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文檔簡介
湖北省孝感市孝南區(qū)2025屆高考臨考沖刺數(shù)學試卷注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知單位向量,的夾角為,若向量,,且,則()A.2 B.2 C.4 D.62.為雙曲線的左焦點,過點的直線與圓交于、兩點,(在、之間)與雙曲線在第一象限的交點為,為坐標原點,若,且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3.已知集合,,則()A. B.C. D.4.已知是圓心為坐標原點,半徑為1的圓上的任意一點,將射線繞點逆時針旋轉到交圓于點,則的最大值為()A.3 B.2 C. D.5.若復數(shù)是純虛數(shù),則()A.3 B.5 C. D.6.已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖與側視圖是全等的直角三角形,則該幾何體的各個面中,最大面的面積為()A.2 B.5 C. D.7.設全集,集合,,則集合()A. B. C. D.8.已知,則的大小關系是()A. B. C. D.9.已知數(shù)列滿足:,則()A.16 B.25 C.28 D.3310.已知某超市2018年12個月的收入與支出數(shù)據的折線圖如圖所示:根據該折線圖可知,下列說法錯誤的是()A.該超市2018年的12個月中的7月份的收益最高B.該超市2018年的12個月中的4月份的收益最低C.該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D.該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元11.已知數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,設,,則當時,的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.1112.設集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,則集合中的元素共有()A.3個 B.4個 C.5個 D.6個二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的左右焦點為,過作軸的垂線與相交于兩點,與軸相交于.若,則雙曲線的離心率為_________.14.設,滿足約束條件,則的最大值為______.15.已知,為雙曲線的左、右焦點,雙曲線的漸近線上存在點滿足,則的最大值為________.16.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,向量(4,﹣n),(Sn,n+3).若⊥,則數(shù)列{}前2020項和為_____三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,.(1)解;(2)若,證明:.18.(12分)某企業(yè)現(xiàn)有A.B兩套設備生產某種產品,現(xiàn)從A,B兩套設備生產的大量產品中各抽取了100件產品作為樣本,檢測某一項質量指標值,若該項質量指標值落在內的產品視為合格品,否則為不合格品.圖1是從A設備抽取的樣本頻率分布直方圖,表1是從B設備抽取的樣本頻數(shù)分布表.圖1:A設備生產的樣本頻率分布直方圖表1:B設備生產的樣本頻數(shù)分布表質量指標值頻數(shù)2184814162(1)請估計A.B設備生產的產品質量指標的平均值;(2)企業(yè)將不合格品全部銷毀后,并對合格品進行等級細分,質量指標值落在內的定為一等品,每件利潤240元;質量指標值落在或內的定為二等品,每件利潤180元;其它的合格品定為三等品,每件利潤120元.根據圖1、表1的數(shù)據,用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產品中抽到一件相應等級產品的概率.企業(yè)由于投入資金的限制,需要根據A,B兩套設備生產的同一種產品每件獲得利潤的期望值調整生產規(guī)模,請根據以上數(shù)據,從經濟效益的角度考慮企業(yè)應該對哪一套設備加大生產規(guī)模?19.(12分)某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買每滿元的商品即可抽獎一次.抽獎規(guī)則如下:抽獎者擲各面標有點數(shù)的正方體骰子次,若擲得點數(shù)大于,則可繼續(xù)在抽獎箱中抽獎;否則獲得三等獎,結束抽獎,已知抽獎箱中裝有個紅球與個白球,抽獎者從箱中任意摸出個球,若個球均為紅球,則獲得一等獎,若個球為個紅球和個白球,則獲得二等獎,否則,獲得三等獎(抽獎箱中的所有小球,除顏色外均相同).若,求顧客參加一次抽獎活動獲得三等獎的概率;若一等獎可獲獎金元,二等獎可獲獎金元,三等獎可獲獎金元,記顧客一次抽獎所獲得的獎金為,若商場希望的數(shù)學期望不超過元,求的最小值.20.(12分)已知拋物線:()上橫坐標為3的點與拋物線焦點的距離為4.(1)求p的值;(2)設()為拋物線上的動點,過P作圓的兩條切線分別與y軸交于A、B兩點.求的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù),其中.(Ⅰ)當時,求函數(shù)的單調區(qū)間;(Ⅱ)設,求證:;(Ⅲ)若對于恒成立,求的最大值.22.(10分)在平面直角坐標系中,已知橢圓的左、右頂點分別為、,焦距為2,直線與橢圓交于兩點(均異于橢圓的左、右頂點).當直線過橢圓的右焦點且垂直于軸時,四邊形的面積為6.(1)求橢圓的標準方程;(2)設直線的斜率分別為.①若,求證:直線過定點;②若直線過橢圓的右焦點,試判斷是否為定值,并說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
