向量線性運(yùn)算及三大定理與四心歸類（15題型提分練）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)清單

專題13向量線性運(yùn)算及三大定理與四心歸類

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目錄

題型一：線性運(yùn)算：等分點(diǎn)型......................................................................1

題型二：線性運(yùn)算：四邊形等分點(diǎn)型................................................................3

題型三：線性運(yùn)算：基底非同一起點(diǎn)................................................................4

題型四：三大定理：奔馳定理......................................................................6

題型五：三大定理：極化恒等式....................................................................7

題型六：三大定理：等和線基礎(chǔ)....................................................................9

題型七：等和線三角換元型........................................................................9

題型八：等和線系數(shù)不是1構(gòu)造型.................................................................10

題型九：等和線均值型...........................................................................11

題型十：等和線二次型...........................................................................12

題型十一：等和線系數(shù)差型.......................................................................13

題型十二：四心向量：外心.......................................................................14

題型十三：四心向量：內(nèi)心.......................................................................14

題型十四：四心向量：垂心.......................................................................15

題型十五：四心向量：重心.......................................................................16

^突圍?檐誰(shuí)蝗分

題型一：線性運(yùn)算：等分點(diǎn)型

指I點(diǎn)I迷I津

線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式：若直線/上三點(diǎn)＜、巴、P,且滿足國(guó)=2哥(TLH-1),在直線/外

任取一點(diǎn)0,設(shè)函O^=b,^OP=^^-=—a+—b.

1+41+zl1+4

重要結(jié)論：若直線/上三點(diǎn)4、p4P,。為直線/外任一點(diǎn)，

貝！J赤=九函+o4+〃=l.

證明：麗=砒+扉=砒-2好=強(qiáng)+蝦,貝！|樂一麗=2呼+即=(1+田野，

貝(I麗=漉圾+OP\—OP?+AOg@+4b=-U+上5.

1+21+A1+41+41+4

1.(23-24?河北唐山?階段練習(xí))如圖，VABC中，。為5C邊的中點(diǎn)，石為AD的中點(diǎn)，則而=()

B.-AB--AC

44

3?i,i,§k

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

2.（23-24四川樂山?階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)G是VA5c的重心，過點(diǎn)G作直線分別與48,AC兩邊交于”,

uuuiuuuuumuuu

N兩點(diǎn)，設(shè)AM=xA8，AN=yAC則％+9》的最小值為（）

23

__?1__?__?__?4__?

3.（23-24?陜西渭南?階段練習(xí)）如圖，在7ABe中，已知8。=5DC,尸為而上一點(diǎn)，且滿足CP=mCA+-CB,

則實(shí)數(shù)m的值為（）

IT--------?1---------.--------?

4.（23-24天津?階段練習(xí)）如圖，在VABC中，ZBAC=-,ADDB,P^jCD±.-^,S.AP=-AC+AAB,

3=24

若J回=3,J冏=4,則Q.配的值為（）

5.（23-24甘肅臨夏?階段練習(xí)）如圖，在VABC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，AC=3MC=4NC,分別連接M。、

NO并延長(zhǎng)，與邊的延長(zhǎng)線分別交于P,。兩點(diǎn)，若濕=-2.貝，則。=（）

A.2B.1C.-2D.-1

題型二：線性運(yùn)算：四邊形等分點(diǎn)型

"旨I點(diǎn)I迷I津

四邊形基底線性運(yùn)算，可以用基底推導(dǎo)，也可以通過特殊化構(gòu)造坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)計(jì)算

1?（容五五添加匯流直冢為5云下行^弦"ABCD￥'E~,~F芬麗孟揚(yáng)AD'CD±~DF^FC,

AF與BE相交于點(diǎn)G,記配=0，BA=b，貝IJZS=（）

2.（23-24山西?階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，CE=2DE,EB和AC相交于點(diǎn)G,且歹為AG上一點(diǎn)

（不包括端點(diǎn)），若麗=2而+"麗，則力+［的最小值為（）

DEC

AB

A.5+3A/3B.6+2石C.8+75D.15

3.（23-24寧夏銀川?）如圖所示的矩形ABC。中，E,歹滿足詼=反,CF^IFD，G為EF的中點(diǎn)，若

AGAAB+juAI）,則物的值為（）

DFC

--------------

123

A.—B.-C.一D.2

234

4.（23-24陜西咸陽(yáng)）如圖所示，在正方形ABCO中，E為的中點(diǎn),尸為CE的中點(diǎn)，^AF=AAB-juAD,

貝?。?+4=（）

O：

5115

"IB.--C.-D.-

5.（23-24新疆烏魯木齊?模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE=^AD,BF=^BC,CE與DF交于點(diǎn)

