一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

第03講一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)

（新高考專用）

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2024?全國(guó)?高考真題）設(shè)函數(shù)fO）==署，則曲線y=f（久）在點(diǎn)（0,1）處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的

三角形的面積為（）

A-1B-Ic1D-t

【解題思路】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得其在點(diǎn)（0,1）處的切線方程，即可得其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即

可得其面積.

[解答過(guò)程]f'8=厘+2必以1+/)字+2sinx>2x,

(1+N)

(e°+2cos0)(l+0)—(e0+2sin0)x0

則八0）==3,

(1+0)2

即該切線方程為y—1=3%,即y=3久+1,

令x=0,則y=l,令y=0,則

故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積S=ixlx|-1|=|.

2I316

故選：A.

2.（2O24^上海^高考真題）已知函數(shù)/'（X）的定義域?yàn)镽,定義集合M={xo|xoeR,xE（-oo,</（x0）},

在使得M=的所有/（久）中，下列成立的是（）

A.存在/（久）是偶函數(shù)B.存在/（久）在x=2處取最大值

C.存在/（X）是嚴(yán)格增函數(shù)D.存在/（尤）在久=-1處取到極小值

【解題思路】對(duì)于ACD利用反證法并結(jié)合函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及極小值的概念即可判斷，對(duì)于B,構(gòu)造

—2,%V—1

函數(shù)/(%)=x,-l<x<l即可判斷.

lfx>1

【解答過(guò)程】對(duì)于A,若存在y=/(%)是偶函數(shù)，?。?=1€1,1],

則對(duì)于任意工€(-8,1)/(%)</(I),而/(-1)=/(I),矛盾，故A錯(cuò)誤;

—2,xV—1,

對(duì)于B,可構(gòu)造函數(shù)f(x)=%,-1<%<1,滿足集合M=[-1,1],

.l,x>1,

當(dāng)％<-1時(shí)，則/'?=—2,當(dāng)一1—xWl時(shí),/(x)G[-1,1],當(dāng)x>l時(shí)，/(x)=1,

則該函數(shù)f（x）的最大值是f（2）,則B正確;

對(duì)C,假設(shè)存在f(x),使得f(x)嚴(yán)格遞增，則用=/?,與已知M=矛盾，則C錯(cuò)誤；

對(duì)D,假設(shè)存在/(x),使得f(x)在x=-1處取極小值，則在-1的左側(cè)附近存在n,使得f(n)>/(-1),這

與已知集合M的定義矛盾，故D錯(cuò)誤；

故選：B.

3.(2023?全國(guó)?高考真題)函數(shù)人久)=產(chǎn)+磔+2存在3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()

A.（一co,—2）B.（—co,-3）C.（一4,-1）D.（-3,0）

【解題思路】寫出/0)=3/+%并求出極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.

【解答過(guò)程】/(x)=必+a久+2,則/''(X)=3/+①

若f(x)要存在3個(gè)零點(diǎn)，則/(X)要存在極大值和極小值，貝必<0,

解得"=一后或混

令/'’（無(wú)）=3x2+a—0,

解得a<-3,

4.(2023?全國(guó)?高考真題)曲線丫=捕在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為()

Ae八e八e.e、e,3e

A.y=-xB.y=-xC.y=-x+-D.y=-x-\—

,4)244,24

【解題思路】先由切點(diǎn)設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，代入所

設(shè)方程即可求解.

【解答過(guò)程】設(shè)曲線y=總在點(diǎn)(1,處的切線方程為y-]=Kx-1),

因?yàn)閥=

所以、'=1卡=/,

所以k=y'|x=i=3

所以=1）

所以曲線y=W在點(diǎn)(1,以處的切線方程為y=%+：.

故選：C.

5.(2023?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則。的最小值為().

A.e2B.eC.e-1D.e~2

【解題思路】根據(jù)/'(x)=aex-120在(1,2)上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出.

【解答過(guò)程】依題可知，f'(x)=ae，—二20在(1,2)上恒成立，顯然a>0,所以

xa

設(shè)g(%)=E(1,2),所以/(%)=(第+l)e%>0,所以g(%)在(1,2)上單調(diào)遞增，

g(%)>g(l)=e,故eN，，即即。的最小值為eT.

故選：C.

6.(2022?全國(guó)?高考真題)函數(shù)f(%)=cos%+(%+l)sin%+1在區(qū)間［0,2n］的最小值、最大值分別為()

A.-B.--,-C.-+2D.--,-+2

22222222

【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)求得f(%)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出/(%)在區(qū)間［0,2可上的最小值和最大值.

