(jù)積分規(guī)則得到的不完整積分表．參賽隊(duì)局次勝和負(fù)積分朗洞鎮(zhèn)平地村962120小瑞村952217三江四格隊(duì)90090平永村隊(duì)9114觀察表格，解決下列問(wèn)題：(1)本次比賽：“勝”一局得______分，“和”一局得______分，“負(fù)”一局得_____分；(2)請(qǐng)?jiān)诒砀裰袑ⅰ捌接来尻?duì)”的積分補(bǔ)充完整；(3)在積分規(guī)則不變的前提下，若此系列賽每個(gè)隊(duì)共對(duì)弈21局，“美鄉(xiāng)村隊(duì)”最終勝的局?jǐn)?shù)是負(fù)的局?jǐn)?shù)的2倍，你認(rèn)為“美鄉(xiāng)村隊(duì)”的最終得分可以是40分嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)3，1，0；(2)圖表見詳解(3)不可能是40分，理由見解析【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)表格信息，找出等量關(guān)系，列出方程，準(zhǔn)確解方程．（1）根據(jù)三江四格隊(duì)負(fù)了9局，得了0分可知，負(fù)一場(chǎng)得0分，設(shè)本次比賽勝一局得x分，根據(jù)朗洞鎮(zhèn)平地村可知，和一場(chǎng)得20?6x2（2）設(shè)平永村隊(duì)在已經(jīng)進(jìn)行的9局比賽中勝y局、和9?1?y局，根據(jù)得分為14分，列出方程，解方程即可；（3）設(shè)“美鄉(xiāng)村隊(duì)”負(fù)的局?jǐn)?shù)為x局，則勝的局?jǐn)?shù)為2x局，根據(jù)得分為40分，列出方程，解方程，得出x=193，根據(jù)【詳解】（1）解：∵三江四格隊(duì)負(fù)了9局，得了0分，∴負(fù)一場(chǎng)得0分，設(shè)本次比賽勝一局得x分，根據(jù)朗洞鎮(zhèn)平地村可知，和一場(chǎng)得20?6x25x+2×20?6x解得：x=3，則和一場(chǎng)得20?6x2故答案為：3；1；0．（2）解：設(shè)平永村隊(duì)在已經(jīng)進(jìn)行的9局比賽中勝y局、和9?1?y局，根據(jù)題意得：3y+9?1?y解得：y=3，9?1?3=5（局），答：平永村隊(duì)在已經(jīng)進(jìn)行的9局比賽中勝3局、和5局．表格補(bǔ)充如下：參賽隊(duì)局次勝和負(fù)積分朗洞鎮(zhèn)平地村962120小瑞村952217三江四格隊(duì)90090平永村隊(duì)935114（3）解：設(shè)“美鄉(xiāng)村隊(duì)”負(fù)的局?jǐn)?shù)為x局，則勝的局?jǐn)?shù)為2x局．根據(jù)題意，得3×2x+1×21?x?2x解這個(gè)方程，得x=19∵x必須取正整數(shù)，故“美鄉(xiāng)村隊(duì)”的最終得分不可能是40分

【考點(diǎn)題型十二】一元一次方程應(yīng)用-經(jīng)濟(jì)問(wèn)題

【典例12】某社區(qū)超市用520元錢從批發(fā)商處購(gòu)進(jìn)了甲、乙兩種商品共100千克，已知甲、乙商品的批發(fā)價(jià)與零售價(jià)如下表所示：商品名甲乙批發(fā)價(jià)（元/千克）46零售價(jià)（元/千克）1012(1)該社區(qū)超市這天批發(fā)甲商品和乙商品各多少千克；(2)甲商品和乙商品按零售價(jià)售出相同的重量后，剩下的商品都按零售價(jià)打八折售出，最終當(dāng)天甲乙商品全部賣完，共獲得464元利潤(rùn)，求打折后賣出的甲、乙商品的重量分別為多少？【答案】(1)批發(fā)甲商品40千克，乙商品60千克(2)打折后賣出的甲商品20千克，乙商品40千克【分析】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．