。.設(shè)AB=a,AD-b，右AO=Au+/nb,則〃一％二（）

171717

題型三：線性運(yùn)算：基底非同一起點(diǎn)

指I點(diǎn)I迷I津

向量共線定理和向量基本定理

①向量共線定理（兩個(gè)向量之間的關(guān)系）：向量日與非零向量￡共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)2,使得

b=Aa-

變形形式：已再直線/上三點(diǎn)A、B、I,0為直線/外任一點(diǎn)，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)2,使得：

OP=（l-/l）-Q4+Z-OB.

特別提醒：共線向量定理應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn)：向量共線的充要條件中要注意5片6”,否則幾可能不存在，也可能

有無數(shù)個(gè).證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量

共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不

重合.

②平面向量基本定理（平面內(nèi)三個(gè)向量之間關(guān)系）：

若I、團(tuán)是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量￡,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4、辦，使

〃=4G+4弓.

特別提醒：不共線的向量冢、區(qū)叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；

基底的不唯一性：只要兩個(gè)向量不主線，就可以作為平面的一組基底，對(duì)基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量

%都可被這個(gè)平面的一組基底I、瑟線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的.

2.（23-24浙江?階段練習(xí)）已知六邊形A8CDEF為正六邊形，且衣=0，BD=b，以下不正確的是（）

ED

B.BC=-a+-b

33

—■24-

D.BE=——a+—b

33

3.（23-24重慶巴南?階段練習(xí)）如圖，矩形ABC。中，點(diǎn)E是線段A3上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段

的中點(diǎn)，則方后=（）

8—?5—?10—>5—■

A.-DF——ACB.—DF一一AC

9999

8—.5—?10-5.

C.——DF+-ACD.--DF+-AC

9999

4.(23-24高三河南?階段練習(xí))已知VABC為等邊三角形，分別以CA,C3為邊作正六邊形，如圖所示，則

()

—?7—?—?

B.EF=-AD+3GH

2

—.9—?―.

C.EF=5AD+4GHD.EF=—AD+3GH

2

5.（22-23甘肅天水?階段練習(xí)）如圖，四邊形A5CD是平行四邊形，點(diǎn)瓦方分別為CRAD的中點(diǎn)，若以向

量近,而為基底表示向量，則下列結(jié)論正確的是()

—?4—?2—?

A.AD=-AE一一BFB.AD=--AE--BF

5555

-.2—?4—?.2—?4—?

C.AB=-AE——BFD.AB=-AE+-BF

5555

題型四：三大定理：奔馳定理

指I點(diǎn)I迷J港

P為AABC內(nèi)一'點(diǎn),axPA+Z?xPB+cxPC=0>則SAPBC：^\PAC*^\PAB=b：c,

w=在、人S"BC_A5公尸4。bS"AB_c

重要結(jié)論：，三——，?

7---aT+b—+c,7--a-+Tb—+ca+—b+c

dZAA/4IZR5VrdZA/I4ZJRVrdZAA4/1Lw>Vr

結(jié)論1：對(duì)于AABC內(nèi)的任意一點(diǎn)尸，若APBC、APCA.AZMB的面積分別為》、〉、Sc,貝！］：

SAPA+SBPB+SCPC^O.

即三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對(duì)的三角形的面積.

結(jié)論2：對(duì)于AABC平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P,若點(diǎn)尸在AASC的外部，并且在血C的內(nèi)部或其對(duì)頂角的內(nèi)部所

在區(qū)域時(shí)，則有-5"比?西+5M公,而+S.?定=1

結(jié)論3：對(duì)于AABC內(nèi)的任意一點(diǎn)P,若4百+4方+4定=0,則A/ZC、APC4、AR4B的面積之比為

4：4：A.

即若三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對(duì)的三色形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.

結(jié)論4：對(duì)于AABC所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點(diǎn)尸，4麗+4萬+4定=0,則"BC、APCA、NPAB

的面積分別為圖:也:聞.

即若三角形平面內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零,則各向量所對(duì)應(yīng)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)的絕對(duì)值之比.

各向量所對(duì)應(yīng)的三角形是指另外兩個(gè)向量所在的三角形.