【解答過(guò)程】/(%)=—sinx+sin%+(%+l)cosx=(%+l)cosx,

所以汽x)在區(qū)間(O,0和管,2TT)上/'(%)>0,即f(x)單調(diào)遞增；

在區(qū)間&為上/'(*)<0,即/0)單調(diào)遞減，

Xf(0)=/(2TT)=2,/g)=^+2,/(y)=-(y+l)+l=-y,

所以f(x)在區(qū)間［0,2n］上的最小值為-半，最大值為畀2.

故選：D.

7.(2022,全國(guó)?高考真題)已知a=得力=cos；,c=4sinJ,則()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【解題思路】由：=4tan：結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得c>b;構(gòu)造函數(shù)/(%)=cosx+1%2-l,xe(0,+8),利用

導(dǎo)數(shù)可得b>a,即可得解.

【解答過(guò)程】［方法一］:構(gòu)造函數(shù)

因?yàn)楫?dāng)％￡(0弓)，工<tanx

=4tan>1?故：>1,所以c>b；

設(shè)f(%)=COSX+|x2-1,XE(0,+8),

f(x)=-sinx4-%>0,所以/(%)在(0,+8)單調(diào)遞增,

Wg)>/(0)=0,所以cos>0,

所以b>a,所以c>b>a,故選/

［方法二］:不等式放縮

因?yàn)楫?dāng)%6(0,Jsinx<%,

取％=5得：cos1=1-2sin21>1-2(|)=故b>a

o4o\ozJZ

4sin：+cos1=V17sinQ+g),其中@6(°弓)，且sin(P=今,coscp=總

當(dāng)4sinL+cos^=時(shí)，-+<?=-,R(p=---

4442T24

止匕時(shí)sinj=cos(p=意，cos；=sin(p=今

1［41］

故C0SZ=/<而=sin；<4sin“故6<c

所以b>a,所以c>b>a,故選/

［方法三］:泰勒展開

設(shè)30.25,貝必=||=1一竽，b=cosh-亨+粵，

c=4sin］=畢121一琮+笥計(jì)算得c>b>a,故選A.

4

［方法四I:構(gòu)造函數(shù)

因?yàn)椤?4tan-,因?yàn)楫?dāng)％Gf0,-Ysinx<x<tanx,所以tan->工，即*>1,所以c>b；設(shè)/'(%)=cosx+-12

X乙—

b4\2/44o

l,xG(0,+8)/(%)=-sinx+%>0,所以/(%)在(0,+8)單調(diào)遞增，則/6)>/(0)=0,所以cosi-||>0,

所以b>a,所以c>b>a,

故選：A.

［方法五卜【最優(yōu)解】不等式放縮

因?yàn)椋?4tan=,因?yàn)楫?dāng)?shù)贓(0,；),sin%<%Vtan%,所以tan=>之即：>1,所以c>b；因?yàn)楫?dāng)％C

b4\2/44D

2

(0,］),sin%Vx,取久二應(yīng)得cos：=1—2sin2(>1—2&)=故b>a,所以c>b>a.

故選：A.

8.(2022?全國(guó)?高考真題)當(dāng)乂=1時(shí)，函數(shù)/(%)=alnx+g取得最大值—2,貝次'(2)=()

11

A.-1B,--C.-D.1

【解題思路】根據(jù)題意可知/(I)=-2,/'(I)=0即可解得a,6,再根據(jù)/'(x)即可解出.

【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)/⑺定義域?yàn)?0,+8),所以依題可知，/⑴=-2,■⑴=0,而八%)=、*所

以b=—2,a-b=0,即a=—2,b=—2,所以/''(>)=一|+5，因此函數(shù)/'(x)在(0,1)上遞增，在(1,+8)上

遞減，x=l時(shí)取最大值，滿足題意，即有八2)=—1+：—今

故選：B.

9.(2022?全國(guó)?高考真題)已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36兀，且

3</<3V3,則該正四棱錐體積的取值范圍是()

A。［18第13.序里C.玲同D.［18,27］

【解題思路】設(shè)正四棱錐的高為h,由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確定

正四棱錐體積的取值范圍.

【解答過(guò)程】???球的體積為36兀，所以球的半徑R=3,

［方法一］:導(dǎo)數(shù)法

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a,高為h,

則/2=2a2+九2,32=2a2+(3-/i)2,

所以6/1=I,2a2=l2—h2

所以正四棱錐的體積卜=^Sh=|x4a2x九=￡x(J—幺)xg=J。，-J)，

所以心刑3一加利(哨,

當(dāng)3WZW2連時(shí)，Vr>0,當(dāng)2病</<3百時(shí)，V'<0,

所以當(dāng)/=2歷時(shí)，正四棱錐的體積P取最大值，最大值為段,

又2=3時(shí)，V=—,2=38時(shí)，V=—,

44

所以正四棱錐的體積，的最小值為烏，

4

故選：C.

