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2025屆重慶一中高高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)的部分圖象如圖所示,已知,函數(shù)的圖象可由圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到,則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.2.設(shè)是兩條不同的直線(xiàn),是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則3.已知,則()A. B. C. D.4.若函數(shù)在時(shí)取得極值,則()A. B. C. D.5.函數(shù)的大致圖象是()A. B.C. D.6.命題:的否定為A. B.C. D.7.設(shè)i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)z等于()A. B. C. D.08.從某市的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了部分男生,獲得了他們的身高數(shù)據(jù),整理得到如下頻率分布直方圖:根據(jù)頻率分布直方圖,可知這部分男生的身高的中位數(shù)的估計(jì)值為A. B.C. D.9.已知當(dāng),,時(shí),,則以下判斷正確的是A. B.C. D.與的大小關(guān)系不確定10.已知雙曲線(xiàn)的焦距為,過(guò)左焦點(diǎn)作斜率為1的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的右支于點(diǎn),若線(xiàn)段的中點(diǎn)在圓上,則該雙曲線(xiàn)的離心率為()A. B. C. D.11.已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖與側(cè)視圖是全等的直角三角形,則該幾何體的各個(gè)面中,最大面的面積為()A.2 B.5 C. D.12.若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足不等式組,則的最大值為()A. B. C.3 D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,滿(mǎn)足,,且已知向量,的夾角為,,則的最小值是__.14.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)______.15.有編號(hào)分別為1,2,3,4,5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球,從中隨機(jī)取出4個(gè),則取出球的編號(hào)互不相同的概率為_(kāi)______________.16.已知,(,),則=_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)移動(dòng)支付(支付寶及微信支付)已經(jīng)漸漸成為人們購(gòu)物消費(fèi)的一種支付方式,為調(diào)查市民使用移動(dòng)支付的年齡結(jié)構(gòu),隨機(jī)對(duì)100位市民做問(wèn)卷調(diào)查得到列聯(lián)表如下:(1)將上列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并請(qǐng)說(shuō)明在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡是否有關(guān)?(2)在使用移動(dòng)支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進(jìn)一步的問(wèn)卷調(diào)查,從這10人隨機(jī)中選出3人頒發(fā)參與獎(jiǎng)勵(lì),設(shè)年齡都低于35歲(含35歲)的人數(shù)為,求的分布列及期望.(參考公式:(其中)18.(12分)已知函數(shù)(1)若函數(shù)在處取得極值1,證明:(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知圓:和拋物線(xiàn):,為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)已知直線(xiàn)和圓相切,與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn),且滿(mǎn)足,求直線(xiàn)的方程;(2)過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)作兩直線(xiàn)和圓相切,且分別交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn),若直線(xiàn)的斜率為,求點(diǎn)的坐標(biāo).20.(12分)如圖,三棱臺(tái)中,側(cè)面與側(cè)面是全等的梯形,若,且.(Ⅰ)若,,證明:∥平面;(Ⅱ)若二面角為,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.21.(12分)已知都是大于零的實(shí)數(shù).(1)證明;(2)若,證明.22.(10分)在底面為菱形的四棱柱中,平面.(1)證明:平面;(2)求二面角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性可得,利用周期公式可得,再根據(jù)圖像過(guò),即可求出,再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.【詳解】由圖像可知,即,所以,解得,又,所以,由,所以或,又,所以,,所以,,即,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象由圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換,需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
在A(yíng)中,與相交或平行;在B中,或;在C中,由線(xiàn)面垂直的判定定理得;在D中,與平行或.【詳解】設(shè)是兩條不同的直線(xiàn),是兩個(gè)不同的平面,則:在A(yíng)中,若,,則與相交或平行,故A錯(cuò)誤;在B中,若,,則或,故B錯(cuò)誤;在C中,若,,則由線(xiàn)面垂直的判定定理得,故C正確;在D中,若,,則與平行或,故D錯(cuò)誤.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),是中檔題.3、C【解析】