1.（23-24甘肅）"奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.它的具

體內(nèi)容是：己知Af是VABC內(nèi)一點(diǎn)，ABMC,AAMC,AAWB的面積分別為梟，SB,Sc,且

S4?庇+SB-痂+Sc?后忑=0.若M為VABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0>貝！|cosNWB=（）

3663

2.（23-24河北）平面向量中有一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論：己知。為VABC內(nèi)的一點(diǎn)，&BOC,△AOC,NAOB

的面積分別為〃，SB，SC,則邑?函+SB?礪+S0?元=6.因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志，所以稱為"奔

馳定理已知。為VABC的內(nèi)心，三個(gè)角對(duì)應(yīng)的邊分別為a,6,c,已知a=3,b=2y/3,c=5,則前.就=

A.2月-8B.-2C.76-7D.30-9

3.（2024上海?專題練習(xí)）"奔馳定理"因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)

論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：己知M是VABC

內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為梟,邑,加，且冬?涼+SR?礪+S。?詼=0.以下命題錯(cuò)誤

的是（）

A.若梟：與：&■=1：1：1,則M為AAMC的重心

B.若M為VA2C的內(nèi)心，貝U8C?磁+AC?旃+AB?說=0

C.若NBAC=45。,NA3C=60。，M為VABC的外心，則見：:S0=6：2:1

D.若M為VABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0^則cos/AM8=—"

6

4.（2023高三河南南陽(yáng)?階段練習(xí)）奔馳定理：已知。是A4BC內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC,MOC,AAN的面積分

別為梟，SB，S「則梟?西+S5?歷+/?元=6.〃奔馳定理〃是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)?/p>

這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳〃轎車（Mercedesbenz）的log。很相似，故形象地稱其為''奔馳定理〃若。是銳

角ZL4BC內(nèi)的一點(diǎn)，A,B,。是2MBe的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)。滿足改.加=礪.宓=玩.西，則必有（）

A.sinAOA+sinBOB+sinCOC=0

B.cosAOA+cosBOB+cosCOC=0

C.tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=6

D.sin2AOA+sinIBOB+sin2COC=0

5.（2022?安徽?三模）平面上有VABC及其內(nèi)一點(diǎn)0,構(gòu)成如圖所示圖形，若將△043,AOBC,的

LILIULUUUIU1

面積分別記作Sc，sa,Sb,則有關(guān)系式S/OA+S/C出+邑。。=0.因圖形和奔馳車的/og。很相似，常把

上述結(jié)論稱為"奔馳定理".已知VABC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若滿足公市+6.礪+c.詼="

則。為VABC的（）

C.重心D.垂心

題型五：三大定理：極化恒等式

;指I點(diǎn)I迷I津

，設(shè)a,方是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有落石=；［（1+5）2-（a-5）［

①幾何解釋1（平行四邊形模型）以4）為一組鄰邊構(gòu)造平行四邊形ABCD,AB=a,AD=b，則

AC=a+b,BD=b-a，由無B=：［（汗+5）2_（比一5）［,AB-AD=^（AC2-BD2）.

即“從平行四邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)邊向量的數(shù)量積是和對(duì)角線長(zhǎng)與差對(duì)角線長(zhǎng)平方差的

②幾何解釋2（三角形模型）在平行四邊形模型結(jié)論的基礎(chǔ)上，若設(shè)M為對(duì)角線的交點(diǎn)，則由

；AB-AD=^（AC2-BD2）^^）AB-AD=^AC2-BD2）=^4AM2-4BM2）,^AB.AD=AM2-BM2,

\該等式即是極化恒等式在三角形中的體現(xiàn)，也是我們最常用的極化恒等式的幾何模型.

1.（2023荃曲涯■高洛黃題:定三位ABCDM五已是2,E是AB欣市晟麗反?麗=（）

A.y/5B.3C.2A/5D.5

2_.（江蘇?高考真題）如圖，在AABC中，。是BC的中點(diǎn)，及尸是A,。上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，麗.^=4，

.__.LILUUUL

BFCF=-1，貝!1BECK的值是.