［方法二］:基本不等式法

4

h

-

由方法一故所以V3I（6%-F）仁家12-2勵(lì)X八號(hào)X［空智灼3譽(yù)（當(dāng)且僅當(dāng)八=4取到）,

當(dāng)/1=爭(zhēng)寸，得。=皆,則%n=押%="罷）2義|=為

當(dāng)1=3舊時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)無(wú)=T+3=（

苧a=￥=a=等，正四棱錐體積匕=/%=家哭）2、占卜?，故該正四棱錐體積的取值范圍是

故選：C.

10.(2022?全國(guó)?高考真題)設(shè)a=0.1e°a,b=［,c=—ln0.9,貝lj()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【解題思路】構(gòu)造函數(shù)/(%)=ln(l+%)-%,導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定a,b,c的大小.

【解答過(guò)程】方法一：構(gòu)造法

設(shè)/(%)=ln(l+x)-x(x>-1),因?yàn)?'(%)=￡-1=一自，

當(dāng)久€(—1,0)時(shí)，fXx)>0,當(dāng)久E(0,+8)時(shí)—(第)V0,

所以函數(shù)/(%)=ln(l+%)-%在(0,+8)單調(diào)遞減，在(一1,0)上單調(diào)遞增，

所以/(3)V/(。)=0，所以In?—3<0,故］>In-^-=—ln0.9,即b>c,

所以/(一套)V/(0)=0,所以ln'+>VO,故［veF,所以1e」V《,

故a<b,

設(shè)9(%)=xqX+ln(l—x)(0<x<1),則g(%)=(%+l)ex+；=—―丁+；

令h(X)=ex(x2—1)+1,/i(x)=ex(%2+2%—1),

當(dāng)0<%<魚—1時(shí)，％'(%)<0,函數(shù)九(久)=ex(x2—1)+1單調(diào)遞減，

當(dāng)五—1V%V1時(shí)，h'(x)>0,函數(shù)h(%)=ex(%2—1)+1單調(diào)遞增，

又%(0)=0,

所以當(dāng)0<%〈注一1時(shí)，h(x)<0,

所以當(dāng)0v%vV^-l時(shí)，g\x)>0,函數(shù)g(%)=+ln(l-％)單調(diào)遞增，

所以g(0.1)>g(0)=0,BPO,le01>-ln0.9,所以a>c

故選：C.

方法二：比較法

解：a=O.le01,b=J：】,c=—ln(l—0.1),

①Ina—\nb=0.1+ln(l—0.1),

令/(%)=%+ln(l—%),xG(0,0.1］,

則/(%)=1-*=產(chǎn)<0,

1—x1—x

故/(%)在(0,0.1］上單調(diào)遞減，

可得/(0.1)</(0)=0,即Ina—\nbV。，所以aVb；

@a—c=O.le01+ln(l—0.1),

令0(%)=xeX+ln(l—%),x6(0,0,1］,

則g\)=xex+ex--=0+工)(1-為a-1,

x1—x1—x

令k(x)=(1+x)(l—x)ex—1,所以k'(x)=(1—x2—2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞增，可得k(x)>k(0)>0,即g(x)>。，

所以g(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題

11.(2024?全國(guó)?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=2爐-3a/+1,則()

A.當(dāng)a>l時(shí)，/(久)有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)a<0時(shí)，X=0是f(x)的極大值點(diǎn)

C.存在a,b,使得x=b為曲線y=f(x)的對(duì)稱軸

D.存在a,使得點(diǎn)(1,/(1))為曲線y=f(x)的對(duì)稱中心

【解題思路】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為比=0,x=a,根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號(hào)判斷出八x)

在(-1,0),(0,a),(a,2a)上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)

存在這樣的a,6,使得x=6為f(x)的對(duì)稱軸，則f(%)=f(2b-久)為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存

在這樣的a,使得(1,3-3a)為/(x)的對(duì)稱中心，則〃>)+f(2-％)=6-6a,據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷,亦可利用

拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.

【解答過(guò)程】A選項(xiàng)，f'(X)=6/—6ax=6x(久-a),由于a>l,

故比G(-oo,0)U(a,+8)時(shí)/''(%)>0,故/'(無(wú))在(—8,0),(a,+8)上單調(diào)遞增，

xe(0,a)時(shí)，/(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

則在x=0處取到極大值，在久=a處取到極小值，

由/"(())=1>0,/(a)=1-a3<0,W(0)/(a)<0,

根據(jù)零點(diǎn)存在定理/(%)在(0,a)上有一個(gè)零點(diǎn)，

又/(一1)=一1一3a<0,/(2a)=4a3+l>0,則/(-1)/(0)<0,f(d)f(2d)<0,

則f(x)在(-l，0),(a,2a)上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是a>1時(shí)，f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，f'(x)=6x(x—d),a<0時(shí)，xe(a,0),f(x)<0,f(尤)單調(diào)遞減，

