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2025屆云南省曲靖市宣威市民族中學(xué)高考數(shù)學(xué)必刷試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.關(guān)于函數(shù),有下列三個(gè)結(jié)論:①是的一個(gè)周期;②在上單調(diào)遞增;③的值域?yàn)?則上述結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.2.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椋魪膱A:的內(nèi)部隨機(jī)選取一點(diǎn),則取自的概率為()A. B. C. D.3.年某省將實(shí)行“”的新高考模式,即語文、數(shù)學(xué)、英語三科必選,物理、歷史二選一,化學(xué)、生物、政治、地理四選二,若甲同學(xué)選科沒有偏好,且不受其他因素影響,則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為A. B. C. D.4.設(shè)a,b都是不等于1的正數(shù),則“”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件5.設(shè)是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.6.下列選項(xiàng)中,說法正確的是()A.“”的否定是“”B.若向量滿足,則與的夾角為鈍角C.若,則D.“”是“”的必要條件7.如圖,在平面四邊形中,滿足,且,沿著把折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且使,則三棱錐體積的最大值為()A.12 B. C. D.8.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.已知復(fù)數(shù)滿足:,則的共軛復(fù)數(shù)為()A. B. C. D.10.已知全集,集合,則=()A. B.C. D.11.若雙曲線的漸近線與圓相切,則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.12.,則與位置關(guān)系是()A.平行 B.異面C.相交 D.平行或異面或相交二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知圓C:經(jīng)過拋物線E:的焦點(diǎn),則拋物線E的準(zhǔn)線與圓C相交所得弦長(zhǎng)是__________.14.春天即將來臨,某學(xué)校開展以“擁抱春天,播種綠色”為主題的植物種植實(shí)踐體驗(yàn)活動(dòng).已知某種盆栽植物每株成活的概率為,各株是否成活相互獨(dú)立.該學(xué)校的某班隨機(jī)領(lǐng)養(yǎng)了此種盆栽植物10株,設(shè)為其中成活的株數(shù),若的方差,,則________.15.已知曲線,點(diǎn),在曲線上,且以為直徑的圓的方程是.則_______.16.如圖,在三棱錐中,平面,,已知,,則當(dāng)最大時(shí),三棱錐的體積為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為菱形,底面,.(1)求證:平面;(2)若直線與平面所成的角為,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.18.(12分)已知函數(shù),其中.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè),求證:;(Ⅲ)若對(duì)于恒成立,求的最大值.19.(12分)若關(guān)于的方程的兩根都大于2,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)在邊長(zhǎng)為的正方形,分別為的中點(diǎn),分別為的中點(diǎn),現(xiàn)沿折疊,使三點(diǎn)重合,構(gòu)成一個(gè)三棱錐.(1)判別與平面的位置關(guān)系,并給出證明;(2)求多面體的體積.21.(12分)設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率,右準(zhǔn)線為,是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)證明:當(dāng)取最小值時(shí),與共線.22.(10分)已知,,動(dòng)點(diǎn)滿足直線與直線的斜率之積為,設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若過點(diǎn)的直線與曲線交于,兩點(diǎn),過點(diǎn)且與直線垂直的直線與相交于點(diǎn),求的最小值及此時(shí)直線的方程.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
利用三角函數(shù)的性質(zhì),逐個(gè)判斷即可求出.【詳解】①因?yàn)?,所以是的一個(gè)周期,①正確;②因?yàn)?,,所以在上不單調(diào)遞增,②錯(cuò)誤;③因?yàn)?,所以是偶函?shù),又是的一個(gè)周期,所以可以只考慮時(shí),的值域.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,所以,的值域?yàn)椋坼e(cuò)誤;綜上,正確的個(gè)數(shù)只有一個(gè),故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用.2、B【解析】
畫出不等式組表示的可行域,求得陰影部分扇形對(duì)應(yīng)的圓心角,根據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式,計(jì)算出所求概率.【詳解】作出中在圓內(nèi)部的區(qū)域,如圖所示,因?yàn)橹本€,的傾斜角分別為,,所以由圖可得取自的概率為.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何概型的計(jì)算,考查線性可行域的畫法,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
甲同學(xué)所有的選擇方案共有種,甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后,只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可,共有種選擇方案,根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式,可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率,故選B.4、C【解析】
根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解a,b的范圍,再利用充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由“”,得,得或或,即或或,由,得,故“”是“”的必要不充分條件,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法,考查指數(shù),對(duì)數(shù)不等式的解法,是基礎(chǔ)題.5、A【解析】
結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模長(zhǎng)公式求解即可【詳解】∵復(fù)數(shù),∴,,則,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、模長(zhǎng)、平方運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題6、D【解析】
對(duì)于A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,即可判斷出;對(duì)于B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角;對(duì)于C當(dāng)m=0時(shí),滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立;對(duì)于D根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可做出判斷.【詳解】選項(xiàng)A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,因此A不正確;選項(xiàng)B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角,因此不正確.選項(xiàng)C當(dāng)m=0時(shí),滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立,因此不正確;選項(xiàng)D若“”,則且,所以一定可以推出“”,因此“”是“”的必要條件,故正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,涉及知識(shí)點(diǎn)有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等,屬于簡(jiǎn)單題.7、C【解析】
過作于,連接,易知,,從而可證平面,進(jìn)而可知,當(dāng)最大時(shí),取得最大值,取的中點(diǎn),可得,再由,求出的最大值即可.【詳解】在和中,,所以,則,過作于,連接,顯然,則,且,又因?yàn)?,所以平面,所以,?dāng)最大時(shí),取得最大值,取的中點(diǎn),則,所以,因?yàn)?,所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上(不在左右頂點(diǎn)),其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,焦距長(zhǎng)為8,所以的最大值為橢圓的短軸長(zhǎng)的一半,故最大值為,所以最大值為,故的最大值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的最大值,考查學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算求解能力,屬于中檔題.8、B【解析】
