數(shù)值分析 試卷及答案 共2套

數(shù)值分析試卷（I）及答案一.(8分)用復化梯形公式計算積分，問區(qū)間應(yīng)分多少等分，才能保證計算結(jié)果有五位有效數(shù)字？解：由又由于（3）其截斷誤差應(yīng)滿足：（3）n=68即可滿足要求（2）二.(10分)求函數(shù)y=arctanx在[0,1]上的一次最佳平方逼近多項式(保留6位小數(shù))解：(4)解方程組，(5)(1)三.(18分)設(shè)函數(shù)滿足表中條件:01210-221)填寫均差計算表(標有*號處不填):001******110***22-2(2)分別求出滿足條件的2次Lagrange和Newton差值多項式.(3)求出一個三次插值多項式,使其滿足表中所有條件.解：（1）001******110-1***22-2-2-0.5（5）（2）(6)(3)令則（7）四.(18分)(1).用Romberg方法計算,將計算結(jié)果填入下表(*號處不填).0*********1******2***3(2).對于求積公式求待定系數(shù)使該求積公式的代數(shù)精度盡量高，并指明求積公式的代數(shù)精度；用該公式計算積分解：（1）00.74924*********10.474200.38252******20.390760.362940.36164***30.368650.361280.361170.36116(8)(2)a)當f(x)=1,x時，令解得將求積公式具有三次代數(shù)精度(7)b)(3)五.(18分)對于方程（1）分析方程的正根范圍.（2）可以構(gòu)造迭代公式：，分析兩種迭代法的收斂性（2）用Newton迭代法計算方程正根解的近似值.(要求精度滿足:).解：（1）設(shè)當所以正根在（1,2）內(nèi)，并且是唯一正根。（5）（2）對于迭代格式對于迭代格式（6）（7）六.(10分)用直接三角分解（LU分解）法求解線性方程組:其中解：（4）令（3）（3）七.(10分)已知初值問題且，計算公式，判斷計算公式精度階數(shù).解：通過對比，計算公式具有2階精度（10）八（8分）給出方程組=寫出Jacobi和Gauss-Seidel迭代公式，并說明迭代公式的收斂性。解：Jacobi迭代法：（3）Gauss-seidel迭代法：（3）由于矩陣為嚴格對角占優(yōu)矩陣，所以兩種迭代法收斂。（2）試卷2一、(10分)設(shè)，如果用作為的近似值，誤差限是多少，能有幾位有效數(shù)字？求出的相對誤差限。(小數(shù)點后保留5位)解：,又因為，，又誤差限…………6分因此，具有2位有效數(shù)字;…………8分.…………10分二、（16分）設(shè)節(jié)點1、用Langrange插值和牛頓插值公式求三個節(jié)點的二次插值多項式；2、當增加一個條件：時，求對應(yīng)的三次Hermite插值多項式解：1、…………6分012******1242***231283…………12分2、，，，，，…………16分三、(10分)已知一組實驗數(shù)據(jù)如下：123444.558用直線擬合.解：，,，.由法方程得，所求直線為.………10分四、（10分）方程，討論如下幾種迭代求根方法在區(qū)間上的斂散性：1.改寫方程為，相應(yīng)的迭代格式為；2.改寫方程為，相應(yīng)的迭代格式為.解：1、令，則，由于，因此迭代發(fā)散。2、令，則，由于，.且當時，，因此迭代收斂?！?0分五、（10分）試設(shè)計求積公式，使之代數(shù)精度盡量高，并指出其所具有的代數(shù)精度.解：令上式對于，，準確成立，可列出方程…………7分求解上述方程組得，，令，左邊=，右邊=，左邊≠右邊該式的代數(shù)精度為2階?！?0分 六、（10分）利用改進的Euler方法求解常微分方程初值問題：（要求取步長計算）解:令，則改進的Euler公式為： . 取得，. ………………6分計算結(jié)果如下：111.21.461.42.06521.62.84754 ……………10分七、（10分）利用矩陣的LU分解法解方程組.解：................6分令得，得................10分八、（10分）用Romberg方法計算,將計算結(jié)果填入下表(*號處不填).（保留5位小數(shù)）0*********1***2***3解：，, ,,. ,,.,,.00.27563*********10.174450.14072******20.143750.133520.13304***30.135610.132900.132860