%6(0,+8)時(shí)/''(%)>0,/(x)單調(diào)遞增，

此時(shí)/(X)在x=0處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的a,b,使得x=b為/(%)的對(duì)稱軸，

即存在這樣的a,b使得f(x)=f(2b-x),

即2%3—3ax2+1=2(2b—x)3—3a(2b—x)2+1,

根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊(2b-展開式含有爐的項(xiàng)為2cx26)°(-乂)3=-2x3,

于是等式左右兩邊爐的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在這樣的a,6,使得x=b為/(x)的對(duì)稱軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，

方法一：利用對(duì)稱中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)

/(I)=3-3a,若存在這樣的a,使得(1,3—3a)為f(x)的對(duì)稱中心，

則/'(X)+f(2-x)=6-6a,事實(shí)上，

f(久)+/(2—x)=2x3-3ax2+1+2(2—%)3—3a(2—%)2+1=(12—6a)x2+(12a—24)x+18—12a,

于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a

12-6a=0

即12a-24=0,解得Q=2,即存在a=2使得(1)(1))是/(%)的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.

、18—12ci=6-6a

方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論

任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，

/(%)=2x3—3ax2+1,/(%)=6x2—6ax,f(%)=12x—6a,

由八X)=o=X=*于是該三次函數(shù)的對(duì)稱中心為gf(叨，

由題意(1"(1))也是對(duì)稱中心，故=1oa=2,

即存在a=2使得(1/(1))是f(X)的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.

故選：AD.

12.(2024?全國(guó)?高考真題)設(shè)函數(shù)/'(X)=(%—l)2(x—4),貝!]()

A.x=3是/(久)的極小值點(diǎn)B.當(dāng)。<久<1時(shí)，/(x)</(x2)

C.當(dāng)1<久<2時(shí)，一4</(2%—1)<0D.當(dāng)一1<久<0時(shí)，/(2-%)>/(%)

【解題思路】求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點(diǎn)，即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)函數(shù)f(x)

在(1,3)上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.

【解答過(guò)程】對(duì)A,因?yàn)楹瘮?shù)/(久)的定義域?yàn)镽,而f'(X)=2(%-1)(%-4)+(%-I)2=3(%-1)(%-3),

易知當(dāng)(1,3)時(shí)，/(x)<0,當(dāng)xe(-8,1)或％e(3,+8)時(shí)，/(%)>o

函數(shù)n>)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3,+8)上單調(diào)遞增，故%=3是函數(shù)/(%)的極小值

點(diǎn)，正確；

對(duì)B,當(dāng)0<x<l時(shí)，x—X2—%(1—%)>0,所以l>x>/>o,

而由上可知，函數(shù)人萬(wàn))在(0,1)上單調(diào)遞增，所以fQ)>/(/),錯(cuò)誤;

對(duì)C,當(dāng)l<x<2時(shí)，1<2萬(wàn)一1<3,而由上可知，函數(shù)/(x)在(1,3)上單調(diào)遞減，

所以f(l)>/(2x—1)>/(3),即-4<)(2"-1)<0,正確;

對(duì)D,當(dāng)—1<%<0時(shí)，/(2—x)—f(x)=(1—x)2(—2—x)—(x—l)2(x—4)=(x—l)2(2—2%)>0,

所以f(2-x)>f(x),正確；

故選：ACD.

13.(2023?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(砂)=y2/O)+//(y),則().

A./(0)=0B./(1)=。

C.f(x)是偶函數(shù)D.x=0為/(久)的極小值點(diǎn)

【解題思路】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC,舉反例f(x)=0即可排

除選項(xiàng)D.

方法二：選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同，對(duì)于D,可構(gòu)造特殊函數(shù)/(無(wú))=，21；1]:°進(jìn)行判斷即可.

【解答過(guò)程】方法一：

因?yàn)?(孫)=y2f(.x)+x2/(y)>

對(duì)于A,令x=y=o,/(O)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對(duì)于B,令x=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),則f(l)=O,故B正確.

對(duì)于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則f(-1)=0,

令y=-1,/(-%)=f(x)+x2/(-1)=f(x),

又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,所以f(x)為偶函數(shù)，故C正確，

對(duì)于D,不妨令/(x)=0,顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)/(%)無(wú)極值，故D錯(cuò)誤.

方法二：

因?yàn)?Oy)=y2/W+x2f(y),

對(duì)于A,令x=y=o,/■(())=0/(0)+0/(0)=o,故A正確.

對(duì)于B,令x=y=l,/(I)=1/(1)+If(1),則f(l)=o,故B正確.