根據列方程,由此求得的值,進而求得.【詳解】由于,所以,即,解得.所以所以.故選:C【點睛】本小題主要考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運算,考查向量模的求法,屬于基礎題.2、D【解析】
過點作,可得出點為的中點,由可求得的值,可計算出的值,進而可得出,結合可知點為的中點,可得出,利用勾股定理求得(為雙曲線的右焦點),再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示,過點作,設該雙曲線的右焦點為,連接.,.,,,為的中點,,,,,由雙曲線的定義得,即,因此,該雙曲線的離心率為.故選:D.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解,解題時要充分分析圖形的形狀,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.3、A【解析】
根據對數(shù)性質可知,再根據集合的交集運算即可求解.【詳解】∵,集合,∴由交集運算可得.故選:A.【點睛】本題考查由對數(shù)的性質比較大小,集合交集的簡單運算,屬于基礎題.4、C【解析】
設射線OA與x軸正向所成的角為,由三角函數(shù)的定義得,,,利用輔助角公式計算即可.【詳解】設射線OA與x軸正向所成的角為,由已知,,,所以,當時,取得等號.故選:C.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的最值問題,涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識,是一道容易題.5、C【解析】
先由已知,求出,進一步可得,再利用復數(shù)模的運算即可【詳解】由z是純虛數(shù),得且,所以,.因此,.故選:C.【點睛】本題考查復數(shù)的除法、復數(shù)模的運算,考查學生的運算能力,是一道基礎題.6、D【解析】
根據三視圖還原出幾何體,找到最大面,再求面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體是一個三棱錐,如圖所示,將其放在一個長方體中,并記為三棱錐.,,,故最大面的面積為.選D.【點睛】本題主要考查三視圖的識別,復雜的三視圖還原為幾何體時,一般借助長方體來實現(xiàn).7、C【解析】∵集合,,∴點睛:本題是道易錯題,看清所問問題求并集而不是交集.8、B【解析】
利用函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),可得,再利用對數(shù)運算性質比較a,c進而可得結論.【詳解】依題意,函數(shù)與函數(shù)關于直線對稱,則,即,又,所以,.故選:B.【點睛】本題主要考查對數(shù)、指數(shù)的大小比較,屬于基礎題.9、C【解析】
依次遞推求出得解.【詳解】n=1時,,n=2時,,n=3時,,n=4時,,n=5時,.故選:C【點睛】本題主要考查遞推公式的應用,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.10、D【解析】
用收入減去支出,求得每月收益,然后對選項逐一分析,由此判斷出說法錯誤的選項.【詳解】用收入減去支出,求得每月收益(萬元),如下表所示:月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高,A選項說法正確;月收益最低,B選項說法正確;月總收益萬元,月總收益萬元,所以前個月收益低于后六個月收益,C選項說法正確,后個月收益比前個月收益增長萬元,所以D選項說法錯誤.故選D.【點睛】本小題主要考查圖表分析,考查收益的計算方法,屬于基礎題.11、B【解析】
根據題意計算,,,解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,∴.∵是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,∴.∴.∵,∴,解得.則當時,的最大值是9.故選:.【點睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列,f分組求和,意在考查學生對于數(shù)列公式方法的靈活運用.12、A【解析】試題分析:,,所以,即集合中共有3個元素,故選A.考點:集合的運算.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由已知可得,結合雙曲線的定義可知,結合,從而可求出離心率.【詳解】解:,,又,則.,,,即解得,即.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線的定義,考查了雙曲線的性質.本題的關鍵是根據幾何關系,分析出.關于圓錐曲線的問題,一般如果能結合幾何性質,可大大減少計算量.14、29【解析】