利用誘導(dǎo)公式得,,再利用倍角公式,即可得答案.【詳解】由可得,∴,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意三角函數(shù)的符號(hào).4、D【解析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)在時(shí)取得極值,得到,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,又函?shù)在時(shí)取得極值,所以,解得.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問(wèn)題,屬于常考題型.5、A【解析】
用排除B,C;用排除;可得正確答案.【詳解】解:當(dāng)時(shí),,,所以,故可排除B,C;當(dāng)時(shí),,故可排除D.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象,屬基礎(chǔ)題.6、C【解析】
命題為全稱(chēng)命題,它的否定為特稱(chēng)命題,將全稱(chēng)量詞改為存在量詞,并將結(jié)論否定,可知命題的否定為,故選C.7、B【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則,即可求解.【詳解】.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
由題可得,解得,則,,所以這部分男生的身高的中位數(shù)的估計(jì)值為,故選C.9、C【解析】
由函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用得:設(shè),求得可得為增函數(shù),又,,時(shí),根據(jù)條件得,即可得結(jié)果.【詳解】解:設(shè),則,即為增函數(shù),又,,,,即,所以,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬中檔題.10、C【解析】
設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為,判斷出點(diǎn)的位置,結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義,求得雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為,由于直線(xiàn)的斜率是,而圓,所以.由于是線(xiàn)段的中點(diǎn),所以,而,根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可知,即,即.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線(xiàn)的定義和離心率的求法,考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.11、D【解析】
根據(jù)三視圖還原出幾何體,找到最大面,再求面積.【詳解】由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)三棱錐,如圖所示,將其放在一個(gè)長(zhǎng)方體中,并記為三棱錐.,,,故最大面的面積為.選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別,復(fù)雜的三視圖還原為幾何體時(shí),一般借助長(zhǎng)方體來(lái)實(shí)現(xiàn).12、C【解析】
作出可行域,直線(xiàn)目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線(xiàn),平移該直線(xiàn)可得最優(yōu)解.【詳解】作出可行域,如圖由射線(xiàn),線(xiàn)段,射線(xiàn)圍成的陰影部分(含邊界),作直線(xiàn),平移直線(xiàn),當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值1.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題,解題關(guān)鍵是作出可行域,本題要注意可行域不是一個(gè)封閉圖形.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
求的最小值可以轉(zhuǎn)化為求以AB為直徑的圓到點(diǎn)O的最小距離,由此即可得到本題答案.【詳解】如圖所示,設(shè),由題,得,又,所以,則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上,取AB的中點(diǎn)為M,則,設(shè)以AB為直徑的圓與線(xiàn)段OM的交點(diǎn)為E,則的最小值是,因?yàn)椋?,所以的最小值?故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的綜合應(yīng)用問(wèn)題,涉及到圓的相關(guān)知識(shí)與余弦定理,考查學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.14、【解析】
寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,考慮當(dāng)?shù)闹笖?shù)為零時(shí),對(duì)應(yīng)的值即為常數(shù)項(xiàng).【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為:,令,所以,所以常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng)系數(shù)的求解,難度較易.解答問(wèn)題的關(guān)鍵是,能通過(guò)展開(kāi)式通項(xiàng)公式分析常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的取值.15、【解析】試題分析:從編號(hào)分別為1,1,3,4,5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球,從中隨機(jī)取出4個(gè),有種不同的結(jié)果,由于是隨機(jī)取出的,所以每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的;設(shè)事件為“取出球的編號(hào)互不相同”,則事件包含了個(gè)基本事件,所以.考點(diǎn):1.計(jì)數(shù)原理;1.古典概型.16、【解析】
先利用倍角公式及差角公式把已知條件化簡(jiǎn)可得,平方可得.【詳解】∵,∴,則,平方可得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換,倍角公式的合理選擇是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析,在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān);(2)分布列見(jiàn)解析,期望為.【解析】