對(duì)于C,令x=y=-L/(I)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則f(-1)=0,

令y=-1,/(-x)=f(x}+無(wú)2/(-1)=/(%),

又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,所以f(x)為偶函數(shù)，故C正確，

2

對(duì)于D,當(dāng)/y2片。時(shí)，對(duì)/'(xy)=y/(x)+//(y)兩邊同時(shí)除以/丫2,得到:=臀+等，

故可以設(shè)譬=ln|x|(xK0),則/(x)=0,

當(dāng)％>0肘，/(%)=x2lnx,貝！J/(%)=2x\nx+%2?1=x(21nx+1),

令/'(%)<0,得0<xVe-2；令/'(%)>0,得x>e-2；

故/(久)在(0,e《)上單調(diào)遞減，在(e《,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在(-e4,0)上單調(diào)遞增，在(-8,e~,上單調(diào)遞減，

顯然，此時(shí)尤=0是/。)的極大值，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

14.(2023?全國(guó)?高考真題)若函數(shù)f(x)=alnx+§+/("0)既有極大值也有極小值，貝!!().

A.be>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

【解題思路】求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)/'(x),由已知可得f'Q)在(0,+8)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方

程有兩個(gè)不等的正根判斷作答.

【解答過(guò)程】函數(shù)/"(x)=alnx+g+排勺定義域?yàn)?0,+8),求導(dǎo)得人工)=、/一登=心詈￡,

因?yàn)楹瘮?shù)/■(%)既有極大值也有極小值，則函數(shù)f'(X)在(0,+8)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而aKO,

1，2，

因此方程-bx-2c=0有兩個(gè)不等的正根為工

A=+Qac>o

b2+VO,

x1+x2=->0,即有8ac>0,ab>0,ac<0,顯然小兒<0,即兒A錯(cuò)誤，BCD正

{久1%2=-]>0

確.

故選：BCD.

15.(2022?全國(guó)?高考真題)己知函數(shù)/(x)=sin(2x+^)(0<cp<TT)的圖像關(guān)于點(diǎn)得，°)中心對(duì)稱，則()

A.人久)在區(qū)間(0,工)單調(diào)遞減

B.”久)在區(qū)間(-"，巖)有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.直線”是曲線y=/Q)的對(duì)稱軸

D.直線y=?-x是曲線y=f(x)的切線

【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出.

【解答過(guò)程】由題意得：f仔)=sin管+卬)=0,所以與+9=kmkeZ,

即9=----Fkn,kGZ)

又0<9Vm所以々=2時(shí)，(p=導(dǎo)故/(%)=sin9%+g).

對(duì)A,當(dāng)％<0,■時(shí)，2%+日￡管患)，由正弦函數(shù)y=sin〃圖象知y=f(乃在(0為上是單調(diào)遞減；

對(duì)B,當(dāng)％€(-已等)時(shí)，2%+與6&用，由正弦函數(shù)y=sin”圖象知y=/(久)只有1個(gè)極值點(diǎn)，由2%+

y=解得％=工，即"稱為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；

對(duì)C,當(dāng)％二B時(shí)，2%+==3TT,/(2)=0，直線％=?不是對(duì)稱軸；

6366

對(duì)D,由y'=2cos(2久+g)=-1得：cos卜x+與)=—',

解得2x+y=y+2/CTT或2x+y=y+2/m,kEZ,

從而得：x=kn或x-1+/CTT,/cGZ,

所以函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(。,苧)處的切線斜率為k=y]x=0-2cosm=一L

切線方程為：y-苧=一(x-0)即y=?-x.

故選：AD.

16.(2022?全國(guó)?高考真題)己知函數(shù)人支)及其導(dǎo)函數(shù)/⑺的定義域均為R，記g(x)=f'Q)，若/'(|-2%)，

g(2+%)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.5(-1)=0C./(-1)=/(4)D.g(-1)=9⑵

【解題思路】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)

逐項(xiàng)判斷即可得解.

【解答過(guò)程】[方法一]:對(duì)稱性和周期性的關(guān)系研究

對(duì)于/⑶，因?yàn)?"(|一2%)為偶函數(shù),所以f(|—2x)=f(|+2x)即x)=fG+x)①，所以f(3-x)=

f(x),所以/(x)關(guān)于x=|對(duì)稱，則1)=/(4),故C正確；

對(duì)于9(K)，因?yàn)?(2+%)為偶函數(shù),g(2+x)=g(2-%),g(4-％)=g(%),所以g(%)關(guān)于%=2對(duì)稱,由

①求導(dǎo)，和9(%)=/'(%),得[/(1_%)]=[/(1+%)]o—,d—x)=/(1+%)o—gd—x)

所以g(3-%)+g(x)=。,所以9(久)關(guān)于(|,0)對(duì)稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽,所以g(?)=0,結(jié)合g(%)關(guān)于久=2

對(duì)稱，從而周期「=4X(2-|)=2,所以g=g(|)=0,g(-l)=g(l)=-g(2),故B正確，D錯(cuò)

誤;

若函數(shù)f(x)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)f(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定/(x)的函數(shù)值，故

A錯(cuò)誤.