3.如圖，在AABC中,已知AB=4,AC=6,ABAC=60°,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,

且通=2AD,AC=3亞，若F為DE的中點(diǎn)，則BF-DE的值為

4.（23-24高三?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角

即如圖所示，夕6=：（|而『-］明］,我們稱為極化恒等式.已知在

線"與"差對(duì)角線"平方差的四分之一,

△ABC中，M是2C中點(diǎn)，A〃=3,3C=10,則荏.正=()

C.-8D.8

5.（21-22?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”

與“差對(duì)角線"平方差的四分之一.即如圖所示：Z?石=：（|阿-西）我們稱為極化恒等式.在回A3C中，M

是BC中點(diǎn)，4W=3,BC=10,則荏.*=（）

題型六：三大定理：等和線基礎(chǔ)

;指I點(diǎn)I迷I津

形如0尸=204+〃O3（尢〃eR）,求4+〃值或者范圍，其中可以理解對(duì)應(yīng)系數(shù)如幾+〃=1,彳+1?〃，稱之

為“和”系數(shù)為1.這種類型，可以直接利用“基底線”平移，做比值即可求得

丁日拓:正而雪要:商三疏常麻瓦語(yǔ)5M:等荏%'正麗花AOB鬲面后鬲弓一竊這~C茬派蕊±/

且NCO3=30。，若況=彳&+〃&，則2+4=.

2.（2023春?浙江溫州??？奸_學(xué)考試）兩個(gè)單位向量函，礪且403=120°,C點(diǎn)在弧A8上動(dòng)，若

OC=xOA+yOB,（尤,yeR）,貝l|x+1的取值范圍是

3.正六邊形ABCDE尸中，令血=2，AF=b，尸是回CDE內(nèi)含邊界的動(dòng)點(diǎn)（如圖），AP=xa+yb,則x+y

的最大值是（）

A.1B.3C.4D.5

4.已知。是AABC的外心，ZC=45°,則。。=加。4+〃。8（〃2,“€火），則〃z+a的取值范圍是

A.[-B.[―V2,1）C.[-1]D.

JT

5.已知在RtaABC中，A=~,AB=3,AC=4,尸為8C上任意一點(diǎn)（含8,C）,以P為圓心，1為半徑

作圓，。為圓上任意一點(diǎn)，設(shè)旗=x35+y/，則％+y的最大值為

題型七：等和線三角換元型

指I點(diǎn)I迷I津

如果點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則可以借助圓的參數(shù)方程（或者三角換元），用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求

解

1.（2023唾國(guó)高一假期作業(yè)）如圖,扇形的半徑為1,且函.礪=0,點(diǎn)C在弧AB上運(yùn)動(dòng)，若反=了函+＞礪,

A.-A/5B.75C.1D.2

2.（2023春?湖北湖北省紅安縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，扇形的半徑為1,且礪.礪=0,點(diǎn)C在

3.（2023春?重慶萬州?萬州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校天子湖校區(qū)?？茧A段練習(xí)）如圖，在半徑為1的圓。中，點(diǎn)AI為

圓。上的定點(diǎn)，且4403=60。，點(diǎn)C為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若碇=為西+y礪，則2x+（W+l）y的取值范圍

4.在直角梯形.ABCD中，ABLAD,AD//BC,AB^BC=2AD=2,E,尸分別為8c,8的中點(diǎn)，以A為圓心，

為半徑的圓交AB于G,點(diǎn)尸在DG上運(yùn)動(dòng)（如圖）.若麗=彳通+〃而，其中44￡火，貝口4+〃的最

大值是.

5.己知正三角形A3C的邊長(zhǎng)為2,。是邊BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足|南區(qū)1,且麗=x須+y撫，其中x+yNl,

則2x+y的最大值為.

題型八：等和線系數(shù)不是1構(gòu)造型

指I點(diǎn)I迷I津

形如。尸="。4+〃。8（4〃€碼，求ml+t〃值或者范圍,一般動(dòng)點(diǎn)多在圓上，則可以通過三角換元，構(gòu)

造三角函數(shù)輔助角形式求最值

1而囪:五冠后2M藐三贏而多凄初漪6二%五直0工i二餐;瞽丸［而+2x+2y~^Oz

值為（

33

2.（23-24?安徽蕪湖?階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)G是AASC的重心，過點(diǎn)G作直線分別與AB,AC兩邊交于M,

UUULUUUUUUlUUU

N兩點(diǎn),設(shè)AM=XAB，AN=yAC，則x+4y的最小值為（）

3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，且函+而+反=0,點(diǎn)M在AOBC內(nèi)（不含邊界）,

若說"=/1而+〃/，則2+2〃的取值范圍是

4.（20-21?福建?階段練習(xí)）已知平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E,P分別在邊AB,AD上，連接斷交AC于點(diǎn)

且滿足而=4麗,/=3麗麗=2而+〃而，貝⑸+?〃=（）

A.gB.1C.----D.—3

22

題型九：等和線均值型

指I點(diǎn)I迷I津

利用向量基底理論，求出“和定”或者“積定”，再用均值不等式技巧求出最值和范圍

基本不等式：，命；

（1）基本不等式成立的條件：a>0,Z?o；

（2）（2）等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b.