由約束條件作出可行域,化目標函數(shù)為以原點為圓心的圓,數(shù)形結合得到最優(yōu)解,聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標,代入目標函數(shù)得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖:聯(lián)立,解得,目標函數(shù)是以原點為圓心,以為半徑的圓,由圖可知,此圓經過點A時,半徑最大,此時也最大,最大值為.所以本題答案為29.【點睛】線性規(guī)劃問題,首先明確可行域對應的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線,其次確定目標函數(shù)的幾何意義,是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等,最后結合圖形確定目標函數(shù)最值取法、值域范圍.15、【解析】
設,由可得,整理得,即點在以為圓心,為半徑的圓上.又點到雙曲線的漸近線的距離為,所以當雙曲線的漸近線與圓相切時,取得最大值,此時,解得.16、【解析】
由已知可得?4Sn﹣n(n+3)=0,可得Sn,n=1時,a1=S1=1.當n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1.可得:2().利用裂項求和方法即可得出.【詳解】∵⊥,∴?4Sn﹣n(n+3)=0,∴Sn,n=1時,a1=S1=1.當n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1.,滿足上式,.∴2().∴數(shù)列{}前2020項和為2(1)=2(1).故答案為:.【點睛】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關系、數(shù)列遞推關系、裂項求和方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析.【解析】
(1)在不等式兩邊平方化簡轉化為二次不等式,解此二次不等式即可得出結果;(2)利用絕對值三角不等式可證得成立.【詳解】(1),,由得,不等式兩邊平方得,即,解得或.因此,不等式的解集為;(2),,由絕對值三角不等式可得.因此,.【點睛】本題考查含絕對值不等式的求解,同時也考查了利用絕對值三角不等式證明不等式,考查推理能力與運算求解能力,屬于中等題.18、(1)30.2,29;(2)B設備【解析】
(1)平均數(shù)的估計值為組中值與頻率乘積的和;(2)要注意指標值落在內的產品才視為合格品,列出A、B設備利潤分布列,算出期望即可作出決策.【詳解】(1)A設備生產的樣本的頻數(shù)分布表如下質量指標值頻數(shù)41640121810.根據樣本質量指標平均值估計A設備生產一件產品質量指標平均值為30.2.B設備生產的樣本的頻數(shù)分布表如下質量指標值頻數(shù)2184814162根據樣本質量指標平均值估計B設備生產一件產品質量指標平均值為29.(2)A設備生產一件產品的利潤記為X,B設備生產一件產品的利潤記為Y,X240180120PY240180120P若以生產一件產品的利潤作為決策依據,企業(yè)應加大B設備的生產規(guī)模.【點睛】本題考查平均數(shù)的估計值、離散隨機變量的期望,并利用期望作決策,是一個概率與統(tǒng)計綜合題,本題是一道中檔題.19、;.【解析】
設顧客獲得三等獎為事件,因為顧客擲得點數(shù)大于的概率為,顧客擲得點數(shù)小于,然后抽將得三等獎的概率為,求出;由題意可知,隨機變量的可能取值為,,,相應求出概率,求出期望,化簡得,由題意可知,,即,求出的最小值.【詳解】設顧客獲得三等獎為事件,因為顧客擲得點數(shù)大于的概率為,顧客擲得點數(shù)小于,然后抽將得三等獎的概率為,所以;由題意可知,隨機變量的可能取值為,,,且,,,所以隨機變量的數(shù)學期望,,化簡得,由題意可知,,即,化簡得,因為,解得,即的最小值為.【點睛】本題主要考查概率和期望的求法,屬于??碱}.20、(1);(2)【解析】
(1)根據橫坐標為3的點與拋物線焦點的距離為4,由拋物線的定義得到求解.(2)設過點的直線方程為,根據直線與圓相切,則有,整理得:,根據題意,建立,將韋達定理代入求解.【詳解】(1)因為橫坐標為3的點與拋物線焦點的距離為4,由拋物線的定義得:,解得:.(2)設過點的直線方程為,因為直線與圓相切,所以,整理得:,,由題意得:所以,,因為,所以,所以.【點睛】本題主要考查拋物線的定義及點與拋物線,直線與圓的位置關系,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.21、(Ⅰ)函數(shù)的單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為;(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ).【解析】
(Ⅰ)利用二次求導可得,所以在上為增函數(shù),進而可得函數(shù)的單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為;(Ⅱ)利用導數(shù)可得在區(qū)間上存在唯一零點,所以函數(shù)在遞減,在,遞增,則,進而可證;(Ⅲ)條件等價于對于恒成立,構造函數(shù),利用導數(shù)可得的單調性,即可得到的最小值為,再次構造函數(shù)(a),,利用導數(shù)得其單調區(qū)間,進而求得最大值.【詳解】(Ⅰ)當時,,則,所以,又因為,所以在上為增函數(shù),因為,所以當時,,為增函數(shù),當時,,為減函數(shù),即函數(shù)的單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為;(Ⅱ),則令,則(1),,
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