故選：BC.

［方法二］:【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.

由方法一知g(x)周期為2,關(guān)于久=2對(duì)稱，故可設(shè)g(久)=COS(TTX),則/'(X)=|sin(Ttx)+c,顯然A,D錯(cuò)

誤，選BC.

故選：BC.

［方法三］:

因?yàn)閒(|一2x),g(2+無(wú))均為偶函數(shù)，

所以/'?-2久)=/?+2久)即/■修一X)=+g(2+x)=g(2-x),

所以/'(3-x)=f(x),g(4-x)=g(x),則/'(一1)=f(4),故C正確；

函數(shù)/(久)，。(久)的圖象分別關(guān)于直線x-\-x=2對(duì)稱，

又g(x)=/(%),且函數(shù)/'(%)可導(dǎo)，

所以9(0=仇9(3-X)=-g(x)，

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x4-1)=g(x),

所以g(—=g(D=。，g(—i)=g(i)=-g(2)，故B正確,D錯(cuò)誤；

若函數(shù)/(x)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定人尤)的函數(shù)值，故

A錯(cuò)誤.

故選：BC.

17.(2022?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(久)=爐—久+1,則()

A.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)B./(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(%)的對(duì)稱中心D.直線y=2x是曲線y=f(久)的切線

【解題思路】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A,結(jié)合f(x)的單調(diào)性、極值可判斷B,利用平移可判斷C；利用導(dǎo)

數(shù)的幾何意義判斷D.

【解答過(guò)程】由題，f\x)=3/-1,令/'(%)>0得x>?或x<-與

令f3<0得_y<X<y,

所以f(x)在(―8,—苧)，譚,+8)上單調(diào)遞增，(—苧,弓)上單調(diào)遞減，所以X=±手是極值點(diǎn)，故A正確；

因/(—?)=1+舒>。，樗)=1一等>0,2)=-5<。，

所以，函數(shù)f(x)在(-8,-1)上有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)X>爭(zhēng)寸，/(X)>/(y)>0,即函數(shù)f(x)在g,+8)上無(wú)零點(diǎn)，

綜上所述，函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

令九(久)=x3-x,該函數(shù)的定義域?yàn)镽,/i(-x)=(-%)3-(-%)=-x3+x=-/i(x),

則/I(x)是奇函數(shù)，(0,0)是九(%)的對(duì)稱中心，

將九(%)的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到f(%)的圖象，

所以點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(%)的對(duì)稱中心，故C正確；

令/(%)=3/-1=2,可得％=±1,又/1(1)=/(-1)=1,

當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí)，切線方程為y=2%-1,當(dāng)切點(diǎn)為(一1,1)時(shí)，切線方程為y=2%+3,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

三、填空題

18.(2024?全國(guó)?高考真題)曲線y=爐一3%與y=-(％-1)2+。在(0,+8)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，貝心的取

值范圍為_(二2J)_.

【解題思路】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，令/-3x=-(x-I)2+a,分離參數(shù)a,構(gòu)造新函數(shù)g(%)=%34-x2-5%+

1,結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得9(%)單調(diào)區(qū)間，畫出大致圖形數(shù)形結(jié)合即可求解.

23232

【解答過(guò)程】令——3%=—(%—I)+a,即Q=%+%—5%+1,令9(%)=X+%—5%+1(%>0),

則0(%)=3%2+2%—5=(3x+5)(%—1),令g(x)=0(%>0)得第=1,

當(dāng)％G(0,1)時(shí)，/(%)<0,g(%)單調(diào)遞減，

當(dāng)％E(1,+8)時(shí)，g(%)單調(diào)遞增，g(0)=Lg(l)=-2,

因?yàn)榍€y=x3-3%與y=-(％-I)2+a在(0,+8)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以等價(jià)于y=。與g(%)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以ae(-2,1).

liy二g(x)

:J3

故答案為：(—2,1).

19.(2024?全國(guó)?高考真題)若曲線y=e%+%在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線y=111(%+1)+。的切線，則。=

]n乙.

【解題思路】先求出曲線y=ex+%在(0,1)的切線方程，再設(shè)曲線y=ln(x+1)+Q的切點(diǎn)為(%o，ln(%o+1)+

a),求出y‘，利用公切線斜率相等求出%°,表示出切線方程，結(jié)合兩切線方程相同即可求解.