（3）基本不等式的變形：

①a+b，2點(diǎn),常用于求和的最小值；②件要）2,常用于求積的最大值；

1.（2023春?四川眉山?？茧A段練習(xí)）己知點(diǎn)G是AASC的重心，過點(diǎn)G作直線分別與A8,AC兩邊相交于點(diǎn)

M,N兩點(diǎn)（點(diǎn)N與點(diǎn)瓦C不重合），設(shè)通=無兩，AC=yAN,則一1的最小值為.

2.（2023春?重慶?校聯(lián)考階段練習(xí)）在AABC中，點(diǎn)。滿足彷=2022比，過點(diǎn)D的直線交線段AB于點(diǎn)M、

UUULuuuuumULIU2023

交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,記4M=xA3，AN^yAC，貝U2023無應(yīng)y的最小值為.

3.（2023春?山東荷澤統(tǒng)考模擬）在AMC中，點(diǎn)0是線段BC上的點(diǎn)，且滿足b4=3|西，過點(diǎn)。的直線

12

分別交直線AB,AC于點(diǎn)區(qū)尸，且荏=根衣，AC=nAF,其中加>0且若一+一的最小值為.

mn

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知A、B、尸是直線/上三個(gè)相異的點(diǎn)，平面內(nèi)的點(diǎn)。拓/,若正實(shí)數(shù)x、y

滿足4標(biāo)=2）a+丁礪，則工+工的最小值為_____.

xy

5.（23-24高三?天津武清?階段練習(xí)）在AASC中，BD=^BC,E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)

21

CE=xCA+yCBf則---------的最小值是（）

孫

A.10B.4C.7D.13

題型十：等和線二次型

指I電I迷I津

形如。尸=“%+〃°8（4〃eR）,求關(guān)于X與，二次型值或者范圍，有如下思維：

（1）圖形比較規(guī)則，建立直角坐標(biāo)系來解決向量問題；

（2）得到關(guān)于的不等式中沒有外〃，所以取/=%+〃，建立之間的關(guān)系;

（3）用判別式求得，的范圍，化簡(jiǎn)所求式子至二次函數(shù)的形式；

（4）根據(jù)二次函數(shù)的最值及/的范圍求出最值.

1.（23-24?陜西西安?階段練習(xí)）點(diǎn)。是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若西+礪+芯=0,而=x詬病乙

MO=AON，則孫的最小值為（）

2.（2019秋,江蘇蘇州,?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，尸是以A為圓心，AB為

半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，^AC=ADE+^AP,則〃2尤的最小值為

3.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知AABC的邊BC的中點(diǎn)為。，點(diǎn)E在AABC所在平面內(nèi)，且前=3CE-2CA，

若=礪，貝1］孫=（）

A.5B.10C.20D.30

2

4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知A,B,尸為雙曲線尤2一±=i上不同三點(diǎn)，且滿足可+而=2所（。為坐

4

標(biāo)原點(diǎn)），直線PAP3的斜率記為％,則/+芷的最小值為

4

A.8B.4C.2D.1

5.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在AABC中，M為邊5C上不同于3,C的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N滿足麗=2而乙

UUUUUUUU1U

^AN=xAB+yAC>貝1J丁+9/的最小值為.

題型十一：等和線系數(shù)差型

指I點(diǎn)I迷I津

形如。P=X°A+〃°B（%〃eR）,求"值或者范圍，有如下思維：

1.如果動(dòng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，可以通過圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為輔助角求解。

2.可以借助等和線，找到'+〃=定值，然后代入消元求解單元變量范圍或最值

I_________________________________________________________________________________________________

1.（四川資陽(yáng),統(tǒng)考一模）如圖，在直角梯形ABCD中，ABLAD,ABSiDC,AB=2,AD=OC=1,圖中

圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C,半徑為3，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng).若*=x通+'冠，其

中劉yeR,則4x-y的最大值為

JR

A.3--B.3+—

42

C.2D.3+—

2

2.（安徽合肥?統(tǒng)考一模）已知向量也、￡、尹滿足閡=4,戊彳=2,（比-乃?伍-打=0,若對(duì)于每一個(gè)確定的閡舛

的最大值和最小值分別為機(jī)、“，則對(duì)于任意的，，切一”的最小值為（）

3.在AABC中，點(diǎn)G滿足瓦+加+覺=0.若存在點(diǎn)。，使得DS=/l竟（X>0）,且函=〃?礪+〃元（胸>0）,

則的取值范圍是—.