（1）設(shè)批發(fā)甲商品x千克，則批發(fā)乙商品100?x千克，根據(jù)總進(jìn)貨價(jià)為520元列出方程，解之即可；（2）設(shè)打折前售出相同的重量為m千克，根據(jù)打折前和打折后的利潤(rùn)之和為464元列出方程，解之可得結(jié)果．【詳解】（1）解：設(shè)批發(fā)甲商品x千克，則批發(fā)乙商品100?x千克，依題意，得4x+6100?x解得x=40，∴100?40=60（千克），∴批發(fā)甲商品40千克，乙商品60千克；（2）解：設(shè)打折前售出相同的重量為m千克，由題意可得：10?4m+解得m=20，∴甲商品：40?20=20（千克）；乙商品：60?20=40（千克）；∴打折后賣出的甲商品20千克，乙商品40千克．【變式12-1】（1）小明騎自行車從家到學(xué)校，若每小時(shí)行駛10千米，則晚到4分鐘；若每小時(shí)行駛15千米，則早到4分鐘．求小明家到學(xué)校的路程．（2）某水果店第一次用795元從水果批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種不同品種的蘋果，其中甲種蘋果的質(zhì)量比乙種蘋果質(zhì)量的2倍多15千克，甲、乙兩種蘋果的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：甲乙進(jìn)價(jià)（元/千克）58售價(jià)（元/千克）1015（?。┰撍甑谝淮钨?gòu)進(jìn)甲、乙兩種蘋果各多少千克？（ⅱ）該水果店第二次又購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種蘋果，其中甲種蘋果的質(zhì)量不變，且按原價(jià)銷售；乙種蘋果的質(zhì)量是第一次的3倍，并打折銷售．第二次甲、乙兩種蘋果都售完后獲得的總利潤(rùn)為595元，則第二次乙種蘋果按原價(jià)打幾折銷售？【答案】（1）小明家到學(xué)校的路程為4千米；（2）（?。┰撍甑谝淮钨?gòu)進(jìn)甲種蘋果95千克，乙種蘋果40千克；（ⅱ）第二次乙種蘋果按原價(jià)打6折銷售【分析】本題主要考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)小明家到學(xué)校的路程為a千米，根據(jù)時(shí)間=路程÷速度結(jié)合每小時(shí)行駛10千米，則晚到4分鐘；若每小時(shí)行駛15千米，則早到4分鐘列出方程求解即可；（2）（?。┰O(shè)水果店第一次購(gòu)進(jìn)乙種蘋果x千克，則購(gòu)進(jìn)甲種蘋果2x+15千克，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（ⅱ）設(shè)第二次乙種蘋果按原價(jià)打y折銷售，根據(jù)總利潤(rùn)=每千克的利潤(rùn)×銷售數(shù)量（購(gòu)進(jìn)數(shù)量），即可得出關(guān)于y的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)小明家到學(xué)校的路程為a千米，由題意得，a15解得a=4，答：小明家到學(xué)校的路程為4千米；（2）（?。┙猓涸O(shè)綠葉水果店第一次購(gòu)進(jìn)乙種蘋果x千克，則購(gòu)進(jìn)甲種蘋果2x+15千克，依題意，得：52x+15解得：x=40，∴2x+15=95（千克）．答：該水果店第一次購(gòu)進(jìn)甲種蘋果95千克，乙種蘋果40千克；（ⅱ）設(shè)第二次乙種蘋果按原價(jià)打y折銷售，依題意，得：10?5×95+解得：y=6．答：第二次乙種蘋果按原價(jià)打6折銷售．