【解答過(guò)程】由、=e%+%得/=e%+1,y\x=o=e°+1=2,

故曲線y=e%+%在(0,1)處的切線方程為y=2%+1；

由y=In(%+1)+a得y'=擊，

設(shè)切線與曲線y=ln(x+1)+a相切的切點(diǎn)為(%o，ln(劭+1)+a),

由兩曲線有公切線得“=房=2,解得%0=-(則切點(diǎn)為(一3。+比3，

切線方程為y=2(%+J+a+In]=2.x+1+a—ln2,

根據(jù)兩切線重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2.

故答案為：ln2.

20.(2023?全國(guó)?高考真題)設(shè)a6(0,1),若函數(shù)f(x)=/+(1+a尸在(0,+8)上單調(diào)遞增，則°的取值

范圍是—[年.

【解題思路】原問(wèn)題等價(jià)于/'(%)=ax\na+(1+a)-ln(l+a)>0恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變

形，可得馬樂(lè)，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)a的二次不等式，求解二次不等式后可確定實(shí)數(shù)a

的取值范圍.

【解答過(guò)程】由函數(shù)的解析式可得/&)=axlna+(1+a)^ln(l+a)>0在區(qū)間(0,+8)上恒成立，

則(1+a)*ln(l+a)crnna,即(平)2-常需在區(qū)間(。,+8)上恒成立，

故0^)—1>—),而a+16(1,2),故ln(l+a)>0,

故[ln(a+1)2—Ina即/(a+1)21,故衛(wèi)<a<l,

(0<a<1t0<a<12

故答案為：性二,1）.

21.（2022?全國(guó)?高考真題）曲線y=ln|x|過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為一三§匚，v^-|x.

【解題思路】分x>0和x<0兩種情況，當(dāng)x>0時(shí)設(shè)切點(diǎn)為（xo，ln&），求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線

的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)求出勺，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；

【解答過(guò)程】［方法一］:化為分段函數(shù)，分段求

分x>0和x<0兩種情況，當(dāng)％>0時(shí)設(shè)切點(diǎn)為（&,ln&），求出函數(shù)供導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而

表示出切線方程，再根據(jù)切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)求出刈，即可求出切線方程，當(dāng)久<0時(shí)同理可得；

解：因?yàn)閥=ln|%］,

當(dāng)%>0時(shí)y=ln%,設(shè)切點(diǎn)為（%o，ln%o）,由/=（所以所以切線方程為y—In%。=看（%一式o），

又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以一In%。=^（一々）），解得%°=e,所以切線方程為y-1=：（%-e）,即y="；

當(dāng)％V0時(shí)y=設(shè)切點(diǎn)為（-％D）,由/=%所以”|%=巧=（,所以切線方程為y-ln（-%i）=

一（%一久J,

又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以—In（一式J=—（―勺），解得％1=—e,所以切線方程為y—1=5（％+e）,即y=—3%；

故答案為：y=-x；y=--x

ee

［方法二］:根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合

當(dāng)%>0時(shí)y=ln%,設(shè)切點(diǎn)為（%o，ln%o）,由y'=5，所以y］%=%o=2，所以切線方程為y-In%。=看（%-%o），

又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以—ln%o=5（-&），解得配=e,所以切線方程為y—1==（%—e）,即y=f

因?yàn)閥=ln|%|是偶函數(shù)，圖象為：

所以當(dāng)X<0時(shí)的切線，只需找到丫=、關(guān)于y軸的對(duì)稱直線y=—：刷可.

［方法三］:

因?yàn)閥=ln|%|,

當(dāng)%>0時(shí)y=ln%,設(shè)切點(diǎn)為(%o，ln%o),由y'=±所以，|%=孫=工，所以切線方程為y-In%。=工(%-久0),

又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以一1叫=看(一］0),解得%o=e,所以切線方程為y—l=—即y=?；

當(dāng)xV0時(shí)y=ln(-%),設(shè)切點(diǎn)為(-％1)),由y'=g,所以”|%=%1=:，所以切線方程為y-In(-％J=

~—%］)9

又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以-In(-％。=—(-/)，解得%1=-e,所以切線方程為y-1=—(%+e),即y=-工無(wú)；

X\—ee

故答案為：y=L%；y=--x.

ee

22.(2022?全國(guó)?高考真題)已知％=/和%=初分別是函數(shù)/(%)=2謨一ex2(a>0且aW1)的極小值點(diǎn)

和極大值點(diǎn).若X1<%2，則。的取值范圍是

【解題思路】法一：依題可知，方程21na?謨-2e%=0的兩個(gè)根為％［％2，即函數(shù)y=Ina?談與函數(shù)y=e%

的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)g(%)=Ina?凝，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到g(%)的圖象，利

用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過(guò)原點(diǎn)的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.