4.（22-23高三?河北唐山?階段練習(xí)）如圖，在AABC中，D是線段BC上的一點(diǎn)，且配=4而，過點(diǎn)。的

UUULUUttl1

直線分別交直線AB,AC于點(diǎn)M,N,若畫7=4越，AN=〃AC（4>0,〃>0）,則〃-彳的最小值是（）

A

題型十二：四心向量：外心

指I點(diǎn)I迷I津_______

四心的向量統(tǒng)一形式：設(shè)X是AABC內(nèi)一點(diǎn)且根自+〃京+P前=6；

若X為外心，則帆:〃：p=sin2A:sin2B:sin2C；

1.（2023春?江蘇無錫?錫東高中?？茧A段練習(xí)）在AABC中，AB=1,AC=3,SAABC=^~,角A是銳角,

。為AABC的外心，若加=底屈+”.武，其中則點(diǎn)尸的軌跡所對(duì)應(yīng)圖形的面積是.

2.（2023春?廣東佛山?南海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，。為AABC的外心，AB=6,AC=2,/B4c為鈍角，

M是邊BC的中點(diǎn)，貝!］荀？?加=.

3.（2023春?吉林長(zhǎng)春?東北師大附中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)。是0ABe的外心，AB=4,AC=2,SBAC為鈍

角，M是邊8c的中點(diǎn)，則；0人正=.

4.（2023春?江西宜春?江西省清江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)。為AABC的外心a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)

邊，若Z?=3,c=5,貝ij市?冠=.

5.（2023春?遼寧?葫蘆島第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知。為“LBC的外心，a,b,c分別為內(nèi)角A,

B,C的對(duì)邊，且。2=2可3-6）,則亞.前的取值范圍是.

題型十三：四心向量：內(nèi)心

:指I點(diǎn)I迷I津_______

四心的向量統(tǒng)一形式：設(shè)X是AABC內(nèi)一點(diǎn)且機(jī)京+〃用+P薪=6；

若X為內(nèi)心,p=a:b:c■

丁石丘刀春可超前豆小而乃三市孽誕旗而壬看7^5芨向二百3情話親素五~

SWBC?次+&OAC?礪+5徵.?詼=。即稱為經(jīng)典的“奔馳定理"，若AABC的三邊為。，b,c,現(xiàn)有

a-OA+b-OB+cOC=0<則。為AABC的—心.

2.（2023浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知RMABC中，AB=3,AC=4,BC=5,/是AASC的內(nèi)心，P是A/BC內(nèi)部（不

含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，若而=2而+（尢〃eR）,則2+〃的取值范圍是（）

3.（2022?貴州安順?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知。是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A、8、C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿

足麗=函+2禺+黑（2eR）,則點(diǎn)尸的軌跡一定經(jīng)過AABC的（）

【網(wǎng)阿'

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

4.（2023?全國(guó)?專題練習(xí)）已知AABC所在的平面上的動(dòng)點(diǎn)尸滿足再5=|通|/+|前通，則直線AP一定經(jīng)

過“LBC的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

5.(2023春?全國(guó)?專題練習(xí))已知△A5C,/是其內(nèi)心,內(nèi)角A3,C所對(duì)的邊分別a也c,則()

A.AI=^(AB+AC)—cABbAC

nB.AI=------+--------

aa

c—；bABcACc-CABbAC

C.AI=------------+------------D.AI=-------+--------

a+b+ca+b+ca+ba+c

題型十四：四心向量：垂心

指I點(diǎn)I迷I津_______

四心的向量統(tǒng)一形式：設(shè)X是AASC內(nèi)一點(diǎn)且初豆+〃好+P高=0；

若X為垂心，貝|加：〃：，=tanA:tang：tanC.

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知。是融。內(nèi)的一點(diǎn)，若止OC、"IOC、△AO3的面積分別

記為&、邑、S3,則S]?函+S2?礪+S3?元=。."奔馳定理"是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，這個(gè)定理

對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的log。很相似，故形象地稱其為"奔馳定理".如圖，已知。是AASC的垂心，且

OA+2OB+4OC=6,貝I」COS3=（）

D.B

3

2.（2023春?浙江紹興??？茧A段練習(xí)）奔馳定理：已知點(diǎn)。是AAFC內(nèi)的一點(diǎn)，若A3OC,AAOC,AAO3的面

積分別記為H，S2,S3,則&