(1)根據(jù)題中所給的條件補(bǔ)全列聯(lián)表,根據(jù)列聯(lián)表求出觀(guān)測(cè)值,把觀(guān)測(cè)值同臨界值進(jìn)行比較,得到能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān).(2)首先確定的取值,求出相應(yīng)的概率,可得分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)根據(jù)題意及列聯(lián)表可得完整的列聯(lián)表如下:35歲以下(含35歲)35歲以上合計(jì)使用移動(dòng)支付401050不使用移動(dòng)支付104050合計(jì)5050100根據(jù)公式可得,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下,認(rèn)為支付方式與年齡有關(guān).(2)根據(jù)分層抽樣,可知35歲以下(含35歲)的人數(shù)為8人,35歲以上的有2人,所以獲得獎(jiǎng)勵(lì)的35歲以下(含35歲)的人數(shù)為,則的可能為1,2,3,且,,,其分布列為123.【點(diǎn)睛】獨(dú)立性檢驗(yàn)依據(jù)的值結(jié)合附表數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷,另外,離散型隨機(jī)變量的分布列,在求解的過(guò)程中,注意變量的取值以及對(duì)應(yīng)的概率要計(jì)算正確,注意離散型隨機(jī)變量的期望公式的使用,屬于中檔題目.18、(1)證明見(jiàn)詳解;(2)【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由在處取得極值1,可得且.解出,構(gòu)造函數(shù),分析其單調(diào)性,結(jié)合,即可得到的范圍,命題得證;
(2)由分離參數(shù),得到恒成立,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)函數(shù),再構(gòu)造函數(shù),進(jìn)行二次求導(dǎo).由知,則在上單調(diào)遞增.根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知有唯一零點(diǎn),且.由此判斷出時(shí),單調(diào)遞減,時(shí),單調(diào)遞增,則,即.由得,再次構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)分析單調(diào)性,從而得,即,最終求得,則.【詳解】解:(1)由題知,∵函數(shù)在,處取得極值1,,且,,,令,則為增函數(shù),,即成立.(2)不等式恒成立,即不等式恒成立,即恒成立,令,則令,則,,,在上單調(diào)遞增,且,有唯一零點(diǎn),且,當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞增.,由整理得,令,則方程等價(jià)于而在上恒大于零,在上單調(diào)遞增,.,∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的極值,利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點(diǎn)存在定理,證明不等式,解決不等式恒成立問(wèn)題.其中多次構(gòu)造函數(shù),是解題的關(guān)鍵,屬于綜合性很強(qiáng)的難題.19、(1);(2)或.【解析】試題分析:直線(xiàn)與圓相切只需圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑,直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn),且滿(mǎn)足,只需數(shù)量積為0,要聯(lián)立方程組設(shè)而不求,利用坐標(biāo)關(guān)系及根與系數(shù)關(guān)系解題,這是解析幾何常用解題方法,第二步利用直線(xiàn)的斜率找出坐標(biāo)滿(mǎn)足的要求,再利用兩直線(xiàn)與圓相切,求出點(diǎn)的坐標(biāo).試題解析:(1)解:設(shè),,,由和圓相切,得.∴.由消去,并整理得,∴,.由,得,即.∴.∴,∴,∴.∴.∴或(舍).當(dāng)時(shí),,故直線(xiàn)的方程為.(2)設(shè),,,則.∴.設(shè),由直線(xiàn)和圓相切,得,即.設(shè),同理可得:.故是方程的兩根,故.由得,故.同理,則,即.∴,解或.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.故或.20、(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)連接,由比例可得∥,進(jìn)而得線(xiàn)面平行;(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn),建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則求得平面的法向量為,設(shè)平面的法向量為,由求二面角余弦即可.試題解析:(Ⅰ)證明:連接,梯形,,易知:;又,則∥;平面,平面,可得:∥平面;(Ⅱ)側(cè)面是梯形,,,,則為二面角的平面角,;均為正三角形,在平面內(nèi),過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則,故點(diǎn),;設(shè)平面的法向量為,則有:;設(shè)平面的法向量為,則有:;,故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.21、(1)答案見(jiàn)解析.(2)答案見(jiàn)解析【解析】
(1)利用基本不等式可得,兩式相加即可求解.(2)由(1)知,代入不等式,利用基本不等式即可求解.【詳解】(1)兩式相加得(2)由(1)知于是,.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.22、(1)證明見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)由已知可證,即可證明結(jié)論;(2)根據(jù)已知可證平面,建立空間直角坐標(biāo)系,求出坐標(biāo),進(jìn)而求出平面和平面的法向量坐標(biāo),由空間向量的二面角公式,即可求解.【詳解】方法一:(1)依題意,且∴,∴四邊形是平行四邊形
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