【解答過(guò)程】［方法一］:【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)

因?yàn)?'(%)=21na-ax—2ex,所以方程21na-ax—2ex=0的兩個(gè)根為久力冷，

即方程Ina-ax=e%的兩個(gè)根為工力冷，

即函數(shù)y=Ina?談與函數(shù)y=e%的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

因?yàn)?1，第2分別是函數(shù)/(%)=2ax-e/的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

所以函數(shù)/(%)在(-8,%1和(交,+8)上遞減，在(%L%2)上遞增，

所以當(dāng)時(shí)(一8,巧)(x2,+8),/(%)<0,即、=eX圖象在y=Ina?謨上方

當(dāng)％時(shí)，/'(%)>0，即丫=e%圖象在y=Ina?/下方

a>1,圖象顯然不符合題意，所以O(shè)VaVl.

x2

令g(%)=Ina-a9貝！Jg(%)=lna-a\0<a<1,

設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)y=g(%)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為(%o,Ina?談。)，

xxXo

則切線的斜率為g'(%o)=In2a.a0,故切線方程為y-Ina-a°=In2a.a(x-x0),

11

x2x2

則有-Ina.a°=—x0\na-a°,解得%o=--，則切線的斜率為In2a.海=elna,

因?yàn)楹瘮?shù)y=Ina-談與函數(shù)y=ex的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

所以elMaVe,解得工<aVe,又0<aVl,所以工<。<1,

ee

綜上所述，a的取值范圍為G，l).

［方法二］:【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)

/(%)=21na-ax—2ex=0的兩個(gè)根為％力及

因?yàn)?1，久2分別是函數(shù)/(%)=2ax-e/的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

所以函數(shù)/(%)在(一8,勺)和(交,+8)上遞減，在(巧,及)上遞增，

設(shè)函數(shù)g(x)=/(%)=2(axlna—ex),則'(%)=2ax(lna)2—2e,

若Q>I,則'(%)在R上單調(diào)遞增，此時(shí)若r(&)=o,

則/'(%)在(-8,%0)上單調(diào)遞減，在(%0,+8)上單調(diào)遞增，此時(shí)若有％=和%=%2分別是函數(shù)

/(%)=2a*-"2(。>0且a。1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則修，打，不符合題意；

若0<aVl,則'(%)在R上單調(diào)遞減，此時(shí)若'(%o)=O,則/'(%)在(一8,軟)上單調(diào)遞增，在(第。,+8)上單

調(diào)遞減，令'(第())=0,貝“0配=酢聲此時(shí)若有％=/和%=冷分別是函數(shù)/(%)=2謨一e/(a>o且。w1)

x2

的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且%1<犯，則需滿足/Go)>0,/'(%o)=2(a°lna-ex0)=(高一的)>。，即

x

%。〈春，xolna>1故lna°=xolna=In(山：)1>1，所以:<a<l.

故答案為：-<a<1.

e

23.(2022?全國(guó)?高考真題)若曲線y=(x+a)ex有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是—(―8,-4)U

(Q,+oo)_.

【解題思路】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)打,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)得到關(guān)于與的方程,

根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得a的取值范圍.

【解答過(guò)程】?；y=(x+a)eX,.?.)/=(x+l+a)eX,

x

設(shè)切點(diǎn)為(%o，yo),則%=(%0+a)e?切線斜率k=(x0+1+a)e°,

xx

切線方程為：y-(x0+a)e°=(&+1+a)e°(x-x0),

xx

:切線過(guò)原點(diǎn)，，一(%0+a)e°=(x0+1+a)e°(-x0~),

整理得：XQ+ax0-a=0,

'：切線有兩條，△=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,

；.a的取值范圍是(一8,-4)U(0,+oo),

故答案為：(-00,-4)U(0,+co).

四、解答題

24.(2024?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/■(久)=a(x-1)-Inx+1.

(1)求/Q)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a<2時(shí)，證明：當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<e*T恒成立.

【解題思路】(1)求導(dǎo)，含參分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性；

(2)先根據(jù)題設(shè)條件將問(wèn)題可轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)x>1時(shí)，e^1-2%+1+Inx>0即可.

【解答過(guò)程】(1)/(x)定義域?yàn)?0,+8),/'(x)=a—：=竺，

當(dāng)aWO時(shí)，f'(x)=?<0,故/'(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，xeg,+8)時(shí)，//(x)>0,f(X)單調(diào)遞增，

當(dāng)x€(0,，)時(shí)，/'(%)<0,f(x)單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)aWO時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8)；

a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為&，+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,￡).

(2)a<2,且％>1時(shí)，ex-1-/(x)=ex-1—a(x—1)+Inx-1>ex-1—