【變式12-2】小王自主創(chuàng)業(yè)開了一家服裝店，經(jīng)營(yíng)一段時(shí)間后，小王發(fā)現(xiàn)每件進(jìn)價(jià)為200元的A種服裝，按標(biāo)價(jià)的八折出售時(shí)的利潤(rùn)率為20%(1)求A種服裝的標(biāo)價(jià)為多少元？(2)已知B種服裝的進(jìn)價(jià)為300元，小王售完兩種服裝后，又以原來(lái)的價(jià)格購(gòu)進(jìn)A，B兩種服裝共110件，所用資金為28000元．①求購(gòu)進(jìn)的A，B兩種服裝各多少件？②由于小王對(duì)市場(chǎng)需求了解不清楚，換季時(shí)，A種服裝雖已全部售出，但B種服裝按標(biāo)價(jià)400元只售出了10件，為了盡快回籠資金，小王決定對(duì)剩余的B種服裝打折處理，在B種服裝恰好保本的情況下，剩余的B種服裝打幾折處理？【答案】(1)A種服裝的標(biāo)價(jià)為300元(2)①A種服裝購(gòu)進(jìn)50件，B種服裝購(gòu)進(jìn)60件；②剩余的B種服裝打七折處理【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用；（1）設(shè)A種服裝的標(biāo)價(jià)為x元，根據(jù)利潤(rùn)率的計(jì)算方法列方程求解即可；（2）①設(shè)購(gòu)進(jìn)的A種服裝有y件，則購(gòu)進(jìn)的B種服裝有110?y件，根據(jù)購(gòu)進(jìn)A，B兩種服裝共110件，所用資金為28000元列方程求解即可；②設(shè)剩余的B種服裝打a折處理，根據(jù)只售的10件的金額加上處理部分的進(jìn)而等于B種服裝進(jìn)貨總額，列方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)A種服裝的標(biāo)價(jià)為x元，由題意得：0.8x?200200解得：x=300，答：A種服裝的標(biāo)價(jià)為300元；（2）①設(shè)購(gòu)進(jìn)的A種服裝有y件，則購(gòu)進(jìn)的B種服裝有110?y件，由題意得：200y+300110?y解得：y=50，則110?y=60，答：A種服裝購(gòu)進(jìn)50件，B種服裝購(gòu)進(jìn)60件；②設(shè)剩余的B種服裝打a折處理，由題意得：400×10+a解得：a=7，答：剩余的B種服裝打七折處理．【變式12-3】2023年12月第六屆遵義羊肉粉美食文化旅游節(jié)在遵義鳳凰山文化廣場(chǎng)舉行，某袋裝羊肉銷售鋪從廠家購(gòu)進(jìn)了甲、乙兩種袋裝羊肉，甲種袋裝羊肉的每袋進(jìn)價(jià)比乙種袋裝羊肉的每件進(jìn)價(jià)少15元．若購(gòu)進(jìn)甲種袋裝羊肉7袋，乙種袋裝羊肉5袋，需要795元．(1)求甲、乙兩種袋裝羊肉的每袋進(jìn)價(jià)分別是多少元？(2)該袋裝羊肉銷售鋪從廠家購(gòu)進(jìn)了甲、乙兩種袋裝羊肉各45袋．在銷售時(shí)，甲種袋裝羊肉的每袋售價(jià)為75元，乙種袋裝羊肉的每袋售價(jià)為100元，在實(shí)際銷售過(guò)程中，商店按售價(jià)將購(gòu)進(jìn)的全部甲種袋裝羊肉和部分乙種袋裝羊肉售出后，決定將剩下的乙種袋裝羊肉打九折銷售，兩種袋裝羊肉全部銷售完后，共獲利1580元，求乙種袋裝羊肉打折之前銷售了多少袋？【答案】(1)甲種袋裝羊肉每袋進(jìn)價(jià)為60元，則乙種袋裝羊肉每袋進(jìn)價(jià)為75元(2)23【分析】本題考查一元一次方程實(shí)際應(yīng)用，（1）根據(jù)題意設(shè)甲種袋裝羊肉每袋進(jìn)價(jià)為x元，則乙種袋裝羊肉每袋進(jìn)價(jià)為x+15元，再列式求出x即可；（2）根據(jù)題意設(shè)乙種袋裝羊肉打折之前銷售a袋，打折銷售45?a袋，再列式求出a即可．【詳解】（1）解：設(shè)甲種袋裝羊肉每袋進(jìn)價(jià)為x元，則乙種袋裝羊肉每袋進(jìn)價(jià)為x+15元．由題意有：7x+5x+15=795，解得∴x+15=75．答：甲種袋裝羊肉每袋進(jìn)價(jià)為60元，則乙種袋裝羊肉每袋進(jìn)價(jià)為75元．（2）解：設(shè)乙種袋裝羊肉打折之前銷售a袋，打折之后銷售45?a袋．由題意有：45×75?60解得a=23．答：乙種袋裝羊肉打折之前銷售23袋．