由共軛復(fù)數(shù)的定義得到,通過三角函數(shù)值的正負(fù),以及復(fù)數(shù)的幾何意義即得解【詳解】由題意得,因?yàn)?,,所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
轉(zhuǎn)化,為,利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn),即得解【詳解】復(fù)數(shù)滿足:所以故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)的基本概念,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
先計(jì)算集合,再計(jì)算,最后計(jì)算.【詳解】解:,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交,補(bǔ)混合運(yùn)算,注意分清集合間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
利用圓心到漸近線的距離等于半徑即可建立間的關(guān)系.【詳解】由已知,雙曲線的漸近線方程為,故圓心到漸近線的距離等于1,即,所以,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求法,求雙曲線離心率問題,關(guān)鍵是建立三者間的方程或不等關(guān)系,本題是一道基礎(chǔ)題.12、D【解析】結(jié)合圖(1),(2),(3)所示的情況,可得a與b的關(guān)系分別是平行、異面或相交.選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),代入圓的方程,求出的值,再求出準(zhǔn)線方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式,求出弦心距,利用勾股定理可以求出弦長(zhǎng)的一半,進(jìn)而求出弦長(zhǎng).【詳解】拋物線E:的準(zhǔn)線為,焦點(diǎn)為(0,1),把焦點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程中,得,所以圓心的坐標(biāo)為,半徑為5,則圓心到準(zhǔn)線的距離為1,所以弦長(zhǎng).【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的準(zhǔn)線、圓的弦長(zhǎng)公式.14、【解析】
由題意可知:,且,從而可得值.【詳解】由題意可知:∴,即,∴故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.15、【解析】
設(shè)所在直線方程為設(shè)?點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,都在上,代入曲線方程,兩式作差可得,從而可得直線的斜率,聯(lián)立直線與的方程,由,利用弦長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)槭菆A的直徑,必過圓心點(diǎn),設(shè)所在直線方程為設(shè)?點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,都在上,故兩式相減,可得(因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)),即聯(lián)立直線與的方程:又,即,即又因?yàn)?,則有即∴.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)公式,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,綜合性比較強(qiáng),屬于中檔題.16、4【解析】設(shè),則,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.,故答案為4三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)由底面為菱形,得,再由底面,可得,結(jié)合線面垂直的判定可得平面;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線及過點(diǎn)且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:底面為菱形,,底面,平面,又,平面,平面;(2)解:,,為等邊三角形,.底面,是直線與平面所成的角為,在中,由,解得.如圖,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線及過點(diǎn)且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,.,,,.設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為,.由,取,得;由,取,得..平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的判定,考查空間想象能力與思維能力,訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角,屬于中檔題.18、(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ).【解析】
(Ⅰ)利用二次求導(dǎo)可得,所以在上為增函數(shù),進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn),所以函數(shù)在遞減,在,遞增,則,進(jìn)而可證;(Ⅲ)條件等價(jià)于對(duì)于恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性,即可得到的最小值為,再次構(gòu)造函數(shù)(a),,利用導(dǎo)數(shù)得其單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求得最大值.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,則,所以,又因?yàn)?,所以在上為增函?shù),因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),,為增函數(shù),當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(Ⅱ),則令,則(1),,所以在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn),設(shè)零點(diǎn)為,則,且,當(dāng)時(shí),,當(dāng),,,所以函數(shù)在遞減,在,遞增,,由,得,所以,由于,,從而;(Ⅲ)因?yàn)閷?duì)于恒成立,即對(duì)于恒成立,不妨令,因?yàn)?,,所以的解為,則當(dāng)時(shí),,為增函數(shù),當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),所以的最小值為,則,不妨令(a),,則(a),解得,所以當(dāng)時(shí),(a),(a)為增函數(shù),當(dāng)時(shí),(a),(a)為減函數(shù),所以(a)的最大值為,則的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,以及函數(shù)不等式恒成立問題的解法,意在考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于較難題.19、【解析】
先令,根據(jù)題中條件得到,求解,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程的兩根都大于2,令所以有,解得,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的分布問題,熟記二次函數(shù)的特征即可,屬于??碱}型.20、(1)平行,證明見解析;(2).【解析】
(1)由題意及圖形的翻折規(guī)律可知應(yīng)是的一條中位線,利用線面平行的判定定理即可求證;(2)利用條件及線面垂直的判定定理可知,,則平面,在利用錐體的體積公式即可.【詳解】(1)證明:因翻折后、、重合,∴應(yīng)是的一條中位線,∴,∵平面,平面,∴平面;(2)解:∵,,∴面且,,,又,.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理,線面垂直的判定定理及錐體的體積公式,屬于基礎(chǔ)題.21、(Ⅰ)(Ⅱ)證明見解析.【解析】由與,得,,的方程為.設(shè),則,由得.①(Ⅰ)由,得,②,③由①、②、③三式,消去,并求得,故.(Ⅱ),當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí),取最小值,此時(shí),,故與共線.22、(1)(2)的最小值為1,此時(shí)直線:【解析】
(1)用直接法求軌跡方程,即設(shè)動(dòng)點(diǎn)為,把已知用坐標(biāo)表示并整理即得.注意取值范圍;(2)設(shè):,將其與曲線的方程聯(lián)立,消元并整理得,設(shè),,則可得,,由求出,將直線方程與聯(lián)立,得,求得,計(jì)算,設(shè).顯然,構(gòu)造,由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求得其最小值,同時(shí)可得直線的方程.【詳解】(1)設(shè),則,即整
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