【考點(diǎn)題型十三】一元一次方程應(yīng)用-方案問(wèn)題

【典例13】中國(guó)移動(dòng)全球通有兩種通話計(jì)費(fèi)方法（接聽全免，接聽時(shí)間不計(jì)入通話時(shí)間）：計(jì)費(fèi)方法A是每月收月租費(fèi)48元，通話時(shí)間不超過(guò)50分鐘的部分免費(fèi)，超過(guò)50分鐘的按每分鐘0.25元加收通話費(fèi)；計(jì)費(fèi)方法B是每月收取月租費(fèi)88元，通話時(shí)間不超過(guò)200分鐘的部分免費(fèi)，超過(guò)200分鐘的按每分鐘0.19元加收通話費(fèi)．(1)某使用計(jì)費(fèi)方法A的用戶一個(gè)月通話時(shí)間為100分鐘，應(yīng)付費(fèi)用多少元？(2)用計(jì)費(fèi)方法B的用戶某個(gè)月累計(jì)費(fèi)用107元，通話時(shí)間是多少分鐘？(3)用計(jì)費(fèi)方法B的用戶某個(gè)月累計(jì)費(fèi)用126元，若改用計(jì)費(fèi)方法A的方式，費(fèi)用是增加還是減少？相差多少？【答案】(1)某使用計(jì)費(fèi)方法A的用戶一個(gè)月通話時(shí)間為100分鐘，應(yīng)付費(fèi)用60.5元(2)用計(jì)費(fèi)方法B的用戶某個(gè)月累計(jì)費(fèi)用107元，通話時(shí)間是300分鐘(3)若改用計(jì)費(fèi)方法A的方式，費(fèi)用增加了，相差9.5元【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、一元一次方程的應(yīng)用，理解兩種“計(jì)費(fèi)方法”的意義是正確解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)計(jì)費(fèi)方法A的計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先估算通話時(shí)間，再利用計(jì)費(fèi)方法B的解法標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行計(jì)算即可；（3）求出用計(jì)費(fèi)方法B的用戶某個(gè)月累計(jì)費(fèi)用126元的通話時(shí)間，再根據(jù)通話時(shí)間與計(jì)費(fèi)方法A計(jì)算費(fèi)用，比較得出答案．【詳解】（1）解：當(dāng)通話時(shí)間為100分鐘時(shí)，應(yīng)付費(fèi)48+0.25×100?50答：某使用計(jì)費(fèi)方法A的用戶一個(gè)月通話時(shí)間為100分鐘，應(yīng)付費(fèi)用60.5元；（2）解：由于用計(jì)費(fèi)方法B的用戶某個(gè)月累計(jì)費(fèi)用107元大于88元，因此通話時(shí)間大于200分鐘，設(shè)通話時(shí)間是x分鐘，則88+0.19×x?200解得x=300，答：用計(jì)費(fèi)方法B的用戶某個(gè)月累計(jì)費(fèi)用107元，通話時(shí)間是300分鐘；（3）解：設(shè)通話時(shí)間是m分鐘，由題意可得88+0.19m?200解得m=400，當(dāng)通話時(shí)間為400分鐘時(shí)，48+0.25×400?50135.5?126=9.5（元），答：若改用計(jì)費(fèi)方法A的方式，費(fèi)用增加了，相差9.5元．【變式13-1】某校為紀(jì)念“一二·九